武陵高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學：試題、答案與詳解

Q: 武陵高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 武陵高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題把對數的小數部分當成有限小數、又把 log(a²) 和 (log a)² 弄混，第 8 題 a 是負數時根號開出來要變號，第 14 題兩個絕對值不等式要各自解再取交集，以及第 16 題面積和要化成一個變數再用算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）｜單選題 2 題（8 分）、多選題 3 題（24 分，每題 8 分，全對 8 分、錯一個選項 5 分、錯兩個 2 分、錯三個以上 0 分）、填充題 9 題（54 分）、計算題 2 題（14 分）。卷首給參考數值 √2≈1.41、√3≈1.73、√6≈2.45、log2≈0.3010、log3≈0.4771、log7≈0.8451。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解。不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

試題

一、單選題（占 8 分）說明：第 1 題至第 2 題，每題 4 分。

聲音大小（單位為分貝）取決於聲波通過介質時，所產生的壓力變化（簡稱聲壓，單位為

N / m^{2}

）。已知聲壓

x (x > 0)

與聲音大小

y

的關係式為

y = 20 \times lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}}

，若某工廠運作時測得的聲音為

80

分貝，則該工廠的聲壓為多少

N / m^{2}

？

(1) $0.2$
(2) $2$
(3) $20$
(4) $0.5$
(5) $5$

實驗室近期發現一種繁殖迅速的細菌，每天的數量都以

40%

的增加幅度成長、而且不會死亡。已知研究人員於

8

月

1

日放入

1000

隻的細菌到培養皿內培養，持續觀察細菌的數量直到

8

月

31

日（

30

日後），設最後培養皿內的細菌總數量為

x

隻，請問

x

的範圍為何？

(1) $1 0^{4} < x < 1 0^{5}$
(2) $1 0^{5} < x < 1 0^{6}$
(3) $1 0^{6} < x < 1 0^{7}$
(4) $1 0^{7} < x < 1 0^{8}$
(5) $1 0^{8} < x < 1 0^{9}$

二、多選題（占 24 分）說明：第 3 題至第 5 題，每題 8 分。（8−5−2−0）

試問下列關於實數的敘述那些是正確的？

(1) $\frac{377}{104}$ 不可以化成有限小數
(2) $0. \overline{7} + 0. \overline{3} = 0. \overline{6} + 0. \overline{4}$
(3) $\frac{3 3 + 2 6}{5} > \frac{6 3 + 5 6}{11}$
(4) 若 $a$ ， $b$ 為正實數，且 $a + b$ 為有理數， $a - b$ 為無理數，則 $a^{2} - b^{2}$ 必為無理數
(5) 若 $a$ ， $b$ 為實數且滿足 $a < b$ ，則 $a < \frac{2 a + 3 b}{6} < b$

試問下列敘述那些是正確的？

(1) $(2^{- 3})^{5} \times 3^{5} \times (- 8)^{5} = 243$
(2) $1 0^{2 l o g 3} = 3^{2 l o g 10}$
(3) $(\frac{1}{8})^{\frac{5}{4}} < \frac{1}{16}$
(4) $1 0^{- 5.53}$ 的近似值約為 $0.0000003$
(5) $0 < x < 1$ ，已知 $x + x^{- 1} = 4$ ，則 $x^{\frac{3}{2}} - x^{- \frac{3}{2}} = 52$

已知

lo g a = 9 + 62

，試問下列敘述那些是正確的？

(1) $lo g a$ 的整數部分為 $4$
(2) $lo g a$ 的小數部分為 $0.182$
(3) $lo g (10 a) = 6 + 3 + 1$
(4) $lo g (a^{2}) = 9 + 62$
(5) $a^{2}$ 的整數部分為 $9$ 位數

