段考詳解範圍：數與式（實數、乘法公式與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

前鎮高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 前鎮高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 前鎮高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 2 題的選項 D 要把 log 50 算到小數第四位才能和 1.7 比大小；填充第 8 題第 2 格解絕對值方程式要驗根，會多出一個不合的解；填充第 11 題要把連等式改寫成 a 的次方再相乘；填充第 13 題第 2 格的範圍跨過 0，平方的最小值是 0。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

多重選擇題 2 題（12 分）、填充題 15 題共 20 格（88 分）

一、多重選擇題（一題 6 分，共 12 分）

請選出正確的選項：

(A) 若 $a$ 、 $b$ 都是無理數，則 $\frac{a}{b}$ 必為無理數
(B) 若 $a + b$ 、 $a - b$ 都是有理數，則 $a$ 、 $b$ 均為有理數
(C) 若 $a$ 是有理數， $b$ 是無理數，則 $ab$ 必為無理數
(D) 若 $a \neq = 0$ ， $a^{3}$ 與 $a^{5}$ 都是有理數，則 $a$ 為有理數
(E) 若 $(a + 1) + (b - 3) 2 = 0$ ，則 $a = - 1$ ， $b = 3$

設

a

、

b

、

c \in R

且滿足

lo g a = 1.7

，

lo g b = 6.8

，

lo g c = 11.56

，請選出正確選項。（已知：

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

）

(A) $a = 4 b$
(B) $c = ab$
(C) $b^{2} > a c$
(D) $a < 50$
(E) $a c$ 為 $14$ 位數

二、填充題（共 88 分）（本頁第 3～22 題依序為流傳版本的填充 1(1)、1(2)、2、3、4、5、6、7、8(1)、8(2)、9、10(1)、10(2)、11、12、13(1)、13(2)、14(1)、14(2)、15；另一個流傳版本卷首註明：最後答案用指數式、對數式的形式表示不給分）

(1) 已知

x = lo g 6

，求

10 0^{x}

之值

=

____。

(2) 化簡

(5164)^{- 3}

，並求其值

=

____。

試將下列各題的答案用

2

位有效數字的科學記號表示：

(4.162 \times 1 0^{9}) - (7.0 \times 1 0^{8}) \approx

____。

求

\frac{23}{111}

化成小數後，在小數點後第

114

位之數字為 ____。

已知圓心為

O

半徑為

5

之圓，

\overline{O C} = 3

，

D

在圓上且

\overline{C D} ⊥ \overline{O C}

，則

\overline{C D} =

____。

設

a

、

b

為有理數，若

(a + b 2) (1 + 22) = - 1 + 52

，則數對

(a, b) =

____。

數線上

A (18)

、

B (- 6)

、

C (x)

，已知點

C

不在線段

A B

上，又

\overline{A C} : \overline{B C} = 7 : 1

，則

x =

____。

設

x^{3} = 7

，則

(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1) =

____。

(1) 解不等式

∣ - 3 x + 4∣ \leq 5

____。

(2) 解方程式

∣ x - 2∣ = 4 x + 1

____。

設

a

、

b

為實數，若不等式

∣ a x - 5∣ \leq b

的解為

- 3 \leq x \leq 1

，則數對

(a, b) =

____。

填充第 10 題（第 14～15 題）　設兩正數

x

、

y

滿足

x y = 24

。

(1) 則

3 x + y

的最小值為 ____。

(2) 承上題，此時

x =

____。

設

x + y + z = - 2

且

a = 4^{\frac{1}{x}} = 5^{\frac{1}{y}} = 9^{\frac{1}{z}}

，則

a =

____。

19 - 83

的整數部分為

a

，小數部分為

b

（

0 < b < 1

），則

\frac{1}{b} - a

的值為 ____。

填充第 13 題（第 18～19 題）　若

∣ x - 1∣ \leq 5

且

∣ y + 3∣ \leq 1

，求：

(1)

