段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、Σ 的性質、無窮等比級數與循環小數、函數的定義域與值域、奇偶函數、合成函數、高斯符號、函數的極限與連續）

臺南二中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 31 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 31 題，照原卷順序

是非題 10 小題（10%）、多選題 2 題（10%）、填充題 11 題（55%）、混合題 4 題（25%），配分印在原卷的答案頁。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部相同。

1. 是非題（10%）：每小題 1 分。正確請填「○」，錯誤請填「✕」。（原卷第 1 題的 (1)～(10)，本頁編為第 1～10 題）

9. \overline{9} < 10

n \to \infty lim \frac{4 ^{n + 1}}{3 ^{2 n}} = 0

x \to 0 lim \frac{( x + 1 ) ^{4}}{( x - 1 )} = 1

無窮數列

⟨ (3 - \frac{5}{n}) (\frac{2 n}{3 n + 1}) ⟩

為收斂數列。

無窮等比級數

1 - \frac{4}{3} + \frac{16}{9} - \frac{64}{27} + \dots

的和為

\frac{1}{1 - ( - \frac{4}{3} )} = \frac{3}{7}

函數

f (x) = ∣ x ∣

為偶函數。

函數

f (x) = x + \frac{1}{x}

為奇函數。

函數

f (x) = ∣ x ∣

的定義域為所有正實數。

函數

f (x) = \frac{1}{x}

的值域為所有實數。

函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}, 6, x \neq = 3 x = 3

於實數上為連續函數。

2～3. 多選題（10%）：每題 5 分，若只錯 1 選項可得 3 分，只錯 2 選項可得 1 分，其餘情況則不給分。（原卷第 2、3 題，本頁編為第 11、12 題）

已知函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - 1, 0, 1, x > 0 x = 0 x < 0

，則下列選項哪些正確？

(A) $f (1) > f (- 1)$
(B) $x \to - 1 lim f (x) = f (- 1)$
(C) $x \to 0 lim f (x) = 0$
(D) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{( x - 1 )} = - 1$
(E) $x \to - 1 lim \frac{( x + 1 )}{f ( x )} = 0$

若

f (x) = (x - 4) (x - 6) (x - 8) + (x - 5) (x - 7) (x - 9)

，試問方程式

f (x) = 0

在下列哪兩個正整數之間有實根？

(A) $4$ 與 $5$ 之間
(B) $5$ 與 $6$ 之間
(C) $6$ 與 $7$ 之間
(D) $7$ 與 $8$ 之間
(E) $8$ 與 $9$ 之間

4～14. 填充題（55%）：每題 5 分（原卷第 4～14 題，本頁編為第 13～23 題）

已知

k = 1 \sum 15 a_{k} = 11

，

k = 1 \sum 15 b_{k} = - 3

，試求

k = 1 \sum 15 (2 a_{k} - 3 b_{k} + 5)

之值。

已知

a

、

b

為實數且

\frac{a}{2} + \frac{b}{2 ^{2}} + \frac{a}{2 ^{3}} + \frac{b}{2 ^{4}} + \dots + \frac{a}{2 ^{2 n - 1}} + \frac{b}{2 ^{2 n}} + \dots = 5

，試求

2 a + b

之值。

試求

n \to \infty lim \frac{1 \cdot n + 2 \cdot n + 3 \cdot n + 4 \cdot n + \dots\dots + n \cdot n}{1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + \dots\dots + n \cdot n}

甲、乙兩人輪流擲一粒公正骰子，約定規則如下：當擲出點數為

6

點時，此人獲勝；當擲出點數不為

6

時，改由另一人投擲。若由甲先擲，試求乙獲勝的機率。

設函數

f (x) = 9 - x^{2}

，

g (x) = x + 3

，求函數

\frac{f ( x )}{g ( x )}

的定義域

試求函數

f (x) = 4 + 2 x - x^{2}

的值域

若

f (x) = x^{2} + x - 1

、

g (x) = x^{2}

，試求

(f \circ g) (- 2) + (g \circ f) (- 3)

之值。

若函數

f (x)

如右圖，試求

x \to 2 lim f (x)

之值。

載入中...