三、填充題（占 54 分）說明：第 6 題至第 14 題，每題 6 分。

化簡根式

\frac{( 2 - 2 ) ^{3} + 2 2}{( 3 + 3 ) ^{2} ( 1 - 3 ) ^{2}}

為最簡根式 ____。

(\frac{1}{1600})^{- 0.25} \times (0.81)^{- 0.25} \times 5255 \times (81)^{\frac{1}{6}} \times (24)^{\frac{1}{3}} =

____。

設

a

為有理數且

a < 0

，若

\frac{16 a - 3}{9 + 3 a ^{2}}

也是有理數，則

a =

____。

為了準備本校

11

月

8

日的園遊會活動，某班自信推出一款黃金比例的特調飲料～梅子可樂，梅子可樂是由

p H

值為

2

的梅子汁和

p H

值為

3

的可樂以

2 : 7

的比例調製而成。請問此款梅子可樂的

p H

值為 ____。（答案請四捨五入到小數點後第二位）（

p H

值

= - lo g [H^{+}]

，其中

[H^{+}]

為氫離子的濃度（莫耳/升））

設

x

為實數，若

∣ x - 1∣ + 2∣ x + 2∣ + 3 x = 6

，則

x =

____。

設

x

為實數，已知方程式

6 (4^{x} + 4^{- x}) - 23 (2^{x} + 2^{- x}) + 32 = 0

，試問

2^{x} + 2^{- x} =

____。

a

，

b

為實數，已知不等式

1 \leq ∣ a x + 6∣ \leq b

的解為

\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{5}{3}

或

\frac{7}{3} \leq x \leq \frac{11}{3}

，則

a + b =

____。

有兩個正實數

a

，

b

，已知

a^{3} b^{4} = 1 0^{7}

、

a^{2} b = 1 0^{2}

，則

lo g (ab) =

____。

解不等式

∣10 - x ∣ < ∣ x + 30∣ < 2∣ x - 15∣

：____。（以區間符號表示）

四、計算題（占 14 分）說明：第 15 題，每題 6 分；第 16 題，每題 8 分。

請用反證法與乘法公式證明：已知

a

，

b

，

c

為實數且

a + b + c = 1

、

a^{2} + b^{2} + c^{2} > 1

，則

a

，

b

，

c

中至少有一個是負數。（6 分）

給定一個長方形

A B C D

，

\overline{A B} = 20

、

\overline{B C} = 10

，在

\overline{C D}

邊上取一點

E

，連接

A

、

E

，做直線

A E

交直線

B C

於

F

點（如右圖所示），會得到兩個三角形：

△ A D E

與

△ F C E

。試求當

\overline{D E} =

____ 時，

△ A D E

與

△ F C E

面積總和會有最小值為何？（8 分）

載入中...

答案一覽

第 1 題　(1)

第 2 題　(4)

第 3 題　(2)(4)

第 4 題　(2)

第 5 題　(1)(3)(5)

第 6 題　 $\frac{5}{3} - 2$

第 7 題　 $405$

第 8 題　 $- \frac{3}{4}$

第 9 題　 $2.52$

第 10 題　 $\frac{1}{4}$

第 11 題　 $\frac{5}{2}$

第 12 題　 $2$

第 13 題　 $\frac{9}{5}$

第 14 題　 $(- 10, 0)$ 或 $(60, \infty)$

第 15 題　見詳解（反證法）

第 16 題　 $\overline{D E} = 102$ ；最小值 $2002 - 200$

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

逐題詳解

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

單選題：對數的兩個應用

第 1 題答案 (1)。代

y = 80

：

20 lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 80

，得

lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 4

，即

\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} = 1 0^{4}

，所以

x = 2 \times 1 0^{- 5} \times 1 0^{4} = 0.2

。

第 2 題答案 (4)。每天變成前一天的

1.4

倍，30 天後

x = 1000 \times 1. 4^{30}

。

lo g 1.4 = lo g \frac{14}{10} = lo g 2 + lo g 7 - 1 = 0.3010 + 0.8451 - 1 = 0.1461

