段考詳解範圍：數與式、直線方程式（實數與根式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數、斜率與直線方程式）

內湖高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 3 題（12 分）、多選題 3 題（15 分）、填充題 12 題共 13 格（65 分）、計算題 1 題（8 分）

一、單選題（占 12 分）　說明：第 1 題至第 3 題，每題 4 分。

如圖所示，

\overline{A B}

，

\overline{B C}

，

\overline{C D}

，

\overline{D E}

，

\overline{E A}

其斜率分別為

m_{1}

，

m_{2}

，

m_{3}

，

m_{4}

，

m_{5}

，試比較其斜率。

(1) $m_{5} > m_{2} > m_{4} > m_{1} > m_{3}$
(2) $m_{4} > m_{2} > m_{5} > m_{1} > m_{3}$
(3) $m_{1} > m_{2} > m_{3} > m_{4} > m_{5}$
(4) $m_{3} > m_{1} > m_{5} > m_{2} > m_{4}$
(5) $m_{1} > m_{2} > m_{5} > m_{3} > m_{4}$

載入中...

設

a

，

b

是實數，且

a < b

，試比較

\frac{2 a + b}{3}

，

\frac{2 a + 2 b}{4}

，

\frac{3 a + 2 b}{5}

三個數的大小。

(1) $\frac{2 a + 2 b}{4} > \frac{3 a + 2 b}{5} > \frac{2 a + b}{3}$
(2) $\frac{2 a + 2 b}{4} > \frac{3 a + 2 b}{5} > \frac{2 a + b}{3}$
(3) $\frac{3 a + 2 b}{5} > \frac{2 a + b}{3} > \frac{2 a + 2 b}{4}$
(4) $\frac{2 a + b}{3} > \frac{3 a + 2 b}{5} > \frac{2 a + 2 b}{4}$
(5) $\frac{2 a + 2 b}{4} = \frac{3 a + 2 b}{5} > \frac{2 a + b}{3}$

下列敘述中，哪個選項是正確的？

(1) 若 $a$ 是有理數，則 $a$ 是無理數
(2) 設 $a$ ， $b$ 為無理數，則 $ab$ 也是無理數
(3) 設 $a$ ， $b$ 為無理數， $c$ ， $d$ 為有理數，若 $a + c = b + d$ ，則 $a = b$ 且 $c = d$
(4) 設 $a$ ， $b$ 為有理數，則 $a + b$ 與 $ab$ 也是有理數
(5) 若 $a$ 是無理數，則 $a^{2}$ 是有理數

二、多選題（占 15 分）　說明：第 4 題至第 6 題，每題 5 分。

下列關於科學記號及對數的敘述，請選出正確的選項。

(1) $2.56 \times 1 0^{- 10}$ 的有效數字為三位
(2) $3.14 \times 1 0^{9}$ 為 $9$ 位數
(3) $1 0^{l o g 58} = 58$
(4) $lo g 0.0041$ 介於 $- 4$ 與 $- 3$ 之間
(5) $lo g 3324$ 介於 $3$ 與 $4$ 之間

下列敘述中，選出正確的選項。

(1) 若 $x$ 為實數，則 $x^{2} = x$
(2) 若 $x$ 為實數，則 $∣ x ∣$ 為正數
(3) 設 $a$ ， $b$ 為兩實數，則 $∣ a ∣∣ b ∣ = ∣ ab ∣$
(4) 在數線上， $A (a)$ ， $B (b)$ 的距離等於 $∣ a - b ∣$
(5) 設 $a$ ， $b$ 為兩實數，則 $∣ a ∣ + ∣ b ∣ = ∣ a + b ∣$

下列關於直線方程式及其圖形的敘述，請選出正確的選項。

(1) 直線 $4 x + 5 = 0$ 的斜率為 $0$
(2) $(2, 2)$ ， $(6, 1)$ ， $(14, - 1)$ 三點在同一直線上
(3) 直線 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 斜率分別為 $0.6$ ， $- 3$ ，則 $L_{1}$ 較陡
(4) 直線 $L$ ： $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 5$ 的 $y$ 截距為 $3$
(5) 斜率為 $2$ ， $x$ 截距為 $3$ 的直線方程式為 $y = 2 x + 3$

三、填充題（占 65 分）　說明：第 7 題至第 18 題，每格 5 分。

設

a > 0

，化簡

\frac{5 4 a ^{\frac{4}{5}} \cdot a ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{- \frac{3}{5}} \cdot a \cdot 10 a ^{3}} =

____。

已知直線

L

：

3 x - 2 y = 0

，將

L

向左平移

5

單位，再向下平移

3

單位，得到直線

M

，則

M

方程式為 ____。（以一般式表示）

設

a

，

b

均為實數，若

∣ a x - 6∣ \leq b

的解為

- 5 \leq x \leq 1

，則數對

(a, b) =

____。

設

14 + 410 = a + b

，其中

a

為正整數，且

0 < b < 1

，則

a + \frac{2}{b} =

____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，試回答下列問題：(1) 將

2^{200}

乘開後是 ____ 位數。(2) 將

(\frac{1}{2})^{30}

化成小數，從小數點後第 ____ 位開始不為

0

。

設

x

，

y

，

z

是實數，

x y z \neq = 0

，且

3^{x} = 7^{y} = (521)^{z}

，求

\frac{z}{x} + \frac{z}{y} =

____。

設

a > 0

，

x

為實數，若

a^{\frac{x}{2}} = 5 + 2

，則

\frac{a ^{\frac{3 x}{2}} - a ^{\frac{- 3 x}{2}}}{a ^{x} - a ^{- x}} =

____。

已知

A (9, 3)