已知函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 2 b, 3 a x + b, x + 2 a, x > 1 - 2 \leq x \leq 1 x < - 2

，

a

、

b

為實數且

f (x)

為連續函數，試求數對

(a, b)

之值。

已知

f (x)

滿足

\frac{- x ^{2} - x + 5}{6} \leq f (x) \leq \frac{x ^{2} - x + 5}{6}

，其中

- 1 \leq x \leq 1

，且

x \neq = 0

，試求

x \to 0 lim f (x)

之值。

試求

x \to 5 lim \frac{1}{x - 5} (\frac{1}{x} - \frac{1}{5})

15～18. 混合題（25%）：除單選題可直接填答，其餘需詳列演算過程才計分。（答案頁所印配分：第 15、16、17 題的 (1)(2) 各 3 分，第 18 題 (1) 4 分、(2) 3 分；原卷第 15～18 題的各小題，本頁編為第 24～31 題）

原卷第 15 題（第 24～25 題）　設

\overline{P Q} = 30

，以

\overline{P Q}

的

\frac{1}{3}

為邊長，作一正方形

A_{1}

，再以剩下線段的

\frac{1}{3}

為邊長作一正方形

A_{2}

，如此繼續下去，得到一序列的正方形

A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots

，如圖所示。

(1)

A_{1}

的面積：

A_{2}

的面積為（單選）

(A) $2 : 1$
(B) $4 : 1$
(C) $3 : 2$
(D) $9 : 4$
(E) $16 : 9$

載入中...

(2) 求無窮多個正方形

A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots

面積的總和。

原卷第 16 題（第 26～27 題）　設想您居住在繁華的大都市，計程車隨時可供召喚。然而，每趟車資均經過精確的計算，讓我們來探討這項計費機制：起步價為新台幣

70

元，此費用僅涵蓋

1

公里的行程。接續的行程費用則依每

0.5

公里加收

5

元。也就是說，行駛距離越遠，所需支付的費用將相應增加。現在，如果計程車行駛距離為

x

公里，車資公式為

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 70, 70 + 5 [\frac{x - 1}{0.5}], 0 < x \leq 1 x > 1

(1) 假設要從家裡到圖書館，距離為

7.6

公里，請計算這段行程的計程車費用。

(2) 假設乘坐計程車從圖書館到朋友家，車資為

100

元，求這段行駛距離的範圍？

原卷第 17 題（第 28～29 題）　已知

x \to 2 lim \frac{x ^{3} + a x + b}{( x + 2 ) ^{2} ( x - 2 ) ^{2}}

存在。

(1) 試選出數對

(a, b)

。（單選）

(A) $(- 4, 4)$
(B) $(- 12, 16)$
(C) $(4, 8)$
(D) $(- 4, 0)$
(E) $(12, - 16)$

(2) 試求

x \to 2 lim \frac{x ^{3} + a x + b}{( x + 2 ) ^{2} ( x - 2 ) ^{2}}

。

原卷第 18 題（第 30～31 題）　設

⟨ a_{n} ⟩

為一等差數列，已知

a_{1} + a_{3} + a_{5} = 114

、

a_{2} + a_{6} = 64

，

(1) 試求

a_{1}

與公差

(2) 令

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

，試求

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n ^{2}}

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

101

第 11 題(B)(E)

第 12 題(A)(C)(E)

第 13 題

106

第 14 題

15

第 15 題

\frac{3}{2}

第 16 題

\frac{5}{11}

第 17 題

{x ∣ - 3 < x \leq 3}

第 18 題

{y ∣ 0 \leq y \leq 5}

第 19 題

44

第 20 題

6

第 21 題

(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})

第 22 題

\frac{5}{6}

第 23 題

- \frac{1}{25}

第 24 題(D)

第 25 題

180

第 26 題

135

元

第 27 題大於或等於

4

公里，小於

4.5

公里（

4 \leq x < 4.5

）

第 28 題(B)

第 29 題

\frac{3}{8}

第 30 題

a_{1} = 50

，公差

= - 6

第 31 題

- 3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非題 (1)～(5)（第 1～5 題）：循環小數、數列與級數的收斂、函數的極限

第 1 題2

9. \overline{9} = 9 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots

，後面是首項

0.9

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.9}{1 - 0.1} = 1

。所以

9. \overline{9} = 9 + 1 = 10

，兩數相等，不是小於。

循環小數代表的是部分和

9.9, 9.99, 9.999, \dots

的極限，不是其中某一項；每個部分和都小於

10

，極限卻恰好等於

10

。

第 2 題1

\frac{4 ^{n + 1}}{3 ^{2 n}} = \frac{4 \cdot 4 ^{n}}{9 ^{n}} = 4 (\frac{4}{9})^{n}

