段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數）

成淵高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 成淵高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 成淵高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題選項 (5) 的分點公式只在點落在線段上時成立、第 4 題選項 (1) 的近似值不能寫等號、第 12 題第 (2) 小題平方後要判斷正負號，以及第 14 題要求出兩個絕對值相減的範圍。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 4 題（20 分）、填充題 12 題共 14 格（80 分）

一、多選題（占 20 分）　說明：第 1 題至第 4 題，每題 5 分。（5－3－1－0）

下列哪些選項正確？

(1) 設 $a, b, c, d$ 為實數，若 $a + b 2 = c + d 2$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$
(2) 設 $a, b$ 為有理數， $c, d$ 為無理數，若 $a + c = b + d$ ，則 $a = b$ 且 $b = d$
(3) 設 $a, b, c$ 為實數，若 $a c = b c$ ，則 $a = b$
(4) 設 $a, b$ 為非負實數，則 $(a + b) - 2 ab = a - b$ 必成立
(5) 設 $a, b$ 為實數，則 $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ 必成立

設

A (a)

、

B (b)

為數線上兩點，且

a < b

，則下列選項何者正確？

(1) $\frac{2 a + b}{3} < \frac{a + b}{2}$
(2) $\frac{a + b}{3} < \frac{a + b}{2}$
(3) $∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$
(4) 若 $a^{2} < b^{2}$ ，則 $∣ a ∣ < ∣ b ∣$
(5) 若有一點 $P (x)$ 使得 $\overline{A P} : \overline{B P} = m : n$ ，則 $x = \frac{na + mb}{m + n}$

下列哪些選項正確？

(1) $(4^{5})^{2} = 4^{5}$
(2) $(34)^{6} = 16$
(3) $4^{- 3} < 0$
(4) $4^{5} \times 5^{5} = 2 0^{5}$
(5) $(5 4^{7})^{0} = 1$

下列哪些選項正確？

(1) $lo g 2 = 0.3010$
(2) $1 0^{l o g 7} = 7$
(3) $10 0^{l o g 3} = 6$
(4) $lo g (\frac{10}{100}) = - \frac{3}{2}$
(5) $10 0^{l o g (- 7)} = 49$

二、填充題（占 80 分）　說明：第 5 題至第 16 題，答對前 10 格每格 6 分，後 4 格每格 5 分。

計算

2. \overline{9} =

____。

若

21 - 85

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，試求

\frac{11}{a + b} + b =

____。

設

x

為實數，且

5^{x} = 4

，試求

2 5^{\frac{x}{4}} + (\frac{1}{5})^{- 2 x} =

____。

計算

lo g 0.01 \times lo g 1000 + 1 0^{l o g 3 + l o g 5} =

____。

若

a, b

為正實數，且

ab = 16

，回答以下問題：(1) 求出

9 a + 4 b

的最小值

=

____。(2)

9 a + 4 b

有最小值時，數對

(a, b) =

____。

若絕對值不等式

∣ a x + 10∣ \geq b

的解

x \leq - 3

或

x \geq 8

，求數對

(a, b) =

____。

絕對值不等式

2∣ x - 2∣ + ∣ x + 3∣ > 7

的解為 ____。

設

x = 6 - 35

，試求 (1)

x^{3} + x^{- 3} =

____。(2)

x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} =

____。

已知服用某藥物一段時間後，身體內殘留的藥量會隨著時間衰減，其公式為

Y = X \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}

，其中

Y

為經過

t

小時後，身體殘留的藥量（毫克），

X

為初始服下的藥量（毫克）。若初始服下的藥量為

200

毫克，而服用此藥物兩小時後，身體殘留的藥量為

50

毫克；從服下此藥物開始計算，經過

k

小時後，身體殘留的藥量為

6.25

毫克。試求數對

(T, k) =

____。

若方程式

∣ x - 2∣ - ∣ x + 3∣ = k

有實數解，試求

k

的最大範圍為 ____。

若

a, b

為正實數，且

lo g a = 3.6

，

lo g b = 1.2

，試求

lo g (2 a + b^{3}) =

____。（請將答案四捨五入至整數位）（

lo g 3 \approx 0.4771

）

已知溶液

p H

值的計算公式為

p H = - lo g [H^{+}]

