臺南二中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

這題要選錯誤的說法。

(A) 錯誤。 $x^3$ 的反導函數不只一個，彼此差一個常數，不定積分要寫 $\int x^{3}dx=\frac{1}{4}{x}^4+C$（$C$ 為任意常數），漏了常數就不對。

(B) 錯誤。 反例：$f(x)=1$，$[a,b]=[0,2]$。左邊 ${\int }_0^{2}1dx=2$，右邊 ${\left({\int }_0^{2}1dx\right)}^2=4$，不相等。

(C) 錯誤。 反例：$f(x)=x$，$[a,b]=[-1,1]$。左邊 ${\int }_{-1}^1|x|dx=1$（兩個面積 $\frac{1}{2}$ 的三角形），右邊 $\left|{\int }_{-1}^{1}xdx\right|=0$。

(D) 錯誤。 面積要用 ${\int }_a^b\left|f(x)-g(x)\right|dx$。如下圖，兩曲線在 $[a,b]$ 中交叉時，$f(x)<g(x)$ 那一段的 $f(x)-g(x)$ 是負的，直接積分會把那塊面積扣掉。

(E) 錯誤。 兩個性質寫反了：奇函數 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$，偶函數 ${\int }_{-a}^{a}g(x)dx=2{\int }_0^{a}g(x)dx$。例如 $f(x)=x$、$a=1$：${\int }_{-1}^{1}xdx=0$，但 $2{\int }_0^{1}xdx=1$。

五個說法都錯，答案 (A)(B)(C)(D)(E)。

由圖，$1<x<2$ 時圖形在 $x$ 軸上方，$f(x)>0$；$2<x<6$ 時圖形在 $x$ 軸下方，$f(x)<0$。定積分是有號面積：$x$ 軸上方算正、下方算負。

(A) 正確。 ${\int }_1^{2}f(x)dx=R_1$。

(B) 錯誤。 這一段在 $x$ 軸下方，${\int }_2^{6}f(x)dx=-R_2$。

(C) 錯誤。 ${\int }_1^{6}f(x)dx=R_1+(-R_2)=R_1-R_2$。

(D) 錯誤。 取絕對值後兩塊都算正的，${\int }_1^6|f(x)|dx=R_1+R_2$。

(E) 正確。 $\left|{\int }_1^{6}f(x)dx\right|=|R_1-R_2|$，又 $R_2>R_1$，所以等於 $R_2-R_1$。

答案 (A)(E)。

(A) 正確。 由定積分的線性性質，${\int }_a^b\left[f(x)-g(x)\right]dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}g(x)dx>0$。

(B) 錯誤。 積分比較大只是「總量」比較大，不必每一點都比較大。反例（如下圖）：$[a,b]=[0,1]$，$f(x)=2x$，$g(x)=\frac{1}{2}$。${\int }_0^{1}2xdx=1>\frac{1}{2}={\int }_0^1\frac{1}{2}dx$，但 $x=0$ 時 $f(0)=0<g(0)$。

(C) 正確。 用反證：若每個 $x\in [a,b]$ 都有 $f(x)\le g(x)$，則 $f(x)-g(x)\le 0$，積分 ${\int }_a^b\left[f(x)-g(x)\right]dx\le 0$，與 (A) 矛盾。

(D) 正確。 $|f(x)|\ge f(x)$，所以 ${\int }_a^b|f(x)|dx\ge {\int }_a^{b}f(x)dx>{\int }_a^{b}g(x)dx$。

(E) 錯誤。 反例：$[a,b]=[0,1]$，$f(x)=-1$，$g(x)=-2$。${\int }_0^{1}f(x)dx=-1>-2={\int }_0^{1}g(x)dx$，但 $|-1|=1<2=|-2|$。

答案 (A)(C)(D)。

① 由餘式定理，$f(x)$ 除以 $x+1$ 的餘式是 $f(-1)=a-b+1=6$，得 $a-b=5$。

② 由微積分基本定理，${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)=(a+b+1)-1=a+b=1$。

③ 兩式相加得 $2a=6$，$a=3$，$b=-2$。

答案 $(a,b)=(3,-2)$。

① 先求 ${\int }_2^{3}f(x)dx$。由區間可加性（如下圖）：${\int }_1^3+{\int }_2^4$ 比 ${\int }_1^4$ 多算了一次 $[2,3]$ 這一段，所以

$${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_1^{3}f(x)dx+{\int }_2^{4}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx=4+6-8=2$$

② 由線性性質：${\int }_2^3\left(5f(x)+4x-1\right)dx=5{\int }_2^{3}f(x)dx+{\int }_2^3(4x-1)dx$。

③ ${\int }_2^3(4x-1)dx={\left[2x^2-x\right]}_2^3=(18-3)-(8-2)=9$。

④ 所求 $=5\times 2+9=19$。

答案 $19$。

① 把 $[1,2]$ 分成 $n$ 等分，每段寬 $\frac{1}{n}$，第 $k$ 段的右端點是 $1+\frac{k}{n}=\frac{n+k}{n}$。

