段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、換底、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

臺南二中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 26 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 3 題（本頁第 13 題）要先把 6.25 寫成 0.4 的次方，底數小於 1 時不等號要反向；填充第 11 題（第 23 題）兩層對數都要顧到真數大於 0，外層解完還要再解內層；填充第 12 題（第 24 題）要用參考數據判斷首位數字；多選第 4 題（第 9 題）要先從圖上判斷底數的大小，再用對稱於 x 軸推出另外兩個底數是倒數。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 26 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 26 題，照原卷順序

單一選題 5 題（20 分）、多選題 5 題（25 分）、填充題 14 題共 16 格（55 分，依答對格數計分：答對 1 到 16 格依序得 5、10、15、20、24、28、32、36、39、42、45、47、49、51、53、55 分）。原卷各大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 1～5 題是單選 1～5，第 6～10 題是多選 1～5，第 11～26 題是填充題的 16 格。答案已與學校公布的答案逐題核對，26 題（格）全部相同。

一、單一選題（每題4分，共20分）

下列最小的數是：

(1) $(0.8)^{- 2}$
(2) $(0.8)^{- 5}$
(3) $(0.8)^{- 3}$
(4) $(0.8)^{- 1.5}$
(5) $(0.8)^{- 0.5}$

下列何者為

y = 1 + (\frac{3}{5})^{x}

的部分圖形？（五個選項是五個圖形，見下圖）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

假設世界人口自

1980

年起，

50

年內每年增長率均固定。已知

1987

年世界人口達

50

億，到了

1999

年，世界人口達

60

億。根據這些資料推測

2023

年世界人口最接近下列哪一個數？

(1) $75$ 億
(2) $80$ 億
(3) $86$ 億
(4) $92$ 億
(5) $100$ 億

設

lo g x = 2.7

，則最接近下列哪一個數？（卷首參考數據：

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

）

(1) $200$
(2) $300$
(3) $400$
(4) $500$
(5) $600$

下圖為函數

y = a + lo g_{b} x

之部分圖形，其中

a

，

b

為常數，則下列何者為真？

(1) $a < 0$ ， $b < 1$
(2) $a > 0$ ， $b > 1$
(3) $a = 0$ ， $b > 1$
(4) $a > 0$ ， $0 < b < 1$
(5) $a < 0$ ， $0 < b < 1$

載入中...

二、多選題：（每題5分，共25分。）（說明：每題答案完全正確得5分，恰錯一個選項得3分，恰錯兩個選項得1分，錯三個選項以上或未作答得0分。）

下列敘述何者正確？

(1) $2^{- 0.5} < 3^{- 0.5}$
(2) $(0.2)^{- 1.3} > (0.3)^{- 1.3}$
(3) $y = 3^{x}$ 與 $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 對稱於 $y$ 軸
(4) $a > 0$ ，則 $y = a^{x}$ 之圖形必過點 $(0, 1)$
(5) 方程式 $2^{x} = 0$ 有實數解

下列各選項

x

值，何者大於

1

？

(1) $lo g_{x} (1010) = \frac{3}{2}$
(2) $x = lo g_{\frac{1}{2}} 32$
(3) $1 0^{x} = 3100$
(4) $lo g_{\frac{1}{2}} x = - 2$
(5) $(\frac{1}{2})^{x} = 2$

設

a

、

b

、

c

為實數且滿足

lo g a = 1.1

、

lo g b = 2.2

、

lo g c = 3.3

。試選出正確的選項。（卷首參考數據：

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

）

(1) $a + c = 2 b$
(2) $1 < a < 10$
(3) $1000 < c < 2000$
(4) $b = 2 a$
(5) $a, b, c$ 成等比數列

下圖中，

y = lo g_{a} x

與

y = lo g_{d} x

兩圖形對稱於

x

軸，

y = lo g_{b} x

與

y = lo g_{c} x

兩圖形對稱於

x

軸，則下列何者為真？

(1) $a > b > c > d$
(2) $b > a > d > c$
(3) $b > a > c > d$
(4) $a d = 1$
(5) $ab c d = 1$

載入中...