，

B (3, 7)

，則

\overline{A B}

的中垂線之方程式為 ____。（以一般式表示）

已知

x

為有理數，若

(15 + 2 x) + x^{2} 3 = (6 - x) 3 + x^{2}

，則

x =

____。

小娟打算在一個半徑為

6

公尺的半圓形花圃內，用籬笆圍出一個矩形菜圃，當此矩形菜圃有最大面積為

M

平方公尺，此時菜圃的長

\overline{A B}

為

x

公尺，寬

\overline{B C}

為

y

公尺，則數序

(M, x, y) =

____。

載入中...

放射性物質的質量會隨時間逐漸衰減，且無論從何時算起，質量衰減為原來的一半所經過的時間皆相同，稱為該物質的半衰期。設某種放射性物質的半衰期是

4

個月，且其質量目前是

2560

克，試問經過

4

年後，該放射性物質剩下的質量是 ____ 克。

目前國際使用芮氏規模來表示地震強度，設發生芮氏規模

M

時，地震震央所釋放出來的能量為

E

（爾格），其關係為

lo g E = 11.8 + 1.5 M

。已知 1964 年臺南白河地震的規模是

6.5

，1935 年新竹關刀山地震的規模是

7.3

，請問新竹關刀山地震所釋放出的能量是臺南白河地震的 ____ 倍。（四捨五入至整數位，已知

1 0^{0.2} \approx 1.585

）

四、計算題（占 8 分）　說明：第 19 題，每題 8 分。

解不等式

∣ x + 2∣ - 2∣ x - 1∣ \geq - 6

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)

第 3 題(4)

第 4 題(1)(3)(5)

第 5 題(3)(4)

第 6 題(2)

第 7 題

2

第 8 題

3 x - 2 y + 9 = 0

第 9 題

(- 3, 9)

第 10 題

11 + 210

第 11 題(1)

61

；(2)

10

第 12 題

5

第 13 題

\frac{19 5}{10}

第 14 題

3 x - 2 y - 8 = 0

第 15 題

- 3

第 16 題

(36, 62, 32)

第 17 題

\frac{5}{8}

第 18 題

16

第 19 題

- 2 \leq x \leq 10

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1～3：斜率的大小、分點、有理數與無理數

第 1 題答案 (3)。由左下往右上的線段斜率為正，越陡越大：

\overline{A B}

比

\overline{B C}

陡，所以

m_{1} > m_{2} > 0

。

\overline{C D}

是水平線，

m_{3} = 0

。由左上往右下的線段斜率為負，越陡越小：

\overline{E A}

比

\overline{D E}

陡，所以

m_{5} < m_{4} < 0

。合起來

m_{1} > m_{2} > m_{3} > m_{4} > m_{5}

。

斜率為負時，越陡的線斜率越小（絕對值越大）。

第 2 題答案 (1)。三個數都寫成「從

a

往

b

走幾分之幾」：

\frac{2 a + b}{3} = a + \frac{1}{3} (b - a)

，

\frac{2 a + 2 b}{4} = \frac{a + b}{2} = a + \frac{1}{2} (b - a)

，

\frac{3 a + 2 b}{5} = a + \frac{2}{5} (b - a)

