段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、換底、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

臺南二中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

單選題 4 題（16 分）、多選題 3 題（15 分）、填充題 17 格（69 分，依答對格數計分：答對 1 到 17 格依序得 6、12、17、22、27、32、36、40、44、48、52、55、58、61、64、67、69 分）。原卷各大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 1～4 題是單選 1～4，第 5～7 題是多選 1～3，第 8～24 題是填充 1～17。答案已與學校公布的答案逐題核對，有 2 題不同：第 7 題卷面漏印底數，本頁照學校的答案並在詳解寫明兩種看法；第 17 題學校答案與題目算出的不同，本頁寫本站計算的答案。

一、單選題：（每題4分，共16分）

下圖為某指數函數之部分圖形，

0 < a < 1

，

b

為常數，試問下列何者為其方程式？

(A) $y = a^{x + b}$ ， $b < 0$
(B) $y = a^{x + b}$ ， $b > 0$
(C) $y = a^{x} + b$ ， $b < 0$
(D) $y = a^{x} + b$ ， $b > 0$

載入中...

下列各函數圖形中，與直線

x = \frac{1}{3}

的交點在最下方的是哪一個函數?

(A) $y = 2^{x}$
(B) $y = 3^{x}$
(C) $y = 3^{- x}$
(D) $y = lo g_{3} x$
(E) $y = lo g_{2} x$

下列哪一個選項的值最大？

(A) $lo g_{2} 3$
(B) $lo g_{4} 6$
(C) $lo g_{8} 12$
(D) $lo g_{16} 24$
(E) $lo g_{32} 48$

下列哪一個選項的值最大？【參考數據：

lo g 1.12 \approx 0.0492

、

lo g 1.06 \approx 0.0253

、

lo g 1.04 \approx 0.0170

、

lo g 1.03 \approx 0.0128

、

lo g 1.02 \approx 0.0086

】

(A) $(1 + 12%)^{10}$
(B) $(1 + 6%)^{20}$
(C) $(1 + 4%)^{30}$
(D) $(1 + 3%)^{40}$
(E) $(1 + 2%)^{60}$

二、多選題：（每題5分，共15分。）（說明：每題答案完全正確得5分，恰錯一個選項得3分，恰錯兩個選項得1分，錯三個選項以上或未作答得0分。）

關於下列對數的運算性質，請選出正確的選項。

(A) $lo g 2 + lo g 5 = lo g (2 + 5)$
(B) $lo g_{2} 3 = \frac{1}{2} lo g_{2} 3$
(C) $lo g_{2} 3 = lo g (\frac{3}{2})$
(D) $2^{2 l o g_{2} 3} = 9$
(E) $lo g_{2} 3 = - lo g_{2} \frac{1}{3}$

下圖為函數

y = a^{x}

的部分圖形，試選出正確的選項。

(A) $0 < a < 1$
(B) 若 $(\frac{1}{3}, k)$ 為函數 $y = a^{x}$ 圖形上一點，則 $0 < k < 1$
(C) 若 $(h, \frac{1}{a})$ 為函數 $y = a^{x}$ 圖形上一點，則 $h > 0$
(D) $a + a^{3} < 2 a^{2}$
(E) $y = a^{x}$ 的圖形會與 x 軸相交

載入中...

下列關於指數函數

y = 2^{x}

與對數函數

y = lo g_{2} x

的敘述哪些是正確的？

(A) $y = lo g_{2} (x + 2)$ 的圖形是 $y = lo g_{2} x$ 的圖形向右平移兩單位後得到的
(B) $y = 2^{x + 2}$ 與 $y = lo g (x + 2)$ 的圖形對稱直線 $x - y + 2 = 0$
(C) $y = lo g_{2} x$ 和 $y = lo g_{4} x^{2}$ 的圖形重合
(D) $\frac{lo g _{2} 20 + lo g _{2} 40}{2} < lo g_{2} 30$
(E) 方程式 $(\frac{1}{2})^{x} = - lo g_{2} x$ 的唯一實根 $α$ 滿足 $0 < α < 1$