② 所以 $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(\frac{n+k}{n}\right)$ 是 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上取右端點的黎曼和（下圖的長方形面積和），$n\to \infty$ 時趨近 ${\int }_1^{2}f(x)dx$。

③ 由區間可加性，${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx-{\int }_0^{1}f(x)dx=5-3=2$。

答案 $2$。

① 因式分解：$x^3-3x^2-x+3=x^2(x-3)-(x-3)=(x-3)(x-1)(x+1)$，與 $x$ 軸交於 $x=-1,1,3$。

② 如下圖，$-1<x<1$ 時圖形在 $x$ 軸上方，$1<x<3$ 時在下方，面積要分兩段。

③ ${\int }_{-1}^1(x^3-3x^2-x+3)dx$：奇次項 $x^3$、$-x$ 在對稱區間積分為 $0$，剩 ${\int }_{-1}^1(-3x^2+3)dx=-2+6=4$。

④ ${\int }_1^3(x^3-3x^2-x+3)dx={\left[\frac{x^4}{4}-x^3-\frac{x^2}{2}+3x\right]}_1^3=\left(\frac{81}{4}-27-\frac{9}{2}+9\right)-\left(\frac{1}{4}-1-\frac{1}{2}+3\right)=-\frac{9}{4}-\frac{7}{4}=-4$。

⑤ 面積 $=4+|-4|=8$。

答案 $8$。

① $y=\sqrt{4-x^2}$ 是圓 $x^2+y^2=4$ 的上半圓。它與直線 $y=x$ 的交點：$x=\sqrt{4-x^2}$，$x\ge 0$，得 $x=\sqrt{2}$。

② 如下圖，$-2\le x<\sqrt{2}$ 時半圓在直線上方；$\sqrt{2}<x\le 2$ 時直線在上方。所以

$${\int }_{-2}^2\left|x-\sqrt{4-x^2}\right|dx={\int }_{-2}^{\sqrt{2}}\left(\sqrt{4-x^2}-x\right)dx+{\int }_{\sqrt{2}}^2\left(x-\sqrt{4-x^2}\right)dx$$

③ 用圓面積算 $\int \sqrt{4-x^2}dx$：整個上半圓 ${\int }_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx=2\pi$。

④ $x$ 從 $\sqrt{2}$ 到 $2$ 那一小塊，是圓心角 $45^{\circ }$ 的扇形 $\frac{\pi }{2}$ 減去兩股都是 $\sqrt{2}$ 的直角三角形 $1$，即 ${\int }_{\sqrt{2}}^2\sqrt{4-x^2}dx=\frac{\pi }{2}-1$。所以 ${\int }_{-2}^{\sqrt{2}}\sqrt{4-x^2}dx=2\pi -\left(\frac{\pi }{2}-1\right)=\frac{3\pi }{2}+1$。

⑤ ${\int }_{-2}^{\sqrt{2}}xdx=\frac{2-4}{2}=-1$，${\int }_{\sqrt{2}}^{2}xdx=\frac{4-2}{2}=1$。

⑥ 第一段 $=\left(\frac{3\pi }{2}+1\right)-(-1)=\frac{3\pi }{2}+2$；第二段 $=1-\left(\frac{\pi }{2}-1\right)=2-\frac{\pi }{2}$。

⑦ 相加：$\frac{3\pi }{2}+2+2-\frac{\pi }{2}=4+\pi$。

答案 $4+\pi$。

① 兩函數相減：$f(x)-g(x)=x^3-6x^2+8x=x(x-2)(x-4)$，兩圖形交於 $x=0,2,4$。

② 如下圖，$0<x<2$ 時 $f(x)>g(x)$，$2<x<4$ 時 $f(x)<g(x)$，面積分兩段算「上減下」。

③ ${\int }_0^2(x^3-6x^2+8x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-2x^3+4x^2\right]}_0^2=4-16+16=4$。

④ ${\int }_2^4(x^3-6x^2+8x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-2x^3+4x^2\right]}_2^4=(64-128+64)-4=-4$。

⑤ 面積 $=4+|-4|=8$。

答案 $8$。

① 高斯函數在每個整數區間上是常數：$2\le x<3$ 時 $[x]=2$，$3\le x<4$ 時 $[x]=3$，$4\le x<5$ 時 $[x]=4$。

② 如下圖，積分就是三個寬 $1$ 的長方形面積相加（分段點只有一點，不影響積分）。

③ ${\int }_2^5[x]dx=2\times 1+3\times 1+4\times 1=9$。

答案 $9$。

① 第 $4$ 年底到第 $8$ 年底就是 $4\le t\le 8$。函數在區間上的平均值是「積分除以區間長」：

$$\frac{1}{8-4}{\int }_4^8\left(1.5t^2+t+7\right)dt$$

② ${\int }_4^8\left(\frac{3}{2}{t}^2+t+7\right)dt={\left[\frac{1}{2}{t}^3+\frac{1}{2}{t}^2+7t\right]}_4^8=(256+32+56)-(32+8+28)=344-68=276$。

