新竹高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學：試題、答案與詳解

Q: 新竹高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 新竹高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題第 (3)(4) 項要檢查等號能不能成立、第 4 題有效數字與小數點後第幾位的判讀、第 13 題要看出兩段解對稱於同一點，以及第 15 題「增加 a 倍」是變成原來的 1 加 a 倍。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）｜多選題 4 題（24 分）、填充題 9 題（54 分）、計算題 3 題（22 分）

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解。不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

試題

一、多選題（占 24 分；第 1 題至第 4 題，每題 6 分，6－4－2－0）

若

a

、

b

、

c

皆為實數，請選出錯誤的選項。

(1) 若 $a > b$ ，則 $a c > b c$
(2) 若 $a > b$ ，則 $a^{2} > b^{2}$
(3) 若 $a > b$ ，則 $a ∣ c ∣ > b ∣ c ∣$
(4) 若 $a > b$ ，則 $a + b > a - b$
(5) 若 $a > b$ ，則 $\frac{a}{b} > 1$

在數線上，有五個點的坐標分別為

A (11)

、

B (13)

、

C (15)

、

D (17)

、

E (19)

，若

a = \overline{A C}

、

b = \overline{B D}

、

c = \overline{C E}

，

\overline{A E}

的中點為

M

，

\overline{B D}

的中點為

N

，請選出正確的選項。

(1) $a = 15 - 11$
(2) $\frac{1}{b} = \frac{17 + 13}{4}$
(3) $a < b$
(4) $c < b < a$
(5) $M$ 在 $N$ 的左邊且 $N$ 在 $C$ 的左邊

已知

x > 0

、

y > 0

，請選出正確的選項。

(1) $x + \frac{4}{x}$ 之最小值為 $4$
(2) $x + \frac{1}{x}$ 之最小值為 $2$
(3) $x + \frac{1}{x - 1}$ 之最小值為 $3$
(4) $x^{2} + \frac{4}{x ^{2} + 2}$ 之最小值為 $2$
(5) 若 $x + 2 y = 4$ ，則 $3^{x} + 9^{y}$ 之最小值 $27$

請選出正確的選項：（已知

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

）

(1) 將 $20250923$ 化成科學記號，並以 $3$ 位有效數字表示的結果為 $2.025 \times 1 0^{7}$
(2) $4^{50}$ 是 $30$ 位正整數
(3) $3^{- 20}$ 從小數點後第 $20$ 位開始出現不為 $0$ 的數字
(4) 若 $lo g k = 9.8$ ，則 $k$ 的最高位數字為 $6$
(5) 若 $lo g a = - 23.4$ ，則 $a$ 從小數點後第 $24$ 位開始出現不為 $0$ 的數字

二、填充題（占 54 分；第 5 題至第 13 題，答對 1～9 格依序得 8、16、24、30、36、42、46、50、54 分）

化簡

1 0^{\frac{1}{2} l o g 4 - 2 l o g 3} + (0.125)^{4} \cdot 4^{6} =

____。

計算

3. \overline{45} \times 0.2 \overline{4} =

____。（以最簡分數表示）

在數線上，已知

A (x)

，

B (y)

為數線上兩點，且

x < y

。點

P (17)

在

\overline{A B}

上，點

Q (47)

在

\overline{A B}

外，且滿足

\overline{A P} : \overline{B P} = \overline{A Q} : \overline{B Q} = 5 : 3

，則數對

(x, y) =

____。

已知

a

是有理數，且

21 - 123 + a 31 - 348

也是有理數，則

a =

____。

求滿足方程式

∣ x - 1∣ + 2∣ x - 3∣ = x + 4

的所有

x

值之總和為 ____。

如圖，

\overline{A B} = 1 + 2

，

\overline{B C} = 6 + 42

，

B

在

\overline{A C}

上，以

\overline{A C}

為直徑作半圓，並過

B

作垂直於

\overline{A C}

的直線交半圓於

D

點。若

\overline{A D} = a + b 2

（其中

a

，

b

為有理數），則數對

(a, b) =

____。

載入中...