。公比

\frac{4}{9}

的絕對值小於

1

，

(\frac{4}{9})^{n} \to 0

，所以極限是

4 \times 0 = 0

。

3^{2 n} = (3^{2})^{n} = 9^{n}

，要先把指數整理成同樣是

n

次方，才看得出是等比數列。

第 3 題2

x \to 0

時分母

x - 1

趨近

- 1

，不為

0

，可以直接代入：

\frac{( 0 + 1 ) ^{4}}{0 - 1} = \frac{1}{- 1} = - 1

，不是

1

。

第 4 題1

n \to \infty

時

\frac{5}{n} \to 0

，所以

3 - \frac{5}{n} \to 3

；

\frac{2 n}{3 n + 1}

的分子分母同除以

n

得

\frac{2}{3 + \frac{1}{n}} \to \frac{2}{3}

。兩個收斂數列的乘積也收斂，極限為

3 \times \frac{2}{3} = 2

，所以是收斂數列。

第 5 題2這個級數的首項是

1

、公比

r = - \frac{4}{3}

。無窮等比級數要

∣ r ∣ < 1

才收斂，才能用

\frac{a}{1 - r}

；這裡

∣ r ∣ = \frac{4}{3} > 1

，各項的絕對值愈來愈大，級數發散，沒有和。

把

r = - \frac{4}{3}

代進公式確實會算出

\frac{3}{7}

，但公式的前提不成立，算出來的數沒有意義。用公式前一定先檢查公比。

02是非題 (6)～(10)（第 6～10 題）：奇偶函數、定義域與值域、連續

第 6 題1對任意實數

x

，

f (- x) = ∣ - x ∣ = ∣ x ∣ = f (x)

，所以

f

是偶函數（圖形對稱於

y

軸）。

第 7 題1定義域是所有不為

0

的實數，

x

在定義域內時

- x

也在。

f (- x) = (- x) + \frac{1}{- x} = - (x + \frac{1}{x}) = - f (x)

，所以

f

是奇函數（圖形對稱於原點）。

第 8 題2任何實數都可以取絕對值，所以

f (x) = ∣ x ∣

的定義域是所有實數，不是只有正實數。

容易和值域弄混：

∣ x ∣ \geq 0

，值域是所有大於或等於

0

的實數；即使是值域，也包含

0

，仍不是「所有正實數」。

第 9 題2

\frac{1}{x}

的分子是

1

，不論

x

是多少，

\frac{1}{x}

都不會等於

0

。反過來，任何不為

0

的實數

y

都取得到（取

x = \frac{1}{y}

）。所以值域是所有不為

0

的實數，不是所有實數。

第 10 題1

x \neq = 3

時

f (x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3

，是一次函數，在每個

x \neq = 3

的點都連續。在

x = 3

：

x \to 3 lim f (x) = x \to 3 lim (x + 3) = 6

，而題目規定

f (3) = 6

，極限值等於函數值，所以在

x = 3

也連續。因此

f

在所有實數上連續。

這個函數其實就是

y = x + 3

：原本在

x = 3

的缺口，剛好被

f (3) = 6

補上。如果規定的值不是

6

，在

x = 3

就不連續。

是非題先找出敘述裡的前提：公比的絕對值是否小於 1、分母的極限是否為 0、定義域與值域各指什麼，再判斷結論。

03多選題（原卷第 2、3 題，本頁第 11、12 題）：分段函數的極限、根的位置

第 11 題答案 (B)(E)。(A)

f (1) = - 1

，

f (- 1) = 1

，

- 1 > 1

不成立，錯誤。(B)

x

在

- 1

附近時都是負數，

f (x) = 1

，所以

x \to - 1 lim f (x) = 1

，而

f (- 1) = 1

，兩者相等，正確。(C)

x

從右邊接近

0

時

f (x) = - 1

，從左邊接近

0

時

f (x) = 1

，左右極限不相等，極限不存在，錯誤。(D)

x

在

1

附近時

f (x) = - 1

，

\frac{f ( x )}{x - 1} = \frac{- 1}{x - 1}

；

x \to 1

時分母趨近

0

、分子是

- 1

，函數值的絕對值愈來愈大，極限不存在，錯誤。(E)

x

在

- 1

附近時

f (x) = 1

，

\frac{x + 1}{f ( x )} = x + 1

，

x \to - 1

時趨近

0

，正確。

這個函數在

x > 0

時是

- 1

、

x < 0

時是

1

，和平常的習慣相反，代值時要看清楚。(C) 的

f (0) = 0

是函數值，極限看的是

0

的左右兩邊，與

f (0)