3 x - y

的範圍 ____。

(2)

x^{2} + 2 x y + y^{2}

的範圍為 ____。

填充第 14 題（第 20～21 題）　設

a

為實數，

0 < a < 1

，

a + a^{- 1} = 6

。

(1)

a^{2} + a^{- 2} =

____。

(2)

a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} =

____。

某項實驗中，細菌數一日後增為

k

倍，且已知

3

日後的細菌數為

600000

個，而

5 \frac{1}{2}

日後的細菌數為

19200000

個，若

8

日後的細菌數為

a \times 1 0^{5}

個，則正整數

a =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(D)

第 2 題(C)(E)

第 3 題

36

第 4 題

\frac{1}{8}

第 5 題

3.5 \times 1 0^{9}

第 6 題

7

第 7 題

4

第 8 題

(3, - 1)

第 9 題

- 10

第 10 題

6

第 11 題

- \frac{1}{3} \leq x \leq 3

第 12 題

x = \frac{1}{5}

第 13 題

(- 5, 10)

第 14 題

122

第 15 題

22

第 16 題

\frac{5}{30}

第 17 題

3

第 18 題

- 10 \leq 3 x - y \leq 22

第 19 題

0 \leq x^{2} + 2 x y + y^{2} \leq 64

第 20 題

34

第 21 題

- 2

第 22 題

6144

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇 1～2：有理數與無理數、由 log 值比大小

第 1 題答案 (B)(D)。(A) 錯：取

a = b = 2

，

\frac{a}{b} = 1

是有理數。(B) 對：

a = \frac{( a + b ) + ( a - b )}{2}

、

b = \frac{( a + b ) - ( a - b )}{2}

，有理數相加減、除以

2

仍是有理數。(C) 錯：取

a = 0

，

ab = 0

是有理數。(D) 對：

a \neq = 0

所以

a^{3} \neq = 0

，

a^{2} = \frac{a ^{5}}{a ^{3}}

是有理數且不為

0

，於是

a = \frac{a ^{3}}{a ^{2}}

也是有理數。(E) 錯：題目沒有說

a

、

b

是有理數，例如

a = - 1 - 2

、

b = 4

時

(a + 1) + (b - 3) 2 = - 2 + 2 = 0

，但

a \neq = - 1

。

(E) 的比較係數只有在

a

、

b

都是有理數時才能用；(C) 要記得有理數可以是

0

。

第 2 題答案 (C)(E)。由定義

a = 1 0^{1.7}

、

b = 1 0^{6.8}

、

c = 1 0^{11.56}

。(A) 錯：

b

比

a

大很多，

a = 4 b

不可能（成立的是

b = a^{4}

，因為

6.8 = 4 \times 1.7

）。(B) 錯：

ab = 1 0^{1.7 + 6.8} = 1 0^{8.5} \neq = 1 0^{11.56}

。(C) 對：

b^{2} = 1 0^{13.6}

，

a c = 1 0^{1.7 + 11.56} = 1 0^{13.26}

，

13.6 > 13.26

。(D) 錯：

lo g 50 = lo g 100 - lo g 2 \approx 2 - 0.3010 = 1.6990 < 1.7

，所以

50 < a

。(E) 對：

a c = 1 0^{13.26}

，

1 0^{13} < a c < 1 0^{14}

，是

14

位數。

(D) 的

1.6990

和

1.7

只差

0.001

，要把

lo g 50

算到小數第四位才分得出來。另一個流傳版本的解答把本題寫成 (D)(E)；依題幹重算，(D) 不成立、(C) 成立，本站答案為 (C)(E)，與第一個流傳版本的簡答相同。