，其中

[H^{+}]

為溶液中的氫離子濃度。若

A

溶液的

p H

值為

1.6

，

A

溶液的氫離子濃度為

X

，

B

溶液的

p H

值為

Y

，氫離子濃度為

0.5

，試求

lo g X + 1 0^{Y} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(1)(4)

第 3 題(2)(5)

第 4 題(2)(4)

第 5 題

3

第 6 題

7

第 7 題

18

第 8 題

12

第 9 題(1)

48

；(2)

(\frac{8}{3}, 6)

第 10 題

(- 4, 22)

第 11 題

x < 0

或

x > \frac{8}{3}

第 12 題(1)

1692

；(2)

- 10

第 13 題

(1, 5)

第 14 題

- 5 \leq k \leq 5

第 15 題

4

第 16 題

\frac{2}{5}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題 1～4：實數、分點、指數律、常用對數

第 1 題答案 (5)。(1) 錯：

a, b, c, d

要是有理數才能比較係數；反例

a = 2, b = 0, c = 0, d = 1

，兩邊都是

2

，但

a \neq = c

。(2) 錯：反例

a = 1, b = 0, c = 2, d = 2 + 1

，

a + c = b + d = 1 + 2

，但

a \neq = b

。(3) 錯：

c = 0

時

a c = b c

恆成立，

a, b

可以不相等。(4) 錯：

(a + b) - 2 ab = (a - b)^{2}

，開根號得

∣ a - b ∣

；

a < b

時右邊是負的，例如

a = 1, b = 4

左邊是

1

、右邊是

- 1

。(5) 對：

a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a - b)^{2} \geq 0

。

第 (2) 選項的結論照流傳版本印的「

a = b

且

b = d

」轉錄；上面的反例讓前半

a = b

就不成立，所以結論後半不論怎麼寫，這個選項都不選。

第 2 題答案 (1)(4)。(1) 對：兩邊同乘

6

，

4 a + 2 b < 3 a + 3 b

就是

a < b

。(2) 錯：

\frac{a + b}{3} < \frac{a + b}{2}

要

a + b > 0

才成立；反例

a = - 2, b = 1

，左邊

- \frac{1}{3}

、右邊

- \frac{1}{2}

，左邊比較大。(3) 錯：

a, b

同號時等號成立，例如

a = 1, b = 2

兩邊都是

3

。(4) 對：

a^{2} = ∣ a ∣^{2}

、

b^{2} = ∣ b ∣^{2}

，而

∣ a ∣, ∣ b ∣

都不是負數，所以

∣ a ∣^{2} < ∣ b ∣^{2}

可推得

∣ a ∣ < ∣ b ∣

。(5) 錯：這個公式只在

P

位於

A, B

之間時成立；題目沒說

P

在線段上，例如

a = 0, b = 3, x = - 3

時

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 6 = 1 : 2

，公式卻算出

\frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 3}{3} = 1 \neq = - 3

。

(5) 的陷阱在「有一點

P

」沒有限定在

\overline{A B}

上，線段外也有滿足同樣比例的點。

第 3 題答案 (2)(5)。(1) 錯：

(4^{5})^{2} = 4^{25}

，而

25 \approx 4.47 \neq = 5

。(2) 對：

(4^{\frac{1}{3}})^{6} = 4^{2} = 16

。(3) 錯：

4^{- 3} = \frac{1}{64} > 0

，正數的任何次方都是正的。(4) 錯：

4^{5} \times 5^{5} = 2 0^{5}

，

5 \neq = 5

。(5) 對：

5 4^{7}

是不為

0

的數，它的

0

次方是

1

。

第 4 題答案 (2)(4)。(1) 錯：