若

x = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}

，則

\frac{x}{1 - x ^{2}} + \frac{1 - x ^{2}}{x} =

____。

若實數

a

滿足

1 7^{17} = a \times 1 7^{16} + 1 7^{15}

，則

\frac{a}{18} =

____。

設

a

、

b

、

c

均為實數，

a \neq = 0

，若不等式

b \leq ∣ a x + 3∣ \leq c

的解為

- 7 \leq x \leq - 2

或

5 \leq x \leq 10

，則

a + b + c

之值為 ____。

三、計算題（占 22 分；第 14 題至第 16 題）

設兩正數

a = 7 + 5

、

b = 7 - 5

，試求下列各值。(1)

a^{3} + b^{3} =

？（3 分）(2)

a^{6} + b^{6} =

？（3 分）(3) 若

(7 + 5)^{6} = P + α

且

P

為正整數，

0 \leq α < 1

，則

P =

？（3 分）

生物學家發現一種新型細菌數量每經過

1

日增加

a

倍，且

2

日後細菌數為

500

個，

4 \frac{1}{2}

日後細菌數為

121500

個，則 (1) 試選出

a

之值。(A)

2

(B)

3

(C)

5

(D)

8

(E)

10

（單選，2 分）(2) 試求

5

日後細菌數。（3 分）

若某商品年銷售量

x

（公噸）與廣告行銷費用

m

（萬元）滿足

x = 4 - \frac{k}{m + 1}

，

m \geq 0

，若不行銷時（即

m = 0

）年銷量為

2

公噸。該產品每年不管生產幾公噸需花費固定成本

8

萬元，而每生產

1

公噸需再增加成本

16

萬元。廠商將每公噸產品的銷售價格定為每公噸產品之年平均生產成本的

1.5

倍。試回答下列問題：(1) 求

k

的值。（2 分）(2) 將該產品的年銷售利潤

P

（萬元）表示為廣告行銷費用

m

（萬元）的函數。（即用

m

表示利潤）（3 分）註：利潤等於收入減去成本及行銷費用。(3) 求使年銷售利潤最大時的廣告行銷費用以及最大利潤為何？（3 分）

答案一覽

第 1 題　(1)(2)(3)(4)(5)

第 2 題　(1)(2)(4)(5)

第 3 題　(1)(2)

第 4 題　(4)(5)

第 5 題　 $\frac{11}{9}$

第 6 題　 $\frac{38}{45}$

第 7 題　 $(7, 23)$

第 8 題　 $- \frac{2}{3}$

第 9 題　 $\frac{25}{4}$

第 10 題　 $(3, 2)$

第 11 題　 $4$

第 12 題　 $\frac{16}{17}$

第 13 題　 $22$

第 14 題　(1) $447$ ；(2) $13536$ ；(3) $13535$

第 15 題　(1) (D)；(2) $364500$ 個

第 16 題　(1) $2$ ；(2) $P (m) = 36 - (m + \frac{16}{m + 1})$ ；(3) $m = 3$ 萬元時，最大利潤 $29$ 萬元

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

逐題詳解

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

多選 1～2：不等式的性質、根式比大小

第 1 題答案 (1)(2)(3)(4)(5)，五個都是錯誤敘述，各舉一個反例。(1)

c = 0

時

a c = b c

；

c < 0

時不等號反向。(2)

a = 0, b = - 1

：

a^{2} = 0 < 1 = b^{2}

。(3)

c = 0

時兩邊都是

0

。(4)

a + b > a - b

等價於

b > 0

，取

a = 1, b = - 1

就不成立。(5)

a = 1, b = - 1

：

\frac{a}{b} = - 1 < 1

。

不等式兩邊同乘、同除、平方時，一定要先確認正負。

第 2 題答案 (1)(2)(4)(5)。(1) 對：

a = 15 - 11

。(2) 對：

b = 17 - 13

，

\frac{1}{b} = \frac{17 + 13}{17 - 13} = \frac{17 + 13}{4}

。(3) 錯、(4) 對：有理化得

a = \frac{4}{15 + 11}

、

b = \frac{4}{17 + 13}

、

c = \frac{4}{19 + 15}

，分子相同，分母越大值越小，所以

c < b < a

。(5) 對：

M = \frac{11 + 19}{2}

、

N = \frac{13 + 17}{2}

，平方後分別是

\frac{30 + 2 209}{4}

與

\frac{30 + 2 221}{4}

，所以

M < N

；又

N^{2} = \frac{30 + 2 221}{4} < \frac{30 + 2 \times 15}{4} = 15 = C^{2}

（因

221 < 225 = 15

），所以

N < C

。

兩根式相減比大小，先有理化成「同分子」再比分母。

多選 3～4：算幾不等式、常用對數

第 3 題答案 (1)(2)。(1) 對：

x + \frac{4}{x} \geq 24 = 4

，

x = 2

時等號成立。(2) 對：

x + \frac{1}{x} \geq 2

，

x = 1

時等號成立。(3) 錯：題目只給

x > 0

，當

0 < x < 1

時

x - 1 < 0

，

x

越靠近

1

，

\frac{1}{x - 1}

越小且沒有下界，所以沒有最小值（

x > 1

時最小才是

3

）。(4) 錯：

x^{2} + \frac{4}{x ^{2} + 2} = (x^{2} + 2) + \frac{4}{x ^{2} + 2} - 2 \geq 4 - 2 = 2

