臺南二中 114 上
高二第三次段考
數學試題、答案與詳解

判斷依據：$O$ 不在直線 $AB$ 上時，$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 不平行。

$P$ 在直線 $AB$ 上，恰好是 $\overrightarrow{OP}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}$ 且 $\alpha +\beta =1$。

(A) 正確。 由 $\overrightarrow{PA}=-3\overrightarrow{PB}$ 得 $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}=-3\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}\right)$。

整理成 $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$，係數和 $1$，$P$ 在線段 $AB$ 上。

(B) 正確。 係數和 $\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1$，$P$ 是 $\overline{AB}$ 上的內分點。

(C) 正確。 係數和 $2+(-1)=1$。此時 $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$，$P$ 在 $A$ 的外側。

(D) 錯誤。 $\overrightarrow{OA}=2\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}\right)$，得 $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，係數和 $\frac{1}{2}\ne 1$。

(E) 錯誤。 $\overrightarrow{OP}=\frac{4}{7}\overrightarrow{OA}-\frac{3}{7}\overrightarrow{OB}$，係數和 $\frac{1}{7}\ne 1$。

答案 (A)(B)(C)。

(A) 正確。 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos \theta =0$，兩向量都不是零向量，所以 $\cos \theta =0$，$\theta =90^{\circ }$。

(B) 錯誤。 左邊是 $\vec{c}$ 的倍數，右邊是 $\vec{a}$ 的倍數，方向一般不同。

反例：$\vec{a}=\vec{b}=(1,0)$，$\vec{c}=(0,1)$。左邊 $1\cdot (0,1)=(0,1)$，右邊 $(1,0)\cdot 0=(0,0)$。

(C) 錯誤。 平行也可能反向，例如 $\vec{b}=-\vec{a}$，夾角是 $180^{\circ }$。

(D) 正確。 不平行時，$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{a}+\vec{b}$ 圍成一個真正的三角形（見圖）。

三角形兩邊長的和大於第三邊，所以 $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|<\left|\vec{a}\right|+\left|\vec{b}\right|$。

(E) 正確。 若 $x\ne 0$，則 $\vec{a}=-\frac{y}{x}\vec{b}$，$\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 平行，矛盾，所以 $x=0$。

代回得 $y\vec{b}=\vec{0}$，而 $\vec{b}\ne \vec{0}$，所以 $y=0$。

答案 (A)(D)(E)。

(A) 錯誤。 坡度 $10\%$ 是「水平前進 $100$ 公尺升高 $10$ 公尺」，表示 $\tan \theta =0.1$。

而 $\tan 10^{\circ }\approx 0.176$，不是 $0.1$；夾角約 $5.7^{\circ }$，不是 $10$ 度。

(B) 正確。 設長段 $x$、短段 $1$，則 $x:1=(x+1):x$，得 $x^2=x+1$。

取正根 $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

(C) 正確。 設正方形邊長 $2$，$\overline{EC}=t$，則 $\overline{DE}=2-t$，$\overline{DM}=1$。

摺過去後 $\overline{EM}=\overline{EC}=t$。在直角 $△MDE$ 中：$1^2+(2-t{)}^2=t^2$，得 $t=\frac{5}{4}$。

所以 $\overline{DE}=\frac{3}{4}$，$\overline{EM}=\frac{5}{4}$，$\overline{DE}:\overline{EM}=3:5$。

(D) 正確。 摺過去後 $\angle GME=\angle BCD=90^{\circ }$，所以 $\angle AMG+\angle DME=90^{\circ }$。

又 $\angle DEM+\angle DME=90^{\circ }$，得 $\angle AMG=\angle DEM$，$△GAM\sim △MDE$。

$\overline{AG}:\overline{AM}=\overline{DM}:\overline{DE}$，即 $\overline{AG}=1\times \frac{1}{3/4}=\frac{4}{3}$。