0.3010

只是

lo g 2

的近似值。如果

lo g 2 = 0.301 = \frac{301}{1000}

，就有

2^{1000} = 1 0^{301}

，但右邊是

5

的倍數、左邊不是，所以不可能相等，應寫

lo g 2 \approx 0.3010

。(2) 對：

lo g 7

的意思就是「

10

的幾次方等於

7

」，所以

1 0^{l o g 7} = 7

。(3) 錯：

10 0^{l o g 3} = (1 0^{l o g 3})^{2} = 3^{2} = 9

。(4) 對：

\frac{10}{100} = 1 0^{\frac{1}{2} - 2} = 1 0^{- \frac{3}{2}}

，取 log 得

- \frac{3}{2}

。(5) 錯：

10

的任何次方都是正數，所以

lo g (- 7)

沒有意義。

(1) 考的是「等號」和「約等於」的差別；(5) 考的是 log 裡面一定要是正數。

02填充 5～8：循環小數、雙重根號、指數律、log 計算

第 5 題設

x = 0. \overline{9}

，則

10 x = 9. \overline{9}

，相減得

9 x = 9

，

x = 1

。所以

2. \overline{9} = 2 + 1 = 3

。

第 6 題

21 - 85 = 21 - 280

，找兩數相加

21

、相乘

80

：

16

和

5

，所以

21 - 85 = 16 - 5 = 4 - 5

。因為

2 < 5 < 3

，

1 < 4 - 5 < 2

，整數部分

a = 1

，小數部分

b = 3 - 5

。

a + b = 4 - 5

，

\frac{11}{4 - 5} = \frac{11 ( 4 + 5 )}{16 - 5} = 4 + 5

。所求

= (4 + 5) + (3 - 5) = 7

。

a + b

就是原來的數

4 - 5

，不必分開代。

第 7 題

2 5^{\frac{x}{4}} = (5^{2})^{\frac{x}{4}} = 5^{\frac{x}{2}} = (5^{x})^{\frac{1}{2}} = 4 = 2

。

(\frac{1}{5})^{- 2 x} = (5^{- 1})^{- 2 x} = 5^{2 x} = (5^{x})^{2} = 16

。相加得

18

。

第 8 題

lo g 0.01 = lo g 1 0^{- 2} = - 2

；

1000 = 1 0^{\frac{3}{2}}

，

lo g 1000 = \frac{3}{2}

；

1 0^{l o g 3 + l o g 5} = 1 0^{l o g 3} \times 1 0^{l o g 5} = 3 \times 5 = 15

。所求

= (- 2) \times \frac{3}{2} + 15 = 12

。

03填充 9～12：算幾不等式、絕對值不等式、乘法公式

第 9 題(1)

9 a, 4 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{9 a + 4 b}{2} \geq 9 a \cdot 4 b = 36 \times 16 = 24

，所以

9 a + 4 b \geq 48

，最小值

48

。(2) 等號成立在

9 a = 4 b = 24

時，

a = \frac{8}{3}

、

b = 6

，這時

ab = 16

也符合，

(a, b) = (\frac{8}{3}, 6)

。

算出下界之後要確認等號做得到，第 (2) 小題問的就是這件事。

第 10 題

∣ a x + 10∣ \geq b

的解是兩段，邊界

x = - 3

和

x = 8

都使

∣ a x + 10∣ = b

，而兩邊界的中點

\frac{- 3 + 8}{2} = \frac{5}{2}

使

a x + 10 = 0

，所以

\frac{5}{2} a + 10 = 0

，

a = - 4

。代

x = 8

：

b = ∣ - 32 + 10∣ = 22

。檢查：

∣ - 4 x + 10∣ \geq 22

即

∣ x - \frac{5}{2} ∣ \geq \frac{11}{2}

，解為

x \leq - 3

或

x \geq 8

，符合。

(a, b) = (- 4, 22)