。因為

b - a > 0

且

\frac{1}{2} > \frac{2}{5} > \frac{1}{3}

，所以

\frac{2 a + 2 b}{4} > \frac{3 a + 2 b}{5} > \frac{2 a + b}{3}

。

流傳版本的選項 (1) 與 (2) 印成同一個式子，參考答案寫 (1)；本頁選項照卷面轉錄。

第 3 題答案 (4)。(1) 錯：

a = 4

時

a = 2

是有理數。(2) 錯：

2 \times 2 = 2

。(3) 錯：取

a = 2

、

c = 1

、

b = 2 + 1

、

d = 0

，則

a + c = b + d

，但

a \neq = b

。(4) 對：有理數對加法與乘法都有封閉性。(5) 錯：

a = 2 + 1

時

a^{2} = 3 + 22

是無理數。

(3) 要成立，條件得是「

a

、

b

是同一個無理數的有理數倍」這一類，光說

a

、

b

是無理數不夠。

02多選 4～6：科學記號與對數、絕對值、直線

第 4 題答案 (1)(3)(5)。(1) 對：

2.56

有三位有效數字。(2) 錯：

3.14 \times 1 0^{9} = 3140000000

是

10

位數。(3) 對：

lo g 58

就是「

10

的幾次方等於

58

」的那個次方。(4) 錯：

1 0^{- 3} < 0.0041 < 1 0^{- 2}

，所以

lo g 0.0041

介於

- 3

與

- 2

之間。(5) 對：

1 0^{3} < 3324 < 1 0^{4}

。

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

，

n \geq 0

）是

n + 1

位數。

第 5 題答案 (3)(4)。(1) 錯：

x^{2} = ∣ x ∣

，

x = - 1

時左邊是

1

。(2) 錯：

x = 0

時

∣ x ∣ = 0

不是正數。(3) 對：這是絕對值的乘法性質。(4) 對：數線上兩點的距離就是坐標差的絕對值。(5) 錯：

a = 1

、

b = - 1

時左邊是

2

、右邊是

0

；一般只有

∣ a ∣ + ∣ b ∣ \geq ∣ a + b ∣

。

第 6 題答案 (2)。(1) 錯：

4 x + 5 = 0

即

x = - \frac{5}{4}

，是鉛直線，沒有斜率。(2) 對：前兩點的斜率

\frac{1 - 2}{6 - 2} = - \frac{1}{4}

，後兩點的斜率

\frac{- 1 - 1}{14 - 6} = - \frac{1}{4}

，相等，三點共線。(3) 錯：陡不陡看斜率的絕對值，

∣ - 3∣ > ∣0.6∣

，

L_{2}

較陡。(4) 錯：令

x = 0

得

- \frac{y}{3} = 5

，

y = - 15

，

y

截距是

- 15

。(5) 錯：

x

截距

3

表示過

(3, 0)

，方程式是

y = 2 (x - 3) = 2 x - 6

。

(4) 要先把右邊化成

1

：

\frac{x}{10} + \frac{y}{- 15} = 1

，才能直接讀出截距。

03填充 7～10：指數律、平移、絕對值不等式、雙重根號

第 7 題全部寫成指數：分子

54 = 2^{\frac{2}{5}}

，

a^{\frac{4}{5}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{13}{10}}

；分母

a \cdot 10 a^{3} = a^{1 + \frac{3}{10}} = a^{\frac{13}{10}}

。

a

的部分約掉，剩下

\frac{2 ^{\frac{2}{5}}}{2 ^{- \frac{3}{5}}} = 2^{\frac{2}{5} + \frac{3}{5}} = 2

。

流傳版本題幹的根號橫線印得蓋到

a

，依答案應為根號只蓋住

4

（即

54 \cdot a^{\frac{4}{5}}

），本頁題幹照此寫。

第 8 題平移不改變斜率，所以

M

可設為

3 x - 2 y = k

。

L

上的點

(0, 0)

向左

5

、向下

3

後到

(- 5, - 3)

，代入得

k = - 15 + 6 = - 9

。

M

：

3 x - 2 y + 9 = 0

。

也可以直接把

x

換成

x + 5

、

y

換成

y + 3

：

3 (x + 5) - 2 (y + 3) = 0

。

第 9 題

∣ a x - 6∣ \leq b

即

x - \frac{6}{a} \leq \frac{b}{∣ a ∣}

，解是以

\frac{6}{a}

為中心、半徑

\frac{b}{∣ a ∣}

的區間。

- 5 \leq x \leq 1

的中心是

- 2

、半徑是

3

，所以

\frac{6}{a} = - 2

得

a = - 3

；

\frac{b}{3} = 3

得

b = 9

。

(a, b) = (- 3, 9)

。

驗算：

∣ - 3 x - 6∣ \leq 9

即

∣ x + 2∣ \leq 3

，解為

- 5 \leq x \leq 1

。

第 10 題

14 + 410 = 14 + 240

，找兩數和

14

、積

40

：

10

和

4

。所以

14 + 410 = 10 + 2

。

3 < 10 < 4

，故

a = 5

、

b = 10 - 3

。

\frac{2}{b} = \frac{2}{10 - 3} = \frac{2 ( 10 + 3 )}{10 - 9} = 210 + 6

，所以

a + \frac{2}{b} = 11 + 210

。

04填充 11～15：位數、指數連等、乘法公式、中垂線

第 11 題(1)

lo g 2^{200} = 200 \times 0.3010 = 60.2

，所以

1 0^{60} < 2^{200} < 1 0^{61}

，是

61

位數。(2)

lo g (\frac{1}{2})^{30} = - 30 \times 0.3010 = - 9.03 = - 10 + 0.97

，所以

(\frac{1}{2})^{30} = 1 0^{0.97} \times 1 0^{- 10}

，其中

1 < 1 0^{0.97} < 10

，從小數點後第

10

位開始不為

0

。

負的對數值要拆成「負整數＋介於 0 和 1 之間的小數」，

- 9.03

是

- 10 + 0.97

，不是

- 9 + 0.03

。

第 12 題設

3^{x} = 7^{y} = 2 1^{\frac{z}{5}} = k

。因為

x \neq = 0

，所以

k \neq = 1

（且

k > 0

）。各自開方：

3 = k^{\frac{1}{x}}

，

7 = k^{\frac{1}{y}}

，

21 = k^{\frac{5}{z}}

。由

3 \times 7 = 21

得

k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = k^{\frac{5}{z}}

，所以

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{z}

，兩邊乘

z

：

\frac{z}{x} + \frac{z}{y} = 5

。

第 13 題令

t = a^{\frac{x}{2}} = 5 + 2

，則

t^{- 1} = \frac{1}{5 + 2} = 5 - 2

。所求

= \frac{t ^{3} - t ^{- 3}}{t ^{2} - t ^{- 2}} = \frac{( t - t ^{- 1} ) ( t ^{2} + 1 + t ^{- 2} )}{( t - t ^{- 1} ) ( t + t ^{- 1} )} = \frac{t ^{2} + t ^{- 2} + 1}{t + t ^{- 1}}

