臺南二中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (C)(D)(E)。

(A) 錯誤。 移項得 $x^2-x-3>0$，判別式 $1+12=13>0$，$x^2-x-3$ 在兩根之間是負的，例如 $x=0$ 時 $3+0-0=3$，不小於 $0$。

(B) 錯誤。 $9x^2-6x+1=(3x-1{)}^2$，在 $x=\frac{1}{3}$ 時等於 $0$，不大於 $0$，所以解是 $x\ne \frac{1}{3}$ 的實數。

(C) 正確。 $(3x-1{)}^2\ge 0$ 對每個實數都成立。

(D) 正確。 $-x^2+2x-2=-\left(x^2-2x+1\right)-1=-(x-1{)}^2-1\le -1$，恆小於 $0$。

(E) 正確。 由 (D)，它恆小於 $0$，當然也恆小於或等於 $0$。

答案 (E)。先由三次函數的圖形判斷 $a$、$b$、$d$ 的正負。

① 圖形往右邊一直往下、往左邊一直往上，和 $y=a{x}^3$ 的走向相同，所以 $a<0$。

② 圖形與 $y$ 軸的交點是 $(0,d)$，由圖它在 $x$ 軸上方，所以 $d>0$。

③ 三次函數圖形的對稱中心的 $x$ 坐標是 $-\frac{b}{3a}$。由圖，局部最低處與局部最高處都在 $y$ 軸左側，對稱中心在兩者正中間，所以也在 $y$ 軸左側（圖上的黑點即在此處），因此 $-\frac{b}{3a}<0$，即 $\frac{b}{3a}>0$，$b$ 和 $a$ 同號，$b<0$。

再看 $y=a{x}^2+dx+b$：$a<0$ ⇒ 開口向下；頂點的 $x$ 坐標是 $-\frac{d}{2a}$，$d>0$、$a<0$ ⇒ $-\frac{d}{2a}>0$，頂點在 $y$ 軸右側；與 $y$ 軸交於 $(0,b)$，$b<0$ ⇒ 交點在 $x$ 軸下方。

(A) 開口向上，不合；(B)(C) 的頂點在 $y$ 軸左側，不合；(D) 與 $y$ 軸交在 $x$ 軸上方，不合；(E) 開口向下、頂點在 $y$ 軸右側、與 $y$ 軸交在 $x$ 軸下方，全部符合。

答案 (A)(D)(E)。由除法原理 $f(x)=\left(x^3-1\right)Q(x)+x^2+x-2$，且 $x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)$。

(A) 正確。 $f(1)=0\cdot Q(1)+1+1-2=0$，由因式定理 $x-1$ 是 $f(x)$ 的因式。

(B) 錯誤。 $f(x)=\left(2x^3-2\right)\cdot \frac{1}{2}Q(x)+\left(x^2+x-2\right)$，而 $x^2+x-2$ 的次數比 $2x^3-2$ 低，所以餘式仍是 $x^2+x-2$，不是 $\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x-1$（除式乘 $2$，商式變成一半，餘式不變）。

(C) 錯誤。 除以二次式的餘式次數要低於 $2$，$x^2+x-2$ 不能當餘式。$x^2+x-2=\left(x^2+x+1\right)-3$，所以 $$f(x)=\left(x^2+x+1\right)\left[(x-1)Q(x)+1\right]-3,$$ 餘式是 $-3$。

(D) 正確。 由 (C) 的式子，商式是 $(x-1)Q(x)+1$。

(E) 正確。 $x\cdot f(x)=\left(x^2+x+1\right)\cdot x\left[(x-1)Q(x)+1\right]-3x$，$-3x$ 的次數低於 $2$，所以餘式是 $-3x$。

用綜合除法除以 $x-27$，係數依序為 $5,-139,118,-269,-30,83,-675$：

$5$；$-139+5\times 27=-4$；$118+(-4)\times 27=10$；$-269+10\times 27=1$；$-30+1\times 27=-3$；$83+(-3)\times 27=2$；$-675+2\times 27=-621$。

由餘式定理，$f(27)$ 等於最後的餘數 $-621$。

$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$，由餘式定理 $f(3)=3+9=12$，$f(-2)=-2+9=7$。$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$，所以 $f(2)=-22-19=-41$，$f(-1)=11-19=-8$。

