段考詳解範圍：數與式（實數與數線、根式運算、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

高雄新莊高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高雄新莊高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案，是非題 5 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高雄新莊高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

係數為負的絕對值不等式要記得不等號反向（第 7 題）、負數不能放在分數指數的底數（第 11 題）、把整數部分與小數部分先寫成確切的式子再比較（第 14 題），以及分子分母先同乘再代值的指數式求值（第 22 題）。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

是非題 5 題（10 分）、單選題 3 題（12 分）、多選題 6 題（36 分）、選填題 9 題（42 分）

一、是非題（一題 2 分，共 10 分，正確請畫○，錯誤請畫×）（本頁第 1～5 題為原卷是非題第 1～5 題）

42 - 301

的值介於連續整數

5

和

6

之間。

計算

7.24 \times 1 0^{- 6} - 4.55 \times 1 0^{- 7}

後，將數值以科學記號表示並四捨五入取至兩位有效數字，則答案為

6.8 \times 1 0^{- 6}

。

將

\frac{3}{22}

化成小數，設小數點後第

n

位的數字記為

f (n)

，則

f (18) + f (19) + f (20) = 12

。

已知

a

、

b

為正實數，若

a + 2 b = 2 2 ab

，則

a = b

。

已知

k

為正整數，且

\frac{k}{55} < 0.2 \overline{45} < \frac{k + 1}{55}

，則

k = 13

。

二、單選題（一題 4 分，共 12 分）（本頁第 6～8 題為原卷單選題第 1～3 題）

設

x = 8^{6} - 5^{6}

，則下列哪個選項是

x

的最大質因數？

(A) $3$
(B) $7$
(C) $13$
(D) $43$
(E) $59$

設

a

、

b

為實數，若

∣ a x - 2∣ \geq b

的解為

x \leq - 17

或

x \geq 5

，則

∣ a - b ∣ =

？

(A) $\frac{4}{3}$
(B) $2$
(C) $\frac{8}{3}$
(D) $\frac{10}{3}$
(E) $4$

1977 年地震學家金森博雄制定了「地震矩規模（

M_{W}

）」，用於估計規模較大的地震（3.5 級以上），其計算公式為

M_{W} = \frac{2}{3} lo g M_{0} - 10.73

，其中

M_{0}

表示地震所釋放的一種能量，單位為牛頓-公尺。已知 2025 年 7 月 30 日發生於俄羅斯東部堪察加半島東側海域的地震，其地震矩規模為

8.8

級，所釋放的能量為

M_{0}

牛頓-公尺。若今於某地測得一起地震矩規模為

7.9

級的地震，而此地震所釋放的能量為

M_{0}^{'}

牛頓-公尺，則地震所釋放的能量

M_{0}

為

M_{0}^{'}

的幾倍？請選出最接近的數值。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(A) $10$
(B) $20$
(C) $40$
(D) $80$
(E) $160$

三、多選題（一題 6 分，共 36 分，錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個或三個以上不給分）（本頁第 9～14 題為原卷多選題第 1～6 題）

下列哪些選項中的數是有理數？

(A) $1 0^{l o g π}$
(B) $0. \overline{4}$
(C) $4.1 \overline{7} + 2^{11.5}$
(D) $(7 - 3)^{2} + 7$
(E) $10^{l o g 100}$

下列哪些選項在數線上的解之範圍所形成的區間總長度為

6

？

(A) $∣2 x + 3∣ \leq 6$
(B) $x + 1 \leq 3$
(C) $3 \leq ∣2 x - 1∣ \leq 9$
(D) $∣9 - 2 x ∣ \geq 4 x$
(E) $∣ x - 2∣ + ∣ x + 4∣ = 6$

下列哪些選項是正確的？

(A) $3 - 64 = (- 64)^{\frac{1}{3}} = - 4$
(B) $lo g 3100 = \frac{3}{2}$
(C) $\frac{1}{13 - 3} > 0.2$
(D) $26 - 6 > 31 - 41$
(E) $2^{2.4} + 2^{1.6} > 2^{3}$

