御藍教育／段考卷
雄中 114 學年度上學期 高一第一次段考 數學：試題、答案與詳解
範圍：數與式（實數、絕對值）、集合與邏輯、函數初步｜單選題 3 題（12 分）、多選題 3 題（18 分）、填充題 10 題（60 分）、證明與作圖題 2 題（10 分）
原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解。不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。
試題
一、單選題（每題 4 分，共 12 分）
1
比較 a=1.02，b=101103，c=5051 的大小？- (A) a>b>c
- (B) a>c>b
- (C) b>a>c
- (D) b>c>a
- (E) c>a>b
2
設 A={x∣x2+ax+b=0}，B={1,21}，若 A∪B={1,21,31}，則滿足條件的實數數對 (a,b) 共有多少個？- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
- (E) 0
3
下列何者最有可能是函數 f(x)=x2+1x3 的圖形的一部分？ 二、多選題（每題 6 分，共 18 分）
4
設函數 f(x)=∣x−2∣，g(x)=∣x−5∣，x∈R，下列各選項何者正確？- (A) 函數 h(x)=f(x+2) 為偶函數
- (B) f(x)+g(x) 的最小值為 3
- (C) k∈R，若 f(x)+g(x)<k 無實數解，則 k<3
- (D) 滿足 f(g(x))=3 的 x 值共有 4 個
- (E) {x∣x∈R, f(x)>g(x)}=(27,∞)
5
下列各敘述何者正確？（下列各選項為獨立敘述，互不相關）- (A) 1∈{{1},2}
- (B) 設 x、y 為實數，「若 x>0，則 y<1」成立，則「若 y>1，則 x≤1」成立
- (C) A、B 為宇集合 U 中的兩個集合，則 (A∩B)′∩(A∪B)′=A′−B
- (D) 集合 C={x∣x∈R, ∣x−1∣≤1}，D={x∣x∈R, ∣x∣≤1}，則 C−D=[1,2]
- (E) 設 p、q、r 為三個敘述，若「(p∨q)→r」為假，則「r→(p∧q)」為真
6
下列各敘述何者正確？（下列各選項為獨立敘述，互不相關）- (A) a、b 為實數，若 a+b，ab 皆為有理數，則 a3+b3 必為有理數
- (B) a 為實數，若 a5 與 a7 皆為有理數，則 a9 必為有理數
- (C) 可用尺規作圖在數線上找到 5−26 的位置
- (D) 循環小數的平方根為 0.4=0.2
- (E) 若 a、b 皆為無理數，且 a<b，則在 a、b 之間不一定找得到一個有理數
三、填充題（共 60 分）
7
從 210 到 500 的自然數中，是 7 的倍數但不是 3 的倍數者共有 ____ 個。
8
設 x 為整數，若命題「若 2<∣x−1∣<4，則 x>0」為假，求 x 值 = ____。
9
K 中 1 年 25 班人數共有 36 人，調查開學考的國文、英文、數學三科的成績，發現國文及格者 26 人，英文及格者 21 人，國文或英文及格者 34 人，數學或英文及格者 27 人，數學與英文均及格者 12 人，數學與國文均及格者 12 人，且沒有人三科均不及格，數學、國文、英文三科均及格者共有 ____ 人。
10
實數值函數 f(x)=x2−x 的最大定義域為 ____。 11
設 a、b 為實數，若式 ∣ax−4∣<b 的解為 −5<x<1，則數對 (a,b)= ____。
12
設 a、b 為有理數，若 7+48 為方程式 x2+ax+b=0 的一根，則數對 (a,b)= ____。 13
在數線的正向上，有三點 A(a)、B(b)、P(8)，已知 P 在線段 AB 上，PA:PB=1:2，則 ab 的最大值 = ____。
14
解不等式 ∣x−1∣+∣x+1∣+2∣x+2∣<8，得解為 ____。
15
實數值函數 f 滿足 f(x+x1)=(x21+x1+1)(x2−x+1)，則 f(x)= ____。
16
因式分解：(x+y−1)3−(x3+y3)+1= ____。
四、證明與作圖題（共 10 分）
17
已知：「n 為整數，則 n 為 3 的倍數 ⇔ n2 為 3 的倍數」。試證明 3 為無理數。 18
[x] 表示不大於 x 的最大整數，令函數 f(x)=[x]，−2≤x≤2。試作 y=f(x) 的圖形。