無關。

第 12 題答案 (A)(C)(E)。把

4

到

9

的整數逐一代入，每次兩個乘積恰有一個是

0

：

f (4) = (- 1) (- 3) (- 5) = - 15

，

f (5) = (1) (- 1) (- 3) = 3

，

f (6) = (1) (- 1) (- 3) = 3

，

f (7) = (3) (1) (- 1) = - 3

，

f (8) = (3) (1) (- 1) = - 3

，

f (9) = (5) (3) (1) = 15

。多項式函數的圖形是連續不斷的曲線，兩端函數值一正一負時，中間一定穿過

x

軸：

f (4) < 0 < f (5)

，

4

與

5

之間有實根；

f (6) > 0 > f (7)

，

6

與

7

之間有實根；

f (8) < 0 < f (9)

，

8

與

9

之間有實根。

f (x)

展開後是三次多項式（

x^{3}

的係數是

2

），至多三個實根，這三個根已經全部找到，所以

5

與

6

之間、

7

與

8

之間都沒有實根。(A)(C)(E) 正確。

f (5)

與

f (6)

同為正，只能說明「不一定有根」；要確定 (B)(D) 沒有根，還要用到三次方程式至多三個實根這件事。

04填充題（原卷第 4、5、7 題，本頁第 13、14、16 題）：Σ 與無窮等比級數

第 13 題

k = 1 \sum 15 (2 a_{k} - 3 b_{k} + 5) = 2 k = 1 \sum 15 a_{k} - 3 k = 1 \sum 15 b_{k} + k = 1 \sum 15 5 = 2 \times 11 - 3 \times (- 3) + 5 \times 15 = 22 + 9 + 75 = 106

。

常數

5

加了

15

次，是

75

，不是

5

。

第 14 題把含

a

的項與含

b

的項分開。含

a

的項：

\frac{a}{2} + \frac{a}{2 ^{3}} + \frac{a}{2 ^{5}} + \dots

，首項

\frac{a}{2}

、公比

\frac{1}{4}

，和為

\frac{\frac{a}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2 a}{3}

。含

b

的項：

\frac{b}{2 ^{2}} + \frac{b}{2 ^{4}} + \dots

，首項

\frac{b}{4}

、公比

\frac{1}{4}

，和為

\frac{\frac{b}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{b}{3}

。兩個級數都收斂，原級數的和是

\frac{2 a}{3} + \frac{b}{3} = 5

，所以

2 a + b = 15

。

也可以每兩項合成一項：

\frac{a}{2 ^{2 n - 1}} + \frac{b}{2 ^{2 n}} = \frac{2 a + b}{4 ^{n}}

，是首項

\frac{2 a + b}{4}

、公比

\frac{1}{4}

的無窮等比級數，和為

\frac{2 a + b}{3} = 5

。

第 16 題每次擲出

6

點的機率是

\frac{1}{6}

，不是

6

點的機率是

\frac{5}{6}

。乙在自己第一次擲的時候獲勝：甲沒擲出

6

、乙擲出

6

，機率

\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}

。乙在自己第二次擲的時候獲勝：前面甲、乙各失敗一次（機率

(\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{36}

），再來一次「甲沒擲出、乙擲出」，機率

\frac{25}{36} \times \frac{5}{36}

。依此類推，乙獲勝的機率是首項

\frac{5}{36}

、公比

\frac{25}{36}

的無窮等比級數：

\frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{5}{36} \times \frac{36}{11} = \frac{5}{11}

。

同樣的算法，甲獲勝的機率是

\frac{\frac{1}{6}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{6}{11}

；兩人相加

\frac{6}{11} + \frac{5}{11} = 1

，可以用來檢查。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用「首項除以（1 減公比）」；一輪一輪重複的機率也是這個公式。