③ 平均高度 $=\frac{276}{4}=69$（公分）。下圖中高 $69$ 的長方形面積與曲線下的面積相等。

答案 $69$ 公分。

① 令 $F(x)={\int }_4^x\frac{1}{t+\sqrt{t}}dt$，則 $F(4)=0$，所求 $=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{F(x)-F(4)}{x-4}=F^{\prime }(4)$。

② 由微積分基本定理，$F^{\prime }(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x}}$。

③ $F^{\prime }(4)=\frac{1}{4+2}=\frac{1}{6}$。

答案 $\frac{1}{6}$。

① $f(x)=-x^2+2x+8=-(x-4)(x+2)$，$-2<x<4$ 時 $f(x)>0$，其餘 $f(x)\le 0$。

② 積分區間包含一段 $f(x)>0$ 的部分會使積分變大，包含一段 $f(x)<0$ 的部分會使積分變小。所以取 $[a,b]=[-2,4]$，恰好把下圖中 $x$ 軸上方的部分全部包進來，積分最大。

③ ${\int }_{-2}^4(-x^2+2x+8)dx={\left[-\frac{x^3}{3}+x^2+8x\right]}_{-2}^4=\left(-\frac{64}{3}+16+32\right)-\left(\frac{8}{3}+4-16\right)=-24+60=36$。

答案 $36$。

① 每個和都用黎曼和：$\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^p\to {\int }_0^1{x}^{p}dx=\frac{1}{p+1}$，所以 $1^p+2^p+\cdots +n^p$ 大約是 $\frac{n^{p+1}}{p+1}$。

② 分子分母同除以 $n^{14}$（分子 $n^4\cdot n^{10}$、分母 $n^6\cdot n^8$ 都是 $n^{14}$）：

$$\frac{\left(\frac{1}{n}\sum {\left(\frac{k}{n}\right)}^3\right)\left(\frac{1}{n}\sum {\left(\frac{k}{n}\right)}^9\right)}{\left(\frac{1}{n}\sum {\left(\frac{k}{n}\right)}^5\right)\left(\frac{1}{n}\sum {\left(\frac{k}{n}\right)}^7\right)}\to \frac{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{10}}{\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{8}}=\frac{1}{40}\times 48=\frac{6}{5}$$

答案 $\frac{6}{5}$。

① 定積分 ${\int }_0^{2}g(t)dt$、${\int }_0^{1}f(t)dt$ 都是常數，設 $A={\int }_0^{2}g(t)dt$，$B={\int }_0^{1}f(t)dt$，則 $f(x)=x+1+A$，$g(x)=2x-3+B$。

② $B={\int }_0^1(t+1+A)dt=\frac{1}{2}+1+A=\frac{3}{2}+A$。

③ $A={\int }_0^2(2t-3+B)dt=4-6+2B=-2+2B$。

④ 把 ② 代入 ③：$A=-2+3+2A$，得 $A=-1$，$B=\frac{1}{2}$。

⑤ $f(x)=x$，$g(x)=2x-\frac{5}{2}$，$4f(x)-2g(x)=4x-4x+5=5$。

答案 $5$。

① 拆成兩項：${\int }_{-2}^2{x}^3\cos \frac{x}{5}\sqrt{4-x^2}dx+\frac{1}{2}{\int }_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx$。

② 第一項：$x^3$ 是奇函數，$\cos \frac{x}{5}$、$\sqrt{4-x^2}$ 是偶函數，乘起來是奇函數，在對稱區間 $[-2,2]$ 的積分為 $0$。

③ 第二項：$y=\sqrt{4-x^2}$ 是半徑 $2$ 的上半圓（如下圖），${\int }_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx=\frac{1}{2}\pi \cdot 2^2=2\pi$，乘以 $\frac{1}{2}$ 得 $\pi$。

答案 $\pi$。

① 取圓心為原點、直徑 $\overline{AB}$ 在 $x$ 軸上，$A(-4,0,0)$、$B(4,0,0)$。設 $P(x,0,0)$，$-4\le x\le 4$。

② 過 $P$ 垂直 $\overline{AB}$ 的弦 $\overline{QR}$ 長 $2\sqrt{16-x^2}$。三角形 $SQR$ 立在垂直 $xy$ 平面、也垂直 $x$ 軸的平面上（如下圖），所以它就是立體在 $x$ 處的截面。

③ 截面積 $A(x)=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{16-x^2}\cdot 5=5\sqrt{16-x^2}$。

④ 體積 $={\int }_{-4}^{4}A(x)dx=5{\int }_{-4}^4\sqrt{16-x^2}dx$，而 ${\int }_{-4}^4\sqrt{16-x^2}dx$ 是半徑 $4$ 的半圓面積 $8\pi$。

⑤ 體積 $=5\times 8\pi =40\pi$。

答案 $40\pi$。