。

第 11 題以

x = - 3

和

x = 2

分三段。①

x < - 3

：

2 (2 - x) - (x + 3) = 1 - 3 x > 7

，

x < - 2

，與範圍取交集得

x < - 3

。②

- 3 \leq x < 2

：

2 (2 - x) + (x + 3) = 7 - x > 7

，

x < 0

，得

- 3 \leq x < 0

。③

x \geq 2

：

2 (x - 2) + (x + 3) = 3 x - 1 > 7

，

x > \frac{8}{3}

。三段合起來：

x < 0

或

x > \frac{8}{3}

。

每一段解出來都要和那一段的範圍取交集，最後再把三段聯集。

第 12 題

x^{- 1} = \frac{1}{6 - 35} = 6 + 35

（因為

36 - 35 = 1

），所以

x + x^{- 1} = 12

。(1)

x^{3} + x^{- 3} = (x + x^{- 1})^{3} - 3 (x + x^{- 1}) = 1728 - 36 = 1692

。(2)

(x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}})^{2} = x - 2 + x^{- 1} = 10

。又

0 < x < 1

（

6 - 35 \approx 0.08

），所以

x^{\frac{1}{2}} < 1 < x^{- \frac{1}{2}}

，差是負的，

x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} = - 10

。

平方之後開根號有正負兩個可能，要回頭用

x

比

1

小來決定正負號。

04填充 13～16：指數模型、絕對值的範圍、對數應用

第 13 題代

X = 200, t = 2, Y = 50

：

(\frac{1}{2})^{\frac{2}{T}} = \frac{50}{200} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}

，所以

\frac{2}{T} = 2

，

T = 1

。再代

Y = 6.25, t = k

：

(\frac{1}{2})^{k} = \frac{6.25}{200} = \frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^{5}

，

k = 5

。

(T, k) = (1, 5)

。

第 14 題令

f (x) = ∣ x - 2∣ - ∣ x + 3∣

，分三段：

x \leq - 3

時

f (x) = (2 - x) + (x + 3) = 5

；

- 3 < x < 2

時

f (x) = (2 - x) - (x + 3) = - 2 x - 1

，值從

5

連續降到

- 5

（不含兩端）；

x \geq 2

時

f (x) = (x - 2) - (x + 3) = - 5

。所以

f (x)

能取到的值恰為

- 5

到

5

之間的每一個數（含兩端），方程式有實數解的條件是

- 5 \leq k \leq 5

。

用距離想：

f (x)

是「

x

到

2

的距離」減「

x

到

- 3

的距離」，兩距離的差最多就是

2

和

- 3

之間的距離

5

。

第 15 題

a = 1 0^{3.6}

，

b = 1 0^{1.2}

，所以

b^{3} = 1 0^{3.6}

，

2 a + b^{3} = 3 \times 1 0^{3.6}

。由

lo g 3 \approx 0.4771

知

3 \approx 1 0^{0.4771}

，所以

2 a + b^{3} \approx 1 0^{0.4771 + 3.6} = 1 0^{4.0771}

，

lo g (2 a + b^{3}) \approx 4.0771

，四捨五入至整數位得

4

。

lo g (2 a + b^{3})

不能拆成

lo g 2 a + lo g b^{3}

；要先把括號裡面合併成一個數。

第 16 題

A

溶液：

1.6 = - lo g X

，所以

lo g X = - 1.6

。

B

溶液：

Y = - lo g 0.5

，而

0.5 = \frac{1}{2}

，所以

1 0^{Y} = 1 0^{- l o g 0.5} = \frac{1}{1 0 ^{l o g 0.5}} = \frac{1}{0.5} = 2

。所求

= - 1.6 + 2 = 0.4 = \frac{2}{5}

。

看到

1 0^{l o g □}

就直接換成

□

；看到

lo g a =

某數，就把

a

寫成

10

的那個次方再算。

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常見問題

成淵高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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題目取自成淵高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數）