。

t + t^{- 1} = 25

，

t^{2} + t^{- 2} = (25)^{2} - 2 = 18

，所以答案是

\frac{19}{2 5} = \frac{19 5}{10}

。

分子用立方差、分母用平方差，先約掉

t - t^{- 1}

再代數字。

第 14 題中點

(\frac{9 + 3}{2}, \frac{3 + 7}{2}) = (6, 5)

。

\overline{A B}

的斜率

\frac{7 - 3}{3 - 9} = - \frac{2}{3}

，中垂線與它垂直，斜率是

\frac{3}{2}

。點斜式：

y - 5 = \frac{3}{2} (x - 6)

，整理得

3 x - 2 y - 8 = 0

。

第 15 題移項整理成

(15 + 2 x - x^{2}) + (x^{2} + x - 6) 3 = 0

。

x

是有理數，兩個括號都是有理數；若

3

的係數不為

0

，

3

就會等於有理數，矛盾。所以

x^{2} + x - 6 = 0

且

x^{2} - 2 x - 15 = 0

，即

(x + 3) (x - 2) = 0

且

(x + 3) (x - 5) = 0

，共同解

x = - 3

。

兩個方程式要同時成立，只取共同的根。

05填充 16～18：算幾不等式、半衰期、地震能量

第 16 題矩形左右對稱於圓心

O

。設

\overline{O B} = u

、

\overline{B C} = v

，

C

在半圓上，所以

u^{2} + v^{2} = \overline{O C}^{2} = 36

，面積是

2 uv

。由算幾不等式

\frac{u ^{2} + v ^{2}}{2} \geq u^{2} v^{2} = uv

，得

uv \leq 18

，面積

2 uv \leq 36

。等號在

u^{2} = v^{2} = 18

，即

u = v = 32

時成立。所以

M = 36

，

x = 2 u = 62

，

y = v = 32

。

流傳版本題幹印作「寬

\overline{A C}

」，

\overline{A C}

是對角線，依答案應為

\overline{B C}

。

第 17 題

4

年是

48

個月，共經過

48 \div 4 = 12

個半衰期。剩下

2560 \times (\frac{1}{2})^{12} = \frac{2560}{4096} = \frac{5}{8}

克。

2560 = 5 \times 2^{9}

，除以

2^{12}

剩

\frac{5}{2 ^{3}}

。

第 18 題設新竹關刀山地震的能量為

E_{1}

、臺南白河地震為

E_{2}

。

lo g E_{1} = 11.8 + 1.5 \times 7.3 = 22.75

，

lo g E_{2} = 11.8 + 1.5 \times 6.5 = 21.55

。所以

\frac{E _{1}}{E _{2}} = \frac{1 0 ^{22.75}}{1 0 ^{21.55}} = 1 0^{1.2} = 10 \times 1 0^{0.2} \approx 15.85

，四捨五入為

16

倍。

06計算 19：分段討論

第 19 題以

x = - 2

、

x = 1

分三段。①

x < - 2

：

- (x + 2) + 2 (x - 1) = x - 4 \geq - 6

，得

x \geq - 2

，與

x < - 2

沒有交集。②

- 2 \leq x < 1

：

(x + 2) + 2 (x - 1) = 3 x \geq - 6

，得

x \geq - 2

，這一段全部成立。③

x \geq 1

：

(x + 2) - 2 (x - 1) = 4 - x \geq - 6

，得

x \leq 10

，即

1 \leq x \leq 10

。合併得

- 2 \leq x \leq 10

。

流傳版本的參考答案寫

- 2 \leq x \leq 2

，但照卷面題幹代

x = 5

得

7 - 8 = - 1 \geq - 6

成立，本站重算為

- 2 \leq x \leq 10

。若題幹是

∣ x + 2∣ + 2∣ x - 1∣ \leq 6

，解才會是

- 2 \leq x \leq 2

。

絕對值不等式分段時，每一段解出來的範圍都要和那一段的前提取交集，最後再合併。

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內湖高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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內湖高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 9 題要由解的區間反推係數且係數是負的、第 11 題第二格負的對數值要拆對、第 13 題要先用立方差與平方差約分，以及第 19 題分三段後每段都要和前提取交集。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自內湖高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式、直線方程式（實數與根式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數、斜率與直線方程式）

內湖高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 3 題（12 分）、多選題 3 題（15 分）、填充題 12 題共 13 格（65 分）、計算題 1 題（8 分）