所求除式 $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$，設餘式為 $px+q$，則 $f(x)=\left(x^2-2x-3\right)Q(x)+px+q$。代 $x=3$：$3p+q=f(3)=12$；代 $x=-1$：$-p+q=f(-1)=-8$。兩式相減 $4p=20$，$p=5$，$q=-3$。餘式為 $5x-3$。

$f(x)$ 除以二次式的餘式最多一次，設 $f(x)=\left(x^2+2x+2\right)Q(x)+px+q$。則 $$x\cdot f(x)=\left(x^2+2x+2\right)xQ(x)+p{x}^2+qx.$$ $p{x}^2+qx$ 再除以 $x^2+2x+2$：$p{x}^2+qx=p\left(x^2+2x+2\right)+(q-2p)x-2p$，所以 $x\cdot f(x)$ 的餘式是 $(q-2p)x-2p$。

與 $-x-4$ 比較係數：$-2p=-4$，$p=2$；$q-2p=-1$，$q=3$。所求餘式為 $2x+3$。

$f(x)$ 有因式 $x-1$ 與 $x^2+2$，且是四次式，所以可設 $f(x)=(x-1)\left(x^2+2\right)(px+q)$。

$f(2)=1\times 6\times (2p+q)=6$，得 $2p+q=1$。

偶次項係數和：$f(1)=a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$，$f(-1)=a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$，相加得 $f(1)+f(-1)=2\left(a_4+a_2+a_0\right)=48$。$f(1)=0$，所以 $f(-1)=48$，即 $(-2)\times 3\times (-p+q)=48$，$-p+q=-8$。

由 $2p+q=1$ 與 $-p+q=-8$ 相減得 $3p=9$，$p=3$，$q=-5$。$f(3)=2\times 11\times (9-5)=88$。

配方：$y=-2x^2+4x+3=-2(x-1{)}^2+5$，頂點 $(1,5)$。往左平移 $2$、往上平移 $4$，頂點移到 $(-1,9)$，所以 $f(x)=-2(x+1{)}^2+9$。

開口向下，頂點的 $x=-1$ 在 $-2\le x\le 4$ 內，最大值 $M=f(-1)=9$。最小值出現在離對稱軸 $x=-1$ 最遠的端點：$x=-2$ 離 $1$，$x=4$ 離 $5$，所以 $m=f(4)=-2\times 25+9=-41$。$(M,m)=(9,-41)$。

有最大值表示開口向下，$a<0$。頂點的 $x$ 坐標 $-\frac{b}{2a}=2$，所以 $b=-4a$。

最大值 $=f(2)=4a+2b+3=4a-8a+3=3-4a$，依題意 $3-4a=-\frac{1}{a}$。兩邊乘 $a$：$3a-4a^2=-1$，即 $4a^2-3a-1=0$，$(4a+1)(a-1)=0$，$a=-\frac{1}{4}$ 或 $a=1$。$a<0$，取 $a=-\frac{1}{4}$，$b=-4a=1$。$(a,b)=\left(-\frac{1}{4},1\right)$。

以出手時為 $t=0$，球離地高度 $h(t)$ 是 $t$ 的二次函數。$t=0$ 與 $t=8$ 時高度相同，拋物線對稱於 $t=4$，可設 $h(t)=k(t-4{)}^2+H$，$H$ 就是最高點的高度。

$h(0)=16k+H=100$，又 $t=8+2=10$ 時落地，$h(10)=36k+H=0$。相減得 $20k=-100$，$k=-5$，$H=100-16k=180$。最高點離地 $180$ 公尺。

$-x^2+x-3$ 的判別式 $1-12<0$ 且開口向下，對每個 $x$ 都小於 $0$。兩邊同除以它（負數）不等號反向，原不等式等價於 $a{x}^2+bx+c\le 0$，它的解是 $x\le 1-\sqrt{7}$ 或 $x\ge 1+\sqrt{7}$。

所以 $a<0$，且 $1\pm \sqrt{7}$ 是 $a{x}^2+bx+c=0$ 的兩根：兩根和 $2$、兩根積 $1-7=-6$，$a{x}^2+bx+c=a\left(x^2-2x-6\right)$，$b=-2a$，$c=-6a$。

代入：$c{x}^2+2bx+2a=-6a{x}^2-4ax+2a=-2a\left(3x^2+2x-1\right)$。$-2a>0$，所以 $c{x}^2+2bx+2a>0$ 等價於 $3x^2+2x-1>0$，$(3x-1)(x+1)>0$，解為 $x<-1$ 或 $x>\frac{1}{3}$。