下列哪些敘述是正確的？

(A) 若 $a + b$ 、 $a^{2} - b^{2}$ 為有理數，則 $a - b$ 亦為有理數
(B) $5$ 和 $10$ 之間有無限多個有理數
(C) $5^{- 30}$ 和 $\frac{91}{56}$ 皆可化為有限小數
(D) 若 $m$ 、 $n$ 為實數，且 $m < n$ ，則 $m < \frac{2 m + 4 n}{7} < n$
(E) 若 $a$ 、 $b$ 皆為正數，則 $a + b - 2 ab = a - b$

已知

lo g 3 \approx 0.4771

且

lo g 7 \approx 0.8451

，則下列哪些選項是正確的？

(A) $1 0^{0.8451} \approx 7$
(B) $lo g 3000 \approx 3.4771$
(C) $3^{20} \times 7^{10}$ 為 $18$ 位數
(D) $4 9^{- 50}$ 在小數點後第 $85$ 位開始不為 $0$
(E) $- 3 < lo g 0.08451 < - 2$

若

a = 3 - 5

，

b = 3 + 5

，則下列哪些選項是正確的？

(A) 存在一實數 $x$ ，使得 $a = 1 0^{x}$
(B) $a^{6} + b^{6}$ 為無理數
(C) $a - b = - 2$
(D) $b^{4}$ 的整數部分為 $26$
(E) 設 $b^{4}$ 的小數部分為 $p$ ，則 $5$ 的小數部分為 $\frac{1 - p}{6}$

四、選填題（共 42 分）（本頁第 15～23 題為原卷選填題第 1～9 題）

設

a = \frac{1}{6 125}

，

b = (\frac{1}{5 ^{2}})^{32}

，

c = 3 \frac{1}{25 5}

，若

\frac{b c ^{3}}{a} = 2 5^{x}

，則

x =

____。

數線上有兩點

A (\frac{2}{3})

、

B (8)

，若點

P

滿足

\overline{A P} : \overline{P B} = 8 : 3

，但點

P

不在

\overline{A B}

上，則點

P

的坐標為 ____。

設

a

、

b

為實數，且滿足

{(2.9)^{a} = 0.01 (0.0029)^{b} = 1000

，則

\frac{2}{a} + \frac{3}{b} =

____。

設

a

、

b

是有理數，若

a \times 21 - 123 - b \times 7 - 48 = 6 - 3

，則數對

(a, b) =

____。

某一種病毒肆虐全台，此病毒經過

t

週後全台受到感染的比率為

f (t) = \frac{1}{1 + a \times 3 ^{b t}} \times 100%

，已知一開始（

t = 0

時）有

10%

的人受到感染；經過三週之後，有

50%

的人受到感染，則

b =

____。

設

a > 1

且

a^{2} + a^{- 2} = 7

，則

a + a^{3} + a^{- 1} - a^{- 3} =

____。

已知不等式

∣3 x + 8∣ + 2∣ x - 3∣ < 15

的解為區間

(a, b)

，則

b - a =

____。

設

x

為實數且

4^{x} = 2 + 5

，已知

\frac{2 ^{3 x} + 2 ^{- 3 x}}{2 ^{x} - 4 \times 2 ^{- x}} = a + b 5

，其中

a

、

b

為有理數，則

a - b =

____。

考量平時通勤需求，小新想購入一台電動機車。已知電動機車隨著使用年限增加，會需要進行相關維修和保養（如更換電池、輪胎等），花費會逐年增加，因此，小新想了解一台電動機車使用多久會最划算。假設購入一台

81

千元的電動機車，而維修保養費用在第一年為

2

千元，之後每一年比前一年增加

2

千元，基於這個增長模式，若使用電動機車滿

n

年，可以使年平均總花費（包含購車的費用）達到最低為

k

千元，則數對

(n, k) =

____。（例如：這台電動機車使用滿

3

年，則年平均總花費為

(81 + 2 + 4 + 6) \div 3 = 31

千元；可利用公式

1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 6 題(D)

第 7 題(E)

第 8 題(B)

第 9 題(B)(D)(E)

第 10 題(A)(C)(E)

第 11 題(C)(E)

第 12 題(B)(C)

第 13 題(A)(B)(C)(D)

第 14 題(A)(C)

第 15 題

- 4

第 16 題

\frac{62}{5}

第 17 題

- 3

第 18 題

(4, - 9)