成淵高中 114 上
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多選題 4 題（20 分）、填充題 12 題共 14 格（80 分）

一、多選題（占 20 分）　說明：第 1 題至第 4 題，每題 5 分。（5－3－1－0）

下列哪些選項正確？

(1) 設 $a, b, c, d$ 為實數，若 $a + b 2 = c + d 2$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$
(2) 設 $a, b$ 為有理數， $c, d$ 為無理數，若 $a + c = b + d$ ，則 $a = b$ 且 $b = d$
(3) 設 $a, b, c$ 為實數，若 $a c = b c$ ，則 $a = b$
(4) 設 $a, b$ 為非負實數，則 $(a + b) - 2 ab = a - b$ 必成立
(5) 設 $a, b$ 為實數，則 $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab$ 必成立

設

A (a)

、

B (b)

為數線上兩點，且

a < b

，則下列選項何者正確？

(1) $\frac{2 a + b}{3} < \frac{a + b}{2}$
(2) $\frac{a + b}{3} < \frac{a + b}{2}$
(3) $∣ a + b ∣ < ∣ a ∣ + ∣ b ∣$
(4) 若 $a^{2} < b^{2}$ ，則 $∣ a ∣ < ∣ b ∣$
(5) 若有一點 $P (x)$ 使得 $\overline{A P} : \overline{B P} = m : n$ ，則 $x = \frac{na + mb}{m + n}$

下列哪些選項正確？

(1) $(4^{5})^{2} = 4^{5}$
(2) $(34)^{6} = 16$
(3) $4^{- 3} < 0$
(4) $4^{5} \times 5^{5} = 2 0^{5}$
(5) $(5 4^{7})^{0} = 1$

下列哪些選項正確？

(1) $lo g 2 = 0.3010$
(2) $1 0^{l o g 7} = 7$
(3) $10 0^{l o g 3} = 6$
(4) $lo g (\frac{10}{100}) = - \frac{3}{2}$
(5) $10 0^{l o g (- 7)} = 49$

二、填充題（占 80 分）　說明：第 5 題至第 16 題，答對前 10 格每格 6 分，後 4 格每格 5 分。

計算

2. \overline{9} =

____。

若

21 - 85

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，試求

\frac{11}{a + b} + b =

____。

設

x

為實數，且

5^{x} = 4

，試求

2 5^{\frac{x}{4}} + (\frac{1}{5})^{- 2 x} =

____。

計算

lo g 0.01 \times lo g 1000 + 1 0^{l o g 3 + l o g 5} =

____。

若

a, b

為正實數，且

ab = 16

，回答以下問題：(1) 求出

9 a + 4 b

的最小值

=

____。(2)

9 a + 4 b

有最小值時，數對

(a, b) =

____。

若絕對值不等式

∣ a x + 10∣ \geq b

的解

x \leq - 3

或

x \geq 8

，求數對

(a, b) =

____。

絕對值不等式

2∣ x - 2∣ + ∣ x + 3∣ > 7

的解為 ____。

設

x = 6 - 35

，試求 (1)

x^{3} + x^{- 3} =

____。(2)

x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} =

____。

已知服用某藥物一段時間後，身體內殘留的藥量會隨著時間衰減，其公式為

Y = X \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}

，其中

Y

為經過

t

小時後，身體殘留的藥量（毫克），

X

為初始服下的藥量（毫克）。若初始服下的藥量為

200

毫克，而服用此藥物兩小時後，身體殘留的藥量為

50

毫克；從服下此藥物開始計算，經過

k

小時後，身體殘留的藥量為

6.25

毫克。試求數對

(T, k) =

____。

若方程式

∣ x - 2∣ - ∣ x + 3∣ = k

有實數解，試求

k

的最大範圍為 ____。

若

a, b

為正實數，且

lo g a = 3.6

，

lo g b = 1.2

，試求

lo g (2 a + b^{3}) =

____。（請將答案四捨五入至整數位）（

lo g 3 \approx 0.4771

）

已知溶液

p H

值的計算公式為

p H = - lo g [H^{+}]