三、填充題：（共69分，依答案卷上配分表計算得分。）

1. 方程式

(1010)^{4 x - 2} = (\frac{1}{100})^{- x + 1}

之解為 ____。

2. 方程式

3 \times 3^{2 x} + 26 \times 3^{x} - 3^{2} = 0

之解為 ____。

3. 不等式

4 \times (\frac{1}{3})^{x} - (\frac{1}{9})^{x} - 3 < 0

之解為 ____。

4. 若

0 \leq x \leq 3

，則

(\frac{1}{3})^{- x^{2} + 2 x}

最小值為 ____。

5. 放射性物質重量變為原來的一半所需經過的時間，稱為該物質的半衰期。今有一放射性物質，在

1

年後剩下

256

公克，而

81

年後剩下

16

公克，則此放射性物質的半衰期為 ____ 年？

6. 在坐標平面上，水平線

y = k

與

y = 2^{x}

，

y = 2^{x + 2}

的圖形分別交於

A

，

B

兩點。過

A

點的鉛直線交

y = 2^{x + 2}

的圖形於

D

點，過

B

點的鉛直線交

y = 2^{x}

的圖形於

C

點。如下圖所示。若四邊形

A D B C

的面積為

30

，則

k =

____。

載入中...

7. 計算

lo g_{10} 13 + \frac{1}{2} lo g_{10} 25 + lo g_{10} \frac{4}{7} - lo g_{10} \frac{13}{35} =

____（請化至最簡）。

8. 計算

(lo g_{2} 3 + lo g_{2} 3) (lo g_{3} 4 + lo g_{9} 2) =

____（請化至最簡）。

(lo g_{2} 3) \cdot (lo g_{3} 4) \cdot (lo g_{4} 5) \cdot (lo g_{5} 6) \cdot (lo g_{6} 7) \cdot (lo g_{7} 8) =

____（請化至最簡）。

10. 不等式

lo g_{3} (lo g_{\frac{1}{2}} x) < 2

之解為 ____。

11. 已知

a, b, c > 1

且

x > 0

，若

lo g_{a} x = 4

，

lo g_{b} x = 6

，

lo g_{c} x = 9

，則

lo g_{ab c} x =

____。

12. 比較

a = lo g_{3} 5

、

b = lo g_{5} 3

、

c = lo g_{\frac{1}{3}} 5

、

d = lo g_{5} \frac{1}{3}

的大小關係為 ____

13. 若

lo g_{2} (x - 6) - lo g_{4} (x + 2) = 1

，則

x =

____

14. 若

lo g_{2} \frac{3}{2} + lo g_{2} \frac{4}{3} + \dots + lo g_{2} (\frac{n + 1}{n}) = 9

，則

n =

____

15. 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特

(W / m^{2})

來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12} (W / m^{2})

；當測得的聲音強度為

I (W / m^{2})

時，所產生的噪音分貝數

d

為

d (I) = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

，若一個人正常說話的聲音約為

60

分貝，則全班

50

位同學同時說話時，所產生的噪音分貝數約為 ____ 分貝。(四捨五入至整數)　

(lo g 2 \approx 0.3010)

16. 小桃將

200

萬元存入銀行，銀行的年利率為

2%

，每年複利一次。設經過

n

年後的本利和會超過

500

萬元，則

n

的最小正整數值為 ____。【參考數據：

lo g 1.02 \approx 0.0086

、

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 5 \approx 0.6990

】

17. 小明於

114

年

1

月

1

日起“每年年初”將

1000000

元存入銀行，年利率

10%

，每年複利計算一次則存滿七年後（

121

年

1

月

1

日）可領回本利和多少元? ____（無條件進位取至千元） (注意:

121

年

1

月

1

日當日並未再存錢) ( 參考數據：

1. 1^{6} = 1.771561

，

1. 1^{7} = 1.9487171

，

1. 1^{8} = 2.1435881

) ( 參考公式：

a + a r + + a r^{2} + \dots + a r^{n - 1} = \frac{a \cdot ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}

，)（卷面公式印作「

a r + + a r^{2}

」，多了一個加號）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(E)

第 3 題(A)

第 4 題(E)

第 5 題(D)(E)

第 6 題(A)(B)