02填充 1～7（第 3～10 題）：對數的意義、根式、科學記號、循環小數與乘法公式

第 3 題

x = lo g 6

表示

1 0^{x} = 6

。

10 0^{x} = (1 0^{2})^{x} = (1 0^{x})^{2} = 6^{2} = 36

。

第 4 題

4 = 2

，所以

164 = 32 = 2^{5}

，

532 = 2

。原式

= 2^{- 3} = \frac{1}{8}

。

第 5 題先把兩數化成同一個次方：

7.0 \times 1 0^{8} = 0.70 \times 1 0^{9}

。

4.162 \times 1 0^{9} - 0.70 \times 1 0^{9} = 3.462 \times 1 0^{9}

。取

2

位有效數字，第三位

6

進位，得

3.5 \times 1 0^{9}

。

相減前

10

的次方要先對齊，不能直接拿

4.162

減

7.0

。

第 6 題

\frac{23}{111} = \frac{207}{999} = 0. \overline{207}

，循環節是

2

、

0

、

7

三個數字。

114 \div 3 = 38

整除，所以第

114

位是循環節的最後一個數字

7

。

除以循環節長度後整除，對應的是循環節的最後一位，不是第一位。

第 7 題

D

在圓上，所以

\overline{O D} = 5

。

\overline{C D} ⊥ \overline{O C}

，三角形

O C D

是以

C

為直角頂點的直角三角形，由畢氏定理

\overline{C D} = \overline{O D}^{2} - \overline{O C}^{2} = 25 - 9 = 4

。

第 8 題左邊展開：

(a + b 2) (1 + 22) = a + 2 a 2 + b 2 + 4 b = (a + 4 b) + (2 a + b) 2

。

a

、

b

是有理數，所以有理數部分和

2

的係數分別相等：

a + 4 b = - 1

，

2 a + b = 5

。由第二式

b = 5 - 2 a

代入第一式：

a + 20 - 8 a = - 1

，

a = 3

，

b = - 1

。

驗算：

(3 - 2) (1 + 22) = 3 + 62 - 2 - 4 = - 1 + 52

。

第 9 題

C

不在線段

A B

上，而且

\overline{A C} > \overline{B C}

，所以

C

離

B

較近，在

B

的左邊（

x < - 6

）。這時

\overline{A C} = 18 - x

、

\overline{B C} = - 6 - x

，由

18 - x = 7 (- 6 - x)

得

6 x = - 60

，

x = - 10

。驗算：

\overline{A C} = 28

、

\overline{B C} = 4

，比是

7 : 1

。

∣ x - 18∣ = 7∣ x + 6∣

還有另一個解

x = - 3

，那是線段

A B

上的內分點，題目已排除。

第 10 題重新配對：

(x + 1) (x^{2} - x + 1) = x^{3} + 1

，

(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1

。原式

= (x^{3} + 1) (x^{3} - 1) = (x^{3})^{2} - 1 = (7)^{2} - 1 = 6

。

x + 1

要配

x^{2} - x + 1

（立方和），

x - 1

要配

x^{2} + x + 1

（立方差），正負號是相反的。

看到

x = lo g 6

先改寫成

1 0^{x} = 6

，看到根式先改寫成同一個底數的次方，後面就只剩指數律。

03填充 8～12（第 11～17 題）：絕對值、算幾不等式、指數律與雙重根號

第 11 題

∣ - 3 x + 4∣ = ∣3 x - 4∣

，所以不等式是

- 5 \leq 3 x - 4 \leq 5

。各加

4

：

- 1 \leq 3 x \leq 9

，各除以

3

：

- \frac{1}{3} \leq x \leq 3

。

第 12 題分兩種情形。

x \geq 2

時

x - 2 = 4 x + 1

，得

x = - 1

，不在

x \geq 2

的範圍內，不合。

x < 2

時

- (x - 2) = 4 x + 1

，得

5 x = 1

，

x = \frac{1}{5}

，符合

x < 2

。驗算：左邊

\frac{1}{5} - 2 = \frac{9}{5}

，右邊

\frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5}

。所以

x = \frac{1}{5}

。

絕對值不會是負的，右邊

4 x + 1

必須

\geq 0

；

x = - 1

時右邊是

- 3

，可以直接看出不合。解出來的兩個候選

- 1

、

\frac{1}{5}

要代回原式檢查，只有

\frac{1}{5}

成立；流傳版本的簡答也只寫

\frac{1}{5}

。

第 13 題解

- 3 \leq x \leq 1

的中點是

- 1

，端點到中點的距離是

2

，所以解就是

∣ x + 1∣ \leq 2

。題目的常數項是

- 5

，把兩邊同乘以

5

：

∣5 x + 5∣ \leq 10

，也就是

∣ - 5 x - 5∣ \leq 10

。和

∣ a x - 5∣ \leq b

對照，得

a = - 5

、

b = 10

。

∣5 x + 5∣

和

∣ - 5 x - 5∣

相等，要配合題目的「

- 5

」選後者，所以

a

是負的。

第 14 題(1)

