台中女中 114 學年度上學期高一第一次段考數學：試題、答案與詳解

Q: 台中女中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 台中女中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題比較三個加權平均的大小、第 3 題沒注意 x 有兩個值所以相減的形式正負不定、第 11 題要先判斷 A 在 B 的哪一側，以及第 15 題混合溶液要先加總氫離子的量再取對數。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）｜多選題 3 題（30 分）、填充題 14 題（70 分）

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解。不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

試題

一、多選題（占 30 分；第 1 題至第 3 題，每題 10 分，每個選項各 2 分）

下列哪些選項是正確的？

(1) 若 $a - b$ ， $a + b$ 都是有理數，則 $a$ ， $b$ 為有理數
(2) 若 $a$ ， $b$ 都是無理數，則 $a - b$ ， $a + b$ 必為無理數
(3) 設 $a$ ， $b$ 是實數，且 $a + b 3 = 0$ ，則 $a = b = 0$
(4) 數線上可使用尺規作圖標出 $627$ 的位置
(5) 若 $a$ 為一實數，且 $a^{4}$ 與 $a^{6}$ 都是有理數，則 $a$ 是有理數

下列哪些選項是正確的？

(1) 設 $x$ 為實數，若 $∣ x + 1∣ : ∣ x - 3∣ = 5 : 4$ ，則 $x$ 為 $4$
(2) 若 $a$ ， $b$ 為實數且 $a < b$ ，則 $\frac{3 a + 2 b}{4} > b$
(3) 若 $a$ ， $b$ 為實數且 $a < b$ ，則 $\frac{a + b}{2} < \frac{2 a + 3 b}{5} < \frac{4 a + 5 b}{8}$
(4) 若 $a$ ， $b$ 為實數且 $a < b$ ，若 $c = - \frac{1}{7} a + \frac{8}{7} b$ ，則 $∣ a - b ∣ = 7∣ c - b ∣$
(5) 若 $a$ ， $b$ 為實數且 $a < b$ ，若 $c = - \frac{1}{7} a + \frac{8}{7} b$ ，則 $c$ 在 $a$ ， $b$ 之外

設

x^{2} - 4 x + 1 = 0

，則下列選項何者正確？

(1) $x + \frac{1}{x} = 4$
(2) $x - \frac{1}{x} = 23$
(3) $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = 83$
(4) $x^{4} - \frac{1}{x ^{4}} = 1123$
(5) $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 52$

二、填充題（占 70 分；第 4 題至第 17 題，每題 5 分）

試求

6 \frac{4}{27} \times \frac{3 16}{3} \times (\frac{81}{16})^{- 0.25} + 1 0^{- l o g 3} =

____。

設

a^{2} = 5

，試求

(a + 2) (a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) (a^{2} - 2 a + 4)

之值為何 ____。

設

x

，

y

為有理數，若

(4 + 12) x + (2 - 3) y = 10 + 27

，則數對

(x, y)

之值為 ____。

將

\frac{2467}{3330}

化成小數，令

a_{n}

表

\frac{2467}{3330}

小數點後第

n

位數字，試求

a_{2025} =

____。

若

∣ a x + 2∣ \leq b

的解為

- 3 \leq x \leq 7

，求數對

(a, b) =

____。

目前國際使用芮氏規模來表示地震強度。設

E (r)

為芮氏規模

r

時所釋放出來的能量，

r

與

E (r)

的關係如下：

lo g E (r) = 5.24 + 1.44 r

。試問：芮氏規模

7.2

的地震所釋放出來能量是芮氏規模

5.2

的地震所釋放出來能量的 ____ 倍。（四捨五入至整數位，已知

1 0^{1.44} = 27.54

）

試問有多少個整數

x

滿足

1 0^{8} < 2^{x} < 8^{10}

：____。

在數線上，

C

、

D

兩點在

A

、

B

之間，已知

C

點坐標為

5

，

D

點坐標為

6

，且

\overline{A C} : \overline{B C} = 1 : 2

，

\overline{A D} : \overline{B D} = 3 : 2

，則

A

點坐標為 ____。

已知

a

、

b

均為正數，若

a + 2 b = 2

，試求

\frac{2}{a} + \frac{1}{b}

的最小值 ____。

三隻螞蟻放在數線上，而且三隻螞蟻都沿著數線移動，在某個時刻三隻螞蟻的位置分別在

A (- 4)