一、單選題（占 12 分）　說明：第 1 題至第 3 題，每題 4 分。

如圖所示，

\overline{A B}

，

\overline{B C}

，

\overline{C D}

，

\overline{D E}

，

\overline{E A}

其斜率分別為

m_{1}

，

m_{2}

，

m_{3}

，

m_{4}

，

m_{5}

，試比較其斜率。

(1) $m_{5} > m_{2} > m_{4} > m_{1} > m_{3}$
(2) $m_{4} > m_{2} > m_{5} > m_{1} > m_{3}$
(3) $m_{1} > m_{2} > m_{3} > m_{4} > m_{5}$
(4) $m_{3} > m_{1} > m_{5} > m_{2} > m_{4}$
(5) $m_{1} > m_{2} > m_{5} > m_{3} > m_{4}$

載入中...

設

a

，

b

是實數，且

a < b

，試比較

\frac{2 a + b}{3}

，

\frac{2 a + 2 b}{4}

，

\frac{3 a + 2 b}{5}

三個數的大小。

(1) $\frac{2 a + 2 b}{4} > \frac{3 a + 2 b}{5} > \frac{2 a + b}{3}$
(2) $\frac{2 a + 2 b}{4} > \frac{3 a + 2 b}{5} > \frac{2 a + b}{3}$
(3) $\frac{3 a + 2 b}{5} > \frac{2 a + b}{3} > \frac{2 a + 2 b}{4}$
(4) $\frac{2 a + b}{3} > \frac{3 a + 2 b}{5} > \frac{2 a + 2 b}{4}$
(5) $\frac{2 a + 2 b}{4} = \frac{3 a + 2 b}{5} > \frac{2 a + b}{3}$

下列敘述中，哪個選項是正確的？

(1) 若 $a$ 是有理數，則 $a$ 是無理數
(2) 設 $a$ ， $b$ 為無理數，則 $ab$ 也是無理數
(3) 設 $a$ ， $b$ 為無理數， $c$ ， $d$ 為有理數，若 $a + c = b + d$ ，則 $a = b$ 且 $c = d$
(4) 設 $a$ ， $b$ 為有理數，則 $a + b$ 與 $ab$ 也是有理數
(5) 若 $a$ 是無理數，則 $a^{2}$ 是有理數

二、多選題（占 15 分）　說明：第 4 題至第 6 題，每題 5 分。

下列關於科學記號及對數的敘述，請選出正確的選項。

(1) $2.56 \times 1 0^{- 10}$ 的有效數字為三位
(2) $3.14 \times 1 0^{9}$ 為 $9$ 位數
(3) $1 0^{l o g 58} = 58$
(4) $lo g 0.0041$ 介於 $- 4$ 與 $- 3$ 之間
(5) $lo g 3324$ 介於 $3$ 與 $4$ 之間

下列敘述中，選出正確的選項。

(1) 若 $x$ 為實數，則 $x^{2} = x$
(2) 若 $x$ 為實數，則 $∣ x ∣$ 為正數
(3) 設 $a$ ， $b$ 為兩實數，則 $∣ a ∣∣ b ∣ = ∣ ab ∣$
(4) 在數線上， $A (a)$ ， $B (b)$ 的距離等於 $∣ a - b ∣$
(5) 設 $a$ ， $b$ 為兩實數，則 $∣ a ∣ + ∣ b ∣ = ∣ a + b ∣$

下列關於直線方程式及其圖形的敘述，請選出正確的選項。

(1) 直線 $4 x + 5 = 0$ 的斜率為 $0$
(2) $(2, 2)$ ， $(6, 1)$ ， $(14, - 1)$ 三點在同一直線上
(3) 直線 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 斜率分別為 $0.6$ ， $- 3$ ，則 $L_{1}$ 較陡
(4) 直線 $L$ ： $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 5$ 的 $y$ 截距為 $3$
(5) 斜率為 $2$ ， $x$ 截距為 $3$ 的直線方程式為 $y = 2 x + 3$

三、填充題（占 65 分）　說明：第 7 題至第 18 題，每格 5 分。

設

a > 0

，化簡

\frac{5 4 a ^{\frac{4}{5}} \cdot a ^{\frac{1}{2}}}{2 ^{- \frac{3}{5}} \cdot a \cdot 10 a ^{3}} =

____。

已知直線

L

：

3 x - 2 y = 0

，將

L

向左平移

5

單位，再向下平移

3

單位，得到直線

M

，則

M

方程式為 ____。（以一般式表示）

設

a

，

b

均為實數，若

∣ a x - 6∣ \leq b

的解為

- 5 \leq x \leq 1

，則數對

(a, b) =

____。

設

14 + 410 = a + b

，其中

a

為正整數，且

0 < b < 1

，則

a + \frac{2}{b} =

____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，試回答下列問題：(1) 將

2^{200}

乘開後是 ____ 位數。(2) 將

(\frac{1}{2})^{30}

化成小數，從小數點後第 ____ 位開始不為

0

。

設

x

，

y

，

z

是實數，

x y z \neq = 0

，且

3^{x} = 7^{y} = (521)^{z}

，求

\frac{z}{x} + \frac{z}{y} =

____。

設

a > 0

，

x

為實數，若

a^{\frac{x}{2}} = 5 + 2

，則

\frac{a ^{\frac{3 x}{2}} - a ^{\frac{- 3 x}{2}}}{a ^{x} - a ^{- x}} =

____。

已知

A (9, 3)