，所以

lo g x = 3 + 30 \times 0.1461 = 7.383

，介於

7

和

8

之間，故

1 0^{7} < x < 1 0^{8}

。

「增加

40%

」是乘上

1.4

，不是乘上

0.4

。

多選題：實數、指數與對數的判斷

第 3 題答案 (2)(4)。(1) 錯：

377 = 13 \times 29

、

104 = 13 \times 8

，約分得

\frac{29}{8} = 3.625

，分母只剩質因數

2

，可以化成有限小數。(2) 對：左邊

\frac{7}{9} + \frac{3}{9} = \frac{10}{9}

，右邊

\frac{6}{9} + \frac{4}{9} = \frac{10}{9}

。(3) 錯：兩邊同乘

55

比較

11 (33 + 26) = 333 + 226

與

5 (63 + 56) = 303 + 256

，相減得

33 - 36 < 0

，所以左邊比較小。(4) 對：

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

，

a + b

是不為

0

的有理數（

a, b

為正），若乘積是有理數，則

a - b = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{a + b}

也是有理數，矛盾。(5) 錯：

\frac{2 a + 3 b}{6} = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}

，兩個係數相加

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \neq = 1

，不是

a, b

的加權平均；例如

a = 10, b = 11

，算出約

20.6 > b

。

(5) 要落在

a, b

之間，係數必須都是正數而且相加等於

1

。

第 4 題答案 (2)。(1) 錯：

(2^{- 3})^{5} \times 3^{5} \times (- 8)^{5} = (\frac{1}{8} \times 3 \times (- 8))^{5} = (- 3)^{5} = - 243

。(2) 對：

1 0^{2 l o g 3} = 1 0^{l o g 3} = 3

；

3^{2 l o g 10} = 3^{l o g 10} = 3^{1} = 3

。(3) 錯：

(\frac{1}{8})^{\frac{5}{4}} = 2^{- \frac{15}{4}}

，

\frac{1}{16} = 2^{- 4}

，

- \frac{15}{4} > - 4

，所以左邊比較大。(4) 錯：

1 0^{- 5.53} = 1 0^{0.47} \times 1 0^{- 6}

，

lo g 3 \approx 0.4771

，所以

1 0^{0.47} \approx 3

，得約

3 \times 1 0^{- 6} = 0.000003

，題目的

0.0000003

是

3 \times 1 0^{- 7}

，少了一位。(5) 錯：令

t = x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}}

，因

0 < x < 1

所以

t < 0

；

t^{2} = x + x^{- 1} - 2 = 2

，

t = - 2

。

x^{\frac{3}{2}} - x^{- \frac{3}{2}} = t (x + 1 + x^{- 1}) = - 2 \times 5 = - 52

。

(5) 的陷阱是正負號：

x < 1

時

x^{\frac{1}{2}} < x^{- \frac{1}{2}}

。

第 5 題答案 (1)(3)(5)。

9 + 62 = 9 + 218 = 6 + 3

（

6 + 3 = 9

、

6 \times 3 = 18

），約為

2.449 + 1.732 = 4.181

。(1) 對：整數部分是

4

。(2) 錯：小數部分是

6 + 3 - 4

，這是無理數（約

0.1815

），不等於

0.182

。(3) 對：

lo g (10 a) = 1 + lo g a = 6 + 3 + 1

。(4) 錯：

lo g (a^{2}) = 2 lo g a = 26 + 23

；

9 + 62

是

(lo g a)^{2}

，不是

lo g (a^{2})

。(5) 對：

lo g (a^{2}) \approx 8.36

，首數是

8

，所以

a^{2}

的整數部分是

9

位數。

lo g (a^{2}) = 2 lo g a

，和

(lo g a)^{2}

不一樣。

多選題每個選項都要獨立判斷：能算就直接算，說「一定」的敘述找一個反例就能推翻。

填充 6～9：根式、指數律與 pH 值

第 6 題分子：

(2 - 2)^{3} = 8 - 3 \cdot 4 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 2 - 22 = 20 - 142