，

B (3)

，

C (x)

，且三隻螞蟻彼此的距離和小於等於

16

，試問

x

的範圍？____。

我們將「

2^{n} - 1

」型式的質數稱為梅森質數，科學家於 2017 年底，發現了當時的最大質數：「

2^{77232917} - 1

」，同時此數也是第 50 個梅森質數（由小而大排列）。日本出版社虹色社把這個第 50 個梅森質數印成一本書出版，書名為（2017 年最大の質數）。假設每頁可以印出

3000

個數字（紙張為 A4），試問該書將所有的數字都印出來，至少需要 ____ 頁。

溶液中的

p H

值是指溶液中氫離子濃度的常用對數值乘上

(- 1)

。若以

[H^{+}]

表示氫離子濃度，則

p H = - lo g [H^{+}]

，例如純水在

2 5^{\circ} C

時的

[H^{+}] = 1 0^{- 7}

莫耳/升，因此純水的

p H

值為

- lo g 1 0^{- 7} = 7

。今有

A

溶液

p H

值為

4

，

B

溶液

p H

值為

5

，若以

A

溶液

20

毫升與

B

溶液

10

毫升充分混合，並假設混合後體積不變，求新溶液的

p H

值為何？____。（四捨五入到小數點以下第 2 位）

已知

a = 12 + 45

，

b = 12 - 45

。若

x = 1 0^{a} \times 1 0^{b}

，則

lo g x

之值為何？____。

已知

2 \approx 1 0^{0.3010}

，

3 \approx 1 0^{0.4771}

，

7 \approx 1 0^{0.8451}

。問

3^{50}

是幾位數為

a

又最高位數字為

b

，求數對

(a, b) =

____。

答案一覽

第 1 題　(1)(4)

第 2 題　(3)(4)(5)

第 3 題　(1)(5)

第 4 題　 $\frac{7}{9}$

第 5 題　 $61$

第 6 題　 $(2, 1)$

第 7 題　 $0$

第 8 題　 $(- 1, 5)$

第 9 題　 $758$

第 10 題　 $3$

第 11 題　 $\frac{15}{4}$

第 12 題　 $4$

第 13 題　 $- 5 \leq x \leq 4$

第 14 題　 $7750$

第 15 題　 $4.15$

第 16 題　 $210$

第 17 題　 $(24, 7)$

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

逐題詳解

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

多選題：實數的性質、分點與乘法公式

第 1 題答案 (1)(4)。(1) 對：

a = \frac{( a + b ) + ( a - b )}{2}

、

b = \frac{( a + b ) - ( a - b )}{2}

，有理數加減、除以 2 仍是有理數。(2) 錯：

a = 2, b = - 2

時

a + b = 0

是有理數。(3) 錯：題目只說

a, b

是實數，取

a = - 3, b = 1

就有

a + b 3 = 0

。(4) 對：

627 = 3^{\frac{3}{6}} = 3

，以

3

和

1

為兩段作半圓，就能作出長

3

的線段。(5) 錯：

a = 2

時

a^{4} = 4

、

a^{6} = 8

都是有理數，但

a

是無理數。

(3) 要

a, b

都是有理數才能推出

a = b = 0

；(5) 只能推出

a^{2} = \frac{a ^{6}}{a ^{4}}

是有理數。

第 2 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：

4∣ x + 1∣ = 5∣ x - 3∣

，同號時

4 (x + 1) = 5 (x - 3)

得

x = 19

，異號時

4 (x + 1) = - 5 (x - 3)

得

x = \frac{11}{9}

；代

x = 4

得

5 : 1

。(2) 錯：

\frac{3 a + 2 b}{4} - b = \frac{3 a - 2 b}{4}

，取

a = 0, b = 1

是負的。(3) 對：三個數依序是

a + \frac{1}{2} (b - a)

、

a + \frac{3}{5} (b - a)