第 7 題(B)(D)(E)（照學校公布的答案：(B) 卷面的 log 漏印底數 2；若照字面以 10 為底，(B) 不成立，答案為 (D)(E)，見詳解）

第 8 題

\frac{1}{4}

第 9 題

- 1

第 10 題

x < - 1

或

x > 0

第 11 題

\frac{1}{3}

第 12 題

20

第 13 題

8

第 14 題

4

第 15 題

\frac{15}{2}

第 16 題

3

第 17 題

\frac{1}{512} < x < 1

（學校公布的答案為

\frac{1}{256} < x < 1

，與題目算出的不同，見詳解）

第 18 題

\frac{36}{19}

第 19 題

a > b > d > c

第 20 題

14

第 21 題

1023

第 22 題

77

第 23 題

47

第 24 題

10436000

元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～4 題）：圖形平移、同一個 x 的高低、對數比大小、複利比大小

第 1 題

由圖，曲線往右一路下降、越來越貼近 $x$ 軸，與 $y$ 軸交在 $1$ 的上方。

(A)(B) $y = a^{x + b} = a^{b} \cdot a^{x}$ ：漸近線是 $x$ 軸， $y$ 截距是 $a^{b}$ 。要 $a^{b} > 1$ ，而 $0 < a < 1$ 時 $y = a^{x}$ 遞減， $a^{b} > 1 = a^{0}$ 表示 $b < 0$ 。所以 (A) 符合、(B) 不符合。

(C)(D) $y = a^{x} + b$ ：是 $y = a^{x}$ 上下平移 $b$ ，漸近線變成 $y = b$ ， $y$ 截距是 $1 + b$ 。(C) 的 $b < 0$ 讓截距小於 $1$ ，不符合；(D) 的 $b > 0$ 雖然截距大於 $1$ ，但圖形永遠在 $y = b$ 上方、不會往下貼近 $x$ 軸，與圖不符。

選 (A)。

判斷時看兩件事：漸近線在哪裡（是不是

x

軸）、與

y

軸交在哪裡（比

1

大還是小）。

第 2 題

把 $x = \frac{1}{3}$ 代入各函數： $2^{\frac{1}{3}} > 1$ 、 $3^{\frac{1}{3}} > 1$ 、 $3^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3 3}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間； $lo g_{3} \frac{1}{3} = - 1$ ， $lo g_{2} \frac{1}{3} = - lo g_{2} 3$ 。

因為 $3 > 2$ ， $lo g_{2} 3 > lo g_{2} 2 = 1$ ，所以 $lo g_{2} \frac{1}{3} = - lo g_{2} 3 < - 1$ 。五個值中 $lo g_{2} \frac{1}{3}$ 最小，交點在最下方的是 $y = lo g_{2} x$ 。選 (E)。

lo g_{2} \frac{1}{3} \approx - 1.585

。

第 3 題

五個選項都可以寫成 $lo g_{2^{k}} (3 \cdot 2^{k - 1})$ ， $k = 1, 2, 3, 4, 5$ 。由 $lo g_{a^{m}} b = \frac{1}{m} lo g_{a} b$ ：

$lo g_{2^{k}} (3 \cdot 2^{k - 1}) = \frac{1}{k} (lo g_{2} 3 + k - 1) = 1 + \frac{lo g _{2} 3 - 1}{k}$

因為 $lo g_{2} 3 > 1$ ，分子 $lo g_{2} 3 - 1$ 是正數， $k$ 越小值越大，所以 $k = 1$ 的 $lo g_{2} 3$ 最大。選 (A)。

第 4 題

五個數都是正數，比較常用對數即可（ $lo g$ 遞增）：

(A) $10 lo g 1.12 \approx 0.492$ ；(B) $20 lo g 1.06 \approx 0.506$ ；(C) $30 lo g 1.04 \approx 0.510$ ；(D) $40 lo g 1.03 \approx 0.512$ ；(E) $60 lo g 1.02 \approx 0.516$ 。

(E) 的對數最大，所以 $(1 + 2%)^{60}$ 最大。選 (E)。

指數函數加在指數上是左右平移、加在外面是上下平移，漸近線跟著移；比較好幾個次方數的大小，先取常用對數變成乘法再比。

02多選題（第 5～7 題）：對數律、由圖判斷底數、指數與對數圖形

第 5 題

(A) 錯誤。 $lo g 2 + lo g 5 = lo g (2 \times 5) = lo g 10 = 1$ ，而 $lo g (2 + 5) = lo g 7 \neq = 1$ 。