第 19 題

- \frac{2}{3}

第 20 題

3 + 85

第 21 題

\frac{22}{5}

第 22 題

22

第 23 題

(9, 19)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～5：估算、循環小數與等號條件

第 1 題2

1 7^{2} = 289 < 301 < 324 = 1 8^{2}

，所以

17 < 301 < 18

，

24 < 42 - 301 < 25

。再開根號：

24 < 42 - 301 < 5

，這個數介於

4

和

5

之間。

第 2 題1先把次方對齊：

4.55 \times 1 0^{- 7} = 0.455 \times 1 0^{- 6}

，相減得

(7.24 - 0.455) \times 1 0^{- 6} = 6.785 \times 1 0^{- 6}

。取兩位有效數字，第三位是

8

要進位，得

6.8 \times 1 0^{- 6}

。

第 3 題1

\frac{3}{22} = 0.1 \overline{36}

，第

1

位是

1

，之後偶數位都是

3

、奇數位都是

6

。所以

f (18) = 3

、

f (19) = 6

、

f (20) = 3

，和為

12

。

第 4 題2由算幾不等式

\frac{a + 2 b}{2} \geq a \cdot 2 b

，也就是

a + 2 b \geq 2 2 ab

，等號成立的條件是

a = 2 b

。題目給的正是等號成立的情形，所以

a = 2 b

，不是

a = b

。

也可以直接配方：

a + 2 b - 2 2 ab = (a - 2 b)^{2} = 0

，得

a = 2 b

。

第 5 題1

0.2 \overline{45} = \frac{245 - 2}{990} = \frac{243}{990} = \frac{27}{110} = \frac{13.5}{55}

。所以

k < 13.5 < k + 1

，正整數

k = 13

。

估根號先夾在兩個完全平方數之間；看到「兩數和＝2 倍根號積」就想到算幾不等式的等號條件。

02單選 6～8

第 6 題

x = (8^{3})^{2} - (5^{3})^{2} = (8^{3} - 5^{3}) (8^{3} + 5^{3}) = (512 - 125) (512 + 125) = 387 \times 637

。

387 = 3^{2} \times 43

，

637 = 7^{2} \times 13

，所以

x = 3^{2} \times 7^{2} \times 13 \times 43

，最大質因數是

43

。

答案 (D)。

第 7 題

∣ a x - 2∣ \geq b

即

a x \geq 2 + b

或

a x \leq 2 - b

。若

a > 0

，則

\frac{2 + b}{a} = 5

、

\frac{2 - b}{a} = - 17

，兩式相加得

4 = - 12 a

，

a < 0

，矛盾。所以

a < 0

，除以

a

時不等號反向：

x \leq \frac{2 + b}{a} = - 17

或

x \geq \frac{2 - b}{a} = 5

。得

2 + b = - 17 a

、

2 - b = 5 a

，相加

4 = - 12 a

，

a = - \frac{1}{3}

，

b = \frac{11}{3}

。

∣ a - b ∣ = - \frac{1}{3} - \frac{11}{3} = 4

，答案 (E)。驗算：

- \frac{x}{3} - 2 \geq \frac{11}{3}

即

∣ x + 6∣ \geq 11

，解為

x \leq - 17

或

x \geq 5

。

第 8 題由公式得

lo g M_{0} = \frac{3}{2} (M_{W} + 10.73)

，所以

M_{0} = 1 0^{\frac{3}{2} (8.8 + 10.73)}

，

M_{0}^{'} = 1 0^{\frac{3}{2} (7.9 + 10.73)}

。相除，指數相減：

\frac{M _{0}}{M _{0}^{'}} = 1 0^{\frac{3}{2} \times 0.9} = 1 0^{1.35}

。比較各選項：

20 = 10 \times 2 \approx 1 0^{1.3010}

，

30 = 10 \times 3 \approx 1 0^{1.4771}

，

40 = 10 \times 2^{2} \approx 1 0^{1.6020}

。因為

1.3010 < 1.35 < 1.4771

，倍數介於

20

和

30

之間，最接近的選項是

20

。

答案 (B)。實際值約

22.4

。

絕對值不等式的係數是負的，除過去不等號要反向；規模差換成能量倍數，就是把差乘上

\frac{3}{2}

放到

10

的指數上。

03多選 9、10：有理數的判斷與絕對值的解區間

第 9 題(A)