設

a > 0

，且

a \neq = 1

，將

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

的圖形畫在

x

，

y

坐標平面上，則下列何者可能為其圖形？（五個選項是五個圖形，見下圖）

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

三、填充題：（共55分，依答案卷上配分表計算得分。）

1. 方程式

2^{x + 1} - 6 \cdot 2^{x - 1} + 10 \cdot 2^{x - 2} = 12

之解為 ____

2. 設

2^{x} = 3^{y} = 216

，則

\frac{1}{x} + \frac{1}{y}

之值為 ____

3. 不等式

(0.4)^{x^{2} - 5 x + 2} > (6.25)^{2}

之解為 ____

2 \cdot 4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 4 \leq 0

之解為 ____

填充第 5 題（第 15～17 題）（第 15～17 題）　化簡求下列各值：

(1)

lo g_{10} \frac{25}{9} - lo g_{10} 5 + lo g_{10} \frac{27}{35} - lo g_{10} \frac{3}{70} =

____

(2)

(lo g_{2} 3 + lo g_{16} 81) (lo g_{3} 8 - lo g_{9} 2) =

____

(3)

3 lo g_{2} 2 - lo g_{2} \frac{3}{2} + \frac{1}{2} lo g_{2} 3 =

____

6. 設

a = lo g_{3} 2

，

b = lo g_{3} 11

，則

lo g_{66} 18

之值可以用

a

，

b

表示為 ____

7. 方程式

lo g_{\frac{1}{2}} (x + 3) - 2 lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) = 1

之解為 ____

8. 若

2 lo g_{2} x + 6 lo g_{x} 2 - 7 = 0

，則

x =

____

9. 設

a = lo g_{\frac{1}{4}} 5

，

b = lo g_{\frac{1}{5}} 4

，

c = lo g_{\frac{1}{4}} \frac{1}{5}

，

d = lo g_{\frac{1}{5}} \frac{1}{4}

，試比較

a

，

b

，

c

，

d

四數之大小。____

10. 不等式

lo g_{2} (x - 1) < 1 + lo g_{4} (x + 2)

之解為 ____

11. 不等式

lo g_{3} (lo g_{\frac{1}{2}} x) < 1

之解為 ____

12. 整數

3^{40}

為

N

位數，且最高位（最左邊）數字為

β

，則

(N, β) =

____（卷首參考數據：

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

）

13. 試問有多少個正整數

n

滿足

1 0^{40} \leq 7^{n} \leq 1 0^{50}

？____（卷首參考數據：

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

）

14. 聲音大小（單位為分貝）取決於聲波通過介質時，所產生的壓力變化（簡稱聲壓，單位為

N / m^{2}

）。已知聲壓

x

與聲音大小

y

的關係式為

y = 10 \times lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2}

且目前噪音管制法規範某類工廠的日間聲音不得超過

80

分貝。若某工廠運作時測得的聲音剛好為

80

分貝，則該工廠的聲壓為多少

N / m^{2}

？____

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(3)

第 4 題(4)

第 5 題(5)（(1) 的敘述也成立，但只有 (5) 把範圍寫完整；見詳解）

第 6 題(2)(3)(4)

第 7 題(1)(4)

第 8 題(3)(5)

第 9 題(2)(4)(5)

第 10 題(1)(4)

第 11 題

3

第 12 題

\frac{1}{3}

第 13 題

2 < x < 3

第 14 題

- 1 \leq x \leq 2

第 15 題

1

第 16 題

5

第 17 題

\frac{5}{2}

第 18 題

\frac{2 + a}{1 + a + b}

第 19 題

5

第 20 題

22

或

4

第 21 題

a < b < d < c

第 22 題

1 < x < 7

第 23 題

\frac{1}{8} < x < 1

第 24 題

(20, 1)

第 25 題

12

第 26 題

0.2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選題（第 1～5 題）：指數的大小、圖形、人口模型、估算、對數圖形