所以 $\overline{AG}:\overline{AB}=\frac{4}{3}:2=2:3$。

(E) 正確。 單點透視圖裡，與視線方向平行、向後退的稜線（天花板與牆、地板與牆的四條交線）延長後交於一點，就是消失點。

把這幾條稜線往裡延長，交在 $B$ 點。

答案 (B)(C)(D)(E)。

把每個向量寫成「終點減起點」：$(A-P)+(B-P)+2(C-P)=\vec{0}$。

所以 $4P=A+B+2C=(2-3-2,-3+7+2)=(-3,6)$。

$P=\left(-\frac{3}{4},\frac{3}{2}\right)$，也就是 $\overline{AB}$ 中點與 $C$ 連線的中點。

答案 $\left(-\frac{3}{4},\frac{3}{2}\right)$。

① $P$ 在線段 $AB$ 上（內分點）：$P=\frac{1\cdot A+2\cdot B}{3}=\left(\frac{-3+4}{3},\frac{5+2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3},\frac{7}{3}\right)$。

② $P$ 在 $B$ 的外側（外分點）：$\overline{AP}=2\overline{PB}$ 表示 $B$ 是 $\overline{AP}$ 的中點。

$P=2B-A=(4+3,2-5)=(7,-3)$。

③ $P$ 不可能在 $A$ 的外側，因為那樣 $\overline{AP}<\overline{PB}$。

答案 $\left(\frac{1}{3},\frac{7}{3}\right)$ 或 $(7,-3)$。

$\vec{a}+\vec{b}=(2-1,-1+x)=(1,x-1)$。

與 $\vec{c}=(-1,2)$ 平行，坐標成比例：$1\times 2-(x-1)\times (-1)=0$。

$2+x-1=0$，$x=-1$。

驗算：$\vec{a}+\vec{b}=(1,-2)=-\vec{c}$，確實平行。

答案 $-1$。

重心坐標是三頂點坐標的平均：$G=\frac{A+B+C}{3}$。

所以 $C=3G-A-B=(-6-1-3,6-2+3)=(-10,7)$。

答案 $(-10,7)$。

以 $O$ 為起點寫各點的位置向量。

① $\overline{AP}:\overline{PB}=2:3$，分點公式：$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{OB}$。

② $\overline{OC}:\overline{CB}=1:2$，$C$ 在 $\overline{OB}$ 上：$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$。

③ $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{OB}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{15}\overrightarrow{OB}$。

答案 $(r,s)=\left(\frac{3}{5},\frac{1}{15}\right)$。

$\overrightarrow{AB}=(-5,3)$，$\overrightarrow{AC}=(4,-1)$。

${\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2=34$，${\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2=17$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-20-3=-23$。

$$△ABC=\frac{1}{2}\sqrt{{\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2{\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2-{\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{578-529}=\frac{1}{2}\sqrt{49}=\frac{7}{2}$$

答案 $\frac{7}{2}$。

$x$ 從 $-1$ 到 $2$、$y$ 從 $-2$ 到 $1$，$P$ 跑出一個平行四邊形。

它的兩邊是 $3\overrightarrow{AB}$（$x$ 的範圍長 $3$）與 $3\overrightarrow{AC}$（$y$ 的範圍長 $3$）。

以 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 為邊的平行四邊形面積是 $2\times \frac{7}{2}=7$。

兩邊各放大 $3$ 倍，面積放大 $3\times 3=9$ 倍：$7\times 9=63$。

答案 $63$。

設 $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(6,4)$、$D(0,4)$。

$E$ 是 $\overline{BC}$ 中點：$E(6,2)$。$F$ 在 $\overline{CD}$ 上且 $\overline{CF}=\frac{1}{3}\overline{CD}=2$：$F(4,4)$。

$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=(6,2)\cdot (4,4)=24+8=32$。

答案 $32$。

取方向向量：$L_1$ 的斜率 $-\frac{2}{\sqrt{3}}$，方向向量 $\vec{u}=(\sqrt{3},-2)$；$L_2$ 的斜率 $\frac{1}{3\sqrt{3}}$，方向向量 $\vec{v}=(3\sqrt{3},1)$。

$\vec{u}\cdot \vec{v}=9-2=7$，$\left|\vec{u}\right|=\sqrt{7}$，$\left|\vec{v}\right|=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。

$\cos \theta =\frac{7}{\sqrt{7}\times 2\sqrt{7}}=\frac{1}{2}$，$\theta =60^{\circ }$。