1 0^{l o g π} = π

，無理數。(B)

0. \overline{4} = \frac{4}{9}

，

\frac{4}{9} = \frac{2}{3}

，有理數。(C)

4.1 \overline{7}

是循環小數（有理數），

2^{11.5} = 2^{11} 2

是無理數，有理數加無理數是無理數。(D)

7 < 3

，所以

(7 - 3)^{2} = 3 - 7

，加上

7

得

3

，有理數。(E)

lo g 100 = 2

，

10^{2} = 10

，有理數。

答案 (B)(D)(E)。

第 10 題(A)

- 6 \leq 2 x + 3 \leq 6

，

- \frac{9}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}

，長度

6

。(B) 根號內不可為負，

0 \leq x + 1 \leq 3

，

- 1 \leq x \leq 2

，長度

3

。(C)

3 \leq 2 x - 1 \leq 9

或

- 9 \leq 2 x - 1 \leq - 3

，即

2 \leq x \leq 5

或

- 4 \leq x \leq - 1

，總長度

3 + 3 = 6

。(D)

9 - 2 x \geq 4 x

或

9 - 2 x \leq - 4 x

，即

x \leq \frac{3}{2}

或

x \leq - \frac{9}{2}

，合起來是

x \leq \frac{3}{2}

，長度無限。(E)

∣ x - 2∣ + ∣ x + 4∣

是

x

到

2

與到

- 4

的距離和，兩點相距

6

，所以當

- 4 \leq x \leq 2

時距離和恰為

6

，長度

6

。

答案 (A)(C)(E)。(B) 容易漏掉

x + 1 \geq 0

；(D) 當

x < 0

時右邊是負的，不等式自動成立。

04多選 11、12：運算規則與實數的性質

第 11 題(A)

3 - 64 = - 4

沒有問題，但分數指數

a^{\frac{1}{3}}

只在底數

a > 0

時有定義，

(- 64)^{\frac{1}{3}}

沒有意義，所以整個等式不成立。(B)

3100 = 1 0^{\frac{2}{3}}

，

lo g 3100 = \frac{2}{3}

，不是

\frac{3}{2}

。(C) 有理化：

\frac{1}{13 - 3} = \frac{13 + 3}{10} > \frac{3 + 1}{10} = 0.4 > 0.2

，正確。(D)

6 - 26 = \frac{10}{6 + 26}

，

41 - 31 = \frac{10}{41 + 31}

。因為

6 + 26 < 41 + 31

，所以

6 - 26 > 41 - 31

，兩邊變號得

26 - 6 < 31 - 41

，不正確。(E) 由算幾不等式

2^{2.4} + 2^{1.6} \geq 2 2^{2.4 + 1.6} = 2 2^{4} = 8

，而

2^{2.4} \neq = 2^{1.6}

，等號不成立，所以

> 2^{3}

，正確。

答案 (C)(E)。

第 12 題(A) 當

a + b \neq = 0

時

a - b = \frac{a ^{2} - b ^{2}}{a + b}

是有理數，但

a + b = 0

時不一定：取

a = 2

、

b = - 2

，

a + b = 0

、

a^{2} - b^{2} = 0

都是有理數，

a - b = 22

卻是無理數。(B) 任意兩個相異實數之間都有無限多個有理數，正確。(C)

5^{- 30} = \frac{1}{5 ^{30}} = \frac{2 ^{30}}{1 0 ^{30}}

，

\frac{91}{56} = \frac{13}{8} = 1.625

，最簡分數的分母都只含質因數

2

或

5

，皆為有限小數，正確。(D)

m < \frac{2 m + 4 n}{7}

等價於

5 m < 4 n

，不一定成立：取

m = 4

、

n = 4.5

，

\frac{2 m + 4 n}{7} = \frac{26}{7} < 4

。(E)

a + b - 2 ab = (a - b)^{2} = ∣ a - b ∣

，當

a < b

時等於

b - a

，不正確。

答案 (B)(C)。(D) 的分子係數和是

6

不是

7

，所以它不是

m

、

n

之間的分點。

含文字的敘述先找會出事的特殊情形：分母為

0

、兩數大小顛倒、根號開出來是負的。

05多選 13、14：對數與位數、雙重根號

第 13 題(A)

lo g 7 \approx 0.8451

就是

1 0^{0.8451} \approx 7

，正確。(B)

