段考詳解範圍：數與式、指數與對數（實數與循環小數、根式與乘法公式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

臺東高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

填充題 16 格（依答對格數給分，滿分 75 分）、多選題 3 題（15 分）、計算題 2 題（10 分）

一、填充題(配分如表)　答對格數 1～16 格依序得 10、18、24、30、35、40、45、50、54、58、62、65、68、71、73、75 分。（本頁第 15、16 題依序為原卷填充第 15 題的 (1)、(2)）

將小數化為最簡分數

2. \overline{37} =

____。

化簡

54 - 24 + 2150 =

____。

求

(2^{2} \times 3^{2})^{22} =

____。

求

lo g 0.1 + lo g 1 + lo g 10 =

____。

若對某數連續取

2

次常用對數後等於

2

，則此數是 ____ 位數。

解不等式

∣ x - 1∣ < 3

，____。

將

\frac{7}{13}

化為小數後，小數點後第

90

位數字為 ____。

若

a^{- 3} = 4

，試問

a

的多少次方是

0.125

？ ____。

在

1

、

2

、

3

、

\dots

、

999

這

999

個實數中共有 ____ 個無理數。

若

1 6^{x} = 2 7^{y} = 3 6^{z}

且

\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = \frac{k}{z}

，求

k =

____。

若

1 6^{x} = 3 - 2

，則

\frac{6 4 ^{x} + 6 4 ^{- x}}{4 ^{x} + 4 ^{- x}} =

____。

有一個最簡分數，其分母與分子之和為

20

，若將此分數化為小數，並將第三位小數四捨五入得

0.54

一數，則此分數為 ____。

世界衛生組織規範男性標準體重的公式為：標準體重（kg）

=

（身高（cm）

- 80

）

\times 0.7

。若已知標準體重增減

10%

為正常體重的範圍，已知一位身高為

180

的男性體重為

x

公斤，其正常體重的範圍恰可表成

∣ x - a ∣ \leq b

，求數對

(a, b)

的值為 ____。

如下圖，在河邊欲用圍籬圍出四間全等的矩形牧場，靠河的一邊不須圍圍籬，若圍籬共長

120

公尺，則此四間牧場的最大面積為 ____ 平方公尺。

載入中...

原卷填充第 15 題（第 15～16 題）　本題分 (1)、(2) 兩格，各算一格。

(1) 化簡

\frac{x ^{3} - 1}{( x + 1 ) ^{3} + 1} = \frac{x - a}{b x + c}

，則

a + b + c =

____。

(2) 化簡

\frac{2 ^{3} - 1}{2 ^{3} + 1} \times \frac{3 ^{3} - 1}{3 ^{3} + 1} \times \frac{4 ^{3} - 1}{4 ^{3} + 1} \times \frac{5 ^{3} - 1}{5 ^{3} + 1} \times \frac{6 ^{3} - 1}{6 ^{3} + 1} \times \frac{7 ^{3} - 1}{7 ^{3} + 1} \times \frac{8 ^{3} - 1}{8 ^{3} + 1} \times \frac{9 ^{3} - 1}{9 ^{3} + 1} \times \frac{1 0 ^{3} - 1}{1 0 ^{3} + 1} =

____。

二、多選題(完全答對得 5 分，答錯一個選項得 3 分，答錯兩個選項得 1 分，答錯三個或三個以上選項不給分，共 15 分)（本頁第 17～19 題依序為原卷多選第 1～3 題）

下列哪些有理數可以化為有限小數？

(A) $\frac{97}{4}$
(B) $\frac{17}{6}$
(C) $\frac{35}{56}$
(D) $\frac{143}{220}$
(E) $\frac{154}{49}$

設

a

是不為

0

的實數，

m

、

n

為正整數，則下列哪些選項是正確的？

(A) $a^{0} = 1$
(B) $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$
(C) $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$
(D) $a^{\frac{1}{n}} = n a$
(E) $(a^{m})^{n} = a^{mn}$

設

a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 23

，則下列哪些選項是正確的？

(A) $a + a^{- 1} = 14$
(B) $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = \pm 4$
(C) $a^{\frac{3}{2}} + a^{- \frac{3}{2}} = \pm 52$
(D) $a = 7 \pm 43$
(E) $a^{\frac{1}{2}} = 2 + 3$

三、計算題(每題 5 分，共 10 分)(需列出計算過程)（本頁第 20～21 題依序為原卷計算第 1～2 題）

已知

1 \leq n \leq 100

，

n

是正整數，則有 ____ 個

n

滿足

9 + 2 n - 72 n

為整數。

烏薩奇、吉伊、小八三位住在同一條數線上，其坐標為吉伊

(- 2)

、小八

(4)

、烏薩奇

(n)

，烏薩奇在選擇住家的位置時，希望住在到小八家距離的

2

倍加上到吉伊家的距離不超過

15

的位置，求烏薩奇選擇住家的位置為何？（求

n

的範圍）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

\frac{235}{99}

（即

2 \frac{37}{99}

）

第 2 題

116

第 3 題

1296

第 4 題

0

第 5 題

101

第 6 題

- 2 < x < 4

第 7 題

1

第 8 題

\frac{9}{2}

第 9 題

968

第 10 題

6

第 11 題

23 - 1

第 12 題

\frac{7}{13}

第 13 題

(70, 7)