，其中

[H^{+}]

為溶液中的氫離子濃度。若

A

溶液的

p H

值為

1.6

，

A

溶液的氫離子濃度為

X

，

B

溶液的

p H

值為

Y

，氫離子濃度為

0.5

，試求

lo g X + 1 0^{Y} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(1)(4)

第 3 題(2)(5)

第 4 題(2)(4)

第 5 題

3

第 6 題

7

第 7 題

18

第 8 題

12

第 9 題(1)

48

；(2)

(\frac{8}{3}, 6)

第 10 題

(- 4, 22)

第 11 題

x < 0

或

x > \frac{8}{3}

第 12 題(1)

1692

；(2)

- 10

第 13 題

(1, 5)

第 14 題

- 5 \leq k \leq 5

第 15 題

4

第 16 題

\frac{2}{5}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題 1～4：實數、分點、指數律、常用對數

第 1 題答案 (5)。(1) 錯：

a, b, c, d

要是有理數才能比較係數；反例

a = 2, b = 0, c = 0, d = 1

，兩邊都是

2

，但

a \neq = c

。(2) 錯：反例

a = 1, b = 0, c = 2, d = 2 + 1

，

a + c = b + d = 1 + 2

，但

a \neq = b

。(3) 錯：

c = 0

時

a c = b c

恆成立，

a, b

可以不相等。(4) 錯：

(a + b) - 2 ab = (a - b)^{2}

，開根號得

∣ a - b ∣

；

a < b

時右邊是負的，例如

a = 1, b = 4

左邊是

1

、右邊是

- 1

。(5) 對：

a^{2} + b^{2} - 2 ab = (a - b)^{2} \geq 0

。

第 (2) 選項的結論照流傳版本印的「

a = b

且

b = d

」轉錄；上面的反例讓前半

a = b

就不成立，所以結論後半不論怎麼寫，這個選項都不選。

第 2 題答案 (1)(4)。(1) 對：兩邊同乘

6

，

4 a + 2 b < 3 a + 3 b

就是

a < b

。(2) 錯：

\frac{a + b}{3} < \frac{a + b}{2}

要

a + b > 0

才成立；反例

a = - 2, b = 1

，左邊

- \frac{1}{3}

、右邊

- \frac{1}{2}

，左邊比較大。(3) 錯：

a, b

同號時等號成立，例如

a = 1, b = 2

兩邊都是

3

。(4) 對：

a^{2} = ∣ a ∣^{2}

、

b^{2} = ∣ b ∣^{2}

，而

∣ a ∣, ∣ b ∣

都不是負數，所以

∣ a ∣^{2} < ∣ b ∣^{2}

可推得

∣ a ∣ < ∣ b ∣

。(5) 錯：這個公式只在

P

位於

A, B

之間時成立；題目沒說

P

在線段上，例如

a = 0, b = 3, x = - 3

時

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 6 = 1 : 2

，公式卻算出

\frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 3}{3} = 1 \neq = - 3

。

(5) 的陷阱在「有一點

P

」沒有限定在

\overline{A B}

上，線段外也有滿足同樣比例的點。

第 3 題答案 (2)(5)。(1) 錯：

(4^{5})^{2} = 4^{25}

，而

25 \approx 4.47 \neq = 5

。(2) 對：

(4^{\frac{1}{3}})^{6} = 4^{2} = 16

。(3) 錯：

4^{- 3} = \frac{1}{64} > 0

，正數的任何次方都是正的。(4) 錯：

4^{5} \times 5^{5} = 2 0^{5}

，

5 \neq = 5

。(5) 對：

5 4^{7}

是不為

0

的數，它的

0

次方是

1

。

第 4 題答案 (2)(4)。(1) 錯：

0.3010

只是