05填充題（原卷第 6 題，本頁第 15 題）：先求和再取極限

第 15 題分子

= n (1 + 2 + 3 + \dots + n) = n \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 )}{2}

。分母

= 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}

。相除：

\frac{n ^{2} ( n + 1 )}{2} \times \frac{6}{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )} = \frac{3 n}{2 n + 1}

。分子分母同除以

n

：

\frac{3}{2 + \frac{1}{n}}

，

n \to \infty

時極限為

\frac{3}{2}

。

分子、分母的項數都隨

n

增加，不能一項一項分別取極限；要先用求和公式寫成

n

的式子。

06填充題（原卷第 8、9、10 題，本頁第 17～19 題）：定義域、值域、合成函數

第 17 題

\frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{9 - x ^{2}}{x + 3}

要有意義，需要兩個條件。根號內不能是負數：

9 - x^{2} \geq 0

，即

- 3 \leq x \leq 3

。分母不能是

0

：

x + 3 \neq = 0

，即

x \neq = - 3

。兩個條件同時成立：

- 3 < x \leq 3

，定義域為

{x ∣ - 3 < x \leq 3}

。

x = 3

時分子是

0

、分母是

6

，函數值是

0

，有意義，所以

3

要包含；

x = - 3

時分母是

0

，要去掉。

第 18 題配方：

4 + 2 x - x^{2} = - (x^{2} - 2 x + 1) + 5 = 5 - (x - 1)^{2}

。根號內要大於或等於

0

，而

5 - (x - 1)^{2}

最大是

5

（在

x = 1

），所以根號內的值可以取

0

到

5

之間的每一個數（定義域是

1 - 5 \leq x \leq 1 + 5

，在兩個端點根號內為

0

）。開根號後，

f (x)

的值可以取

0

到

5

之間的每一個數，值域為

{y ∣ 0 \leq y \leq 5}

。

根號開出來不會是負數，所以值域從

0

開始；最大值是

5

，不是

5

。

第 19 題

(f \circ g) (- 2) = f (g (- 2))

：

g (- 2) = (- 2)^{2} = 4

，

f (4) = 16 + 4 - 1 = 19

。

(g \circ f) (- 3) = g (f (- 3))

：

f (- 3) = 9 - 3 - 1 = 5

，

g (5) = 25

。所以所求

= 19 + 25 = 44

。

f \circ g

是先算

g

再算

f

，從靠近

x

的那一個函數開始算。

07填充題（原卷第 11～14 題，本頁第 20～23 題）：函數的極限與連續

第 20 題極限看的是

x

接近

2

但不等於

2

時函數值的走向。由圖，

x

從左邊接近

2

時，曲線上的點接近空心點

(2, 6)

；從右邊接近

2

時，曲線上的點也接近

(2, 6)

。左右極限都是

6

，所以

x \to 2 lim f (x) = 6

。

實心點

(2, 2)

表示

f (2) = 2

，那是函數值，不影響極限。這個函數在

x = 2

的極限存在，但極限值

6

不等於

f (2) = 2

，所以在

x = 2

不連續。圖上

(0, 2)

的空心點是原圖本來就有的，與

x \to 2

的極限無關。

第 21 題三段各自都是一次式，只要在兩個接點連續即可。在

x = 1

：中間那段的值是

3 a + b

，右邊那段在

x \to 1

時趨近

3 - 2 b

，所以

3 a + b = 3 - 2 b

，即

a + b = 1

。在

x = - 2

：中間那段的值是

- 6 a + b

，左邊那段在

x \to - 2

時趨近

- 2 + 2 a

，所以

- 6 a + b = - 2 + 2 a

，即

8 a - b = 2

。兩式相加得

9 a = 3

，

a = \frac{1}{3}

，代回得

b = \frac{2}{3}

。

(a, b) = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3})

。

檢查：中間那段是

x + \frac{2}{3}

；

x = 1

時為

\frac{5}{3}

，右段

3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}

；

x = - 2

時為

- \frac{4}{3}

，左段

- 2 + \frac{2}{3} = - \frac{4}{3}

，兩處都接上。

第 22 題

x \to 0

時，左邊

\frac{- x ^{2} - x + 5}{6}

趨近

\frac{0 - 0 + 5}{6} = \frac{5}{6}

，右邊

\frac{x ^{2} - x + 5}{6}

也趨近

\frac{5}{6}

。

f (x)