3000 = 1 0^{3} \times 3 \approx 1 0^{3.4771}

，正確。(C)

3^{20} \times 7^{10} \approx 1 0^{0.4771 \times 20 + 0.8451 \times 10} = 1 0^{17.993}

，介於

1 0^{17}

和

1 0^{18}

之間，是

18

位數，正確。(D)

4 9^{- 50} = 7^{- 100} \approx 1 0^{- 84.51} = 1 0^{0.49} \times 1 0^{- 85}

，而

1 < 1 0^{0.49} < 10

，所以在小數點後第

85

位開始不為

0

，正確。(E)

1 0^{- 2} = 0.01 < 0.08451 < 0.1 = 1 0^{- 1}

，所以

- 2 < lo g 0.08451 < - 1

，不正確。

答案 (A)(B)(C)(D)。(E) 的數字

0.08451

是真數，不是對數值。

第 14 題

a^{2} = 3 - 5

、

b^{2} = 3 + 5

，

ab = 9 - 5 = 2

。(A)

a > 0

，正數都可以寫成

1 0^{x}

（

x = lo g a

），正確。(B)

a^{6} + b^{6} = (3 - 5)^{3} + (3 + 5)^{3} = 2 (3^{3} + 3 \cdot 3 \cdot 5) = 144

，是有理數，不正確。(C)

(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab = 6 - 4 = 2

，又

a < b

，所以

a - b = - 2

，正確。(D)

b^{4} = (3 + 5)^{2} = 14 + 65 = 14 + 180

，

13 < 180 < 14

，所以

27 < b^{4} < 28

，整數部分是

27

，不正確。(E)

p = 14 + 65 - 27 = 65 - 13

，

\frac{1 - p}{6} = \frac{14 - 6 5}{6} = \frac{7 - 3 5}{3} \approx 0.097

；而

5

的小數部分是

5 - 2 \approx 0.236

，兩者不相等，不正確。

答案 (A)(C)。(E) 由

p = 65 - 13

可得

5 - 2 = \frac{p + 1}{6}

，正確的式子是

\frac{1 + p}{6}

。

位數與「小數點後第幾位」都先寫成

10

的次方，再拆成「

1

到

10

之間的數」乘上

10

的整數次方。

06選填 15～18

第 15 題全部化成

5

的次方：

a = \frac{1}{( 5 ^{3} ) ^{\frac{1}{6}}} = 5^{- \frac{1}{2}}

；

b = (5^{- 2})^{32} = 5^{- 6}

；

c = (5^{- 2} \cdot 5^{- \frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 5^{- \frac{5}{6}}

，

c^{3} = 5^{- \frac{5}{2}}

。所以

\frac{b c ^{3}}{a} = 5^{- 6 - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}} = 5^{- 8} = 2 5^{- 4}

。

答案

x = - 4

。

第 16 題

\overline{A P} > \overline{P B}

且

P

不在

\overline{A B}

上，所以

P

在

B

的右側。設

P (p)

，

p > 8

：

(p - \frac{2}{3}) : (p - 8) = 8 : 3

，

3 p - 2 = 8 p - 64

，

p = \frac{62}{5}

。

答案

\frac{62}{5}

。驗算：

\overline{A P} = \frac{176}{15}

，

\overline{P B} = \frac{66}{15}

，比為

8 : 3

。

第 17 題

(2.9)^{a} = 1 0^{- 2}

，兩邊同取

\frac{1}{a}

次方得

2.9 = 1 0^{- \frac{2}{a}}

；

(0.0029)^{b} = 1 0^{3}

，同理

0.0029 = 1 0^{\frac{3}{b}}

。兩式相除：

\frac{2.9}{0.0029} = 1000 = 1 0^{- \frac{2}{a} - \frac{3}{b}}

，所以

- \frac{2}{a} - \frac{3}{b} = 3

。

答案

\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = - 3

。

第 18 題

21 - 123 = 21 - 2108 = 12 - 9 = 23 - 3

；

7 - 48 = 7 - 212 = 4 - 3 = 2 - 3

。代入：

a (23 - 3) - b (2 - 3) = (- 3 a - 2 b) + (2 a + b) 3 = 6 - 3

。

a

、

b

是有理數，比較兩邊：

- 3 a - 2 b = 6

，

2 a + b = - 1

，解得

a = 4

、

b = - 9

。

答案

(a, b) = (4, - 9)