第 14 題

720

第 15 題

4

第 16 題

\frac{37}{55}

第 17 題(A)(C)(D)

第 18 題(A)(B)(C)(E)

第 19 題(A)(E)

第 20 題

7

個（

n = 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98

）

第 21 題

- 3 \leq n \leq 7

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01填充 1～6：循環小數、根式、指數律、常用對數、絕對值不等式

第 1 題設

t = 0. \overline{37}

，則

100 t = 37. \overline{37}

，相減得

99 t = 37

，

t = \frac{37}{99}

。所以

2. \overline{37} = 2 + \frac{37}{99} = \frac{198 + 37}{99} = \frac{235}{99}

。

235 = 5 \times 47

、

99 = 3^{2} \times 11

，沒有共同的質因數，已經是最簡分數。

原卷參考答案寫成帶分數

2 \frac{37}{99}

，和

\frac{235}{99}

是同一個數。

第 2 題把每個根號裡的平方數提出來：

54 = 9 \times 6 = 36

，

24 = 4 \times 6 = 26

，

150 = 25 \times 6 = 56

。原式

= 36 - 26 + 2 \times 56 = 116

。

第 3 題括號內兩數的指數相同，先合併底數：

2^{2} \times 3^{2} = (2 \times 3)^{2} = 6^{2}

。再用

(a^{r})^{s} = a^{r s}

：

(6^{2})^{22} = 6^{2 \times 22} = 6^{4} = 1296

。

指數相乘時

2 \times 22 = 2 \times 2 = 4

，無理數指數剛好消掉。

第 4 題

0.1 = 1 0^{- 1}

，所以

lo g 0.1 = - 1

；

1 = 1 0^{0}

，所以

lo g 1 = 0

；

10 = 1 0^{1}

，所以

lo g 10 = 1

。相加得

- 1 + 0 + 1 = 0

。

第 5 題設此數為

N

，條件是

lo g (lo g N) = 2

。由外往內拆：

lo g N = 1 0^{2} = 100

，所以

N = 1 0^{100}

。

1 0^{100}

是

1

後面接

100

個

0

，共

101

位數。

1 0^{n}

是

n + 1

位數（例如

1 0^{2} = 100

是

3

位數），不是

n

位數。

第 6 題

∣ x - 1∣ < 3

表示

x

到

1

的距離小於

3

，也就是

- 3 < x - 1 < 3

。三邊同加

1

，得

- 2 < x < 4

。

lo g

的題目先把真數寫成

10

的次方；

∣ x - c ∣ < r

就是「以

c

為中心、往左右各走不到

r

」。

02填充 7～10：循環節、分數指數、無理數的個數、連等的指數式

第 7 題直式除法得

\frac{7}{13} = 0.538461538461 \dots = 0. \overline{538461}

，循環節是

538461

六個數字。

90 = 6 \times 15

，剛好走完

15

個循環節，所以第

90

位是循環節的最後一個數字

1

。

餘數整除時對應的是循環節的最後一位，不是第一位。

第 8 題

a^{- 3} = 4

即

a^{3} = \frac{1}{4} = 2^{- 2}

，所以

a = 2^{- \frac{2}{3}}

。又

0.125 = \frac{1}{8} = 2^{- 3}

。設

a^{k} = 0.125

，則

2^{- \frac{2}{3} k} = 2^{- 3}

，比較指數得

\frac{2}{3} k = 3

，

k = \frac{9}{2}

。驗算：

a^{\frac{9}{2}} = (a^{3})^{\frac{3}{2}} = (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}} = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