(B) 錯誤。 $lo g_{2} 3 = lo g_{2^{\frac{1}{2}}} 3 = 2 lo g_{2} 3$ ，不是 $\frac{1}{2} lo g_{2} 3$ 。

(C) 錯誤。 $lo g_{2} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 2}$ 是兩個對數相除； $lo g \frac{3}{2} = lo g 3 - lo g 2$ 是相減，兩者不相等（前者大於 $1$ ，後者小於 $1$ ）。

(D) 正確。 $2^{2 l o g_{2} 3} = (2^{l o g_{2} 3})^{2} = 3^{2} = 9$ 。

(E) 正確。 $- lo g_{2} \frac{1}{3} = - lo g_{2} 3^{- 1} = lo g_{2} 3$ 。

選 (D)(E)。

第 6 題

(A) 正確。 圖形往右下降， $y = a^{x}$ 遞減，所以 $0 < a < 1$ 。

(B) 正確。 $k = a^{\frac{1}{3}}$ 。 $0 < a < 1$ 時 $y = a^{x}$ 遞減， $\frac{1}{3} > 0$ ，所以 $a^{\frac{1}{3}} < a^{0} = 1$ ；又 $a^{\frac{1}{3}} > 0$ ，得 $0 < k < 1$ 。

(D) 錯誤。 $a + a^{3} - 2 a^{2} = a (1 - 2 a + a^{2}) = a (1 - a)^{2}$ ， $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ，所以 $a (1 - a)^{2} > 0$ ，即 $a + a^{3} > 2 a^{2}$ 。

(E) 錯誤。 對所有實數 $x$ ， $a^{x} > 0$ ，圖形恆在 $x$ 軸上方，不會與 $x$ 軸相交。

選 (A)(B)。

第 7 題

(A) 錯誤。 $y = lo g_{2} (x + 2)$ 是把 $y = lo g_{2} x$ 的圖形向左平移兩單位（ $x$ 換成 $x + 2$ ）。

(B) 照卷面印的字是錯誤；學校公布的答案算作正確。 直線 $x - y + 2 = 0$ 就是 $y = x + 2$ 。點 $(p, q)$ 對這條直線的對稱點是 $(q - 2, p + 2)$ 。若 $q = 2^{p + 2}$ ，對稱點 $(X, Y) = (2^{p + 2} - 2, p + 2)$ 滿足 $X + 2 = 2^{Y}$ ，即 $Y = lo g_{2} (X + 2)$ 。所以與 $y = 2^{x + 2}$ 對稱於這條直線的是 $y = lo g_{2} (x + 2)$ 。

卷面印的是 $y = lo g (x + 2)$ ，沒有寫底數，照慣例是以 $10$ 為底，那就不對稱：例如 $y = 2^{x + 2}$ 上的點 $(0, 4)$ ，對稱點是 $(2, 2)$ ，但 $lo g (2 + 2) = lo g 4 \approx 0.602 \neq = 2$ 。學校公布的答案含 (B)，是把它當成 $y = lo g_{2} (x + 2)$ 。

(C) 錯誤。 $y = lo g_{4} x^{2}$ 的定義域是 $x \neq = 0$ ，包含負數（例如 $x = - 2$ 時 $y = lo g_{4} 4 = 1$ ），而 $y = lo g_{2} x$ 只有 $x > 0$ 。 $x > 0$ 時兩者相同，但整個圖形不重合。

(D) 正確。 $\frac{lo g _{2} 20 + lo g _{2} 40}{2} = \frac{1}{2} lo g_{2} 800 = lo g_{2} 800$ ，而 $800 < 900 = 30$ ，底數 $2 > 1$ ，所以 $lo g_{2} 800 < lo g_{2} 30$ 。

(E) 正確。 方程式要 $x > 0$ 。 $x \geq 1$ 時左邊 $(\frac{1}{2})^{x} > 0$ ，右邊 $- lo g_{2} x \leq 0$ ，不會相等，所以實根只能在 $0 < x < 1$ 。再看 $x = \frac{1}{2}$ 時左邊 $\frac{1}{2} < 1$ 、右邊 $1$ ，左邊較小； $x = 1$ 時左邊 $\frac{1}{2}$ 、右邊 $0$ ，左邊較大，兩條曲線在 $\frac{1}{2}$ 與 $1$ 之間交會，唯一實根 $α$ 滿足 $0 < α < 1$ 。

