臺南二中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (D)。

(A) 錯誤。 反例 $f(x)=x^3$：$f^{\prime }(0)=0$，但 $f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$，$f(x)$ 一直遞增，在 $x=0$ 沒有極值。

(B) 錯誤。 反例 $f(x)=x^4$：$f^{\prime }(0)=0$ 且 $f(0)=0$ 是極小值，但 $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$，$f^{\prime \prime }(0)=0$，不是大於 $0$。

(C) 錯誤。 反例 $f(x)=x^3$ 是嚴格遞增函數，但 $f^{\prime }(0)=0$，不是大於 $0$。

(D) 正確。 反曲點是凹口方向改變的點，即 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=\alpha$ 左右變號；多項式的 $f^{\prime \prime }(x)$ 也是多項式、圖形連續不斷，左右變號就一定通過 $0$，所以 $f^{\prime \prime }(\alpha )=0$。

(E) 依學校答案不選。 本題的 $f(x)$ 是多項式，處處可微分，「在 $x=\beta$ 處不可微分」這個前提其實不會發生；嚴格就邏輯來說，前提不成立的敘述無法被推翻。命題的本意是考「不可微分不一定不連續」：例如 $g(x)=|x|$（不是多項式）在 $x=0$ 連續，但左導數 $-1$、右導數 $1$ 不相等，不可微分。可微分一定連續，反過來不一定。

答案 (C)。$f^{\prime }(x)$ 的圖形是過 $(-3,0)$、$(5,0)$ 且開口向下的拋物線，可設 $f^{\prime }(x)=-c(x+3)(x-5)$，$c>0$。於是 $-3<x<5$ 時 $f^{\prime }(x)>0$（遞增），$x<-3$ 或 $x>5$ 時 $f^{\prime }(x)<0$（遞減）。又 $f^{\prime \prime }(x)=-c(2x-2)=-2c(x-1)$。

(A) 錯誤。 $x<-3$ 時 $f(x)$ 遞減，$-7<-6$，所以 $f(-7)>f(-6)$。

(B) 錯誤。 $-3<x<1$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$，這一段凹口向上；只有 $x>1$ 才凹口向下。

(C) 正確。 $f^{\prime \prime }(x)=-2c(x-1)$ 在 $x=1$ 由正變負，所以 $(1,f(1))$ 是反曲點。

(D) 錯誤。 $f^{\prime \prime }(2)=-2c<0$。

(E) 錯誤。 交點個數要看 $g(x)=f(x)-x$ 與水平線 $y=k$ 的交點，不是看 $f(x)$ 的極值。反例：取 $c=\frac{1}{32}$，$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{32}(x+3)(x-5)$ 的最大值是 $f^{\prime }(1)=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}$，所以 $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1<0$ 恆成立，$g(x)$ 一直遞減，$f(x)=x+k$ 最多一個實根；這時 $f(-3)<f(5)$，可以取 $k$ 介於兩者之間，但交點只有一個。

答案 (B)(D)。$f^{\prime }(x)=-6x^2-6x+12=-6(x+2)(x-1)$，$f^{\prime \prime }(x)=-12x-6$。

(A) 錯誤。 $f(-1)=2-3-12-1=-14$，$f^{\prime }(-1)=-6+6+12=12$，一次近似為 $y=-14+12(x+1)=12x-2$，不是 $12x+12$。

(B) 正確。 $f^{\prime }(x)=-6(x+2)(x-1)$ 在 $x=-2$ 由負變正、在 $x=1$ 由正變負，所以有極小值 $f(-2)$ 與極大值 $f(1)$。

(C) 錯誤。 $-6<x<-2$ 時 $f^{\prime \prime }(x)=-12x-6>0$，圖形在這一段凹口向上；凹口向上時，連接 $(a,f(a))$、$(b,f(b))$ 的線段在圖形上方，線段中點的縱坐標 $\frac{f(a)+f(b)}{2}$ 大於 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$，不等號方向相反。