、

a + \frac{5}{8} (b - a)

，而

\frac{1}{2} < \frac{3}{5} < \frac{5}{8}

、

b - a > 0

，所以遞增。(4) 對：

c - b = \frac{b - a}{7}

，所以

7∣ c - b ∣ = b - a = ∣ a - b ∣

。(5) 對：

c - b = \frac{b - a}{7} > 0

，

c

在

b

的右邊，落在

a, b

之外。

流傳版本的參考答案寫 (4)(5)，但 (3) 也成立：把每個數寫成「

a

加上

b - a

的幾分之幾」比係數即可。

第 3 題答案 (1)(5)。

x \neq = 0

，方程式同除以

x

得

x + \frac{1}{x} = 4

，(1) 對。

(x - \frac{1}{x})^{2} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 4 = 12

，

x - \frac{1}{x} = \pm 23

；方程式兩根

x = 2 \pm 3

，取

x = 2 - 3

時

x - \frac{1}{x} = - 23

，所以 (2) 錯。同理

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}) = \pm 83

，(3) 錯；

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 16 - 2 = 14

，

x^{4} - \frac{1}{x ^{4}} = 14 \times (\pm 83) = \pm 1123

，(4) 錯。(5) 對：

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 64 - 12 = 52

。

和的形式只有一個值；差的形式要看

x

取哪一根，正負不定。

判斷「一定成立」先找反例；比較分點先寫成「起點加上全長的幾分之幾」。

填充 4～7：指數律、乘法公式與循環小數

第 4 題

6 \frac{4}{27} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}

，

\frac{3 16}{3} = (2^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{- 1})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}

，兩者相乘得

2 \cdot 3^{- 1} = \frac{2}{3}

。

(\frac{81}{16})^{- \frac{1}{4}} = (\frac{3}{2})^{- 1} = \frac{2}{3}

。

1 0^{- l o g 3} = \frac{1}{1 0 ^{l o g 3}} = \frac{1}{3}

。合計

\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \frac{7}{9}

。

第 5 題重新配對：

(a + 2) (a^{2} - 2 a + 4) = a^{3} + 8

，

(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) = a^{3} - 8

。相乘得

a^{6} - 64 = (a^{2})^{3} - 64 = 125 - 64 = 61

。

先用立方和、立方差公式配對，比四個因式直接展開快。

第 6 題

12 = 23

、

27 = 33

，整理成

(4 x + 2 y) + (2 x - y) 3 = 10 + 33

。

x, y

為有理數，有理部分與

3

的係數分別相等：

4 x + 2 y = 10

、

2 x - y = 3

，解得

x = 2, y = 1

。

第 7 題

\frac{2467}{3330} = 0.7 + \frac{136}{3330}

，而

\frac{136}{3330} = \frac{408}{9990} = 0.0 \overline{408}

，所以

\frac{2467}{3330} = 0.7 \overline{408}

。第 1 位是 7，從第 2 位起「4、0、8」三位一循環。

2025 - 1 = 2024 = 3 \times 674 + 2

，第 2025 位是循環節的第 2 個數字，即

0

。

先扣掉不循環的那一位，再用 3 去除。

填充 8、11～13：絕對值、分點與算幾不等式

第 8 題

- 3 \leq x \leq 7

就是

∣ x - 2∣ \leq 5

（中點 2、半長 5）。

∣ a x + 2∣ = ∣ a ∣ \cdot x + \frac{2}{a} \leq b

的解區間中點是

- \frac{2}{a}

，所以

- \frac{2}{a} = 2

，

a = - 1

；此時不等式為

∣ - x + 2∣ = ∣ x - 2∣ \leq b

，得

b = 5

。

第 11 題若

A

在

B

右邊，

C

離

A

較近（

1 : 2

）而

D

離

B

較近（

3 : 2

），

D

會在

C

左邊，與

6 > 5

不合，所以

A

在左。設

d = \overline{A B}

，則

C = A + \frac{1}{3} d

、

D = A + \frac{3}{5} d

，相減

\frac{3}{5} d - \frac{1}{3} d = \frac{4}{15} d = 1

，

d = \frac{15}{4}

。

A = 5 - \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{4} = \frac{15}{4}

。

驗算：

D = \frac{15}{4} + \frac{3}{5} \cdot \frac{15}{4} = 6

，正確。

第 12 題

(\frac{2}{a} + \frac{1}{b}) (a + 2 b) = 2 + \frac{4 b}{a} + \frac{a}{b} + 2 = 4 + \frac{4 b}{a} + \frac{a}{b}