。

指數題先化成同一個底；雙重根號先把裡面整理成

2

的形式，再找「和、積」。

07選填 19～21

第 19 題

t = 0

：

\frac{1}{1 + a} = \frac{1}{10}

，

a = 9

。

t = 3

：

\frac{1}{1 + 9 \times 3 ^{3 b}} = \frac{1}{2}

，所以

9 \times 3^{3 b} = 1

，

3^{3 b} = 3^{- 2}

，

3 b = - 2

。

答案

b = - \frac{2}{3}

。

第 20 題

(a + a^{- 1})^{2} = a^{2} + a^{- 2} + 2 = 9

，

a > 0

，所以

a + a^{- 1} = 3

。

(a - a^{- 1})^{2} = a^{2} + a^{- 2} - 2 = 5

，又

a > 1

使

a > a^{- 1}

，所以

a - a^{- 1} = 5

。

a^{3} - a^{- 3} = (a - a^{- 1}) (a^{2} + 1 + a^{- 2}) = 5 \times 8 = 85

。

所求

= (a + a^{- 1}) + (a^{3} - a^{- 3}) = 3 + 85

。

第 21 題分界點是

- \frac{8}{3}

和

3

。①

x \geq 3

：

3 x + 8 + 2 x - 6 < 15

，

x < \frac{13}{5}

，與

x \geq 3

不合，無解。②

- \frac{8}{3} \leq x < 3

：

3 x + 8 - 2 x + 6 < 15

，

x < 1

，得

- \frac{8}{3} \leq x < 1

。③

x < - \frac{8}{3}

：

- 3 x - 8 - 2 x + 6 < 15

，

x > - \frac{17}{5}

，得

- \frac{17}{5} < x < - \frac{8}{3}

。合併：

- \frac{17}{5} < x < 1

。

答案

b - a = 1 - (- \frac{17}{5}) = \frac{22}{5}

。

08選填 22、23

第 22 題分子分母同乘

2^{x}

：原式

= \frac{2 ^{4 x} + 2 ^{- 2 x}}{2 ^{2 x} - 4} = \frac{( 4 ^{x} ) ^{2} + ( 4 ^{x} ) ^{- 1}}{4 ^{x} - 4}

。

(4^{x})^{2} = (2 + 5)^{2} = 9 + 45

，

(4^{x})^{- 1} = \frac{1}{2 + 5} = 5 - 2

，分子

= 7 + 55

，分母

= 5 - 2

。有理化：

\frac{7 + 5 5}{5 - 2} = (7 + 55) (5 + 2) = 39 + 175

。

a = 39

、

b = 17

，答案

a - b = 22

。

第 23 題使用滿

n

年的維修保養費共

2 + 4 + \dots + 2 n = n (n + 1)

千元，年平均總花費為

\frac{81 + n ( n + 1 )}{n} = n + \frac{81}{n} + 1

千元。由算幾不等式

n + \frac{81}{n} \geq 281 = 18

，等號在

n = \frac{81}{n}

，即

n = 9

時成立，

9

是正整數，做得到。所以最低為

18 + 1 = 19

千元。

答案

(n, k) = (9, 19)

。驗算：

(81 + 90) \div 9 = 19

。

用算幾不等式求最小值，要確認乘積是定值，而且等號成立的

n

真的取得到。

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同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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高雄新莊高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

係數為負的絕對值不等式要記得不等號反向（第 7 題）、負數不能放在分數指數的底數（第 11 題）、把整數部分與小數部分先寫成確切的式子再比較（第 14 題），以及分子分母先同乘再代值的指數式求值（第 22 題）。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自高雄新莊高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新莊高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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01是非 1～5：估算、循環小數與等號條件

02單選 6～8

03多選 9、10：有理數的判斷與絕對值的解區間

04多選 11、12：運算規則與實數的性質

05多選 13、14：對數與位數、雙重根號

06選填 15～18

07選填 19～21

08選填 22、23

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