第 1 題五個數的底數都是

0.8

，而

0 < 0.8 < 1

，所以

y = (0.8)^{x}

是遞減函數：指數越大，值越小。比較五個指數：

5 \approx 2.236

、

3 \approx 1.732

，所以

- 5 < - 2 < - 3 < - 1.5 < - 0.5

，最大的指數是

- 0.5

，

(0.8)^{- 0.5}

最小。選 (5)。

第 2 題

\frac{3}{5}

介於

0

與

1

之間，

y = (\frac{3}{5})^{x}

遞減、以

x

軸（

y = 0

）為漸近線、過

(0, 1)

。加

1

是整個圖形往上平移

1

：仍然遞減，漸近線變成

y = 1

，與

y

軸交在

(0, 2)

。(1)(3) 遞增，不合；(2) 漸近線是

x

軸、過

(0, 1)

，是

y = (\frac{3}{5})^{x}

沒有往上移；(5) 不是指數函數的圖形。選 (4)。

第 3 題設每年人口變為前一年的

r

倍。

1987

年到

1999

年經過

12

年，

50 r^{12} = 60

，所以

r^{12} = 1.2

。

1999

年到

2023

年經過

24

年，

2023

年人口為

60 r^{24} = 60 (r^{12})^{2} = 60 \times 1. 2^{2} = 60 \times 1.44 = 86.4

億，最接近

86

億。選 (3)。

2023

年仍在

1980

年起的

50

年內，增長率固定的假設適用。

第 4 題

x = 1 0^{2.7} = 1 0^{2} \times 1 0^{0.7}

。由參考數據

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 \approx 0.6990

，所以

1 0^{0.7}

非常接近

5

，

x \approx 500

。再比較鄰近的選項：

lo g 4 = 2 lo g 2 \approx 0.6020

、

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781

，

0.7

與

0.6990

最接近。選 (4)。

更精確地說

1 0^{2.7} \approx 501.2

。

第 5 題由圖，曲線往右一路下降，所以

y = lo g_{b} x

是遞減函數，底數

0 < b < 1

。

y = a + lo g_{b} x

在

x = 1

時

y = a + 0 = a

；圖上曲線在

x

小於

1

的地方就已穿過

x

軸，到

x = 1

時在

x

軸下方，所以

a < 0

。由圖可以確定的是

a < 0

且

0 < b < 1

，選 (5)。

嚴格來說 (1)「

a < 0

，

b < 1

」也是對的敘述：

0 < b < 1

時當然

b < 1

。但 (1) 沒有寫出

b > 0

（底數必須是正數且不為

1

），把圖形決定的範圍完整寫出的只有 (5)，學校公布的答案是 (5)。

同底比大小看底數是大於

1

還是小於

1

；指數或對數函數加上常數是上下平移，漸近線跟著移；對數函數

y = a + lo g_{b} x

最好用的特徵點是

x = 1

，那裡的高度就是

a

。

02多選題（第 6～10 題）：指數比大小、對數求值、常用對數、對數圖形

第 6 題

(1) 錯誤。 $2^{- 0.5} = \frac{1}{2}$ ， $3^{- 0.5} = \frac{1}{3}$ ，分母 $2 < 3$ ，所以 $2^{- 0.5} > 3^{- 0.5}$ 。

(2) 正確。 $(0.2)^{- 1.3} = 5^{1.3}$ ， $(0.3)^{- 1.3} = (\frac{10}{3})^{1.3}$ 。兩數相除得 $(5 \times \frac{3}{10})^{1.3} = 1. 5^{1.3}$ ，底數大於 $1$ 、指數為正， $1. 5^{1.3} > 1. 5^{0} = 1$ ，所以 $(0.2)^{- 1.3} > (0.3)^{- 1.3}$ 。

(3) 正確。 $(\frac{1}{3})^{x} = 3^{- x}$ ，點 $(x, y)$ 在 $y = 3^{x}$ 上時， $(- x, y)$ 在 $y = 3^{- x}$ 上，兩圖形對稱於 $y$ 軸。