答案一覽
第 1 題 (B)
第 2 題 (C)
第 3 題 (A)
第 4 題 (A)(B)(E)
第 5 題 (B)(C)(E)
第 6 題 (A)(B)(C)
第 7 題 28
第 8 題 −2
第 9 題 8
第 10 題 x≤2 且 x=0
第 11 題 (−2, 6)
第 12 題 (−4, 1)
第 13 題 72
第 14 題 −3<x<1
第 15 題 x2−1
第 16 題 3(x+y)(x−1)(y−1)
第 17 題 見詳解（反證法）
第 18 題 四段水平線段（左端實心、右端空心）加一點 (2,2)，見詳解附圖
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逐題詳解
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單選題：循環小數、解集合、函數圖形
第 1 題答案 (B)。a=1.020202⋯；c=5051=1.02；b=101103=1+1012，而 1012<1002=0.02，所以 b<1.02=c。又 a=1.02+0.000202⋯>c。故 a>c>b。
b 和 c 都寫成「1+ 一個小分數」，比分母就好，不用長除法。
第 2 題答案 (C)。A∪B 多出 31，所以 31∈A；又 A⊆{1,21,31}，且二次方程式最多兩個相異根。A 只能是：{31}（重根，x2−32x+91=0）、{31,1}（x2−34x+31=0）、{31,21}（x2−65x+61=0）。三種各對應一組 (a,b)，共 3 個。
重根的情形 A 只有一個元素，最容易漏掉。
第 3 題答案 (A)。f(−x)=−f(x)，圖形對原點對稱，刪去 (B)(C)。x>0 時 f(x)>0，刪去 (D)。f(x)=0 只有 x=0，刪去 (E)（它在 x 軸上還有其他交點）。另外 x 很小時 f(x) 約為 x3，所以原點附近很平；f(x)=x−x2+1x，x 很大時接近直線 y=x，與 (A) 相符。
多選題：絕對值函數、集合與邏輯、有理數
第 4 題答案 (A)(B)(E)。(A) 對：h(x)=∣x∣，h(−x)=h(x)。(B) 對：∣x−2∣+∣x−5∣ 是 x 到 2、5 的距離和，2≤x≤5 時最小，為 3。(C) 錯：f(x)+g(x)<k 無解 ⇔ k≤3，k=3 也無解，結論 k<3 不成立。(D) 錯：∣x−5∣−2=3 得 ∣x−5∣=5 或 ∣x−5∣=−1（不合），x=0 或 10，只有 2 個。(E) 對：∣x−2∣>∣x−5∣ 表示 x 離 5 比離 2 近，即 x>27。 第 5 題答案 (B)(C)(E)。(A) 錯：{{1},2} 的元素是 {1} 和 2，1 不是它的元素。(B) 對：原命題成立，逆否命題「若 y≥1，則 x≤0」也成立；y>1 時 y≥1，得 x≤0，當然 x≤1。(C) 對：(A∪B)′⊆(A∩B)′，所以左邊 =(A∪B)′=A′∩B′=A′−B。(D) 錯：C=[0,2]，D=[−1,1]，C−D=(1,2]，1 屬於 D 要去掉。(E) 對：(p∨q)→r 為假，表示 p∨q 真且 r 假；前提 r 為假時 r→(p∧q) 必為真。
第 6 題答案 (A)(B)(C)。(A) 對：a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)，由有理數的四則運算封閉性，是有理數。(B) 對：a=0 時顯然；a=0 時 a9=a5(a7)2，是有理數。(C) 對：5−26=3−2，2、3 都能用直角三角形作出，相減也能作出。(D) 錯：0.4=94，94=32=0.6，不是 0.2=92。(E) 錯：任兩個相異實數之間一定有有理數（有理數的稠密性）。 填充 7～11：計數、命題、排容、定義域與絕對值
第 7 題7 的倍數：210=7×30 到 497=7×71，共 71−30+1=42 個。其中 21 的倍數（同時是 3 的倍數）：210=21×10 到 483=21×23，共 14 個。答案 42−14=28。
第 8 題「若 P 則 Q」為假，表示 P 成立而 Q 不成立：2<∣x−1∣<4 且 x≤0。x 是整數，∣x−1∣=3，x=4 或 −2；再要 x≤0，得 x=−2。
第 9 題設國文、英文、數學及格的集合為 C、E、M。n(C∩E)=26+21−34=13；n(M)=n(M∪E)−n(E)+n(M∩E)=27−21+12=18。沒有人三科都不及格，n(C∪E∪M)=36。由排容原理：36=26+21+18−13−12−12+n(C∩E∩M)，得 n(C∩E∩M)=8。