。由算幾不等式

\frac{4 b}{a} + \frac{a}{b} \geq 24 = 4

，所以

2 (\frac{2}{a} + \frac{1}{b}) \geq 8

，即

\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq 4

。等號在

\frac{4 b}{a} = \frac{a}{b}

，即

a = 2 b

時成立，配合

a + 2 b = 2

得

a = 1, b = \frac{1}{2}

，最小值

4

。

乘上

a + 2 b

（等於 2）湊出乘積為定值的兩項，最後要記得除以 2。

第 13 題距離和

= \overline{A B} + ∣ x + 4∣ + ∣ x - 3∣ = 7 + ∣ x + 4∣ + ∣ x - 3∣ \leq 16

，即

∣ x + 4∣ + ∣ x - 3∣ \leq 9

。

∣ x + 4∣ + ∣ x - 3∣

是

x

到

- 4

與到

3

的距離和：

x

在兩點之間時恆為

7

；

x > 3

時為

2 x + 1 \leq 9

，得

x \leq 4

；

x < - 4

時為

- 2 x - 1 \leq 9

，得

x \geq - 5

。所以

- 5 \leq x \leq 4

。

填充 9、10、14～17：常用對數

第 9 題

lo g E (7.2) - lo g E (5.2) = 1.44 \times (7.2 - 5.2) = 2.88

，所以

\frac{E ( 7.2 )}{E ( 5.2 )} = 1 0^{2.88} = (1 0^{1.44})^{2} = 27.5 4^{2} = 758.4516

，四捨五入得

758

倍。

第 10 題

8^{10} = 2^{30}

，所以

x < 30

。左邊取 log：

x lo g 2 > 8

，

x > \frac{8}{0.3010} \approx 26.6

（也可直接看

2^{26} = 67108864 < 1 0^{8} < 2^{27} = 134217728

）。整數

x = 27, 28, 29

，共

3

個。

第 14 題

2^{77232917}

的個位數是 2、4、8、6 之一，減 1 不會讓位數變少，所以兩者位數相同。

lo g 2^{77232917} = 77232917 \times lo g 2 \approx 77232917 \times 0.30103 \approx 23249424.7

，所以是

23249425

位數。

23249425 \div 3000 \approx 7749.8

，至少需要

7750

頁。

用

lo g 2 \approx 0.3010

算得

23247108

位，除以 3000 約

7749.04

，一樣要

7750

頁。

第 15 題

A

溶液

[H^{+}] = 1 0^{- 4}

，

B

溶液

[H^{+}] = 1 0^{- 5}

（莫耳/升）。混合後氫離子總量正比於

20 \times 1 0^{- 4} + 10 \times 1 0^{- 5} = 21 \times 1 0^{- 4}

，體積

30

毫升，新濃度

\frac{21 \times 1 0 ^{- 4}}{30} = 7 \times 1 0^{- 5}

。

p H = - lo g (7 \times 1 0^{- 5}) = 5 - lo g 7 \approx 5 - 0.8451 = 4.1549

，約

4.15

。

要先把氫離子的量加起來再取對數，不能把兩個 pH 值直接加權平均。

第 16 題

12 + 45 = 12 + 220 = (10 + 2)^{2}

，所以

a = 10 + 2

；同理

b = 10 - 2

。

x = 1 0^{a + b}

，

lo g x = a + b = 210

。

第 17 題

lo g 3^{50} = 50 \times 0.4771 = 23.855

，首數

23

，是

24

位數。尾數

0.855

介於

lo g 7 = 0.8451

與

lo g 8 = 3 lo g 2 = 0.9030

之間，所以最高位數字是

7

。

(a, b) = (24, 7)