依學校公布的答案選 (B)(D)(E)；若照卷面印的 $lo g (x + 2)$ 以 $10$ 為底，(B) 不成立，答案是 (D)(E)。

(E) 也可以看成

(\frac{1}{2})^{x} = lo g_{\frac{1}{2}} x

，兩邊是互為反函數、對稱於

y = x

的兩條遞減曲線。

對數律只有「乘變加、除變減、次方變係數」，沒有

lo g (a + b)

拆開的公式；圖形對稱於直線

y = x + c

，用「對稱點」把兩個坐標互換再平移來檢查。

03填充第 1～6 題（第 8～13 題）：指數方程式、不等式、最小值、半衰期、圖形面積

第 8 題

都化成以 $10$ 為底： $1010 = 1 0^{\frac{3}{2}}$ ，左邊 $= 1 0^{\frac{3}{2} (4 x - 2)} = 1 0^{6 x - 3}$ ； $\frac{1}{100} = 1 0^{- 2}$ ，右邊 $= 1 0^{- 2 (- x + 1)} = 1 0^{2 x - 2}$ 。

指數相等： $6 x - 3 = 2 x - 2$ ， $x = \frac{1}{4}$ 。

第 9 題令

t = 3^{x}

（

t > 0

），

3^{2 x} = t^{2}

。方程式變成

3 t^{2} + 26 t - 9 = 0

，

(3 t - 1) (t + 9) = 0

，

t = \frac{1}{3}

或

t = - 9

（不合，

t > 0

）。

3^{x} = \frac{1}{3} = 3^{- 1}

，

x = - 1

。

第 10 題

令 $t = (\frac{1}{3})^{x}$ （ $t > 0$ ）， $(\frac{1}{9})^{x} = t^{2}$ 。不等式變成 $4 t - t^{2} - 3 < 0$ ，即 $t^{2} - 4 t + 3 > 0$ ， $(t - 1) (t - 3) > 0$ ， $t < 1$ 或 $t > 3$ 。

底數 $\frac{1}{3}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 遞減，換回 $x$ 時不等號反向：

$(\frac{1}{3})^{x} < 1 = (\frac{1}{3})^{0}$ 得 $x > 0$ ； $(\frac{1}{3})^{x} > 3 = (\frac{1}{3})^{- 1}$ 得 $x < - 1$ 。

解為 $x < - 1$ 或 $x > 0$ 。

第 11 題

$(\frac{1}{3})^{- x^{2} + 2 x} = 3^{x^{2} - 2 x}$ 。底數 $3 > 1$ ，指數越小值越小，所以只要求 $x^{2} - 2 x$ 在 $0 \leq x \leq 3$ 的最小值。

$x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$ ， $x = 1$ 在範圍內，最小值 $- 1$ 。所求最小值為 $3^{- 1} = \frac{1}{3}$ 。

第 12 題從第

1

年到第

81

年經過

80

年，重量從

256

公克變成

16

公克，變為

\frac{16}{256} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{4}

倍，也就是經過了

4

個半衰期。半衰期

= \frac{80}{4} = 20

年。

第 13 題

$A$ 在 $y = 2^{x}$ 上、高度 $k$ ：設 $A (p, k)$ ， $2^{p} = k$ 。 $B$ 在 $y = 2^{x + 2}$ 上、高度 $k$ ： $2^{x + 2} = k = 2^{p}$ ， $x = p - 2$ ，所以 $B (p - 2, k)$ 。

$D$ 在過 $A$ 的鉛直線 $x = p$ 上： $y = 2^{p + 2} = 4 \cdot 2^{p} = 4 k$ ， $D (p, 4 k)$ 。 $C$ 在過 $B$ 的鉛直線 $x = p - 2$ 上： $y = 2^{p - 2} = \frac{k}{4}$ ， $C (p - 2, \frac{k}{4})$ 。

四邊形 $A D B C$ 的兩邊 $A D$ 、 $B C$ 都是鉛直線段，互相平行，是梯形： $A D = 4 k - k = 3 k$ ， $B C = k - \frac{k}{4} = \frac{3 k}{4}$ ，高是兩條鉛直線的距離 $p - (p - 2) = 2$ 。

