臺南二中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (B)(D)。

① 先把三個已知積分的區間畫在數線上（見附圖）：$a$ 對應 $[-2,3]$，$b$ 對應 $[0,5]$，$c$ 對應 $[-2,5]$。

② 由區間可加性：

$$c={\int }_{-2}^{5}f(x)dx={\int }_{-2}^{3}f(x)dx+{\int }_3^{5}f(x)dx={\int }_{-2}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{5}f(x)dx$$

(A) 錯誤。 ${\int }_3^{5}f(x)dx=c-a$，不是 $a-c$。

(B) 正確。 ${\int }_{-2}^{0}f(x)dx=c-b$。

(C) 錯誤。 ${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_{-2}^{3}f(x)dx-{\int }_{-2}^{0}f(x)dx=a-(c-b)=a-c+b$，不是 $a+c-b$。

(D) 正確。 對稱軸為 $y$ 軸時 $f(-x)=f(x)$，圖形左右對稱，$[-5,0]$ 與 $[0,5]$ 上的有號面積相同，所以 ${\int }_{-5}^{0}f(x)dx={\int }_0^{5}f(x)dx=b$。

(E) 錯誤。 對稱中心為原點時 $f(-x)=-f(x)$，$[-5,0]$ 上的有號面積與 $[0,5]$ 上的互為相反數，${\int }_{-5}^{0}f(x)dx=-b$。

例如 $f(x)=x^3$：$b={\int }_0^5{x}^{3}dx=\frac{625}{4}$，而 ${\int }_{-5}^0{x}^{3}dx=-\frac{625}{4}\ne b$。

答案 (A)(D)。

① 均衡價格為 $72$ 元，均衡點在需求函數上：$-8x+200=72$，$x=16$，均衡數量為 $16$ 個。

② 均衡點也在供給函數上：$S(16)=64+k=72$，$k=8$，所以 $S(x)=4x+8$。

(A) 正確（照學校答案）。需求函數 $D(x)$ 表示銷售量為 $x$ 個時消費者願意付的最高價格，$D(10)=-80+200=120$（元）。

(B) 錯誤。 由①，市場均衡為 $16$ 個。

(C) 錯誤。 由②，$k=8$。

(D) 正確。 消費者剩餘是需求線與價格線 $y=72$ 之間、$0\le x\le 16$ 的面積：

$${\int }_0^{16}(D(x)-72)dx={\int }_0^{16}(128-8x)dx=[128x-4x^2{]}_0^{16}=2048-1024=1024$$

(E) 錯誤。 生產者剩餘是價格線與供給線之間的面積：

$${\int }_0^{16}(72-S(x))dx={\int }_0^{16}(64-4x)dx=[64x-2x^2{]}_0^{16}=1024-512=512$$

生產者剩餘 $512$ 元小於消費者剩餘 $1024$ 元。

① 逐項用 $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$：

$$\int 3x^{4}dx=\frac{3}{5}{x}^5,\int (-2x^2)dx=-\frac{2}{3}{x}^3,\int 1dx=x$$

② 合起來再加上積分常數：

答案 $\frac{3}{5}{x}^5-\frac{2}{3}{x}^3+x+c$（$c$ 為常數）。

① 展開：$(x-1{)}^2(x-4)=(x^2-2x+1)(x-4)=x^3-6x^2+9x-4$。

② 反導函數 $F(x)=\frac{1}{4}{x}^4-2x^3+\frac{9}{2}{x}^2-4x$。

③ $F(4)=64-128+72-16=-8$，$F(1)=\frac{1}{4}-2+\frac{9}{2}-4=-\frac{5}{4}$。

④ 所求 $=F(4)-F(1)=-8+\frac{5}{4}=-\frac{27}{4}$。

答案 $-\frac{27}{4}$。

① 由微積分基本定理，$\frac{d}{dx}{\int }_{20}^{x}f(t)dt=f(x)$，所以把兩邊對 $x$ 微分：$f(x)=2x$。

② 同理 $\frac{d}{dx}{\int }_{30}^{x}g(t)dt=g(x)=3x^2$。

③ $f(20)=40$，$g(30)=3\times 900=2700$。

所求 $=40+2700=2740$。

① $y=\sqrt{16-x^2}$ 是圓 $x^2+y^2=16$ 的上半圓，所求是上半圓下方、$-2\le x\le 2$ 的面積（見附圖）。

② $x=\pm 2$ 時 $y=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，圓上兩點 $P(2,2\sqrt{3})$、$Q(-2,2\sqrt{3})$。