。

lo g N

的整數部分決定位數，小數部分決定最高位數字；應用題先把量加總，再取對數。

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常見問題

台中女中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

台中女中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題比較三個加權平均的大小、第 3 題沒注意 x 有兩個值所以相減的形式正負不定、第 11 題要先判斷 A 在 B 的哪一側，以及第 15 題混合溶液要先加總氫離子的量再取對數。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自台中女中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷

台中女中 114 學年度上學期高一第一次段考數學：試題、答案與詳解

範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）｜多選題 3 題（30 分）、填充題 14 題（70 分）

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解。不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

試題

一、多選題（占 30 分；第 1 題至第 3 題，每題 10 分，每個選項各 2 分）

下列哪些選項是正確的？

(1) 若 $a - b$ ， $a + b$ 都是有理數，則 $a$ ， $b$ 為有理數
(2) 若 $a$ ， $b$ 都是無理數，則 $a - b$ ， $a + b$ 必為無理數
(3) 設 $a$ ， $b$ 是實數，且 $a + b 3 = 0$ ，則 $a = b = 0$
(4) 數線上可使用尺規作圖標出 $627$ 的位置
(5) 若 $a$ 為一實數，且 $a^{4}$ 與 $a^{6}$ 都是有理數，則 $a$ 是有理數

下列哪些選項是正確的？

(1) 設 $x$ 為實數，若 $∣ x + 1∣ : ∣ x - 3∣ = 5 : 4$ ，則 $x$ 為 $4$
(2) 若 $a$ ， $b$ 為實數且 $a < b$ ，則 $\frac{3 a + 2 b}{4} > b$
(3) 若 $a$ ， $b$ 為實數且 $a < b$ ，則 $\frac{a + b}{2} < \frac{2 a + 3 b}{5} < \frac{4 a + 5 b}{8}$
(4) 若 $a$ ， $b$ 為實數且 $a < b$ ，若 $c = - \frac{1}{7} a + \frac{8}{7} b$ ，則 $∣ a - b ∣ = 7∣ c - b ∣$
(5) 若 $a$ ， $b$ 為實數且 $a < b$ ，若 $c = - \frac{1}{7} a + \frac{8}{7} b$ ，則 $c$ 在 $a$ ， $b$ 之外

設

x^{2} - 4 x + 1 = 0

，則下列選項何者正確？

(1) $x + \frac{1}{x} = 4$
(2) $x - \frac{1}{x} = 23$
(3) $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = 83$
(4) $x^{4} - \frac{1}{x ^{4}} = 1123$
(5) $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 52$

二、填充題（占 70 分；第 4 題至第 17 題，每題 5 分）

試求

6 \frac{4}{27} \times \frac{3 16}{3} \times (\frac{81}{16})^{- 0.25} + 1 0^{- l o g 3} =

____。

設

a^{2} = 5

，試求

(a + 2) (a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) (a^{2} - 2 a + 4)

之值為何 ____。

設

x

，

y

為有理數，若

(4 + 12) x + (2 - 3) y = 10 + 27

，則數對

(x, y)

之值為 ____。

將

\frac{2467}{3330}

化成小數，令

a_{n}

表

\frac{2467}{3330}

小數點後第

n

位數字，試求

a_{2025} =

____。

若

∣ a x + 2∣ \leq b

的解為

- 3 \leq x \leq 7

，求數對

(a, b) =

____。

目前國際使用芮氏規模來表示地震強度。設

E (r)

為芮氏規模

r

時所釋放出來的能量，

r

與

E (r)

的關係如下：

lo g E (r) = 5.24 + 1.44 r

。試問：芮氏規模

7.2

的地震所釋放出來能量是芮氏規模

5.2

的地震所釋放出來能量的 ____ 倍。（四捨五入至整數位，已知

1 0^{1.44} = 27.54

）

試問有多少個整數

x

滿足

1 0^{8} < 2^{x} < 8^{10}

：____。

在數線上，

C

、

D

兩點在

A

、

B

之間，已知

C

點坐標為

5

，

D

點坐標為

6

，且

\overline{A C} : \overline{B C} = 1 : 2

，

\overline{A D} : \overline{B D} = 3 : 2

，則

A

點坐標為 ____。

已知

a

、

b

均為正數，若

a + 2 b = 2

，試求

\frac{2}{a} + \frac{1}{b}

的最小值 ____。

三隻螞蟻放在數線上，而且三隻螞蟻都沿著數線移動，在某個時刻三隻螞蟻的位置分別在

A (- 4)