，但等號要

x^{2} + 2 = 2

即

x = 0

，不合

x > 0

，取不到

2

。(5) 錯：

3^{x} + 9^{y} = 3^{x} + 3^{2 y} \geq 2 3^{x + 2 y} = 2 3^{4} = 18

，

x = 2 y = 2

時等號成立，最小值是

18

不是

27

。

算幾不等式求極值要同時確認兩件事：乘積是定值、等號做得到。

第 4 題答案 (4)(5)。(1) 錯：取

3

位有效數字是

2.03 \times 1 0^{7}

（

2.025

是

4

位）。(2) 錯：

lo g 4^{50} = 100 lo g 2 \approx 30.10

，所以

4^{50}

是

31

位數。(3) 錯：

lo g 3^{- 20} = - 20 \times 0.4771 = - 9.542 = - 10 + 0.458

，

3^{- 20} = 1 0^{0.458} \times 1 0^{- 10}

，從小數點後第

10

位開始不為

0

。(4) 對：

k = 1 0^{0.8} \times 1 0^{9}

，而

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781 < 0.8 < 0.8451 = lo g 7

，所以

6 < 1 0^{0.8} < 7

，最高位數字是

6

。(5) 對：

- 23.4 = - 24 + 0.6

，

a = 1 0^{0.6} \times 1 0^{- 24}

，

1 \leq 1 0^{0.6} < 10

，從小數點後第

24

位開始不為

0

。

負的 log 值要先改寫成「負整數＋介於 0 與 1 之間的小數」再判讀。

填充 5～9：對數運算、循環小數、分點、雙重根號、絕對值

第 5 題

\frac{1}{2} lo g 4 - 2 lo g 3 = lo g 2 - lo g 9 = lo g \frac{2}{9}

，所以

1 0^{l o g \frac{2}{9}} = \frac{2}{9}

。

(0.125)^{4} \cdot 4^{6} = (2^{- 3})^{4} \cdot (2^{2})^{6} = 2^{- 12} \cdot 2^{12} = 1

。相加得

\frac{2}{9} + 1 = \frac{11}{9}

。

第 6 題

3. \overline{45} = 3 + \frac{45}{99} = 3 + \frac{5}{11} = \frac{38}{11}

；

0.2 \overline{4} = \frac{24 - 2}{90} = \frac{11}{45}

。相乘

\frac{38}{11} \times \frac{11}{45} = \frac{38}{45}

。

第 7 題

P

是

\overline{A B}

的內分點，

\overline{A P} : \overline{P B} = 5 : 3

，所以

\frac{3 x + 5 y}{8} = 17

，即

3 x + 5 y = 136

。

Q

在

\overline{A B}

外且

\overline{A Q} > \overline{B Q}

，所以

Q

在

B

的右邊，

B

是

\overline{A Q}

的內分點，

\overline{A B} : \overline{B Q} = 2 : 3

，得

y = \frac{3 x + 2 \cdot 47}{5}

，即

5 y - 3 x = 94

。兩式相加

10 y = 230

，

y = 23

，

x = 7

。答案

(7, 23)

。

流傳版本的參考答案印作「(7，123」，應為

(7, 23)

（可驗算：

\frac{3 \cdot 7 + 5 \cdot 23}{8} = 17

）。

第 8 題

21 - 123 = 21 - 2108

，找和為

21

、積為

108

的兩數

12

、

9

，得

12 - 9 = 23 - 3

。

348 = 123

，

31 - 2108

找和為

31

、積為

108

的

27

、

4

，得

33 - 2

。原式

= (23 - 3) + a (33 - 2) = (2 + 3 a) 3 - 3 - 2 a

，要是有理數就要

2 + 3 a = 0

，

a = - \frac{2}{3}

。

化雙重根號一律寫成「大減小」，開出來才是正數。

第 9 題以

1

、

3

分段。

x < 1

：

(1 - x) + 2 (3 - x) = 7 - 3 x = x + 4

，

x = \frac{3}{4}

，合。

1 \leq x < 3

：

(x - 1) + 2 (3 - x) = 5 - x = x + 4

，

x = \frac{1}{2}

，不在範圍內，捨去。

x \geq 3

：

(x - 1) + 2 (x - 3) = 3 x - 7 = x + 4

，

x = \frac{11}{2}

，合。總和

\frac{3}{4} + \frac{11}{2} = \frac{25}{4}

。

每一段解出來都要回頭檢查有沒有落在該段範圍。

填充 10～13：幾何與根式、指數律、由解反求係數

第 10 題

\overline{A C} = \overline{A B} + \overline{B C} = 7 + 52

。半圓上的圓周角是直角，

∠ A D C = 9 0^{\circ}

；

△ A B D

與

△ A D C

共用

∠ A

且各有一個直角，所以相似，得

\overline{A D}^{2} = \overline{A B} \cdot \overline{A C} = (1 + 2) (7 + 52) = 17 + 122