，

B (3, 7)

，則

\overline{A B}

的中垂線之方程式為 ____。（以一般式表示）

已知

x

為有理數，若

(15 + 2 x) + x^{2} 3 = (6 - x) 3 + x^{2}

，則

x =

____。

小娟打算在一個半徑為

6

公尺的半圓形花圃內，用籬笆圍出一個矩形菜圃，當此矩形菜圃有最大面積為

M

平方公尺，此時菜圃的長

\overline{A B}

為

x

公尺，寬

\overline{B C}

為

y

公尺，則數序

(M, x, y) =

____。

載入中...

4

個月，且其質量目前是

2560

克，試問經過

4

年後，該放射性物質剩下的質量是 ____ 克。

目前國際使用芮氏規模來表示地震強度，設發生芮氏規模

M

時，地震震央所釋放出來的能量為

E

（爾格），其關係為

lo g E = 11.8 + 1.5 M

。已知 1964 年臺南白河地震的規模是

6.5

，1935 年新竹關刀山地震的規模是

7.3

，請問新竹關刀山地震所釋放出的能量是臺南白河地震的 ____ 倍。（四捨五入至整數位，已知

1 0^{0.2} \approx 1.585

）

四、計算題（占 8 分）　說明：第 19 題，每題 8 分。

解不等式

∣ x + 2∣ - 2∣ x - 1∣ \geq - 6

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(1)

第 3 題(4)

第 4 題(1)(3)(5)

第 5 題(3)(4)

第 6 題(2)

第 7 題

2

第 8 題

3 x - 2 y + 9 = 0

第 9 題

(- 3, 9)

第 10 題

11 + 210

第 11 題(1)

61

；(2)

10

第 12 題

5

第 13 題

\frac{19 5}{10}

第 14 題

3 x - 2 y - 8 = 0

第 15 題

- 3

第 16 題

(36, 62, 32)

第 17 題

\frac{5}{8}

第 18 題

16

第 19 題

- 2 \leq x \leq 10

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：斜率的大小、分點、有理數與無理數

第 1 題答案 (3)。由左下往右上的線段斜率為正，越陡越大：

\overline{A B}

比

\overline{B C}

陡，所以

m_{1} > m_{2} > 0

。

\overline{C D}

是水平線，

m_{3} = 0

。由左上往右下的線段斜率為負，越陡越小：

\overline{E A}

比

\overline{D E}

陡，所以

m_{5} < m_{4} < 0

。合起來

m_{1} > m_{2} > m_{3} > m_{4} > m_{5}

。

斜率為負時，越陡的線斜率越小（絕對值越大）。

第 2 題答案 (1)。三個數都寫成「從

a

往

b

走幾分之幾」：

\frac{2 a + b}{3} = a + \frac{1}{3} (b - a)

，

\frac{2 a + 2 b}{4} = \frac{a + b}{2} = a + \frac{1}{2} (b - a)

，

\frac{3 a + 2 b}{5} = a + \frac{2}{5} (b - a)