，

B (3)

，

C (x)

，且三隻螞蟻彼此的距離和小於等於

16

，試問

x

的範圍？____。

我們將「

2^{n} - 1

」型式的質數稱為梅森質數，科學家於 2017 年底，發現了當時的最大質數：「

2^{77232917} - 1

3000

個數字（紙張為 A4），試問該書將所有的數字都印出來，至少需要 ____ 頁。

溶液中的

p H

值是指溶液中氫離子濃度的常用對數值乘上

(- 1)

。若以

[H^{+}]

表示氫離子濃度，則

p H = - lo g [H^{+}]

，例如純水在

2 5^{\circ} C

時的

[H^{+}] = 1 0^{- 7}

莫耳/升，因此純水的

p H

值為

- lo g 1 0^{- 7} = 7

。今有

A

溶液

p H

值為

4

，

B

溶液

p H

值為

5

，若以

A

溶液

20

毫升與

B

溶液

10

毫升充分混合，並假設混合後體積不變，求新溶液的

p H

值為何？____。（四捨五入到小數點以下第 2 位）

已知

a = 12 + 45

，

b = 12 - 45

。若

x = 1 0^{a} \times 1 0^{b}

，則

lo g x

之值為何？____。

已知

2 \approx 1 0^{0.3010}

，

3 \approx 1 0^{0.4771}

，

7 \approx 1 0^{0.8451}

。問

3^{50}

是幾位數為

a

又最高位數字為

b

，求數對

(a, b) =

____。

答案一覽

第 1 題　(1)(4)

第 2 題　(3)(4)(5)

第 3 題　(1)(5)

第 4 題　 $\frac{7}{9}$

第 5 題　 $61$

第 6 題　 $(2, 1)$

第 7 題　 $0$

第 8 題　 $(- 1, 5)$

第 9 題　 $758$

第 10 題　 $3$

第 11 題　 $\frac{15}{4}$

第 12 題　 $4$

第 13 題　 $- 5 \leq x \leq 4$

第 14 題　 $7750$

第 15 題　 $4.15$

第 16 題　 $210$

第 17 題　 $(24, 7)$

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

逐題詳解

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

多選題：實數的性質、分點與乘法公式

第 1 題答案 (1)(4)。(1) 對：

a = \frac{( a + b ) + ( a - b )}{2}

、

b = \frac{( a + b ) - ( a - b )}{2}

，有理數加減、除以 2 仍是有理數。(2) 錯：

a = 2, b = - 2

時

a + b = 0

是有理數。(3) 錯：題目只說

a, b

是實數，取

a = - 3, b = 1

就有

a + b 3 = 0

。(4) 對：

627 = 3^{\frac{3}{6}} = 3

，以

3

和

1

為兩段作半圓，就能作出長

3

的線段。(5) 錯：

a = 2

時

a^{4} = 4

、

a^{6} = 8

都是有理數，但

a

是無理數。

(3) 要

a, b

都是有理數才能推出

a = b = 0

；(5) 只能推出

a^{2} = \frac{a ^{6}}{a ^{4}}

是有理數。

第 2 題答案 (3)(4)(5)。(1) 錯：

4∣ x + 1∣ = 5∣ x - 3∣

，同號時

4 (x + 1) = 5 (x - 3)

得

x = 19

，異號時

4 (x + 1) = - 5 (x - 3)

得

x = \frac{11}{9}

；代

x = 4

得

5 : 1

。(2) 錯：

\frac{3 a + 2 b}{4} - b = \frac{3 a - 2 b}{4}

，取

a = 0, b = 1

是負的。(3) 對：三個數依序是

a + \frac{1}{2} (b - a)

、

a + \frac{3}{5} (b - a)

、

a + \frac{5}{8} (b - a)