在

0

的附近（

x \neq = 0

）一直被夾在這兩個函數之間，由夾擠定理，

x \to 0 lim f (x) = \frac{5}{6}

。

題目沒有給

f (x)

的式子，也沒有給

f (0)

；求極限只需要

0

附近的不等式，用不到

f (0)

。

第 23 題括號內先通分：

\frac{1}{x} - \frac{1}{5} = \frac{5 - x}{5 x} = - \frac{x - 5}{5 x}

。所以原式

= \frac{1}{x - 5} \times (- \frac{x - 5}{5 x})

。

x \to 5

時

x \neq = 5

，約去

x - 5

得

- \frac{1}{5 x}

，極限為

- \frac{1}{5 \times 5} = - \frac{1}{25}

。

5 - x

與

x - 5

差一個負號，約分時要留下這個負號。

函數的極限只看那一點附近，不看那一點本身；分母趨近 0 時先通分或因式分解，約去公因式後再代入。

08混合題（原卷第 15 題，本頁第 24、25 題）：線段上的正方形

第 24 題答案 (D)。

A_{1}

的邊長是

30 \times \frac{1}{3} = 10

，剩下的線段長

30 - 10 = 20

。

A_{2}

的邊長是

20 \times \frac{1}{3} = \frac{20}{3}

。邊長比

10 : \frac{20}{3} = 3 : 2

，面積比是邊長比的平方，

9 : 4

。

直接算面積也可以：

A_{1}

的面積是

100

，

A_{2}

的面積是

\frac{400}{9}

，

100 : \frac{400}{9} = 9 : 4

。選項 (C)

3 : 2

是邊長比。

第 25 題每作一個正方形，用掉當時剩下線段的

\frac{1}{3}

，還剩

\frac{2}{3}

；下一個正方形的邊長是新的剩下線段的

\frac{1}{3}

，所以每個正方形的邊長都是前一個的

\frac{2}{3}

，面積是前一個的

(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}

。面積依序為

100, \frac{400}{9}, \frac{1600}{81}, \dots

，是首項

100

、公比

\frac{4}{9}

的無窮等比級數。公比的絕對值小於

1

，級數收斂，總和為

\frac{100}{1 - \frac{4}{9}} = 100 \times \frac{9}{5} = 180

。

邊長的總和是

\frac{10}{1 - \frac{2}{3}} = 30

，正好等於

\overline{P Q}

的長：正方形會一直排到

Q

點，但不會超過。

09混合題（原卷第 16 題，本頁第 26、27 題）：計程車車資與高斯符號

第 26 題卷面沒有說明式子裡的

[]

是什麼，依「每

0.5

公里加收

5

元」的計費方式，判讀為高斯符號：

[t]

表示不超過

t

的最大整數。

x = 7.6 > 1

，用第二個式子：

\frac{x - 1}{0.5} = \frac{6.6}{0.5} = 13.2

，

[13.2] = 13

。車資

f (7.6) = 70 + 5 \times 13 = 135

元。

超過

1

公里的部分是

6.6

公里，裡面有

13

個完整的

0.5

公里，剩下的

0.1

公里還沒滿

0.5

公里，不加收。

第 27 題

100 > 70

，所以

x > 1

，用第二個式子：

70 + 5 [\frac{x - 1}{0.5}] = 100

，得

[\frac{x - 1}{0.5}] = 6

。由高斯符號的定義，

6 \leq \frac{x - 1}{0.5} < 7

，各項同乘

0.5

：

3 \leq x - 1 < 3.5

，所以

4 \leq x < 4.5

。行駛距離大於或等於

4

公里，小於

4.5

公里。

[t] = 6

表示

6 \leq t < 7

：左邊有等號、右邊沒有。

x = 4.5

時

\frac{x - 1}{0.5} = 7

，車資已經跳到

105

元。

10混合題（原卷第 17 題，本頁第 28、29 題）：分母趨近 0 而極限存在

第 28 題答案 (B)。

x \to 2

時

(x + 2)^{2} \to 16

，

(x - 2)^{2} \to 0

，分母趨近

0

；極限要存在，分子也必須趨近

0

：

2^{3} + 2 a + b = 0

，即

b = - 8 - 2 a

。代回分子：

x^{3} + a x - 8 - 2 a = (x^{3} - 8) + a (x - 2) = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4 + a)