lo g 2

的近似值。如果

lo g 2 = 0.301 = \frac{301}{1000}

，就有

2^{1000} = 1 0^{301}

，但右邊是

5

的倍數、左邊不是，所以不可能相等，應寫

lo g 2 \approx 0.3010

。(2) 對：

lo g 7

的意思就是「

10

的幾次方等於

7

」，所以

1 0^{l o g 7} = 7

。(3) 錯：

10 0^{l o g 3} = (1 0^{l o g 3})^{2} = 3^{2} = 9

。(4) 對：

\frac{10}{100} = 1 0^{\frac{1}{2} - 2} = 1 0^{- \frac{3}{2}}

，取 log 得

- \frac{3}{2}

。(5) 錯：

10

的任何次方都是正數，所以

lo g (- 7)

沒有意義。

(1) 考的是「等號」和「約等於」的差別；(5) 考的是 log 裡面一定要是正數。

02填充 5～8：循環小數、雙重根號、指數律、log 計算

第 5 題設

x = 0. \overline{9}

，則

10 x = 9. \overline{9}

，相減得

9 x = 9

，

x = 1

。所以

2. \overline{9} = 2 + 1 = 3

。

第 6 題

21 - 85 = 21 - 280

，找兩數相加

21

、相乘

80

：

16

和

5

，所以

21 - 85 = 16 - 5 = 4 - 5

。因為

2 < 5 < 3

，

1 < 4 - 5 < 2

，整數部分

a = 1

，小數部分

b = 3 - 5

。

a + b = 4 - 5

，

\frac{11}{4 - 5} = \frac{11 ( 4 + 5 )}{16 - 5} = 4 + 5

。所求

= (4 + 5) + (3 - 5) = 7

。

a + b

就是原來的數

4 - 5

，不必分開代。

第 7 題

2 5^{\frac{x}{4}} = (5^{2})^{\frac{x}{4}} = 5^{\frac{x}{2}} = (5^{x})^{\frac{1}{2}} = 4 = 2

。

(\frac{1}{5})^{- 2 x} = (5^{- 1})^{- 2 x} = 5^{2 x} = (5^{x})^{2} = 16

。相加得

18

。

第 8 題

lo g 0.01 = lo g 1 0^{- 2} = - 2

；

1000 = 1 0^{\frac{3}{2}}

，

lo g 1000 = \frac{3}{2}

；

1 0^{l o g 3 + l o g 5} = 1 0^{l o g 3} \times 1 0^{l o g 5} = 3 \times 5 = 15

。所求

= (- 2) \times \frac{3}{2} + 15 = 12

。

03填充 9～12：算幾不等式、絕對值不等式、乘法公式

第 9 題(1)

9 a, 4 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{9 a + 4 b}{2} \geq 9 a \cdot 4 b = 36 \times 16 = 24

，所以

9 a + 4 b \geq 48

，最小值

48

。(2) 等號成立在

9 a = 4 b = 24

時，

a = \frac{8}{3}

、

b = 6

，這時

ab = 16

也符合，

(a, b) = (\frac{8}{3}, 6)

。

算出下界之後要確認等號做得到，第 (2) 小題問的就是這件事。

第 10 題

∣ a x + 10∣ \geq b

的解是兩段，邊界

x = - 3

和

x = 8

都使

∣ a x + 10∣ = b

，而兩邊界的中點

\frac{- 3 + 8}{2} = \frac{5}{2}

使

a x + 10 = 0

，所以

\frac{5}{2} a + 10 = 0

，

a = - 4

。代

x = 8

：

b = ∣ - 32 + 10∣ = 22

。檢查：

∣ - 4 x + 10∣ \geq 22

即

∣ x - \frac{5}{2} ∣ \geq \frac{11}{2}

，解為

x \leq - 3

或

x \geq 8

，符合。

(a, b) = (- 4, 22)