，而

\frac{1}{2} < \frac{3}{5} < \frac{5}{8}

、

b - a > 0

，所以遞增。(4) 對：

c - b = \frac{b - a}{7}

，所以

7∣ c - b ∣ = b - a = ∣ a - b ∣

。(5) 對：

c - b = \frac{b - a}{7} > 0

，

c

在

b

的右邊，落在

a, b

之外。

流傳版本的參考答案寫 (4)(5)，但 (3) 也成立：把每個數寫成「

a

加上

b - a

的幾分之幾」比係數即可。

第 3 題答案 (1)(5)。

x \neq = 0

，方程式同除以

x

得

x + \frac{1}{x} = 4

，(1) 對。

(x - \frac{1}{x})^{2} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 4 = 12

，

x - \frac{1}{x} = \pm 23

；方程式兩根

x = 2 \pm 3

，取

x = 2 - 3

時

x - \frac{1}{x} = - 23

，所以 (2) 錯。同理

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}) = \pm 83

，(3) 錯；

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 16 - 2 = 14

，

x^{4} - \frac{1}{x ^{4}} = 14 \times (\pm 83) = \pm 1123

，(4) 錯。(5) 對：

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 64 - 12 = 52

。

和的形式只有一個值；差的形式要看

x

取哪一根，正負不定。

判斷「一定成立」先找反例；比較分點先寫成「起點加上全長的幾分之幾」。

填充 4～7：指數律、乘法公式與循環小數

第 4 題

6 \frac{4}{27} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}

，

\frac{3 16}{3} = (2^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{- 1})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}

，兩者相乘得

2 \cdot 3^{- 1} = \frac{2}{3}

。

(\frac{81}{16})^{- \frac{1}{4}} = (\frac{3}{2})^{- 1} = \frac{2}{3}

。

1 0^{- l o g 3} = \frac{1}{1 0 ^{l o g 3}} = \frac{1}{3}

。合計

\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \frac{7}{9}

。

第 5 題重新配對：

(a + 2) (a^{2} - 2 a + 4) = a^{3} + 8

，

(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) = a^{3} - 8

。相乘得

a^{6} - 64 = (a^{2})^{3} - 64 = 125 - 64 = 61

。

先用立方和、立方差公式配對，比四個因式直接展開快。

第 6 題

12 = 23

、

27 = 33

，整理成

(4 x + 2 y) + (2 x - y) 3 = 10 + 33

。

x, y

為有理數，有理部分與

3

的係數分別相等：

4 x + 2 y = 10

、

2 x - y = 3

，解得

x = 2, y = 1

。

第 7 題

\frac{2467}{3330} = 0.7 + \frac{136}{3330}

，而

\frac{136}{3330} = \frac{408}{9990} = 0.0 \overline{408}

，所以

\frac{2467}{3330} = 0.7 \overline{408}

。第 1 位是 7，從第 2 位起「4、0、8」三位一循環。

2025 - 1 = 2024 = 3 \times 674 + 2

，第 2025 位是循環節的第 2 個數字，即

0

。

先扣掉不循環的那一位，再用 3 去除。

填充 8、11～13：絕對值、分點與算幾不等式

第 8 題

- 3 \leq x \leq 7

就是

∣ x - 2∣ \leq 5

（中點 2、半長 5）。

∣ a x + 2∣ = ∣ a ∣ \cdot x + \frac{2}{a} \leq b

的解區間中點是

- \frac{2}{a}

，所以

- \frac{2}{a} = 2

，

a = - 1

；此時不等式為

∣ - x + 2∣ = ∣ x - 2∣ \leq b

，得

b = 5

。

第 11 題若

A

在

B

右邊，

C

離

A

較近（

1 : 2

）而

D

離

B

較近（

3 : 2

），

D

會在

C

左邊，與

6 > 5

不合，所以

A

在左。設

d = \overline{A B}

，則

C = A + \frac{1}{3} d

、

D = A + \frac{3}{5} d

，相減

\frac{3}{5} d - \frac{1}{3} d = \frac{4}{15} d = 1

，

d = \frac{15}{4}

。

A = 5 - \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{4} = \frac{15}{4}

。

驗算：

D = \frac{15}{4} + \frac{3}{5} \cdot \frac{15}{4} = 6

，正確。

第 12 題

(\frac{2}{a} + \frac{1}{b}) (a + 2 b) = 2 + \frac{4 b}{a} + \frac{a}{b} + 2 = 4 + \frac{4 b}{a} + \frac{a}{b}