3 x

、

y

都是正數，由算幾不等式

\frac{3 x + y}{2} \geq 3 x \cdot y = 3 \times 24 = 72 = 62

，所以

3 x + y \geq 122

，最小值

122

。

第 15 題(2) 等號在

3 x = y

時成立。代入

x y = 24

：

3 x^{2} = 24

，

x^{2} = 8

，

x > 0

所以

x = 22

（這時

y = 62

，

3 x + y = 122

）。

等號成立的條件是算幾不等式裡的兩個數相等，也就是

3 x = y

，不是

x = y

。

第 16 題由

a = 4^{\frac{1}{x}}

兩邊取

x

次方得

a^{x} = 4

；同理

a^{y} = 5

、

a^{z} = 9

。三式相乘：

a^{x + y + z} = 4 \times 5 \times 9 = 180

，而

x + y + z = - 2

，所以

a^{- 2} = 180

，

a^{2} = \frac{1}{180}

。

a

是正數，

a = \frac{1}{180} = \frac{1}{6 5} = \frac{5}{30}

。

把「

a

等於某數的

\frac{1}{x}

次方」改寫成「

a

的

x

次方等於某數」，指數就能用相乘加起來。

第 17 題

19 - 83 = 19 - 248

，找兩數和

19

、積

48

：

16

和

3

，所以

19 - 83 = 16 - 3 = 4 - 3

。

1 < 3 < 2

，所以

2 < 4 - 3 < 3

，整數部分

a = 2

，小數部分

b = 4 - 3 - 2 = 2 - 3

。

\frac{1}{b} = \frac{1}{2 - 3} = 2 + 3

，所以

\frac{1}{b} - a = 2 + 3 - 2 = 3

。

雙重根號裡面要先整理成

2

的形式：

83 = 248

。

絕對值方程式右邊含

x

時，分段解完一定要代回去檢查；絕對值不等式的解是區間時，先找中點和半徑再回推係數。

04填充 13～15（第 18～22 題）：範圍、對稱式求值與指數成長

第 18 題

∣ x - 1∣ \leq 5

即

- 4 \leq x \leq 6

；

∣ y + 3∣ \leq 1

即

- 4 \leq y \leq - 2

。(1)

- 12 \leq 3 x \leq 18

，

2 \leq - y \leq 4

，兩式相加：

- 10 \leq 3 x - y \leq 22

。

減

y

要先把

y

的範圍變號成

- y

的範圍（大小順序會顛倒），再相加。

第 19 題(2)

x^{2} + 2 x y + y^{2} = (x + y)^{2}

。

- 4 \leq x \leq 6

與

- 4 \leq y \leq - 2

相加得

- 8 \leq x + y \leq 4

。這個範圍包含

0

，所以

(x + y)^{2}

最小是

0

；最大發生在離

0

最遠的

x + y = - 8

，是

64

。因此

0 \leq x^{2} + 2 x y + y^{2} \leq 64

。

x + y

的範圍跨過

0

，平方的最小值是

0

，不是

4^{2} = 16

。

第 20 題(1) 把

a + a^{- 1} = 6

兩邊平方：

a^{2} + 2 + a^{- 2} = 36

，所以

a^{2} + a^{- 2} = 34

。

第 21 題(2)

(a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a - 2 + a^{- 1} = 6 - 2 = 4

，所以

a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = \pm 2

。因為

0 < a < 1

，

a^{\frac{1}{2}} < 1 < a^{- \frac{1}{2}}

，差是負的，答案

- 2

。

平方之後有正負兩個可能，要用

0 < a < 1

判斷正負。

第 22 題設一開始有

N

個，

t

日後是

N \cdot k^{t}

個。

N k^{3} = 600000

，

N k^{5.5} = 19200000

，兩式相除：

k^{2.5} = 32

。從

5 \frac{1}{2}

日到

8

日又過了

2.5

日，細菌數再乘以

k^{2.5} = 32

：

19200000 \times 32 = 614400000 = 6144 \times 1 0^{5}

，所以

a = 6144

。

不必求出

k

和

N

（實際上

k^{\frac{5}{2}} = 2^{5}

，

k = 4

）；

3

日到

5.5

日、

5.5

日到

8

日間隔相同，倍數也相同。

指數成長裡，相同的時間間隔對應相同的倍數；看到兩個時間點的數量，先相除求出那段間隔的倍數。

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御藍教育／段考卷／高一

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高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