③ 把區域切成：扇形 $OPQ$ 與兩個直角三角形。

④ $\overline{OP}=4$，$P$ 的 $x$ 坐標 $2$ 是半徑的一半，所以 $OP$ 與 $x$ 軸夾 $60^{\circ }$；同理 $OQ$ 與負 $x$ 軸夾 $60^{\circ }$，扇形圓心角為 $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$。

⑤ 扇形面積 $=\frac{60}{360}\times \pi \times 4^2=\frac{8\pi }{3}$。

⑥ 每個直角三角形兩股為 $2$ 與 $2\sqrt{3}$，面積 $\frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，兩個共 $4\sqrt{3}$。

答案 $\frac{8\pi }{3}+4\sqrt{3}$。

① 定積分是有號面積：圖形在 $x$ 軸上方算正、下方算負。把 $[0,12]$ 切成四段。

② $[0,3]$：梯形，上下底 $1$、$10$，高 $3$，面積 $\frac{(1+10)\times 3}{2}=\frac{33}{2}$。

③ $[3,6]$：長方形 $3\times 10=30$。

④ $[6,11]$：三角形，底 $5$、高 $10$，面積 $25$。

⑤ $[11,12]$：$(11,0)$ 到 $(14,-6)$ 的斜率為 $\frac{-6}{3}=-2$，$f(12)=-2$；圖形在 $x$ 軸下方，三角形面積 $\frac{1}{2}\times 1\times 2=1$，記為 $-1$。

⑥ 合計 $\frac{33}{2}+30+25-1=\frac{141}{2}$。

答案 $\frac{141}{2}$。

① $x^3-9x=x(x+3)(x-3)$，在 $[-1,4]$ 內與 $x$ 軸交於 $x=0$、$x=3$。

② 正負：$-1<x<0$ 時 $y>0$；$0<x<3$ 時 $y<0$；$3<x<4$ 時 $y>0$（見附圖）。

③ 反導函數 $F(x)=\frac{1}{4}{x}^4-\frac{9}{2}{x}^2$，$F(-1)=-\frac{17}{4}$，$F(0)=0$，$F(3)=-\frac{81}{4}$，$F(4)=-8$。

④ 三段面積：$F(0)-F(-1)=\frac{17}{4}$；$|F(3)-F(0)|=\frac{81}{4}$；$F(4)-F(3)=-8+\frac{81}{4}=\frac{49}{4}$。

⑤ 面積 $=\frac{17}{4}+\frac{81}{4}+\frac{49}{4}=\frac{147}{4}$。

答案 $\frac{147}{4}$。

① 平均溫度 $=\frac{1}{6-0}{\int }_0^{6}f(t)dt$。

② ${\int }_0^6\left(\frac{1}{4}{t}^2-2t+12\right)dt=[\frac{1}{12}{t}^3-t^2+12t{]}_0^6=18-36+72=54$。

③ 平均溫度 $=\frac{54}{6}=9$（℃）。

④ 令 $f(t_0)=9$：$\frac{1}{4}{t}_0^2-2t_0+12=9$，兩邊乘 $4$ 得 $t_0^2-8t_0+12=0$，$(t_0-2)(t_0-6)=0$。

⑤ $t_0=2$ 或 $6$，兩個都在 $0\le t_0\le 6$ 內。

答案 $t_0=2$ 或 $6$。

① ${\int }_0^a(x^2-3)dx=\frac{a^3}{3}-3a=\frac{a(a^2-9)}{3}=0$，又 $a>\sqrt{3}$，所以 $a=3$。

② $y=x^2-3$ 在 $x=\sqrt{3}$ 與 $x$ 軸相交：$0\le x\le \sqrt{3}$ 在 $x$ 軸下方，$\sqrt{3}\le x\le 3$ 在上方（見附圖）。