。由算幾不等式

\frac{4 b}{a} + \frac{a}{b} \geq 24 = 4

，所以

2 (\frac{2}{a} + \frac{1}{b}) \geq 8

，即

\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq 4

。等號在

\frac{4 b}{a} = \frac{a}{b}

，即

a = 2 b

時成立，配合

a + 2 b = 2

得

a = 1, b = \frac{1}{2}

，最小值

4

。

乘上

a + 2 b

（等於 2）湊出乘積為定值的兩項，最後要記得除以 2。

第 13 題距離和

= \overline{A B} + ∣ x + 4∣ + ∣ x - 3∣ = 7 + ∣ x + 4∣ + ∣ x - 3∣ \leq 16

，即

∣ x + 4∣ + ∣ x - 3∣ \leq 9

。

∣ x + 4∣ + ∣ x - 3∣

是

x

到

- 4

與到

3

的距離和：

x

在兩點之間時恆為

7

；

x > 3

時為

2 x + 1 \leq 9

，得

x \leq 4

；

x < - 4

時為

- 2 x - 1 \leq 9

，得

x \geq - 5

。所以

- 5 \leq x \leq 4

。

填充 9、10、14～17：常用對數

第 9 題

lo g E (7.2) - lo g E (5.2) = 1.44 \times (7.2 - 5.2) = 2.88

，所以

\frac{E ( 7.2 )}{E ( 5.2 )} = 1 0^{2.88} = (1 0^{1.44})^{2} = 27.5 4^{2} = 758.4516

，四捨五入得

758

倍。

第 10 題

8^{10} = 2^{30}

，所以

x < 30

。左邊取 log：

x lo g 2 > 8

，

x > \frac{8}{0.3010} \approx 26.6

（也可直接看

2^{26} = 67108864 < 1 0^{8} < 2^{27} = 134217728

）。整數

x = 27, 28, 29

，共

3

個。

第 14 題

2^{77232917}

的個位數是 2、4、8、6 之一，減 1 不會讓位數變少，所以兩者位數相同。

lo g 2^{77232917} = 77232917 \times lo g 2 \approx 77232917 \times 0.30103 \approx 23249424.7

，所以是

23249425

位數。

23249425 \div 3000 \approx 7749.8

，至少需要

7750

頁。

用

lo g 2 \approx 0.3010

算得

23247108

位，除以 3000 約

7749.04

，一樣要

7750

頁。

第 15 題

A

溶液

[H^{+}] = 1 0^{- 4}

，

B

溶液

[H^{+}] = 1 0^{- 5}

（莫耳/升）。混合後氫離子總量正比於

20 \times 1 0^{- 4} + 10 \times 1 0^{- 5} = 21 \times 1 0^{- 4}

，體積

30

毫升，新濃度

\frac{21 \times 1 0 ^{- 4}}{30} = 7 \times 1 0^{- 5}

。

p H = - lo g (7 \times 1 0^{- 5}) = 5 - lo g 7 \approx 5 - 0.8451 = 4.1549

，約

4.15

。

要先把氫離子的量加起來再取對數，不能把兩個 pH 值直接加權平均。

第 16 題

12 + 45 = 12 + 220 = (10 + 2)^{2}

，所以

a = 10 + 2

；同理

b = 10 - 2

。

x = 1 0^{a + b}

，

lo g x = a + b = 210

。

第 17 題

lo g 3^{50} = 50 \times 0.4771 = 23.855

，首數

23

，是

24

位數。尾數

0.855

介於

lo g 7 = 0.8451

與

lo g 8 = 3 lo g 2 = 0.9030

之間，所以最高位數字是

7

。

(a, b) = (24, 7)

。

lo g N

的整數部分決定位數，小數部分決定最高位數字；應用題先把量加總，再取對數。

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