(4) 正確。 任何正數 $a$ 都有 $a^{0} = 1$ （ $a = 1$ 時 $y = 1$ 也過 $(0, 1)$ ）。

(5) 錯誤。 對所有實數 $x$ ， $2^{x} > 0$ ，不會等於 $0$ ，沒有實數解。

選 (2)(3)(4)。

第 7 題

(1) 正確。 由定義 $x^{\frac{3}{2}} = 1010 = 1 0^{\frac{3}{2}}$ ，且 $x > 0$ 、 $x \neq = 1$ ，兩邊同取 $\frac{2}{3}$ 次方得 $x = 10 > 1$ 。

(2) 錯誤。 $(\frac{1}{2})^{- 5} = 32$ ，所以 $x = lo g_{\frac{1}{2}} 32 = - 5$ 。

(3) 錯誤。 $3100 = 1 0^{\frac{2}{3}}$ ， $x = \frac{2}{3} < 1$ 。

(4) 正確。 $x = (\frac{1}{2})^{- 2} = 4 > 1$ 。

(5) 錯誤。 $(\frac{1}{2})^{x} = 2 = (\frac{1}{2})^{- 1}$ ， $x = - 1$ 。

選 (1)(4)。

第 8 題

由定義 $a = 1 0^{1.1}$ 、 $b = 1 0^{2.2}$ 、 $c = 1 0^{3.3}$ ，三數都是正數。

(1) 錯誤。 $2 b = 2 \times 1 0^{2.2}$ ，而 $2 = 1 0^{l o g 2} \approx 1 0^{0.3010} < 1 0^{1.1}$ ，所以 $2 b < 1 0^{1.1} \times 1 0^{2.2} = 1 0^{3.3} = c < a + c$ ， $a + c \neq = 2 b$ 。

(2) 錯誤。 $lo g a = 1.1 > 1 = lo g 10$ ，所以 $a > 10$ 。

(3) 正確。 $3 < 3.3 < 3 + 0.3010$ ，所以 $1 0^{3} < c < 1 0^{3} \times 1 0^{0.3010} \approx 1000 \times 2$ ，即 $1000 < c < 2000$ 。

(4) 錯誤。 $lo g \frac{b}{a} = 2.2 - 1.1 = 1.1$ ， $\frac{b}{a} = 1 0^{1.1} > 10$ ，不是 $2$ 。

(5) 正確。 $b^{2} = 1 0^{4.4} = 1 0^{1.1} \times 1 0^{3.3} = a c$ ，且 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都不為 $0$ ，所以 $a, b, c$ 成等比數列（公比 $1 0^{1.1}$ ）。

選 (3)(5)。

第 9 題

看 $y = 1$ 這條水平線： $lo g_{a} x = 1$ 時 $x = a$ ， $lo g_{b} x = 1$ 時 $x = b$ 。由圖，兩條遞增的曲線中 $y = lo g_{a} x$ 在上方、先升到高度 $1$ ，所以 $1 < a < b$ 。

$y = lo g_{d} x$ 與 $y = lo g_{a} x$ 對稱於 $x$ 軸，所以 $lo g_{d} x = - lo g_{a} x = lo g_{\frac{1}{a}} x$ 對所有 $x > 0$ 成立， $d = \frac{1}{a}$ ；同理 $c = \frac{1}{b}$ 。由 $1 < a < b$ 得 $0 < \frac{1}{b} < \frac{1}{a} < 1$ ，即 $c < d < 1$ 。所以 $b > a > 1 > d > c$ 。

(1) 錯誤。 $a < b$ 。

(2) 正確。 $b > a > d > c$ 。

(3) 錯誤。 $c < d$ 。

(4) 正確。 $a d = a \times \frac{1}{a} = 1$ 。

(5) 正確。 $ab c d = (a d) (b c) = 1 \times 1 = 1$ 。

選 (2)(4)(5)。

也可以用換底比較：

x > 1

時

lo g_{a} x = \frac{lo g x}{lo g a} > \frac{lo g x}{lo g b} = lo g_{b} x > 0

，分子相同且為正，所以

lo g a < lo g b

，

a < b

。

第 10 題

$y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 是同一個底數： $a > 1$ 時兩者都遞增， $0 < a < 1$ 時兩者都遞減；而且 $a^{x} > 0$ ，指數曲線一定在 $x$ 軸上方，對數曲線過 $(1, 0)$ 。