。因為

b - a > 0

且

\frac{1}{2} > \frac{2}{5} > \frac{1}{3}

，所以

\frac{2 a + 2 b}{4} > \frac{3 a + 2 b}{5} > \frac{2 a + b}{3}

。

流傳版本的選項 (1) 與 (2) 印成同一個式子，參考答案寫 (1)；本頁選項照卷面轉錄。

第 3 題答案 (4)。(1) 錯：

a = 4

時

a = 2

是有理數。(2) 錯：

2 \times 2 = 2

。(3) 錯：取

a = 2

、

c = 1

、

b = 2 + 1

、

d = 0

，則

a + c = b + d

，但

a \neq = b

。(4) 對：有理數對加法與乘法都有封閉性。(5) 錯：

a = 2 + 1

時

a^{2} = 3 + 22

是無理數。

(3) 要成立，條件得是「

a

、

b

是同一個無理數的有理數倍」這一類，光說

a

、

b

是無理數不夠。

02多選 4～6：科學記號與對數、絕對值、直線

第 4 題答案 (1)(3)(5)。(1) 對：

2.56

有三位有效數字。(2) 錯：

3.14 \times 1 0^{9} = 3140000000

是

10

位數。(3) 對：

lo g 58

就是「

10

的幾次方等於

58

」的那個次方。(4) 錯：

1 0^{- 3} < 0.0041 < 1 0^{- 2}

，所以

lo g 0.0041

介於

- 3

與

- 2

之間。(5) 對：

1 0^{3} < 3324 < 1 0^{4}

。

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

，

n \geq 0

）是

n + 1

位數。

第 5 題答案 (3)(4)。(1) 錯：

x^{2} = ∣ x ∣

，

x = - 1

時左邊是

1

。(2) 錯：

x = 0

時

∣ x ∣ = 0

不是正數。(3) 對：這是絕對值的乘法性質。(4) 對：數線上兩點的距離就是坐標差的絕對值。(5) 錯：

a = 1

、

b = - 1

時左邊是

2

、右邊是

0

；一般只有

∣ a ∣ + ∣ b ∣ \geq ∣ a + b ∣

。

第 6 題答案 (2)。(1) 錯：

4 x + 5 = 0

即

x = - \frac{5}{4}

，是鉛直線，沒有斜率。(2) 對：前兩點的斜率

\frac{1 - 2}{6 - 2} = - \frac{1}{4}

，後兩點的斜率

\frac{- 1 - 1}{14 - 6} = - \frac{1}{4}

，相等，三點共線。(3) 錯：陡不陡看斜率的絕對值，

∣ - 3∣ > ∣0.6∣

，

L_{2}

較陡。(4) 錯：令

x = 0

得

- \frac{y}{3} = 5

，

y = - 15

，

y

截距是

- 15

。(5) 錯：

x

截距

3

表示過

(3, 0)

，方程式是

y = 2 (x - 3) = 2 x - 6

。

(4) 要先把右邊化成

1

：

\frac{x}{10} + \frac{y}{- 15} = 1

，才能直接讀出截距。

03填充 7～10：指數律、平移、絕對值不等式、雙重根號

第 7 題全部寫成指數：分子

54 = 2^{\frac{2}{5}}

，

a^{\frac{4}{5}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{13}{10}}

；分母

a \cdot 10 a^{3} = a^{1 + \frac{3}{10}} = a^{\frac{13}{10}}

。

a

的部分約掉，剩下

\frac{2 ^{\frac{2}{5}}}{2 ^{- \frac{3}{5}}} = 2^{\frac{2}{5} + \frac{3}{5}} = 2

。

流傳版本題幹的根號橫線印得蓋到

a

，依答案應為根號只蓋住

4

（即

54 \cdot a^{\frac{4}{5}}

），本頁題幹照此寫。

第 8 題平移不改變斜率，所以

M

可設為

3 x - 2 y = k

。

L

上的點

(0, 0)

向左

5

、向下

3

後到

(- 5, - 3)

，代入得

k = - 15 + 6 = - 9

。

M

：

3 x - 2 y + 9 = 0

。

也可以直接把

x

換成

x + 5

、

y

換成

y + 3

：

3 (x + 5) - 2 (y + 3) = 0

。

第 9 題

∣ a x - 6∣ \leq b

即

x - \frac{6}{a} \leq \frac{b}{∣ a ∣}

，解是以

\frac{6}{a}

為中心、半徑

\frac{b}{∣ a ∣}

的區間。

- 5 \leq x \leq 1

的中心是

- 2

、半徑是

3

，所以

\frac{6}{a} = - 2

得

a = - 3

；

\frac{b}{3} = 3

得

b = 9

。

(a, b) = (- 3, 9)

。

驗算：

∣ - 3 x - 6∣ \leq 9

即

∣ x + 2∣ \leq 3

，解為

- 5 \leq x \leq 1

。

第 10 題

14 + 410 = 14 + 240

，找兩數和

14

、積

40

：

10

和

4

。所以

14 + 410 = 10 + 2

。

3 < 10 < 4

，故

a = 5

、

b = 10 - 3

。

\frac{2}{b} = \frac{2}{10 - 3} = \frac{2 ( 10 + 3 )}{10 - 9} = 210 + 6

，所以

a + \frac{2}{b} = 11 + 210

。

04填充 11～15：位數、指數連等、乘法公式、中垂線

第 11 題(1)

lo g 2^{200} = 200 \times 0.3010 = 60.2

，所以

1 0^{60} < 2^{200} < 1 0^{61}

，是

61

位數。(2)

lo g (\frac{1}{2})^{30} = - 30 \times 0.3010 = - 9.03 = - 10 + 0.97

，所以

(\frac{1}{2})^{30} = 1 0^{0.97} \times 1 0^{- 10}

，其中

1 < 1 0^{0.97} < 10

，從小數點後第

10

位開始不為

0

。

負的對數值要拆成「負整數＋介於 0 和 1 之間的小數」，

- 9.03

是

- 10 + 0.97

，不是

- 9 + 0.03

。

第 12 題設

3^{x} = 7^{y} = 2 1^{\frac{z}{5}} = k

。因為

x \neq = 0

，所以

k \neq = 1

（且

k > 0

）。各自開方：

3 = k^{\frac{1}{x}}

，

7 = k^{\frac{1}{y}}

，

21 = k^{\frac{5}{z}}

。由

3 \times 7 = 21

得

k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = k^{\frac{5}{z}}

，所以

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{z}

，兩邊乘

z

：

\frac{z}{x} + \frac{z}{y} = 5

。

第 13 題令

t = a^{\frac{x}{2}} = 5 + 2

，則

t^{- 1} = \frac{1}{5 + 2} = 5 - 2

。所求

= \frac{t ^{3} - t ^{- 3}}{t ^{2} - t ^{- 2}} = \frac{( t - t ^{- 1} ) ( t ^{2} + 1 + t ^{- 2} )}{( t - t ^{- 1} ) ( t + t ^{- 1} )} = \frac{t ^{2} + t ^{- 2} + 1}{t + t ^{- 1}}