面積 $= \frac{1}{2} (3 k + \frac{3 k}{4}) \times 2 = \frac{15 k}{4} = 30$ ，所以 $k = 8$ 。

同一題出現

a^{x}

與

a^{2 x}

，令

t = a^{x}

化成二次式，記得

t > 0

；

y = 2^{x + 2}

是

y = 2^{x}

向左平移

2

，也等於把高度乘以

4

。

04填充第 7～14 題（第 14～21 題）：對數律、換底、對數不等式與方程式、比較大小

第 14 題

$\frac{1}{2} lo g_{10} 25 = lo g_{10} 5$ 。同底相加減就是真數相乘除：

$lo g_{10} (13 \times 5 \times \frac{4}{7} \times \frac{35}{13}) = lo g_{10} 100$

$100 = 1 0^{2} = (10)^{4}$ ，所以原式 $= 4$ 。

第 15 題

$lo g_{2} 3 = 2 lo g_{2} 3$ ，第一個括號 $= 3 lo g_{2} 3$ 。 $lo g_{3} 4 = 2 lo g_{3} 2$ ， $lo g_{9} 2 = \frac{1}{2} lo g_{3} 2$ ，第二個括號 $= \frac{5}{2} lo g_{3} 2$ 。

相乘： $3 lo g_{2} 3 \times \frac{5}{2} lo g_{3} 2 = \frac{15}{2} (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2) = \frac{15}{2}$ 。

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 3} = 1

（換底）。

第 16 題每一項都換成常用對數：

\frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 4}{lo g 3} \cdot \frac{lo g 5}{lo g 4} \cdot \frac{lo g 6}{lo g 5} \cdot \frac{lo g 7}{lo g 6} \cdot \frac{lo g 8}{lo g 7}

，中間全部消去，剩

\frac{lo g 8}{lo g 2} = lo g_{2} 8 = 3

。

第 17 題

外層： $lo g_{3} t < 2 = lo g_{3} 9$ ，真數 $t > 0$ ，底數 $3 > 1$ ，所以 $0 < t < 9$ 。這裡 $t = lo g_{\frac{1}{2}} x$ ，得 $0 < lo g_{\frac{1}{2}} x < 9$ （同時要 $x > 0$ ）。

內層：底數 $\frac{1}{2}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 遞減，不等號反向： $(\frac{1}{2})^{0} > x > (\frac{1}{2})^{9}$ ，即 $\frac{1}{512} < x < 1$ 。

學校答案印

\frac{1}{256} < x < 1

，本站計算為

\frac{1}{512} < x < 1

。例如

x = \frac{1}{300}

：

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{300} = lo g_{2} 300 \approx 8.23

，

lo g_{3} 8.23 \approx 1.92 < 2

，滿足原不等式，但不在

\frac{1}{256} < x < 1

的範圍內。

第 18 題

由換底， $lo g_{x} a = \frac{1}{lo g _{a} x} = \frac{1}{4}$ ，同理 $lo g_{x} b = \frac{1}{6}$ ， $lo g_{x} c = \frac{1}{9}$ （ $x \neq = 1$ ，因為 $lo g_{a} x = 4 \neq = 0$ ）。

$lo g_{x} (ab c) = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{9 + 6 + 4}{36} = \frac{19}{36}$ ，所以 $lo g_{ab c} x = \frac{1}{lo g _{x} ( ab c )} = \frac{36}{19}$ 。

第 19 題

$a = lo g_{3} 5 > lo g_{3} 3 = 1$ ； $1 < 3 < 5$ ，所以 $0 < b = lo g_{5} 3 < 1$ 。

換底： $c = lo g_{\frac{1}{3}} 5 = \frac{lo g 5}{lo g \frac{1}{3}} = - lo g_{3} 5 = - a$ ，所以 $c < - 1$ ； $d = lo g_{5} \frac{1}{3} = - lo g_{5} 3 = - b$ ，所以 $- 1 < d < 0$ 。