(1) 正確。 兩條都遞增，指數曲線在 $x$ 軸上方，可以是 $a > 1$ （例如 $a = 2$ ）。

(2) 錯誤。 指數曲線遞減、對數曲線遞增，底數不可能同時小於 $1$ 又大於 $1$ 。

(3) 錯誤。 指數曲線遞增、對數曲線遞減，同樣矛盾。

(4) 正確。 兩條都遞減，指數曲線在 $x$ 軸上方，可以是 $0 < a < 1$ （例如 $a = \frac{1}{2}$ ）。

(5) 錯誤。 有一條曲線在 $x$ 軸下方，但 $a^{x}$ 恆為正，不可能是 $y = a^{x}$ 。

選 (1)(4)。

點

(p, q)

在

y = a^{x}

上時，

(q, p)

在

y = lo g_{a} x

上，兩圖形對稱於直線

y = x

，所以兩條曲線的增減一定相同。

比較兩個指數，先化成同底或同指數；判斷對數圖形的底數，看

y = 1

時

x

是多少最直接；底數互為倒數的兩個對數函數圖形對稱於

x

軸。

03填充第 1～4 題（第 11～14 題）：指數方程式與不等式

第 11 題令

t = 2^{x}

，則

2^{x + 1} = 2 t

、

2^{x - 1} = \frac{t}{2}

、

2^{x - 2} = \frac{t}{4}

。原式：

2 t - 6 \times \frac{t}{2} + 10 \times \frac{t}{4} = 2 t - 3 t + \frac{5}{2} t = \frac{3}{2} t = 12

，

t = 8

，即

2^{x} = 8 = 2^{3}

，

x = 3

。

第 12 題由

2^{x} = 216

得

2 = 21 6^{\frac{1}{x}}

；由

3^{y} = 216

得

3 = 21 6^{\frac{1}{y}}

（

x

、

y

都不為

0

）。兩式相乘：

6 = 21 6^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}

。而

216 = 6^{3}

，所以

6 = 6^{3 (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})}

，

3 (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1

，

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}

。

也可以寫成

x = lo g_{2} 216

、

y = lo g_{3} 216

，用換底得

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = lo g_{216} 2 + lo g_{216} 3 = lo g_{216} 6 = \frac{1}{3}

。

第 13 題

$6.25 = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^{2} = (\frac{2}{5})^{- 2} = (0.4)^{- 2}$ ，所以 $(6.25)^{2} = (0.4)^{- 4}$ 。

不等式變成 $(0.4)^{x^{2} - 5 x + 2} > (0.4)^{- 4}$ 。底數 $0.4$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = (0.4)^{x}$ 遞減，不等號要反向： $x^{2} - 5 x + 2 < - 4$ ，即 $x^{2} - 5 x + 6 < 0$ ， $(x - 2) (x - 3) < 0$ ，所以 $2 < x < 3$ 。

第 14 題令

t = 2^{x}

（

t > 0

），

4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}

。不等式變成

2 t^{2} - 9 t + 4 \leq 0

，

(2 t - 1) (t - 4) \leq 0

，

\frac{1}{2} \leq t \leq 4

。即

2^{- 1} \leq 2^{x} \leq 2^{2}

，底數

2 > 1

，

y = 2^{x}

遞增，所以

- 1 \leq x \leq 2

。

同一題裡出現

2^{x}

、

4^{x}

、

2^{x \pm k}

，就令

t = 2^{x}

化成多項式；指數不等式化成同底後，底數小於

1

時不等號反向。

04填充第 5～6 題（第 15～18 題）：對數律與換底

第 15 題

同底的對數相加減就是真數相乘除：

$lo g_{10} (\frac{25}{9} \div 5 \times \frac{27}{35} \div \frac{3}{70}) = lo g_{10} (\frac{25}{9} \times \frac{1}{5} \times \frac{27}{35} \times \frac{70}{3})$