。

17 + 272

找和

17

、積

72

的

9

、

8

，

\overline{A D} = 3 + 8 = 3 + 22

，

(a, b) = (3, 2)

。

第 11 題

x^{2} = \frac{2 - 3}{4}

，

1 - x^{2} = \frac{2 + 3}{4}

。通分：原式

= \frac{x ^{2} + ( 1 - x ^{2} )}{x 1 - x ^{2}} = \frac{1}{x 1 - x ^{2}}

。而

x^{2} (1 - x^{2}) = \frac{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )}{16} = \frac{1}{16}

，

x 1 - x^{2} = \frac{1}{4}

，所以原式

= 4

。

先通分，不必把

x

化成雙重根號的形式。

第 12 題兩邊同除以

1 7^{15}

：

1 7^{2} = 17 a + 1

，

17 a = 288

，

a = \frac{288}{17}

。所以

\frac{a}{18} = \frac{16}{17}

。

第 13 題

∣ a x + 3∣ = ∣ a ∣ \cdot x + \frac{3}{a}

，它的值只跟

x

到

- \frac{3}{a}

的距離有關，所以解集合對稱於

x = - \frac{3}{a}

。兩段

[- 7, - 2]

、

[5, 10]

的對稱中心是

\frac{- 2 + 5}{2} = \frac{3}{2}

，得

- \frac{3}{a} = \frac{3}{2}

，

a = - 2

。此時

∣ - 2 x + 3∣ = 2 x - \frac{3}{2}

：內側端點

x = - 2

代入得

b = 2 \times \frac{7}{2} = 7

，外側端點

x = - 7

代入得

c = 2 \times \frac{17}{2} = 17

。

a + b + c = - 2 + 7 + 17 = 22

。

計算 14～16

第 14 題

a + b = 27

，

ab = 7 - 5 = 2

。(1)

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = 567 - 127 = 447

。(2)

a^{6} + b^{6} = (a^{3} + b^{3})^{2} - 2 (ab)^{3} = 4 4^{2} \times 7 - 2 \times 8 = 13552 - 16 = 13536

。(3) 因

7 < (1 + 5)^{2} = 6 + 25

，得

7 < 1 + 5

，所以

0 < b < 1

，

0 < b^{6} < 1

。

a^{6} = 13536 - b^{6} = 13535 + (1 - b^{6})

，其中

0 < 1 - b^{6} < 1

，所以

P = 13535

。

a^{6}

本身不好算，靠「

a^{6} + b^{6}

是整數、

b^{6}

很小」夾出整數部分。

第 15 題「每經過 1 日增加

a

倍」是每天變成前一天的

(1 + a)

倍。設最初

N

個：

N (1 + a)^{2} = 500

、

N (1 + a)^{\frac{9}{2}} = 121500

。相除

(1 + a)^{\frac{5}{2}} = 243 = 3^{5}

，所以

(1 + a)^{\frac{1}{2}} = 3

，

1 + a = 9

。(1)

a = 8

，選 (D)。(2) 5 日後是 2 日後再過 3 日：

500 \times 9^{3} = 364500

個。

「增加

a

倍」與「變成

a

倍」不同；若當成變成

a

倍會算出

9

，選項裡沒有。

第 16 題(1)

m = 0

時

x = 4 - k = 2

，

k = 2

。(2) 年生產成本

8 + 16 x

，每公噸售價

1.5 \times \frac{8 + 16 x}{x}

，年收入

= 1.5 (8 + 16 x)

。利潤

P = 1.5 (8 + 16 x) - (8 + 16 x) - m = 4 + 8 x - m

。代入

x = 4 - \frac{2}{m + 1}

：

P (m) = 36 - \frac{16}{m + 1} - m = 36 - (m + \frac{16}{m + 1})

。(3)

m + \frac{16}{m + 1} = (m + 1) + \frac{16}{m + 1} - 1 \geq 216 - 1 = 7

，等號在

m + 1 = 4

即

m = 3

時成立。所以廣告行銷費用

3

萬元時利潤最大，最大利潤

36 - 7 = 29

萬元。

把

m

湊成

m + 1

，讓兩項相乘成為定值

16

。

應用題先把每個量用同一個變數寫出來，再判斷要用哪個工具：指數成長用倍數相除，求極值用算幾不等式並確認等號。

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題目取自新竹高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷

新竹高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學：試題、答案與詳解

範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）｜多選題 4 題（24 分）、填充題 9 題（54 分）、計算題 3 題（22 分）

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解。不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