第 10 題根號內不可為負：2−x≥0，x≤2；分母不可為 0：x=0。最大定義域為 {x∣x≤2, x=0}。
第 11 題有解表示 b>0，不等式化為 4−b<ax<4+b。若 a>0，解為 a4−b<x<a4+b，兩式相加得 a8=−4，a=−2，矛盾。所以 a<0，解為 a4+b<x<a4−b：a4+b=−5、a4−b=1，相加得 a8=−4，a=−2，再得 b=6。答案 (−2,6)。
除以負數不等號要反向，所以 a<0 時左右兩端要對調。
填充 12～16：雙重根號、分點與算幾、分段討論、代換、因式分解
第 12 題7+48=7+212=4+3=2+3。代入：(2+3)2+a(2+3)+b=0，即 (7+2a+b)+(4+a)3=0。a,b 為有理數而 3 是無理數，所以 4+a=0 且 7+2a+b=0，得 a=−4，b=1。 第 13 題「數線的正向上」表示 a>0、b>0。P 在 AB 上且 PA:PB=1:2，由分點公式 8=32a+b，即 2a+b=24。由算幾不等式 22a+b≥2a⋅b，12≥2ab，ab≤72；等號在 2a=b=12，即 a=6、b=12 時成立。最大值 72。 A 在 B 的左邊或右邊，分點公式都是 32a+b，不必分情形。
第 14 題分界點 −2,−1,1。x≥1：4x+4<8，x<1，無解。−1≤x<1：2x+6<8，x<1，得 −1≤x<1。−2≤x<−1：左邊 =4<8 恆成立。x<−2：−4x−4<8，x>−3，得 −3<x<−2。合起來 −3<x<1。
每一段算完都要和該段的範圍取交集，最後再合併。
第 15 題右邊 =x2(x2+x+1)(x2−x+1)=x2x4+x2+1=x2+1+x21=(x+x1)2−1。令 t=x+x1，得 f(t)=t2−1，所以 f(x)=x2−1。
嚴格來說 x+x1 只能取到 ∣t∣≥2 的值，題目要的是式子 x2−1。
第 16 題令 s=x+y。(s−1)3+1 用立方和：=s[(s−1)2−(s−1)+1]=s(s2−3s+3)。x3+y3=s(s2−3xy)。相減：s(s2−3s+3−s2+3xy)=3s(xy−x−y+1)=3(x+y)(x−1)(y−1)。
把 +1 和 (x+y−1)3 配成立方和，兩部分都會出現公因式 x+y。
證明與作圖 17～18
第 17 題用反證法。假設 3 是有理數，可寫成 3=qp，p,q 為正整數且互質。平方得 p2=3q2，所以 p2 是 3 的倍數，由已知 p 是 3 的倍數，設 p=3k（k 為正整數）。代回：9k2=3q2，q2=3k2，所以 q2 是 3 的倍數，由已知 q 也是 3 的倍數。於是 p,q 有公因數 3，與互質矛盾。故 3 為無理數。 「互質」要在假設時就寫出來，最後的矛盾才有對象。
第 18 題依 [x] 的定義分段：−2≤x<−1 時 f(x)=−2；−1≤x<0 時 f(x)=−1；0≤x<1 時 f(x)=0；1≤x<2 時 f(x)=1；x=2 時 f(2)=2。圖形是四條長度 1 的水平線段，每段左端點畫實心點（取得到）、右端點畫空心圈（取不到），最後在 (2,2) 畫一個實心點（見詳解附圖）。
x=2 那一點不可漏，也不可把 y=1 那段的右端 (2,1) 畫成實心。
證明題先寫出假設（含互質），每一步註明用到哪一條已知；作圖題端點取不取得到要用實心、空心分清楚。
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上傳考卷常見問題
雄中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
雄中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？
第 2 題漏掉重根只有一個元素的情形、第 5 題 (4) 差集的端點 1 要去掉、第 11 題 a 為負數時不等號要反向，以及第 18 題高斯函數端點的實心與空心。詳解逐題寫在本頁。
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題目取自雄中 114 學年度上學期 高一第一次段考 數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。