。

t + t^{- 1} = 25

，

t^{2} + t^{- 2} = (25)^{2} - 2 = 18

，所以答案是

\frac{19}{2 5} = \frac{19 5}{10}

。

分子用立方差、分母用平方差，先約掉

t - t^{- 1}

再代數字。

第 14 題中點

(\frac{9 + 3}{2}, \frac{3 + 7}{2}) = (6, 5)

。

\overline{A B}

的斜率

\frac{7 - 3}{3 - 9} = - \frac{2}{3}

，中垂線與它垂直，斜率是

\frac{3}{2}

。點斜式：

y - 5 = \frac{3}{2} (x - 6)

，整理得

3 x - 2 y - 8 = 0

。

第 15 題移項整理成

(15 + 2 x - x^{2}) + (x^{2} + x - 6) 3 = 0

。

x

是有理數，兩個括號都是有理數；若

3

的係數不為

0

，

3

就會等於有理數，矛盾。所以

x^{2} + x - 6 = 0

且

x^{2} - 2 x - 15 = 0

，即

(x + 3) (x - 2) = 0

且

(x + 3) (x - 5) = 0

，共同解

x = - 3

。

兩個方程式要同時成立，只取共同的根。

05填充 16～18：算幾不等式、半衰期、地震能量

第 16 題矩形左右對稱於圓心

O

。設

\overline{O B} = u

、

\overline{B C} = v

，

C

在半圓上，所以

u^{2} + v^{2} = \overline{O C}^{2} = 36

，面積是

2 uv

。由算幾不等式

\frac{u ^{2} + v ^{2}}{2} \geq u^{2} v^{2} = uv

，得

uv \leq 18

，面積

2 uv \leq 36

。等號在

u^{2} = v^{2} = 18

，即

u = v = 32

時成立。所以

M = 36

，

x = 2 u = 62

，

y = v = 32

。

流傳版本題幹印作「寬

\overline{A C}

」，

\overline{A C}

是對角線，依答案應為

\overline{B C}

。

第 17 題

4

年是

48

個月，共經過

48 \div 4 = 12

個半衰期。剩下

2560 \times (\frac{1}{2})^{12} = \frac{2560}{4096} = \frac{5}{8}

克。

2560 = 5 \times 2^{9}

，除以

2^{12}

剩

\frac{5}{2 ^{3}}

。

第 18 題設新竹關刀山地震的能量為

E_{1}

、臺南白河地震為

E_{2}

。

lo g E_{1} = 11.8 + 1.5 \times 7.3 = 22.75

，

lo g E_{2} = 11.8 + 1.5 \times 6.5 = 21.55

。所以

\frac{E _{1}}{E _{2}} = \frac{1 0 ^{22.75}}{1 0 ^{21.55}} = 1 0^{1.2} = 10 \times 1 0^{0.2} \approx 15.85

，四捨五入為

16

倍。

06計算 19：分段討論

第 19 題以

x = - 2

、

x = 1

分三段。①

x < - 2

：

- (x + 2) + 2 (x - 1) = x - 4 \geq - 6

，得

x \geq - 2

，與

x < - 2

沒有交集。②

- 2 \leq x < 1

：

(x + 2) + 2 (x - 1) = 3 x \geq - 6

，得

x \geq - 2

，這一段全部成立。③

x \geq 1

：

(x + 2) - 2 (x - 1) = 4 - x \geq - 6

，得

x \leq 10

，即

1 \leq x \leq 10

。合併得

- 2 \leq x \leq 10

。

流傳版本的參考答案寫

- 2 \leq x \leq 2

，但照卷面題幹代

x = 5

得

7 - 8 = - 1 \geq - 6

成立，本站重算為

- 2 \leq x \leq 10

。若題幹是

∣ x + 2∣ + 2∣ x - 1∣ \leq 6

，解才會是

- 2 \leq x \leq 2

。

絕對值不等式分段時，每一段解出來的範圍都要和那一段的前提取交集，最後再合併。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

內湖高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

內湖高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自內湖高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

內湖高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～3：斜率的大小、分點、有理數與無理數

02多選 4～6：科學記號與對數、絕對值、直線

03填充 7～10：指數律、平移、絕對值不等式、雙重根號

04填充 11～15：位數、指數連等、乘法公式、中垂線

05填充 16～18：算幾不等式、半衰期、地震能量

06計算 19：分段討論

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

內湖高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

內湖高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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03填充 7～10：指數律、平移、絕對值不等式、雙重根號

04填充 11～15：位數、指數連等、乘法公式、中垂線

05填充 16～18：算幾不等式、半衰期、地震能量

06計算 19：分段討論

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內湖高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

內湖高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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內湖高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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