試題

一、多選題（占 24 分；第 1 題至第 4 題，每題 6 分，6－4－2－0）

若

a

、

b

、

c

皆為實數，請選出錯誤的選項。

(1) 若 $a > b$ ，則 $a c > b c$
(2) 若 $a > b$ ，則 $a^{2} > b^{2}$
(3) 若 $a > b$ ，則 $a ∣ c ∣ > b ∣ c ∣$
(4) 若 $a > b$ ，則 $a + b > a - b$
(5) 若 $a > b$ ，則 $\frac{a}{b} > 1$

在數線上，有五個點的坐標分別為

A (11)

、

B (13)

、

C (15)

、

D (17)

、

E (19)

，若

a = \overline{A C}

、

b = \overline{B D}

、

c = \overline{C E}

，

\overline{A E}

的中點為

M

，

\overline{B D}

的中點為

N

，請選出正確的選項。

(1) $a = 15 - 11$
(2) $\frac{1}{b} = \frac{17 + 13}{4}$
(3) $a < b$
(4) $c < b < a$
(5) $M$ 在 $N$ 的左邊且 $N$ 在 $C$ 的左邊

已知

x > 0

、

y > 0

，請選出正確的選項。

(1) $x + \frac{4}{x}$ 之最小值為 $4$
(2) $x + \frac{1}{x}$ 之最小值為 $2$
(3) $x + \frac{1}{x - 1}$ 之最小值為 $3$
(4) $x^{2} + \frac{4}{x ^{2} + 2}$ 之最小值為 $2$
(5) 若 $x + 2 y = 4$ ，則 $3^{x} + 9^{y}$ 之最小值 $27$

請選出正確的選項：（已知

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

）

(1) 將 $20250923$ 化成科學記號，並以 $3$ 位有效數字表示的結果為 $2.025 \times 1 0^{7}$
(2) $4^{50}$ 是 $30$ 位正整數
(3) $3^{- 20}$ 從小數點後第 $20$ 位開始出現不為 $0$ 的數字
(4) 若 $lo g k = 9.8$ ，則 $k$ 的最高位數字為 $6$
(5) 若 $lo g a = - 23.4$ ，則 $a$ 從小數點後第 $24$ 位開始出現不為 $0$ 的數字

二、填充題（占 54 分；第 5 題至第 13 題，答對 1～9 格依序得 8、16、24、30、36、42、46、50、54 分）

化簡

1 0^{\frac{1}{2} l o g 4 - 2 l o g 3} + (0.125)^{4} \cdot 4^{6} =

____。

計算

3. \overline{45} \times 0.2 \overline{4} =

____。（以最簡分數表示）

在數線上，已知

A (x)

，

B (y)

為數線上兩點，且

x < y

。點

P (17)

在

\overline{A B}

上，點

Q (47)

在

\overline{A B}

外，且滿足

\overline{A P} : \overline{B P} = \overline{A Q} : \overline{B Q} = 5 : 3

，則數對

(x, y) =

____。

已知

a

是有理數，且

21 - 123 + a 31 - 348

也是有理數，則

a =

____。

求滿足方程式

∣ x - 1∣ + 2∣ x - 3∣ = x + 4

的所有

x

值之總和為 ____。

如圖，

\overline{A B} = 1 + 2

，

\overline{B C} = 6 + 42

，

B

在

\overline{A C}

上，以

\overline{A C}

為直徑作半圓，並過

B

作垂直於

\overline{A C}

的直線交半圓於

D

點。若

\overline{A D} = a + b 2

（其中

a

，

b

為有理數），則數對

(a, b) =

____。

載入中...

若

x = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}

，則

\frac{x}{1 - x ^{2}} + \frac{1 - x ^{2}}{x} =

____。

若實數

a

滿足

1 7^{17} = a \times 1 7^{16} + 1 7^{15}

，則

\frac{a}{18} =

____。

設

a

、

b

、

c

均為實數，

a \neq = 0

，若不等式

b \leq ∣ a x + 3∣ \leq c

的解為

- 7 \leq x \leq - 2

或

5 \leq x \leq 10

，則

a + b + c

之值為 ____。

三、計算題（占 22 分；第 14 題至第 16 題）

設兩正數

a = 7 + 5

、

b = 7 - 5

，試求下列各值。(1)

a^{3} + b^{3} =

？（3 分）(2)

a^{6} + b^{6} =

？（3 分）(3) 若

(7 + 5)^{6} = P + α

且

P

為正整數，

0 \leq α < 1

，則

P =

？（3 分）

生物學家發現一種新型細菌數量每經過

1

日增加

a

倍，且

2

日後細菌數為

500

個，

4 \frac{1}{2}

日後細菌數為

121500

個，則 (1) 試選出

a

之值。(A)