得 $c < - 1 < d < 0 < b < 1 < a$ ，即 $a > b > d > c$ 。

第 20 題

真數條件： $x - 6 > 0$ 且 $x + 2 > 0$ ，所以 $x > 6$ 。

$lo g_{4} (x + 2) = \frac{1}{2} lo g_{2} (x + 2) = lo g_{2} x + 2$ ，方程式變成 $lo g_{2} \frac{x - 6}{x + 2} = 1$ ， $\frac{x - 6}{x + 2} = 2$ ， $x - 6 = 2 x + 2$ 。

兩邊平方： $x^{2} - 12 x + 36 = 4 x + 8$ ， $x^{2} - 16 x + 28 = 0$ ， $(x - 2) (x - 14) = 0$ 。 $x = 2$ 不滿足 $x > 6$ ，捨去。解為 $x = 14$ 。

驗算：

lo g_{2} 8 - lo g_{4} 16 = 3 - 2 = 1

。

第 21 題同底相加是真數相乘：

\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \dots \times \frac{n + 1}{n} = \frac{n + 1}{2}

（中間分子分母依序消去）。所以

lo g_{2} \frac{n + 1}{2} = 9

，

\frac{n + 1}{2} = 2^{9} = 512

，

n = 1023

。

對數化簡先把底數與真數都寫成次方，

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

；對數方程式與不等式先寫真數條件，底數小於

1

時拿掉

lo g

不等號要反向。

05填充第 15～17 題（第 22～24 題）：分貝、複利、每年存款

第 22 題

一個人說話 $60$ 分貝： $10 lo g \frac{I}{I _{0}} = 60$ ， $\frac{I}{I _{0}} = 1 0^{6}$ 。 $50$ 人同時說話，強度變成 $50 I$ ：

$d = 10 lo g \frac{50 I}{I _{0}} = 10 (lo g 50 + 6)$ 。 $lo g 50 = lo g \frac{100}{2} = 2 - lo g 2 \approx 1.699$ ，所以 $d \approx 10 \times 7.699 = 76.99$ ，四捨五入為 $77$ 分貝。

第 23 題

$n$ 年後本利和 $200 \times 1.0 2^{n}$ 萬元。要 $200 \times 1.0 2^{n} > 500$ ，即 $1.0 2^{n} > 2.5$ 。兩邊取常用對數： $n lo g 1.02 > lo g 2.5$ 。

$lo g 2.5 = lo g \frac{5}{2} = lo g 5 - lo g 2 \approx 0.6990 - 0.3010 = 0.3980$ ，所以 $n > \frac{0.3980}{0.0086} \approx 46.3$ ，最小正整數 $n = 47$ 。

第 24 題

$114$ 年到 $120$ 年每年 $1$ 月 $1$ 日各存一次，共 $7$ 筆。到 $121$ 年 $1$ 月 $1$ 日時， $114$ 年那筆滿 $7$ 年、 $115$ 年那筆滿 $6$ 年、……、 $120$ 年那筆滿 $1$ 年。本利和（元）：

$1000000 (1.1 + 1. 1^{2} + \dots + 1. 1^{7}) = 1000000 \times \frac{1.1 ( 1. 1 ^{7} - 1 )}{1.1 - 1}$

$= 1000000 \times 11 \times 0.9487171 = 10435888.1$ 元。無條件進位取至千元，得 $10436000$ 元。

也可以寫成

\frac{1. 1 ^{8} - 1.1}{0.1} = \frac{2.1435881 - 1.1}{0.1} = 10.435881

，再乘

1000000

。

每年年初存款到期領回，最後一筆也滿一年，本利和是首項

1.1

的等比級數；「超過」某個數的最少年數，取對數後解出的範圍要往上取整數。

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臺南二中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 3 題（本頁第 10 題）令 t 後解出兩段範圍，換回 x 時底數小於 1 要把不等號反向；填充第 10 題（第 17 題）兩層對數要一層一層拆，內層底數是二分之一；填充第 6 題（第 13 題）要用兩條曲線差 2 個單位的平移關係寫出四個頂點；填充第 17 題（第 24 題）每年年初存入，最後一筆也要算滿一年的利息。詳解逐題寫在本頁。

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臺南二中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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03填充第 1～6 題（第 8～13 題）：指數方程式、不等式、最小值、半衰期、圖形面積

04填充第 7～14 題（第 14～21 題）：對數律、換底、對數不等式與方程式、比較大小

05填充第 15～17 題（第 22～24 題）：分貝、複利、每年存款

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高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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