，加

22

得

20 - 122

。分母：

(3 + 3) (1 - 3) = 3 - 33 + 3 - 3 = - 23

，平方得

12

。所以原式

= \frac{20 - 12 2}{12} = \frac{5}{3} - 2

。

分母先把兩個括號乘起來再平方，比各自平方再相乘快。

第 7 題逐項寫成質因數的指數：

(\frac{1}{1600})^{- \frac{1}{4}} = 160 0^{\frac{1}{4}} = (2^{6} \cdot 5^{2})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}

；

(0.81)^{- \frac{1}{4}} = (\frac{100}{81})^{\frac{1}{4}} = \frac{2 ^{\frac{1}{2}} \cdot 5 ^{\frac{1}{2}}}{3}

；

5255 = (5^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{2}}

；

8 1^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{2}{3}}

；

2 4^{\frac{1}{3}} = 2 \cdot 3^{\frac{1}{3}}

。底數

2

的指數

\frac{3}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 3

；底數

3

的指數

- 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 0

；底數

5

的指數

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

。答案

2^{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}} = 8 \cdot 55 = 405

。

第 8 題因為

a < 0

，

3 a^{2} = 3 ∣ a ∣ = - 3 a

。設

\frac{16 a - 3}{9 - 3 a} = r

（

r

為有理數），則

16 a - 3 = 9 r - 3 a r

，整理成

(a r - 1) 3 = 9 r - 16 a

。右邊是有理數，若

a r - 1 \neq = 0

則

3

為有理數，矛盾；所以

a r = 1

且

9 r = 16 a

。代

r = \frac{1}{a}

：

\frac{9}{a} = 16 a

，

a^{2} = \frac{9}{16}

，又

a < 0

，得

a = - \frac{3}{4}

。

3 a^{2}

開出來是

3 ∣ a ∣

，

a < 0

時要變號。

第 9 題梅子汁

[H^{+}] = 1 0^{- 2}

、可樂

[H^{+}] = 1 0^{- 3}

。以體積

2 : 7

混合，混合後濃度

= \frac{2 \times 1 0 ^{- 2} + 7 \times 1 0 ^{- 3}}{9} = \frac{0.027}{9} = 3 \times 1 0^{- 3}