2

(B)

3

(C)

5

(D)

8

(E)

10

（單選，2 分）(2) 試求

5

日後細菌數。（3 分）

若某商品年銷售量

x

（公噸）與廣告行銷費用

m

（萬元）滿足

x = 4 - \frac{k}{m + 1}

，

m \geq 0

，若不行銷時（即

m = 0

）年銷量為

2

公噸。該產品每年不管生產幾公噸需花費固定成本

8

萬元，而每生產

1

公噸需再增加成本

16

萬元。廠商將每公噸產品的銷售價格定為每公噸產品之年平均生產成本的

1.5

倍。試回答下列問題：(1) 求

k

的值。（2 分）(2) 將該產品的年銷售利潤

P

（萬元）表示為廣告行銷費用

m

（萬元）的函數。（即用

m

表示利潤）（3 分）註：利潤等於收入減去成本及行銷費用。(3) 求使年銷售利潤最大時的廣告行銷費用以及最大利潤為何？（3 分）

答案一覽

第 1 題　(1)(2)(3)(4)(5)

第 2 題　(1)(2)(4)(5)

第 3 題　(1)(2)

第 4 題　(4)(5)

第 5 題　 $\frac{11}{9}$

第 6 題　 $\frac{38}{45}$

第 7 題　 $(7, 23)$

第 8 題　 $- \frac{2}{3}$

第 9 題　 $\frac{25}{4}$

第 10 題　 $(3, 2)$

第 11 題　 $4$

第 12 題　 $\frac{16}{17}$

第 13 題　 $22$

第 14 題　(1) $447$ ；(2) $13536$ ；(3) $13535$

第 15 題　(1) (D)；(2) $364500$ 個

第 16 題　(1) $2$ ；(2) $P (m) = 36 - (m + \frac{16}{m + 1})$ ；(3) $m = 3$ 萬元時，最大利潤 $29$ 萬元

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逐題詳解

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

多選 1～2：不等式的性質、根式比大小

第 1 題答案 (1)(2)(3)(4)(5)，五個都是錯誤敘述，各舉一個反例。(1)

c = 0

時

a c = b c

；

c < 0

時不等號反向。(2)

a = 0, b = - 1

：

a^{2} = 0 < 1 = b^{2}

。(3)

c = 0

時兩邊都是

0

。(4)

a + b > a - b

等價於

b > 0

，取

a = 1, b = - 1

就不成立。(5)

a = 1, b = - 1

：

\frac{a}{b} = - 1 < 1

。

不等式兩邊同乘、同除、平方時，一定要先確認正負。

第 2 題答案 (1)(2)(4)(5)。(1) 對：

a = 15 - 11

。(2) 對：

b = 17 - 13

，

\frac{1}{b} = \frac{17 + 13}{17 - 13} = \frac{17 + 13}{4}

。(3) 錯、(4) 對：有理化得

a = \frac{4}{15 + 11}

、

b = \frac{4}{17 + 13}

、

c = \frac{4}{19 + 15}

，分子相同，分母越大值越小，所以

c < b < a

。(5) 對：

M = \frac{11 + 19}{2}

、

N = \frac{13 + 17}{2}

，平方後分別是

\frac{30 + 2 209}{4}

與

\frac{30 + 2 221}{4}

，所以

M < N

；又

N^{2} = \frac{30 + 2 221}{4} < \frac{30 + 2 \times 15}{4} = 15 = C^{2}

（因

221 < 225 = 15

），所以

N < C

。

兩根式相減比大小，先有理化成「同分子」再比分母。

多選 3～4：算幾不等式、常用對數

第 3 題答案 (1)(2)。(1) 對：

x + \frac{4}{x} \geq 24 = 4

，

x = 2

時等號成立。(2) 對：

x + \frac{1}{x} \geq 2

，

x = 1

時等號成立。(3) 錯：題目只給

x > 0

，當

0 < x < 1

時

x - 1 < 0

，

x

越靠近

1

，

\frac{1}{x - 1}

越小且沒有下界，所以沒有最小值（

x > 1

時最小才是

3

）。(4) 錯：

x^{2} + \frac{4}{x ^{2} + 2} = (x^{2} + 2) + \frac{4}{x ^{2} + 2} - 2 \geq 4 - 2 = 2