。約去一個

x - 2

後，原式

= \frac{x ^{2} + 2 x + 4 + a}{( x + 2 ) ^{2} ( x - 2 )}

，分母仍然趨近

0

，所以新的分子也必須趨近

0

：

4 + 4 + 4 + a = 0

，

a = - 12

，

b = - 8 + 24 = 16

。

(a, b) = (- 12, 16)

。

分母有

(x - 2)^{2}

，分子要有兩個

x - 2

的因式才約得掉，所以條件要用兩次。只用一次會得到

2 a + b = - 8

，選項 (B) 的

- 24 + 16 = - 8

與 (D) 的

- 8 + 0 = - 8

都符合，分不出來；第二次的條件

a = - 12

才把 (D) 排除。

第 29 題由 (1)，分子是

x^{3} - 12 x + 16 = (x - 2) (x^{2} + 2 x - 8) = (x - 2) (x - 2) (x + 4) = (x - 2)^{2} (x + 4)

。

x \to 2

時

x \neq = 2

，約去

(x - 2)^{2}

：原式

= \frac{x + 4}{( x + 2 ) ^{2}}

，極限為

\frac{2 + 4}{( 2 + 2 ) ^{2}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

。

檢查因式分解：

(x - 2)^{2} (x + 4) = (x^{2} - 4 x + 4) (x + 4) = x^{3} - 12 x + 16

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0；分母的因式有幾次，這個條件就要用幾次。

11混合題（原卷第 18 題，本頁第 30、31 題）：等差數列與極限

第 30 題設公差為

d

。等差數列中

a_{1} + a_{5} = 2 a_{3}

，所以

a_{1} + a_{3} + a_{5} = 3 a_{3} = 114

，

a_{3} = 38

。又

a_{2} + a_{6} = 2 a_{4} = 64

，

a_{4} = 32

。公差

d = a_{4} - a_{3} = 32 - 38 = - 6

，首項

a_{1} = a_{3} - 2 d = 38 + 12 = 50

。

檢查：數列是

50, 44, 38, 32, 26, 20, \dots

；

50 + 38 + 26 = 114

，

44 + 20 = 64

。

第 31 題

S_{n} = \frac{n [ 2 \times 50 + ( n - 1 ) \times ( - 6 ) ]}{2} = \frac{n ( 106 - 6 n )}{2} = 53 n - 3 n^{2}

。所以

\frac{S _{n}}{n ^{2}} = \frac{53}{n} - 3

，

n \to \infty

時

\frac{53}{n} \to 0

，極限為

- 3

。

等差數列的

S_{n}

是

n

的二次式，

n^{2}

的係數是公差的一半，所以這個極限就是

\frac{d}{2} = - 3

。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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臺南二中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

是非題第 1 小題循環小數九點九循環恰好等於十，第 5 小題公比的絕對值大於一，公式不能用；原卷第 3 題（本頁第 12 題）除了看函數值的正負，還要用三次方程式至多三個實根才能排除另外兩個選項；原卷第 8 題（本頁第 17 題）定義域要同時顧到根號內與分母，兩個端點一個包含、一個不包含；原卷第 17 題（本頁第 28 題）分母有二重因式，分子趨近零的條件要用兩次。詳解逐題寫在本頁。

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臺南二中 113 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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02是非題 (6)～(10)（第 6～10 題）：奇偶函數、定義域與值域、連續

03多選題（原卷第 2、3 題，本頁第 11、12 題）：分段函數的極限、根的位置

04填充題（原卷第 4、5、7 題，本頁第 13、14、16 題）：Σ 與無窮等比級數

05填充題（原卷第 6 題，本頁第 15 題）：先求和再取極限

06填充題（原卷第 8、9、10 題，本頁第 17～19 題）：定義域、值域、合成函數

07填充題（原卷第 11～14 題，本頁第 20～23 題）：函數的極限與連續

08混合題（原卷第 15 題，本頁第 24、25 題）：線段上的正方形

09混合題（原卷第 16 題，本頁第 26、27 題）：計程車車資與高斯符號

10混合題（原卷第 17 題，本頁第 28、29 題）：分母趨近 0 而極限存在

11混合題（原卷第 18 題，本頁第 30、31 題）：等差數列與極限

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