兩直線相交形成兩組對頂角，另一個交角是 $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$。

答案 $60$ 或 $120$ 度。

先算 $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 3\times \cos 120^{\circ }=-3$。

$$\left(\vec{a}-3\vec{b}\right)\cdot \left(2\vec{a}+\vec{b}\right)=2{\left|\vec{a}\right|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}-6\vec{a}\cdot \vec{b}-3{\left|\vec{b}\right|}^2$$

$=8-5\times (-3)-27=8+15-27=-4$。

答案 $-4$。

長度先平方再展開：

$${\left|2\vec{a}+\vec{b}\right|}^2=4{\left|\vec{a}\right|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+{\left|\vec{b}\right|}^2=16-12+9=13$$

所以 $\left|2\vec{a}+\vec{b}\right|=\sqrt{13}$。

答案 $\sqrt{13}$。

$\overrightarrow{AC}=(-20,15)$，取同方向的 $\vec{u}=(-4,3)$；$\overrightarrow{AB}=(-15,5)$。

$D$ 是 $B$ 在直線 $AC$ 上的垂足，$\overrightarrow{AD}$ 就是 $\overrightarrow{AB}$ 在 $\vec{u}$ 方向的正射影：

$$\overrightarrow{AD}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \vec{u}}{{\left|\vec{u}\right|}^2}\vec{u}=\frac{60+15}{25}(-4,3)=(-12,9)$$

$D=(11-12,2+9)=(-1,11)$。

驗算：$\overrightarrow{BD}=(3,4)$，$(3,4)\cdot (-4,3)=0$，確實垂直。

答案 $(-1,11)$。

$\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{BC}$ 起點不同，先改寫：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$。

$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overline{BA}\cdot \overline{BC}\cos B=\frac{{\overline{BA}}^2+{\overline{BC}}^2-{\overline{AC}}^2}{2}=\frac{16+25-36}{2}=\frac{5}{2}$。

所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-\frac{5}{2}$。

答案 $-\frac{5}{2}$。

$\overline{BD}$ 是 $\overrightarrow{BA}$ 在 $\overrightarrow{BC}$ 方向的正射影長：$\overline{BD}=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{\overline{BC}}=\frac{5/2}{5}=\frac{1}{2}$。

$\overline{BD}$ 是正的，$D$ 落在線段 $BC$ 上，$\overline{DC}=5-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$。

$\overline{BD}:\overline{DC}=1:9$，分點公式：$\overrightarrow{AD}=\frac{9}{10}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{10}\overrightarrow{AC}$。

答案 $(x,y)=\left(\frac{9}{10},\frac{1}{10}\right)$。

直線 $4x-3y=7$ 的方向向量 $\vec{d}=(3,4)$。向量在直線上的正射影只看方向，與直線的位置無關。

正射影相同，表示兩向量在 $\vec{d}$ 方向的分量相同：$\vec{x}\cdot \vec{d}=\vec{y}\cdot \vec{d}$。

$3a-20=18+4b$，所以 $3a-4b=38$。

答案 $38$。

每裁一次面積減半：A9 的面積是 $\frac{1}{2^9}=\frac{1}{512}$ 平方公尺。

A9 的寬長比也是 $1:\sqrt{2}$。設長為 $L$，寬為 $\frac{L}{\sqrt{2}}$，面積 $\frac{L^2}{\sqrt{2}}=\frac{1}{512}$。

以長為邊長的正方形面積 $L^2=\frac{\sqrt{2}}{512}$。

答案 $\frac{\sqrt{2}}{512}$ 平方公尺。

設 $\overrightarrow{OC}=(p,q)$。

① $\overrightarrow{OC}\perp \overrightarrow{OB}$：$-p+2q=0$，$p=2q$。

② $\overrightarrow{BC}=(p+1,q-2)$ 與 $(3,1)$ 平行：$(p+1)\times 1-(q-2)\times 3=0$，即 $p-3q+7=0$。

③ 代入 $p=2q$：$2q-3q+7=0$，$q=7$，$p=14$。

答案 $\overrightarrow{OC}=(14,7)$。