$x^2+3x+4$ 的判別式 $9-16<0$，恆正，不影響正負。$(x-1{)}^2\ge 0$，只在 $x=1$ 時為 $0$。$(x+3{)}^3$ 與 $x+3$ 同號。$x^2-2x-4=0$ 的根是 $1\pm \sqrt{5}$。

所以除了 $x=1$（此時左邊等於 $0$，是解）以外，只要看 $$(x+3)\left(x-1+\sqrt{5}\right)\left(x-1-\sqrt{5}\right)\ge 0.$$ 三個根由小到大是 $-3$、$1-\sqrt{5}\approx -1.24$、$1+\sqrt{5}\approx 3.24$，最右邊一段為正，往左正負交替：解為 $-3\le x\le 1-\sqrt{5}$ 或 $x\ge 1+\sqrt{5}$。

$x=1$ 不在這兩段內，要另外加上。答：$-3\le x\le 1-\sqrt{5}$ 或 $x=1$ 或 $x\ge 1+\sqrt{5}$。

$f(x)>0$ 的解是 $-1<x<2$ 或 $x>2$，表示 $x=2$ 是 $f(x)$ 的二重根、$x=-1$ 是一個根，而 $f(x)$ 首項係數為 $1$，所以 $f(x)=(x+1)(x-2{)}^2$。

$f(x)\ge 9x+9$ 即 $(x+1)(x-2{)}^2-9(x+1)\ge 0$，提出 $x+1$： $$(x+1)\left[(x-2{)}^2-9\right]=(x+1)(x-5)(x+1)=(x+1{)}^2(x-5)\ge 0.$$ $(x+1{)}^2\ge 0$，所以 $x=-1$ 時成立（等於 $0$）；$x\ne -1$ 時要 $x-5\ge 0$。解為 $x=-1$ 或 $x\ge 5$。

把 $f(x)$ 改寫成 $x-2$ 的冪次（用連續綜合除法除以 $x-2$）： $$f(x)=-(x-2{)}^3+3(x-2)-4.$$ 把圖形往左平移 $2$、往上平移 $4$，對稱中心 $(2,-4)$ 移到原點，得到 $y=-x^3+3x$，所以 $p=3$。

圖形代號：$y=-x^3+3x=-x\left(x^2-3\right)$，首項係數為負，右端往下、左端往上；又它與 $x$ 軸交於 $-\sqrt{3}$、$0$、$\sqrt{3}$ 三點，圖形有一段下降後上升、再下降的彎（例如 $x=-1$ 時 $y=-2$，$x=1$ 時 $y=2$）。六個選項中只有 (F) 是左高右低且有兩個轉折，答 (F)。

$A$、$B$ 對稱於對稱中心，對稱中心是 $\overline{AB}$ 的中點 $\left(\frac{-1+3}{2},\frac{-4+8}{2}\right)=(1,2)$。三次函數對稱中心在 $(1,2)$，可設 $$f(x)=k(x-1{)}^3+p(x-1)+2.$$ 代 $B(3,8)$：$8k+2p+2=8$，即 $4k+p=3$。代 $C(4,-4)$：$27k+3p+2=-4$，即 $9k+p=-2$。相減得 $5k=-5$，$k=-1$，$p=7$。

展開：$f(x)=-(x-1{)}^3+7(x-1)+2=-\left(x^3-3x^2+3x-1\right)+7x-7+2=-x^3+3x^2+4x-4$。

廣域看接近 $y=-2x^3$，表示最高次項係數 $a=-2$。

在 $x=2$ 附近，$(x-2{)}^3$、$(x-2{)}^2$ 都非常小，圖形近似於直線 $y=c(x-2)+d=cx+(d-2c)$。它是 $y=5x+4$，所以 $c=5$，$d-2c=4$，$d=14$。

對稱中心：把 $f(x)$ 展開，$x^3$ 的係數是 $a$，$x^2$ 的係數是 $-6a+b$，對稱中心的 $x$ 坐標是 $-\frac{-6a+b}{3a}=2-\frac{b}{3a}=1$，所以 $\frac{b}{3a}=1$，$b=3a=-6$。$(a,b,c,d)=(-2,-6,5,14)$。