，但等號要

x^{2} + 2 = 2

即

x = 0

，不合

x > 0

，取不到

2

。(5) 錯：

3^{x} + 9^{y} = 3^{x} + 3^{2 y} \geq 2 3^{x + 2 y} = 2 3^{4} = 18

，

x = 2 y = 2

時等號成立，最小值是

18

不是

27

。

算幾不等式求極值要同時確認兩件事：乘積是定值、等號做得到。

第 4 題答案 (4)(5)。(1) 錯：取

3

位有效數字是

2.03 \times 1 0^{7}

（

2.025

是

4

位）。(2) 錯：

lo g 4^{50} = 100 lo g 2 \approx 30.10

，所以

4^{50}

是

31

位數。(3) 錯：

lo g 3^{- 20} = - 20 \times 0.4771 = - 9.542 = - 10 + 0.458

，

3^{- 20} = 1 0^{0.458} \times 1 0^{- 10}

，從小數點後第

10

位開始不為

0

。(4) 對：

k = 1 0^{0.8} \times 1 0^{9}

，而

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781 < 0.8 < 0.8451 = lo g 7

，所以

6 < 1 0^{0.8} < 7

，最高位數字是

6

。(5) 對：

- 23.4 = - 24 + 0.6

，

a = 1 0^{0.6} \times 1 0^{- 24}

，

1 \leq 1 0^{0.6} < 10

，從小數點後第

24

位開始不為

0

。

負的 log 值要先改寫成「負整數＋介於 0 與 1 之間的小數」再判讀。

填充 5～9：對數運算、循環小數、分點、雙重根號、絕對值

第 5 題

\frac{1}{2} lo g 4 - 2 lo g 3 = lo g 2 - lo g 9 = lo g \frac{2}{9}

，所以

1 0^{l o g \frac{2}{9}} = \frac{2}{9}

。

(0.125)^{4} \cdot 4^{6} = (2^{- 3})^{4} \cdot (2^{2})^{6} = 2^{- 12} \cdot 2^{12} = 1

。相加得

\frac{2}{9} + 1 = \frac{11}{9}

。

第 6 題

3. \overline{45} = 3 + \frac{45}{99} = 3 + \frac{5}{11} = \frac{38}{11}

；

0.2 \overline{4} = \frac{24 - 2}{90} = \frac{11}{45}

。相乘

\frac{38}{11} \times \frac{11}{45} = \frac{38}{45}

。

第 7 題

P

是

\overline{A B}

的內分點，

\overline{A P} : \overline{P B} = 5 : 3

，所以

\frac{3 x + 5 y}{8} = 17

，即

3 x + 5 y = 136

。

Q

在

\overline{A B}

外且

\overline{A Q} > \overline{B Q}

，所以

Q

在

B

的右邊，

B

是

\overline{A Q}

的內分點，

\overline{A B} : \overline{B Q} = 2 : 3

，得

y = \frac{3 x + 2 \cdot 47}{5}

，即

5 y - 3 x = 94

。兩式相加

10 y = 230

，

y = 23

，

x = 7

。答案

(7, 23)

。

流傳版本的參考答案印作「(7，123」，應為

(7, 23)

（可驗算：

\frac{3 \cdot 7 + 5 \cdot 23}{8} = 17

）。

第 8 題

21 - 123 = 21 - 2108

，找和為

21

、積為

108

的兩數

12

、

9

，得

12 - 9 = 23 - 3

。

348 = 123

，

31 - 2108

找和為

31

、積為

108

的

27

、

4

，得

33 - 2

。原式

= (23 - 3) + a (33 - 2) = (2 + 3 a) 3 - 3 - 2 a

，要是有理數就要

2 + 3 a = 0

，

a = - \frac{2}{3}

。

化雙重根號一律寫成「大減小」，開出來才是正數。

第 9 題以

1

、

3

分段。

x < 1

：

(1 - x) + 2 (3 - x) = 7 - 3 x = x + 4

，

x = \frac{3}{4}

，合。

1 \leq x < 3

：

(x - 1) + 2 (3 - x) = 5 - x = x + 4

，

x = \frac{1}{2}

，不在範圍內，捨去。

x \geq 3

：

(x - 1) + 2 (x - 3) = 3 x - 7 = x + 4

，

x = \frac{11}{2}

，合。總和

\frac{3}{4} + \frac{11}{2} = \frac{25}{4}

。

每一段解出來都要回頭檢查有沒有落在該段範圍。

填充 10～13：幾何與根式、指數律、由解反求係數

第 10 題

\overline{A C} = \overline{A B} + \overline{B C} = 7 + 52

。半圓上的圓周角是直角，

∠ A D C = 9 0^{\circ}

；

△ A B D

與

△ A D C

共用

∠ A

且各有一個直角，所以相似，得

\overline{A D}^{2} = \overline{A B} \cdot \overline{A C} = (1 + 2) (7 + 52) = 17 + 122

。

17 + 272

找和

17

、積

72

的

9

、

8

，

\overline{A D} = 3 + 8 = 3 + 22

，

(a, b) = (3, 2)