。

p H = - lo g (3 \times 1 0^{- 3}) = 3 - lo g 3 = 3 - 0.4771 = 2.5229

，四捨五入得

2.52

。

混合的是濃度（要按比例平均），不能把兩個

p H

值直接平均。

填充 10～14：絕對值、指數方程式與對數

第 10 題以

x = 1

、

x = - 2

分段。

x \geq 1

：

(x - 1) + 2 (x + 2) + 3 x = 6 x + 3 = 6

，

x = \frac{1}{2}

，不在範圍內。

- 2 \leq x < 1

：

(1 - x) + 2 (x + 2) + 3 x = 4 x + 5 = 6

，

x = \frac{1}{4}

，在範圍內。

x < - 2

：

(1 - x) - 2 (x + 2) + 3 x = - 3 \neq = 6

，無解。答案

x = \frac{1}{4}

。

每一段解出來都要檢查是否落在該段範圍內。

第 11 題令

t = 2^{x} + 2^{- x}

，由算幾不等式

t \geq 2 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2

。又

4^{x} + 4^{- x} = t^{2} - 2

，代入得

6 (t^{2} - 2) - 23 t + 32 = 0

，即

6 t^{2} - 23 t + 20 = 0

，

(2 t - 5) (3 t - 4) = 0

，

t = \frac{5}{2}

或

\frac{4}{3}

。因

t \geq 2

，捨去

\frac{4}{3}

，答案

\frac{5}{2}

。

第 12 題解集由兩段組成，對稱於

\frac{\frac{5}{3} + \frac{7}{3}}{2} = 2

，所以

a x + 6 = 0

的根是

x = 2

，得

a = - 3

。此時

∣ - 3 x + 6∣ = 3∣ x - 2∣

，不等式變成

\frac{1}{3} \leq ∣ x - 2∣ \leq \frac{b}{3}

，解為

2 - \frac{b}{3} \leq x \leq \frac{5}{3}

或

\frac{7}{3} \leq x \leq 2 + \frac{b}{3}

。對照

2 + \frac{b}{3} = \frac{11}{3}

，得

b = 5

。

a + b = - 3 + 5 = 2

。

第 13 題兩式取 log，令

u = lo g a

、

v = lo g b

：

3 u + 4 v = 7

、

2 u + v = 2

。由第二式

v = 2 - 2 u

，代入第一式

3 u + 8 - 8 u = 7

，

u = \frac{1}{5}

，

v = \frac{8}{5}

。

lo g (ab) = u + v = \frac{9}{5}

。

第 14 題分成兩個不等式各自解再取交集。①

∣ x - 10∣ < ∣ x + 30∣

：

x

到

10

的距離小於到

- 30

的距離，兩點的中點是

- 10

，所以

x > - 10

。②

∣ x + 30∣ < 2∣ x - 15∣

：兩邊都不是負數，平方得

x^{2} + 60 x + 900 < 4 x^{2} - 120 x + 900

，即

3 x^{2} - 180 x > 0

，

x (x - 60) > 0

，

x < 0

或

x > 60

。交集：

(- 10, 0)

或

(60, \infty)

。

兩邊都不是負數時才可以直接平方；最後記得取交集。

計算題 15～16：反證法與算幾不等式

第 15 題用反證法。假設

a, b, c

都不是負數，即

a, b, c \geq 0

，則

ab + b c + c a \geq 0

。由乘法公式

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (ab + b c + c a)

，得

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1 - 2 (ab + b c + c a) \leq 1

，與

a^{2} + b^{2} + c^{2} > 1

矛盾。故

a, b, c

中至少有一個是負數。

參考答案此題寫「略」，本頁補上完整證明。「至少有一個是負數」的否定是「三個都

\geq 0

」。

第 16 題設

\overline{D E} = t (0 < t < 20)

，則

\overline{E C} = 20 - t

。

△ A D E

在

D

為直角，面積

\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t = 5 t

。

△ F C E \sim △ A D E

（

A D ∥ C F

），

\frac{C F}{A D} = \frac{E C}{D E}

，所以

\overline{C F} = \frac{10 ( 20 - t )}{t}

，面積

\frac{1}{2} (20 - t) \cdot \frac{10 ( 20 - t )}{t} = \frac{5 ( 20 - t ) ^{2}}{t} = \frac{2000}{t} - 200 + 5 t

。兩者相加

S = 10 t + \frac{2000}{t} - 200

。由算幾不等式

10 t + \frac{2000}{t} \geq 2 10 t \cdot \frac{2000}{t} = 220000 = 2002

，所以

S \geq 2002 - 200

。等號在

10 t = \frac{2000}{t}

，即

t^{2} = 200

、

t = 102

時成立（

102 < 20

，

E

確實在邊上）。答案：

\overline{D E} = 102

時，最小值為

2002 - 200

。

用算幾不等式要確認兩件事：兩項乘積是定值，而且等號取得到。

面積和這類題先用一個變數把每塊面積寫出來，化成「

k t + \frac{m}{t}

＋常數」再用算幾不等式。

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武陵高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題把對數的小數部分當成有限小數、又把 log(a²) 和 (log a)² 弄混，第 8 題 a 是負數時根號開出來要變號，第 14 題兩個絕對值不等式要各自解再取交集，以及第 16 題面積和要化成一個變數再用算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自武陵高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

試題

答案一覽

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逐題詳解

單選題：對數的兩個應用

多選題：實數、指數與對數的判斷

填充 6～9：根式、指數律與 pH 值

填充 10～14：絕對值、指數方程式與對數

計算題 15～16：反證法與算幾不等式

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常見問題

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