(D) 正確。 依導數的定義，這個極限就是 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=-1$ 的導數 $f^{\prime \prime }(-1)=12-6=6$。

(E) 錯誤。 反曲點在 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 即 $x=-\frac{1}{2}$，切線斜率 $f^{\prime }\left(-\frac{1}{2}\right)=-6\left(\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{27}{2}>0$。

答案 (A)(B)(E)。

(A) 正確。 $x$ 在 $1$ 附近時 $x>0$，$f(x)=x\cdot x=x^2$，可微分，$f^{\prime }(1)=2$。

(B) 正確。 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+h}-1}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+h}+1}=\frac{1}{2}$，極限存在，可微分。

(C) 錯誤。 $x-x^2=x(1-x)$，$x$ 略大於 $1$ 時為負，$f(x)=x^2-x$，右導數 $2\cdot 1-1=1$；$x$ 略小於 $1$ 時為正，$f(x)=x-x^2$，左導數 $1-2=-1$。左右導數不相等，不可微分。

(D) 錯誤。 $f(1)=[0]=0$，但 $x$ 略小於 $1$ 時 $x-1$ 介於 $-1$ 與 $0$ 之間，$f(x)=-1$，左極限 $-1\ne f(1)$，在 $x=1$ 不連續，所以不可微分。

(E) 正確。 $x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)$，$x\ne 1$ 時 $f(x)=x^2+x-1$；而 $x=1$ 時 $1^2+1-1=1$，正好等於 $f(1)$。所以 $f(x)=x^2+x-1$ 對所有實數都成立，是多項式，可微分。

可微分必連續：$x=1$ 時右段的值 $1+5=6$，左段趨近 $a-b$，所以 $a-b=6$。

左右導數相等：右段 $(x^3+5x{)}^{\prime }=3x^2+5$ 在 $x=1$ 為 $8$；左段 $(a{x}^2-b{)}^{\prime }=2ax$ 在 $x=1$ 為 $2a$。$2a=8$，$a=4$，$b=a-6=-2$。$(a,b)=(4,-2)$。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$ 開口向上，$f(x)$ 只在 $[-2,4]$ 上遞減，表示 $f^{\prime }(x)\le 0$ 恰好在 $-2\le x\le 4$，即 $-2$、$4$ 是 $f^{\prime }(x)=0$ 的兩根：$f^{\prime }(x)=3(x+2)(x-4)=3x^2-6x-24$，所以 $2a=-6$、$b=-24$，$a=-3$。

$f^{\prime \prime }(x)=6x-6=0$ 得 $x=1$，且 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=1$ 左右變號；$f(1)=1-3-24+2=-24$，反曲點為 $(1,-24)$。

$3^2+2\cdot 3+3=18\ne 14$，$P$ 不在拋物線上，先設切點 $(t,t^2+2t+3)$。$f^{\prime }(x)=2x+2$，切線為 $y=(2t+2)(x-t)+t^2+2t+3$。

切線過 $P(3,14)$：$14=(2t+2)(3-t)+t^2+2t+3=-t^2+6t+9$，整理得 $t^2-6t+5=0$，$(t-1)(t-5)=0$，$t=1$ 或 $t=5$。

$t=1$：切點 $(1,6)$，斜率 $4$，切線 $y=4x+2$，即 $4x-y+2=0$。$t=5$：切點 $(5,38)$，斜率 $12$，切線 $y=12x-22$，即 $12x-y-22=0$。

直線 $5x-y=0$ 的斜率為 $5$。令 $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-4=5$，$3x^2+6x-9=0$，$x^2+2x-3=0$，$x=1$ 或 $x=-3$。

$x=1$：$f(1)=1+3-4+7=7$，切線 $y-7=5(x-1)$，即 $5x-y+2=0$。$x=-3$：$f(-3)=-27+27+12+7=19$，切線 $y-19=5(x+3)$，即 $5x-y+34=0$。