多重選擇題 2 題（12 分）、填充題 15 題共 20 格（88 分）

一、多重選擇題（一題 6 分，共 12 分）

請選出正確的選項：

(A) 若 $a$ 、 $b$ 都是無理數，則 $\frac{a}{b}$ 必為無理數
(B) 若 $a + b$ 、 $a - b$ 都是有理數，則 $a$ 、 $b$ 均為有理數
(C) 若 $a$ 是有理數， $b$ 是無理數，則 $ab$ 必為無理數
(D) 若 $a \neq = 0$ ， $a^{3}$ 與 $a^{5}$ 都是有理數，則 $a$ 為有理數
(E) 若 $(a + 1) + (b - 3) 2 = 0$ ，則 $a = - 1$ ， $b = 3$

設

a

、

b

、

c \in R

且滿足

lo g a = 1.7

，

lo g b = 6.8

，

lo g c = 11.56

，請選出正確選項。（已知：

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

lo g 7 \approx 0.8451

）

(A) $a = 4 b$
(B) $c = ab$
(C) $b^{2} > a c$
(D) $a < 50$
(E) $a c$ 為 $14$ 位數

(1) 已知

x = lo g 6

，求

10 0^{x}

之值

=

____。

(2) 化簡

(5164)^{- 3}

，並求其值

=

____。

試將下列各題的答案用

2

位有效數字的科學記號表示：

(4.162 \times 1 0^{9}) - (7.0 \times 1 0^{8}) \approx

____。

求

\frac{23}{111}

化成小數後，在小數點後第

114

位之數字為 ____。

已知圓心為

O

半徑為

5

之圓，

\overline{O C} = 3

，

D

在圓上且

\overline{C D} ⊥ \overline{O C}

，則

\overline{C D} =

____。

設

a

、

b

為有理數，若

(a + b 2) (1 + 22) = - 1 + 52

，則數對

(a, b) =

____。

數線上

A (18)

、

B (- 6)

、

C (x)

，已知點

C

不在線段

A B

上，又

\overline{A C} : \overline{B C} = 7 : 1

，則

x =

____。

設

x^{3} = 7

，則

(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1) =

____。

(1) 解不等式

∣ - 3 x + 4∣ \leq 5

____。

(2) 解方程式

∣ x - 2∣ = 4 x + 1

____。

設

a

、

b

為實數，若不等式

∣ a x - 5∣ \leq b

的解為

- 3 \leq x \leq 1

，則數對

(a, b) =

____。

填充第 10 題（第 14～15 題）　設兩正數

x

、

y

滿足

x y = 24

。

(1) 則

3 x + y

的最小值為 ____。

(2) 承上題，此時

x =

____。

設

x + y + z = - 2

且

a = 4^{\frac{1}{x}} = 5^{\frac{1}{y}} = 9^{\frac{1}{z}}

，則

a =

____。

19 - 83

的整數部分為

a

，小數部分為

b

（

0 < b < 1

），則

\frac{1}{b} - a

的值為 ____。

填充第 13 題（第 18～19 題）　若

∣ x - 1∣ \leq 5

且

∣ y + 3∣ \leq 1

，求：

(1)

3 x - y

的範圍 ____。

(2)

x^{2} + 2 x y + y^{2}

的範圍為 ____。

填充第 14 題（第 20～21 題）　設

a

為實數，

0 < a < 1

，

a + a^{- 1} = 6

。

(1)

a^{2} + a^{- 2} =

____。

(2)

a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} =

____。

某項實驗中，細菌數一日後增為

k

倍，且已知

3

日後的細菌數為

600000

個，而

5 \frac{1}{2}

日後的細菌數為

19200000

個，若

8

日後的細菌數為

a \times 1 0^{5}

個，則正整數

a =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(D)

