御藍教育／段考卷
建國中學 114 學年度上學期 高一第一次段考 數學：試題、答案與詳解
範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）｜是非題 21 題（63 分）、填充題 3 題（18 分）、計算題 2 題（19 分）
原卷 26 題全文、答案一覽，和最容易錯的幾題詳解。不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。
試題
一、是非題（正確寫 1，錯誤寫 2）
2
5−26=(2−3)2，因此 5−26=(2−3)2=2−3 8
已知 1.63<22<1.64，因此 2(22)>2 9
對於任意正整數 n，已知無窮小數 x=0.1010010001⋯ 滿足小數點後第 n 個 1 與第 (n+1) 個 1 之間有 n 個 0，則 x 是無理數
10
已知 a=100.301，則 a−100=10−0.1×10−30 在小數點後第 30 位開始不為零
題組甲（第 11～15 題） 設 a,b 為實數。已知四個數 −6,−1,0,4 皆滿足 x 的不等式 ∣x−a∣≤b。
12
−4,0,1,6 滿足 x 的不等式 ∣x+a∣≤b
13
−12,−2,0,8 滿足 x 的不等式 ∣x−a∣≤2b
題組乙（第 16～17 題） 設 x,y 為正實數，並且滿足 2x+y=6。
16
由於 2x+y=2x+(6−2x)≥x(6−2x)，因此 x+y 的最小值發生在 x=6−2x 時 題組丙（第 18～21 題） 設 a,b 為正實數，並且滿足 a2+b2=1。
20
(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab≤1+1=2，因此 a+b 的最大值為 2 21
(a+1)b≤2(a+1)+b≤21+2，因此 (a+1)b 的最大值為 (21+2)2 二、填充題
22
一個長方形，若將其沿著長邊的垂直平分線對摺，所得新長方形的長寬比（長邊除以短邊之值）與原長方形相同，則原長方形的長寬比為 ____。
23
已知 35+3312+3318=3a+3b，其中 a,b 為正整數，則 a+b= ____。 24
已知方程組 {∣x−2∣≤a∣x+2∣≥b 的解為 1≤x≤7，則數對 (a,b)= ____。
三、計算題
25
我們知道無理數有多種形式，例如 2、π，也包含像 1+3 這樣的無理數。請根據實數的性質，判斷下列命題 A 是否正確。命題 A：若正數 a,b 為無理數，則 a+b 必為無理數。若正確請提出完整的數學證明；如果不正確，請舉出反例加以說明。（7 分） 26
圖為直徑 AB=a+b 的圓，O 點為圓心，AP=a，PB=b。(1) 畫出一條長度為 ab 的線段，並且說明原因。（6 分）(2) 承上題，試判斷：此圓內是否必然存在長度為 4ab（4 次方根）的弦？請提出完整的數學證明或舉出反例加以說明。（6 分） 答案一覽
是非題：○＝正確、✗＝錯誤
1○
2✗
3○
4○
5✗
6○
7✗
8○
9○
10✗
11○
12○
13✗
14○
15○
16✗
17○
18○
19✗
20○
21✗
第 22 題 2
第 23 題 5
第 24 題 (5,3)
第 25 題 不正確，反例 a=3+22, b=6−42
第 26 題 (1) 見詳解；(2) 不一定存在，反例 a=0.16, b=0.01
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難題詳解
看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。
指數與對數的三個陷阱
第 5 題錯0.9=1，分母 1−0.9=0，這個式子根本沒有意義。
第 8 題對底數 2>1，指數越大值越大。指數 22>1.63>1，所以 2(⋯)>21=2。 第 10 題錯10−0.1≈0.794，所以 a−100≈0.794×10−30=7.94×10−31。
小數點後第 31 位才開始不為零。10−0.1 小於 1，會讓位數再往後退一位。
看到 10−0.1：先判斷它比 1 大還是小，再決定位數要不要退一位。
題組甲：把不等式翻成區間
想法∣x−a∣≤b⟺a−b≤x≤a+b。四個數都在裡面，區間 [a−b,a+b] 要蓋住 [−6,4]：a−b≤−6 且 a+b≥4。
第 11 題對15≈3.87 在 [−6,4] 裡，當然也在區間裡。 第 12 題對∣x+a∣≤b 的區間是 [−a−b,−a+b]，就是原區間對 0 翻過來，蓋住 [−4,6]。
第 13 題錯反例 a=−1, b=5：∣−12+1∣=11>10。
第 15 題對取 a=−1, b=6：a−b=−7，且 −7≤−6、5≥4 都成立。
題組乙丙：算幾不等式，等號要真的成立
第 16 題錯右邊 x(6−2x) 跟著 x 變，不是定值，算幾給不出最小值。 其實 x+y=6−x，0<x<3，x+y 介於 3 到 6 之間，沒有最小值。
第 17 題對22x+2y≥222x+y=226=16。 右邊是定值，等號在 2x=y，也就是 x=23, y=3，做得到。
第 19 題錯ab+b=(a+1)b，最大值是 433≈1.30，比 21+22≈1.21 大。 第 21 題錯第一個不等號的等號要 a+1=b，第二個要 a=b，不能同時成立。
真正的最大值是
433（
a=21, b=23），比
(21+2)2≈1.46 小。
用算幾求最值，寫完先問兩件事：另一邊是不是定值？等號做不做得到？
填充 23、24
第 23 題設 3a+3b，兩邊立方：a+b+33a2b+33ab2。對照 5+3312+3318：a+b=5, a2b=12, ab2=18，得 a=2, b=3。 答案 a+b=5。第一步是兩邊立方，不是去拆根號裡面。
第 24 題∣x−2∣≤a⇒2−a≤x≤2+a，右端 2+a=7，a=5，區間 [−3,7]。∣x+2∣≥b⇒x≤−2−b 或 x≥b−2。要剛好切到 [1,7]：b−2=1，b=3；此時 x≤−5 那段和 [−3,7] 不重疊。
答案 (a,b)=(5,3)。
計算 25：反例怎麼找
第 25 題不正確讓 a、b 的無理部分互相抵消。取 a=1+2, b=2−2（兩個都是正數），a=(1+2)2=3+22，b=(2−2)2=6−42，兩個都是正的無理數，但 a+b=3 是有理數。 反例不是用猜的：先決定「答案要是有理數」，再倒推
a,b。記得檢查
b=6−42≈0.34>0。
計算 26：幾何平均的作圖
(1)過 P 作 AB 的垂線交圓於 Q，則 PQ=ab。 直徑所對的圓周角是直角，△AQB 是直角三角形，PQ 是斜邊上的高：PQ2=AP⋅PB=ab。
(2)不一定圓裡最長的弦是直徑 a+b，所以要 4ab≤a+b 才存在。反例 a=0.16, b=0.01：4ab=0.2>a+b=0.17，找不到這條弦。 下一次段考，考前先拿一份自己的考前藍圖
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上傳考卷常見問題
建中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 26 題的答案，是非題 21 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。
建中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？
算幾不等式的等號能不能成立（第 16、19、21 題）、10 的 −0.1 次方會讓位數往後退一位（第 10 題），以及無理數的反例怎麼找（第 25 題）。詳解逐題寫在本頁。
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題目取自建國中學 114 學年度上學期 高一第一次段考 數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。