。

第 11 題

x^{2} = \frac{2 - 3}{4}

，

1 - x^{2} = \frac{2 + 3}{4}

。通分：原式

= \frac{x ^{2} + ( 1 - x ^{2} )}{x 1 - x ^{2}} = \frac{1}{x 1 - x ^{2}}

。而

x^{2} (1 - x^{2}) = \frac{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )}{16} = \frac{1}{16}

，

x 1 - x^{2} = \frac{1}{4}

，所以原式

= 4

。

先通分，不必把

x

化成雙重根號的形式。

第 12 題兩邊同除以

1 7^{15}

：

1 7^{2} = 17 a + 1

，

17 a = 288

，

a = \frac{288}{17}

。所以

\frac{a}{18} = \frac{16}{17}

。

第 13 題

∣ a x + 3∣ = ∣ a ∣ \cdot x + \frac{3}{a}

，它的值只跟

x

到

- \frac{3}{a}

的距離有關，所以解集合對稱於

x = - \frac{3}{a}

。兩段

[- 7, - 2]

、

[5, 10]

的對稱中心是

\frac{- 2 + 5}{2} = \frac{3}{2}

，得

- \frac{3}{a} = \frac{3}{2}

，

a = - 2

。此時

∣ - 2 x + 3∣ = 2 x - \frac{3}{2}

：內側端點

x = - 2

代入得

b = 2 \times \frac{7}{2} = 7

，外側端點

x = - 7

代入得

c = 2 \times \frac{17}{2} = 17

。

a + b + c = - 2 + 7 + 17 = 22

。

計算 14～16

第 14 題

a + b = 27

，

ab = 7 - 5 = 2

。(1)

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = 567 - 127 = 447

。(2)

a^{6} + b^{6} = (a^{3} + b^{3})^{2} - 2 (ab)^{3} = 4 4^{2} \times 7 - 2 \times 8 = 13552 - 16 = 13536

。(3) 因

7 < (1 + 5)^{2} = 6 + 25

，得

7 < 1 + 5

，所以

0 < b < 1

，

0 < b^{6} < 1

。

a^{6} = 13536 - b^{6} = 13535 + (1 - b^{6})

，其中

0 < 1 - b^{6} < 1

，所以

P = 13535

。

a^{6}

本身不好算，靠「

a^{6} + b^{6}

是整數、

b^{6}

很小」夾出整數部分。

第 15 題「每經過 1 日增加

a

倍」是每天變成前一天的

(1 + a)

倍。設最初

N

個：

N (1 + a)^{2} = 500

、

N (1 + a)^{\frac{9}{2}} = 121500

。相除

(1 + a)^{\frac{5}{2}} = 243 = 3^{5}

，所以

(1 + a)^{\frac{1}{2}} = 3

，

1 + a = 9

。(1)

a = 8

，選 (D)。(2) 5 日後是 2 日後再過 3 日：

500 \times 9^{3} = 364500

個。

「增加

a

倍」與「變成

a

倍」不同；若當成變成

a

倍會算出

9

，選項裡沒有。

第 16 題(1)

m = 0

時

x = 4 - k = 2

，

k = 2

。(2) 年生產成本

8 + 16 x

，每公噸售價

1.5 \times \frac{8 + 16 x}{x}

，年收入

= 1.5 (8 + 16 x)

。利潤

P = 1.5 (8 + 16 x) - (8 + 16 x) - m = 4 + 8 x - m

。代入

x = 4 - \frac{2}{m + 1}

：

P (m) = 36 - \frac{16}{m + 1} - m = 36 - (m + \frac{16}{m + 1})

。(3)

m + \frac{16}{m + 1} = (m + 1) + \frac{16}{m + 1} - 1 \geq 216 - 1 = 7

，等號在

m + 1 = 4

即

m = 3

時成立。所以廣告行銷費用

3

萬元時利潤最大，最大利潤

36 - 7 = 29

萬元。

把

m

湊成

m + 1

，讓兩項相乘成為定值

16

。

應用題先把每個量用同一個變數寫出來，再判斷要用哪個工具：指數成長用倍數相除，求極值用算幾不等式並確認等號。

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試題

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逐題詳解

多選 1～2：不等式的性質、根式比大小

多選 3～4：算幾不等式、常用對數

填充 5～9：對數運算、循環小數、分點、雙重根號、絕對值

填充 10～13：幾何與根式、指數律、由解反求係數

計算 14～16

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逐題詳解

多選 1～2：不等式的性質、根式比大小

多選 3～4：算幾不等式、常用對數

填充 5～9：對數運算、循環小數、分點、雙重根號、絕對值

填充 10～13：幾何與根式、指數律、由解反求係數

計算 14～16

下一次段考，考前先拿一份自己的考前藍圖

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

新竹高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

新竹高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

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