括號內 $= \frac{25 \times 27 \times 70}{9 \times 5 \times 35 \times 3} = \frac{47250}{4725} = 10$ ，所以原式 $= lo g_{10} 10 = 1$ 。

第 16 題

lo g_{16} 81 = lo g_{2^{4}} 3^{4} = lo g_{2} 3

，所以第一個括號

= 2 lo g_{2} 3

。

lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2

，

lo g_{9} 2 = lo g_{3^{2}} 2 = \frac{1}{2} lo g_{3} 2

，第二個括號

= \frac{5}{2} lo g_{3} 2

。相乘：

2 lo g_{2} 3 \times \frac{5}{2} lo g_{3} 2 = 5 \times (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2) = 5 \times 1 = 5

。

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 3} = 1

（換底）。

第 17 題

3 lo g_{2} 2 = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

；

lo g_{2} \frac{3}{2} = lo g_{2} 3 - lo g_{2} 2 = \frac{1}{2} lo g_{2} 3 - 1

。原式

= \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} lo g_{2} 3 - 1) + \frac{1}{2} lo g_{2} 3 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}

。

第 18 題換成以

3

為底：

lo g_{66} 18 = \frac{lo g _{3} 18}{lo g _{3} 66}

。

18 = 2 \times 3^{2}

，

lo g_{3} 18 = lo g_{3} 2 + 2 = a + 2

；

66 = 2 \times 3 \times 11

，

lo g_{3} 66 = lo g_{3} 2 + 1 + lo g_{3} 11 = a + 1 + b

。所以

lo g_{66} 18 = \frac{2 + a}{1 + a + b}

。

對數化簡先把底數與真數都寫成質數的次方，

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

；用已知對數表示別的對數，就換成已知的那個底，再把真數做質因數分解。

05填充第 7～11 題（第 19～23 題）：對數方程式、比較大小、對數不等式

第 19 題

真數條件： $x + 3 > 0$ 且 $x - 1 > 0$ ，所以 $x > 1$ 。

$2 lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) = lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1)^{2}$ ，原式變成 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{x + 3}{( x - 1 ) ^{2}} = 1$ ，所以 $\frac{x + 3}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{2}$ ， $2 x + 6 = x^{2} - 2 x + 1$ ， $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ ， $(x - 5) (x + 1) = 0$ ， $x = 5$ 或 $x = - 1$ 。 $x = - 1$ 不滿足 $x > 1$ ，捨去。解為 $x = 5$ 。

驗算：

lo g_{\frac{1}{2}} 8 - 2 lo g_{\frac{1}{2}} 4 = - 3 - 2 \times (- 2) = 1

。

第 20 題真數與底數條件：

x > 0

且

x \neq = 1

。令

t = lo g_{2} x

（

t \neq = 0

），由換底

lo g_{x} 2 = \frac{1}{t}

。原式：

2 t + \frac{6}{t} - 7 = 0

，兩邊乘

t

：

2 t^{2} - 7 t + 6 = 0

，

(2 t - 3) (t - 2) = 0

，

t = \frac{3}{2}

或

t = 2

。所以

x = 2^{\frac{3}{2}} = 22

或

x = 2^{2} = 4

，都符合條件。

第 21 題

換底把底數改成大於 $1$ 的： $lo g_{\frac{1}{4}} N = \frac{lo g N}{lo g \frac{1}{4}} = - lo g_{4} N$ ，同理 $lo g_{\frac{1}{5}} N = - lo g_{5} N$ 。

$a = - lo g_{4} 5$ ， $b = - lo g_{5} 4$ ， $c = - lo g_{4} \frac{1}{5} = lo g_{4} 5$ ， $d = - lo g_{5} \frac{1}{4} = lo g_{5} 4$ 。