第 2 題(C)(E)

第 3 題

36

第 4 題

\frac{1}{8}

第 5 題

3.5 \times 1 0^{9}

第 6 題

7

第 7 題

4

第 8 題

(3, - 1)

第 9 題

- 10

第 10 題

6

第 11 題

- \frac{1}{3} \leq x \leq 3

第 12 題

x = \frac{1}{5}

第 13 題

(- 5, 10)

第 14 題

122

第 15 題

22

第 16 題

\frac{5}{30}

第 17 題

3

第 18 題

- 10 \leq 3 x - y \leq 22

第 19 題

0 \leq x^{2} + 2 x y + y^{2} \leq 64

第 20 題

34

第 21 題

- 2

第 22 題

6144

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇 1～2：有理數與無理數、由 log 值比大小

第 1 題答案 (B)(D)。(A) 錯：取

a = b = 2

，

\frac{a}{b} = 1

是有理數。(B) 對：

a = \frac{( a + b ) + ( a - b )}{2}

、

b = \frac{( a + b ) - ( a - b )}{2}

，有理數相加減、除以

2

仍是有理數。(C) 錯：取

a = 0

，

ab = 0

是有理數。(D) 對：

a \neq = 0

所以

a^{3} \neq = 0

，

a^{2} = \frac{a ^{5}}{a ^{3}}

是有理數且不為

0

，於是

a = \frac{a ^{3}}{a ^{2}}

也是有理數。(E) 錯：題目沒有說

a

、

b

是有理數，例如

a = - 1 - 2

、

b = 4

時

(a + 1) + (b - 3) 2 = - 2 + 2 = 0

，但

a \neq = - 1

。

(E) 的比較係數只有在

a

、

b

都是有理數時才能用；(C) 要記得有理數可以是

0

。

第 2 題答案 (C)(E)。由定義

a = 1 0^{1.7}

、

b = 1 0^{6.8}

、

c = 1 0^{11.56}

。(A) 錯：

b

比

a

大很多，

a = 4 b

不可能（成立的是

b = a^{4}

，因為

6.8 = 4 \times 1.7

）。(B) 錯：

ab = 1 0^{1.7 + 6.8} = 1 0^{8.5} \neq = 1 0^{11.56}

。(C) 對：

b^{2} = 1 0^{13.6}

，

a c = 1 0^{1.7 + 11.56} = 1 0^{13.26}

，

13.6 > 13.26

。(D) 錯：

lo g 50 = lo g 100 - lo g 2 \approx 2 - 0.3010 = 1.6990 < 1.7

，所以

50 < a

。(E) 對：

a c = 1 0^{13.26}

，

1 0^{13} < a c < 1 0^{14}

，是

14

位數。

(D) 的

1.6990

和

1.7

只差

0.001

，要把

lo g 50

02填充 1～7（第 3～10 題）：對數的意義、根式、科學記號、循環小數與乘法公式

第 3 題

x = lo g 6

表示

1 0^{x} = 6

。

10 0^{x} = (1 0^{2})^{x} = (1 0^{x})^{2} = 6^{2} = 36

。

第 4 題

4 = 2

，所以

164 = 32 = 2^{5}

，

532 = 2

。原式

= 2^{- 3} = \frac{1}{8}

。

第 5 題先把兩數化成同一個次方：

7.0 \times 1 0^{8} = 0.70 \times 1 0^{9}

。

4.162 \times 1 0^{9} - 0.70 \times 1 0^{9} = 3.462 \times 1 0^{9}

。取

2

位有效數字，第三位

6

進位，得

3.5 \times 1 0^{9}

。

相減前

10

的次方要先對齊，不能直接拿

4.162

減

7.0

。

第 6 題

\frac{23}{111} = \frac{207}{999} = 0. \overline{207}

，循環節是

2

、

0

、

7

三個數字。

114 \div 3 = 38

整除，所以第

114

位是循環節的最後一個數字

7

。