③ 下方那塊：${\int }_0^{\sqrt{3}}(3-x^2)dx=3\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$。

④ 上方那塊：${\int }_{\sqrt{3}}^3(x^2-3)dx={\int }_0^3(x^2-3)dx-{\int }_0^{\sqrt{3}}(x^2-3)dx=0+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。

⑤ 面積 $=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。

答案 $4\sqrt{3}$。

① 在 $-2\le x\le 4$ 內，$x-5<0$，所以 $|x-5|=5-x$。

② $|x+1|$ 在 $x=-1$ 轉折：$x<-1$ 時為 $-x-1$，$x\ge -1$ 時為 $x+1$。

③ 所以被積函數 $=\{\begin{array}{ll}-2x+4,& -2\le x<-1\\ 6,& -1\le x\le 4\end{array}$（見附圖）。

④ $[-2,-1]$：梯形，上下底 $8$、$6$，寬 $1$，面積 $7$。

⑤ $[-1,4]$：長方形 $6\times 5=30$。

⑥ 合計 $7+30=37$。

答案 $37$。

① $y=-2\sin x$ 的週期是 $2\pi$；在任一個完整週期 $[c,c+2\pi ]$ 上，圖形在 $x$ 軸上方與下方的部分形狀相同、面積相等（見附圖），所以一個週期的定積分是 $0$。

② 積分區間 $[-6\pi ,4\pi ]$ 的長度是 $10\pi$，剛好是 $5$ 個週期：$[-6\pi ,-4\pi ]$、$[-4\pi ,-2\pi ]$、$[-2\pi ,0]$、$[0,2\pi ]$、$[2\pi ,4\pi ]$。

③ 每一段的定積分都是 $0$，相加還是 $0$。

答案 $0$。

① 最高次方係數為 $-3$、對稱中心為 $(1,6)$ 的三次函數可寫成 $f(x)=-3(x-1{)}^3+p(x-1)+6$。

② 在 $x=1$ 的一次近似就是在 $(1,6)$ 的切線，斜率為 $f^{\prime }(1)$。$f^{\prime }(x)=-9(x-1{)}^2+p$，$f^{\prime }(1)=p$。

③ 與 $y=2x$ 平行，所以 $p=2$，$f(x)=-3(x-1{)}^3+2(x-1)+6$。

④ 對稱中心為 $(1,6)$：$f(1+h)+f(1-h)=12$，圖形對 $(1,6)$ 點對稱（見附圖），所以 $[0,2]$ 上的面積等於底 $2$、高 $6$ 的長方形面積。

⑤ ${\int }_0^{2}f(x)dx=6\times 2=12$。

答案 $12$。

① 令 $F(a)={\int }_0^a(x^2-6x+8)dx=\frac{1}{3}{a}^3-3a^2+8a$（$a>0$）。

② 由微積分基本定理，$F^{\prime }(a)=a^2-6a+8=(a-2)(a-4)$。

③ $0<a<2$ 時 $F^{\prime }(a)>0$，$F$ 遞增；$2<a<4$ 時 $F^{\prime }(a)<0$，$F$ 遞減；$a>4$ 時 $F^{\prime }(a)>0$，$F$ 遞增。

④ 所以 $a=4$ 時有極小值 $F(4)=\frac{64}{3}-48+32=\frac{16}{3}$。

⑤ 對照被積函數的圖形（見附圖）：$0\le x\le 2$ 那塊在 $x$ 軸上方、$2\le x\le 4$ 那塊在下方；上限從 $2$ 推到 $4$ 時一直在扣掉下方那塊，到 $4$ 扣完，之後又開始加。

答案 $\frac{16}{3}$。

① 由第 14 題，$F(a)$ 在 $a=4$ 由遞減轉為遞增，極小值發生在 $a=4$（見附圖 $F(a)$ 的圖形）。

② $a=2$ 是極大值 $F(2)=\frac{8}{3}-12+16=\frac{20}{3}$ 的位置，不是所求。

答案 $a=4$。