。

第 11 題以

x = - 3

和

x = 2

分三段。①

x < - 3

：

2 (2 - x) - (x + 3) = 1 - 3 x > 7

，

x < - 2

，與範圍取交集得

x < - 3

。②

- 3 \leq x < 2

：

2 (2 - x) + (x + 3) = 7 - x > 7

，

x < 0

，得

- 3 \leq x < 0

。③

x \geq 2

：

2 (x - 2) + (x + 3) = 3 x - 1 > 7

，

x > \frac{8}{3}

。三段合起來：

x < 0

或

x > \frac{8}{3}

。

每一段解出來都要和那一段的範圍取交集，最後再把三段聯集。

第 12 題

x^{- 1} = \frac{1}{6 - 35} = 6 + 35

（因為

36 - 35 = 1

），所以

x + x^{- 1} = 12

。(1)

x^{3} + x^{- 3} = (x + x^{- 1})^{3} - 3 (x + x^{- 1}) = 1728 - 36 = 1692

。(2)

(x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}})^{2} = x - 2 + x^{- 1} = 10

。又

0 < x < 1

（

6 - 35 \approx 0.08

），所以

x^{\frac{1}{2}} < 1 < x^{- \frac{1}{2}}

，差是負的，

x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} = - 10

。

平方之後開根號有正負兩個可能，要回頭用

x

比

1

小來決定正負號。

04填充 13～16：指數模型、絕對值的範圍、對數應用

第 13 題代

X = 200, t = 2, Y = 50

：

(\frac{1}{2})^{\frac{2}{T}} = \frac{50}{200} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}

，所以

\frac{2}{T} = 2

，

T = 1

。再代

Y = 6.25, t = k

：

(\frac{1}{2})^{k} = \frac{6.25}{200} = \frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^{5}

，

k = 5

。

(T, k) = (1, 5)

。

第 14 題令

f (x) = ∣ x - 2∣ - ∣ x + 3∣

，分三段：

x \leq - 3

時

f (x) = (2 - x) + (x + 3) = 5

；

- 3 < x < 2

時

f (x) = (2 - x) - (x + 3) = - 2 x - 1

，值從

5

連續降到

- 5

（不含兩端）；

x \geq 2

時

f (x) = (x - 2) - (x + 3) = - 5

。所以

f (x)

能取到的值恰為

- 5

到

5

之間的每一個數（含兩端），方程式有實數解的條件是

- 5 \leq k \leq 5

。

用距離想：

f (x)

是「

x

到

2

的距離」減「

x

到

- 3

的距離」，兩距離的差最多就是

2

和

- 3

之間的距離

5

。

第 15 題

a = 1 0^{3.6}

，

b = 1 0^{1.2}

，所以

b^{3} = 1 0^{3.6}

，

2 a + b^{3} = 3 \times 1 0^{3.6}

。由

lo g 3 \approx 0.4771

知

3 \approx 1 0^{0.4771}

，所以

2 a + b^{3} \approx 1 0^{0.4771 + 3.6} = 1 0^{4.0771}

，

lo g (2 a + b^{3}) \approx 4.0771

，四捨五入至整數位得

4

。

lo g (2 a + b^{3})

不能拆成

lo g 2 a + lo g b^{3}

；要先把括號裡面合併成一個數。

第 16 題

A

溶液：

1.6 = - lo g X

，所以

lo g X = - 1.6

。

B

溶液：

Y = - lo g 0.5

，而

0.5 = \frac{1}{2}

，所以

1 0^{Y} = 1 0^{- l o g 0.5} = \frac{1}{1 0 ^{l o g 0.5}} = \frac{1}{0.5} = 2

。所求

= - 1.6 + 2 = 0.4 = \frac{2}{5}

。

看到

1 0^{l o g □}

就直接換成

□

；看到

lo g a =

某數，就把

a

寫成

10

的那個次方再算。

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