除以循環節長度後整除，對應的是循環節的最後一位，不是第一位。

第 7 題

D

在圓上，所以

\overline{O D} = 5

。

\overline{C D} ⊥ \overline{O C}

，三角形

O C D

是以

C

為直角頂點的直角三角形，由畢氏定理

\overline{C D} = \overline{O D}^{2} - \overline{O C}^{2} = 25 - 9 = 4

。

第 8 題左邊展開：

(a + b 2) (1 + 22) = a + 2 a 2 + b 2 + 4 b = (a + 4 b) + (2 a + b) 2

。

a

、

b

是有理數，所以有理數部分和

2

的係數分別相等：

a + 4 b = - 1

，

2 a + b = 5

。由第二式

b = 5 - 2 a

代入第一式：

a + 20 - 8 a = - 1

，

a = 3

，

b = - 1

。

驗算：

(3 - 2) (1 + 22) = 3 + 62 - 2 - 4 = - 1 + 52

。

第 9 題

C

不在線段

A B

上，而且

\overline{A C} > \overline{B C}

，所以

C

離

B

較近，在

B

的左邊（

x < - 6

）。這時

\overline{A C} = 18 - x

、

\overline{B C} = - 6 - x

，由

18 - x = 7 (- 6 - x)

得

6 x = - 60

，

x = - 10

。驗算：

\overline{A C} = 28

、

\overline{B C} = 4

，比是

7 : 1

。

∣ x - 18∣ = 7∣ x + 6∣

還有另一個解

x = - 3

，那是線段

A B

上的內分點，題目已排除。

第 10 題重新配對：

(x + 1) (x^{2} - x + 1) = x^{3} + 1

，

(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1

。原式

= (x^{3} + 1) (x^{3} - 1) = (x^{3})^{2} - 1 = (7)^{2} - 1 = 6

。

x + 1

要配

x^{2} - x + 1

（立方和），

x - 1

要配

x^{2} + x + 1

（立方差），正負號是相反的。

看到

x = lo g 6

先改寫成

1 0^{x} = 6

，看到根式先改寫成同一個底數的次方，後面就只剩指數律。

03填充 8～12（第 11～17 題）：絕對值、算幾不等式、指數律與雙重根號

第 11 題

∣ - 3 x + 4∣ = ∣3 x - 4∣

，所以不等式是

- 5 \leq 3 x - 4 \leq 5

。各加

4

：

- 1 \leq 3 x \leq 9

，各除以

3

：

- \frac{1}{3} \leq x \leq 3

。

第 12 題分兩種情形。

x \geq 2

時

x - 2 = 4 x + 1

，得

x = - 1

，不在

x \geq 2

的範圍內，不合。

x < 2

時

- (x - 2) = 4 x + 1

，得

5 x = 1

，

x = \frac{1}{5}

，符合

x < 2

。驗算：左邊

\frac{1}{5} - 2 = \frac{9}{5}

，右邊

\frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5}

。所以

x = \frac{1}{5}

。

絕對值不會是負的，右邊

4 x + 1

必須

\geq 0

；

x = - 1

時右邊是

- 3

，可以直接看出不合。解出來的兩個候選

- 1

、

\frac{1}{5}

要代回原式檢查，只有

\frac{1}{5}

成立；流傳版本的簡答也只寫

\frac{1}{5}

。

第 13 題解

- 3 \leq x \leq 1

的中點是

- 1

，端點到中點的距離是

2

，所以解就是

∣ x + 1∣ \leq 2

。題目的常數項是

- 5

，把兩邊同乘以

5

：

∣5 x + 5∣ \leq 10

，也就是

∣ - 5 x - 5∣ \leq 10

。和

∣ a x - 5∣ \leq b

對照，得

a = - 5

、

b = 10

。

∣5 x + 5∣

和

∣ - 5 x - 5∣

相等，要配合題目的「

- 5

」選後者，所以

a

是負的。

第 14 題(1)

