臺南二中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (3)(4)(5)。$f^{\prime }(x)=4x^3-12x+8=4(x^3-3x+2)$。$x=1$ 代入 $x^3-3x+2$ 得 $0$，因式分解得 $x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$，所以 $f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^2(x+2)$。$(x-1{)}^2\ge 0$，因此 $x<-2$ 時 $f^{\prime }(x)<0$；$-2<x<1$ 與 $x>1$ 時 $f^{\prime }(x)>0$。所以 $f(x)$ 在 $[-2,1]$ 嚴格遞增，在 $[1,\infty )$ 也嚴格遞增，兩段在 $x=1$ 接起來，在 $[-2,\infty )$ 上都是嚴格遞增；在 $(-\infty ,-2]$ 嚴格遞減。

(1) 錯誤。 $[-5,-3]$ 在 $x<-2$ 的範圍內，$f(x)$ 遞減。

(2) 錯誤。 $[-3,0]$ 包含 $-3\le x<-2$ 這段遞減的部分，例如 $f(-3)=81-54-24+4=7$，$f(-2)=16-24-16+4=-20$，$f(-3)>f(-2)$。

(3) 正確。 $[-2,1]$ 在 $[-2,\infty )$ 內。

(4) 正確。 $[-2,2]$ 在 $[-2,\infty )$ 內；雖然 $f^{\prime }(1)=0$，但 $x=1$ 的左右兩側都是 $f^{\prime }(x)>0$，函數沒有停下來或往回走。

(5) 正確。 $[2,\infty )$ 在 $[-2,\infty )$ 內。

答案 (1)(4)。

(1) 正確。 $f^{\prime }(a)$ 存在表示 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 存在，而 $f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)$，$x\to a$ 時趨近 $f^{\prime }(a)\times 0=0$，所以 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$，連續。

(2) 錯誤。 反例 $f(x)=x^3$：$f^{\prime }(0)=0$，但 $f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$，$f(x)$ 一路遞增，$x=0$ 沒有相對極值。

(3) 錯誤。 連續不一定可微。反例 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 連續，但 $x\to 0^{+}$ 時 $\frac{f(x)-f(0)}{x}=1$，$x\to 0^{-}$ 時為 $-1$，左右不相等，不可微。

(4) 正確。 數乙討論多項式函數，$f^{\prime \prime }(x)$ 處處存在且連續；反曲點是凹凸改變的點，$f^{\prime \prime }(x)$ 在它的兩側異號，所以 $f^{\prime \prime }(a)=0$。

(5) 錯誤。 $f^{\prime }(a)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(a)>0$ 時，$x=a$ 附近凹口向上，$f(a)$ 是相對極小值，不是極大值。

答案 (1)(3)(4)(5)。先由條件定出係數的正負。$f(0)=d=-2$。$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$。$(0,-2)$ 是反曲點，所以 $f^{\prime \prime }(0)=2b=0$，$b=0$。由圖形，$x$ 愈往右 $f(x)$ 往下、愈往左往上，所以 $a<0$。過反曲點的切線（虛線）由左上往右下，斜率 $f^{\prime }(0)=c<0$。於是 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+c$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax$。

(1) 正確。 $f^{\prime }(0)=c<0$，$f^{\prime \prime }(0)=0$，所以 $f^{\prime }(0)<f^{\prime \prime }(0)$。

(2) 錯誤。 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+c$ 的領導係數 $3a<0$，是開口朝下的拋物線。

(3) 正確。 $3a{x}^2\le 0$ 且 $c<0$，所以 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+c<0$ 恆成立，圖形與 $x$ 軸沒有交點。

(4) 正確。 $f^{\prime \prime }(x)=6ax$ 是斜率 $6a<0$ 的直線。

(5) 正確。 $f^{\prime \prime }(0)=0$，圖形通過原點 $(0,0)$。

每一段都是多項式或常數，只要檢查 $0\le x<3$ 這段裡 $[x]$ 跳動的地方與兩個接點。$0\le x<1$ 時 $[x]=0$，$1\le x<2$ 時 $[x]=1$，$2\le x<3$ 時 $[x]=2$。

$x=0$：$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=-3$，而 $f(0)=0$，不連續，所以不可微。

$x=1$、$x=2$：$[x]$ 在這兩點跳動，左極限分別是 $0$、$1$，不等於 $f(1)=1$、$f(2)=2$，不連續，不可微。

$x=3$：左極限 $2$，$f(3)=3-1=2$，連續；但左邊 $\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\frac{2-2}{x-3}=0$，右邊 $\frac{(x-1)-2}{x-3}=1$，左右導數不相等，不可微。

其他的點都在某一段的內部，可微。所以 $c=0,1,2,3$。

$f(3)=9-12+1=-2\ne -6$，$P$ 不在圖形上，要先設切點。設切點 $(t,t^2-4t+1)$，斜率 $2t-4$，切線為 $y=(2t-4)(x-t)+t^2-4t+1$。切線過 $P(3,-6)$：

$$-6=(2t-4)(3-t)+t^2-4t+1=-t^2+6t-11$$

整理得 $t^2-6t+5=0$，$(t-1)(t-5)=0$，$t=1$ 或 $t=5$。

$t=1$：切點 $(1,-2)$，斜率 $-2$，切線 $y+2=-2(x-1)$，即 $2x+y=0$。

$t=5$：切點 $(5,6)$，斜率 $6$，切線 $y-6=6(x-5)$，即 $6x-y-24=0$。

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，$f^{\prime \prime }(x)=6x-6=6(x-1)$。列出增減與凹凸：

$$\begin{array}{cccccccc}x& x<0& 0& 0<x<1& 1& 1<x<2& 2& x>2\\ f^{\prime }(x)& +& 0& -& -& -& 0& +\\ f^{\prime \prime }(x)& -& -& -& 0& +& +& +\\ f(x)& \nearrow & -3& \searrow & -5& \searrow & -7& \nearrow \end{array}$$

所以 $x<0$ 時遞增且凹口向下；$x=0$ 有相對極大值 $f(0)=-3$；$0<x<1$ 遞減且凹口向下；$(1,-5)$ 是反曲點；$1<x<2$ 遞減且凹口向上；$x=2$ 有相對極小值 $f(2)=8-12-3=-7$；$x>2$ 遞增且凹口向上。再補幾個點：$f(-1)=-7$、$f(3)=-3$、$f(4)=13$。$x\to \infty$ 時 $f(x)$ 往上、$x\to -\infty$ 時往下。把這些點依增減與凹凸連成平滑曲線，即得附圖。