因為 $5 > 4$ ， $lo g_{4} 5 > lo g_{4} 4 = 1$ ；因為 $1 < 4 < 5$ ， $0 < lo g_{5} 4 < 1$ 。所以 $c > 1 > d > 0 > b > - 1 > a$ ，即 $a < b < d < c$ 。

第 22 題

真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $x + 2 > 0$ ，所以 $x > 1$ 。

把兩邊都換成以 $4$ 為底： $x > 1$ 時 $lo g_{2} (x - 1) = lo g_{4} (x - 1)^{2}$ ， $1 = lo g_{4} 4$ ，不等式變成 $lo g_{4} (x - 1)^{2} < lo g_{4} [4 (x + 2)]$ 。底數 $4 > 1$ ，真數的大小方向不變： $(x - 1)^{2} < 4 x + 8$ ， $x^{2} - 6 x - 7 < 0$ ， $(x - 7) (x + 1) < 0$ ， $- 1 < x < 7$ 。與 $x > 1$ 取交集，解為 $1 < x < 7$ 。

第 23 題

外層： $lo g_{3} t < 1 = lo g_{3} 3$ ，真數 $t > 0$ ，底數 $3 > 1$ ，所以 $0 < t < 3$ 。這裡 $t = lo g_{\frac{1}{2}} x$ ，得 $0 < lo g_{\frac{1}{2}} x < 3$ （同時要 $x > 0$ ）。

內層： $lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的底數 $\frac{1}{2}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，函數遞減，不等號反向： $(\frac{1}{2})^{0} > x > (\frac{1}{2})^{3}$ ，即 $\frac{1}{8} < x < 1$ 。

對數方程式與不等式第一步先寫真數（和底數）的條件，最後再取交集；底數小於

1

時，去掉

lo g

不等號要反向；兩層對數要一層一層拆，外層的真數條件就是內層的不等式。

06填充第 12～14 題（第 24～26 題）：位數、首位數字、個數、分貝

第 24 題

$lo g 3^{40} = 40 lo g 3 \approx 40 \times 0.4771 = 19.084$ ，所以 $3^{40} = 1 0^{19} \times 1 0^{0.084}$ ， $1 \leq 1 0^{0.084} < 10$ ， $3^{40}$ 是 $19 + 1 = 20$ 位數， $N = 20$ 。

首位數字看 $1 0^{0.084}$ ： $lo g 1 = 0 < 0.084 < 0.3010 \approx lo g 2$ ，所以 $1 < 1 0^{0.084} < 2$ ，首位數字 $β = 1$ 。 $(N, β) = (20, 1)$ 。

第 25 題三邊取常用對數（

lo g

遞增，不等號方向不變）：

40 \leq n lo g 7 \leq 50

，

\frac{40}{0.8451} \leq n \leq \frac{50}{0.8451}

，約為

47.33 \leq n \leq 59.16

。正整數

n = 48, 49, \dots, 59

，共

59 - 48 + 1 = 12

個。

驗邊界：

48 \times 0.8451 = 40.5648 \geq 40

，

47 \times 0.8451 = 39.7197 < 40

；

59 \times 0.8451 = 49.8609 \leq 50

，

60 \times 0.8451 = 50.706 > 50

。

第 26 題

y = 80

代入：

80 = 10 lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2} = 20 lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}}

（聲壓

x > 0

），所以

lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 4

，

\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 1 0^{4}

，

x = 2 \times 1 0^{- 5} \times 1 0^{4} = 2 \times 1 0^{- 1} = 0.2

。聲壓為

0.2 N / m^{2}

。

正數

N

的位數與首位數字都由

lo g N

決定：整數部分加

1

是位數，小數部分夾在哪兩個

lo g k

之間就決定首位數字。

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03填充第 1～4 題（第 11～14 題）：指數方程式與不等式

04填充第 5～6 題（第 15～18 題）：對數律與換底

05填充第 7～11 題（第 19～23 題）：對數方程式、比較大小、對數不等式

06填充第 12～14 題（第 24～26 題）：位數、首位數字、個數、分貝

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高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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