3 x

、

y

都是正數，由算幾不等式

\frac{3 x + y}{2} \geq 3 x \cdot y = 3 \times 24 = 72 = 62

，所以

3 x + y \geq 122

，最小值

122

。

第 15 題(2) 等號在

3 x = y

時成立。代入

x y = 24

：

3 x^{2} = 24

，

x^{2} = 8

，

x > 0

所以

x = 22

（這時

y = 62

，

3 x + y = 122

）。

等號成立的條件是算幾不等式裡的兩個數相等，也就是

3 x = y

，不是

x = y

。

第 16 題由

a = 4^{\frac{1}{x}}

兩邊取

x

次方得

a^{x} = 4

；同理

a^{y} = 5

、

a^{z} = 9

。三式相乘：

a^{x + y + z} = 4 \times 5 \times 9 = 180

，而

x + y + z = - 2

，所以

a^{- 2} = 180

，

a^{2} = \frac{1}{180}

。

a

是正數，

a = \frac{1}{180} = \frac{1}{6 5} = \frac{5}{30}

。

把「

a

等於某數的

\frac{1}{x}

次方」改寫成「

a

的

x

次方等於某數」，指數就能用相乘加起來。

第 17 題

19 - 83 = 19 - 248

，找兩數和

19

、積

48

：

16

和

3

，所以

19 - 83 = 16 - 3 = 4 - 3

。

1 < 3 < 2

，所以

2 < 4 - 3 < 3

，整數部分

a = 2

，小數部分

b = 4 - 3 - 2 = 2 - 3

。

\frac{1}{b} = \frac{1}{2 - 3} = 2 + 3

，所以

\frac{1}{b} - a = 2 + 3 - 2 = 3

。

雙重根號裡面要先整理成

2

的形式：

83 = 248

。

絕對值方程式右邊含

x

時，分段解完一定要代回去檢查；絕對值不等式的解是區間時，先找中點和半徑再回推係數。

04填充 13～15（第 18～22 題）：範圍、對稱式求值與指數成長

第 18 題

∣ x - 1∣ \leq 5

即

- 4 \leq x \leq 6

；

∣ y + 3∣ \leq 1

即

- 4 \leq y \leq - 2

。(1)

- 12 \leq 3 x \leq 18

，

2 \leq - y \leq 4

，兩式相加：

- 10 \leq 3 x - y \leq 22

。

減

y

要先把

y

的範圍變號成

- y

的範圍（大小順序會顛倒），再相加。

第 19 題(2)

x^{2} + 2 x y + y^{2} = (x + y)^{2}

。

- 4 \leq x \leq 6

與

- 4 \leq y \leq - 2

相加得

- 8 \leq x + y \leq 4

。這個範圍包含

0

，所以

(x + y)^{2}

最小是

0

；最大發生在離

0

最遠的

x + y = - 8

，是

64

。因此

0 \leq x^{2} + 2 x y + y^{2} \leq 64

。

x + y

的範圍跨過

0

，平方的最小值是

0

，不是

4^{2} = 16

。

第 20 題(1) 把

a + a^{- 1} = 6

兩邊平方：

a^{2} + 2 + a^{- 2} = 36

，所以

a^{2} + a^{- 2} = 34

。

第 21 題(2)

(a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a - 2 + a^{- 1} = 6 - 2 = 4

，所以

a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = \pm 2

。因為

0 < a < 1

，

a^{\frac{1}{2}} < 1 < a^{- \frac{1}{2}}

，差是負的，答案

- 2

。

平方之後有正負兩個可能，要用

0 < a < 1

判斷正負。

第 22 題設一開始有

N

個，

t

日後是

N \cdot k^{t}

個。

N k^{3} = 600000

，

N k^{5.5} = 19200000

，兩式相除：

k^{2.5} = 32

。從

5 \frac{1}{2}

日到

8

日又過了

2.5

日，細菌數再乘以

k^{2.5} = 32

：

19200000 \times 32 = 614400000 = 6144 \times 1 0^{5}

，所以

a = 6144

。

不必求出

k

和

N

（實際上

k^{\frac{5}{2}} = 2^{5}

，

k = 4

）；

3

日到

5.5

日、

5.5

日到

8

日間隔相同，倍數也相同。

指數成長裡，相同的時間間隔對應相同的倍數；看到兩個時間點的數量，先相除求出那段間隔的倍數。

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前鎮高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？