$f^{\prime \prime }(x)$ 是一次式，所以 $f(x)$ 是三次多項式，設 $f(x)=p{x}^3+q{x}^2+cx+d$，$f^{\prime \prime }(x)=6px+2q=6x+6$，比較係數得 $p=1$、$q=3$，於是 $f(x)=x^3+3x^2+cx+d$。$f^{\prime \prime }(x)=0$ 得 $x=-1$，且左右變號，反曲點在 $x=-1$。

切線 $12x+y+6=0$ 即 $y=-12x-6$，斜率 $-12$；$x=-1$ 時 $y=12-6=6$，切點為 $(-1,6)$。

$f^{\prime }(-1)=3-6+c=-12$，$c=-9$；$f(-1)=-1+3+9+d=6$，$d=-5$。$f(x)=x^3+3x^2-9x-5$。

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=2$ 存在而分母趨近 $0$，分子也要趨近 $0$，所以 $f(0)=0$；這個極限正好是 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)=2$。

設 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+2x$。$x=-1$ 有極大值 $4$：$f^{\prime }(-1)=3a-2b+2=0$，$f(-1)=-a+b-2=4$。由第二式 $b=a+6$，代入第一式 $3a-2a-12+2=0$，$a=10$，$b=16$。

$f(x)=10x^3+16x^2+2x$。檢查：$f^{\prime \prime }(x)=60x+32$，$f^{\prime \prime }(-1)=-28<0$，$x=-1$ 確實是極大。

拋物線上的點 $(x,x^2-x)$ 到 $A(3,0)$ 的距離平方為 $D(x)=(x-3{)}^2+{\left(x^2-x\right)}^2$。距離最小與距離平方最小發生在同一點。

$D^{\prime }(x)=2(x-3)+2\left(x^2-x\right)(2x-1)=2\left(2x^3-3x^2+2x-3\right)=2(2x-3)\left(x^2+1\right)$。$x^2+1>0$，所以 $x<\frac{3}{2}$ 時 $D^{\prime }(x)<0$、$x>\frac{3}{2}$ 時 $D^{\prime }(x)>0$，$D(x)$ 在 $x=\frac{3}{2}$ 有最小值。

此時 $y=\frac{9}{4}-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$，所求點為 $\left(\frac{3}{2},\frac{3}{4}\right)$。

設鑲金邊的那一股長 $b$ 公尺、斜邊長 $c$ 公尺，固定在旗桿上的另一股長 $a$ 公尺。$b+c=6$，$c=6-b$，且 $c>b$，所以 $0<b<3$。

$a^2=c^2-b^2=(6-b{)}^2-b^2=36-12b$。面積 $S=\frac{1}{2}ab$，$S^2=\frac{1}{4}{b}^2(36-12b)=9b^2-3b^3$。

令 $g(b)=9b^2-3b^3$，$g^{\prime }(b)=18b-9b^2=9b(2-b)$，在 $0<b<2$ 為正、$2<b<3$ 為負，所以 $b=2$ 時 $g(b)$ 最大，$g(2)=36-24=12$，$S$ 的最大值為 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ 平方公尺。

由圖：上下兩條截去的長條寬都是 $x$，左邊兩個角是邊長 $x$ 的正方形。展開圖由左到右依序是寬 $x$ 的側面、底面、寬 $x$ 的側面、蓋子，底面與蓋子一樣寬；設這個寬為 $w$，則 $x+w+x+w=18$，$w=9-x$。底面另一邊上下各留寬 $x$ 的側面，長為 $18-2x$。所以長方體的長、寬、高為 $18-2x$、$9-x$、$x$，且 $0<x<9$。

容積 $V(x)=x(18-2x)(9-x)=2x(9-x{)}^2$。 $V^{\prime }(x)=2(9-x{)}^2-4x(9-x)=2(9-x)(9-3x)=6(9-x)(3-x)$。

在 $0<x<3$ 時 $V^{\prime }(x)>0$、$3<x<9$ 時 $V^{\prime }(x)<0$，所以 $x=3$ 時容積最大，$m=V(3)=2\cdot 3\cdot 36=216$。$(x,m)=(3,216)$。