。

第 9 題

k

（

k

為正整數）是有理數的情形只有

k

為完全平方數。

3 1^{2} = 961 \leq 999

，

3 2^{2} = 1024 > 999

，所以

1

到

999

之間的完全平方數是

1^{2}, 2^{2}, \dots, 3 1^{2}

，共

31

個。無理數有

999 - 31 = 968

個。

第 10 題設

1 6^{x} = 2 7^{y} = 3 6^{z} = t

。式子裡

x

、

y

、

z

在分母，都不是

0

，所以

t > 0

且

t \neq = 1

。由

1 6^{x} = t

得

2^{4} = t^{\frac{1}{x}}

，兩邊取

3

次方：

2^{12} = t^{\frac{3}{x}}

。由

2 7^{y} = t

得

3^{3} = t^{\frac{1}{y}}

，兩邊取

4

次方：

3^{12} = t^{\frac{4}{y}}

。兩式相乘：

6^{12} = t^{\frac{3}{x} + \frac{4}{y}}

。另一方面

3 6^{z} = t

得

6^{2} = t^{\frac{1}{z}}

，兩邊取

6

次方：

6^{12} = t^{\frac{6}{z}}

。所以

t^{\frac{3}{x} + \frac{4}{y}} = t^{\frac{6}{z}}

，因為

t \neq = 1

，指數相等：

\frac{3}{x} + \frac{4}{y} = \frac{6}{z}

，

k = 6

。

係數

3

和

4

是配好的：

16 = 2^{4}

要取

3

次方、

27 = 3^{3}

要取

4

次方，兩邊才都變成

12

次方，可以合併成

6^{12}

。

連等的指數式先設成同一個數

t

，把每個底數都寫成

t

的次方，再用底數之間的乘法關係（這裡是

2 \times 3 = 6

）把指數串起來。

03填充 11～14：指數式求值、四捨五入、絕對值的應用、算幾不等式

第 11 題設

t = 4^{x}

，則

6 4^{x} = t^{3}

、

1 6^{x} = t^{2}

。用立方和公式：

t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1}) (t^{2} - 1 + t^{- 2})

，所以原式

= t^{2} - 1 + t^{- 2} = 1 6^{x} - 1 + 1 6^{- x}

。

1 6^{- x} = \frac{1}{3 - 2} = \frac{3 + 2}{3 - 2} = 3 + 2

。代入得

(3 - 2) - 1 + (3 + 2) = 23 - 1

。

不用解出

x

：分子分母都看成

4^{x}

的式子，約分之後只剩

1 6^{x}

和它的倒數。

第 12 題設分子為

p

，分母為

20 - p

。四捨五入到小數第二位得

0.54

，表示

0.535 \leq \frac{p}{20 - p} < 0.545

。左半：

p \geq 0.535 (20 - p)

，

1.535 p \geq 10.7

，

p \geq 6.97 \dots

；右半：

p < 0.545 (20 - p)

，

1.545 p < 10.9

，

p < 7.05 \dots

。

p

是正整數，只有

p = 7

，分數是

\frac{7}{13}

。驗算：

\frac{7}{13} = 0.538 \dots

，四捨五入得

0.54

；

7

和

13

互質，是最簡分數。

第 13 題身高

180

的標準體重是

(180 - 80) \times 0.7 = 70

公斤。增減

10%

是

70 \times 0.1 = 7

公斤，所以正常體重的範圍是

70 - 7 \leq x \leq 70 + 7

，即

63 \leq x \leq 77

。中心是

70

、往兩邊各

7

，寫成

∣ x - 70∣ \leq 7

，所以

(a, b) = (70, 7)

。

第 14 題設每一道垂直河岸的圍籬長

x

公尺，平行河岸的那一道長

y

公尺（

x > 0

，

y > 0

）。四間牧場並排，垂直河岸的圍籬有

5

道，所以

5 x + y = 120

，四間牧場合起來的面積是

x y

。由算幾不等式

\frac{5 x + y}{2} \geq 5 x \cdot y

，即

60 \geq 5 x y

，兩邊平方得

3600 \geq 5 x y

，

x y \leq 720

。等號在

5 x = y = 60

，也就是

x = 12

、

y = 60

時成立，所以最大面積是

720

平方公尺。

四間並排時隔間有

3

道，加上兩側共

5

道垂直的圍籬，不是

4

道。也可以用配方法檢查：

x y = x (120 - 5 x) = - 5 (x - 12)^{2} + 720

，最大值同樣是

720

。

用算幾不等式求乘積的最大值時，要把「和為定值」的那兩項（這裡是

5 x

和

y

）當成兩個數，等號成立時兩項相等。

04填充 15：立方和、立方差公式與連乘相消

第 15 題(1) 分子用立方差公式：

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

。分母用立方和公式：

(x + 1)^{3} + 1 = [(x + 1) + 1] [(x + 1)^{2} - (x + 1) + 1] = (x + 2) (x^{2} + x + 1)

。

x^{2} + x + 1

恆為正，可以約掉，得

\frac{x - 1}{x + 2}

。對照

\frac{x - a}{b x + c}

：

a = 1

、

b = 1

、

c = 2

，

a + b + c = 4

。

第 16 題(2) 把 (1) 的結果寫成

\frac{k ^{3} - 1}{( k + 1 ) ^{3} + 1} = \frac{k - 1}{k + 2}

，它配的是「第

k

項的分子」和「第

k + 1

項的分母」。所以把九個分母各往前挪一項重新配對：原式

= \frac{1 0 ^{3} - 1}{2 ^{3} + 1} \times \frac{2 ^{3} - 1}{3 ^{3} + 1} \times \frac{3 ^{3} - 1}{4 ^{3} + 1} \times \dots \times \frac{9 ^{3} - 1}{1 0 ^{3} + 1}

。第一個分數是

\frac{999}{9} = 111

；後面八個分數依序是

k = 2, 3, \dots, 9

的

\frac{k - 1}{k + 2}

，乘起來是

\frac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8}{4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \times 11} = \frac{1 \times 2 \times 3}{9 \times 10 \times 11} = \frac{6}{990} = \frac{1}{165}

。所以原式

= \frac{111}{165} = \frac{37}{55}

。

(1) 的分母是

(x + 1)^{3} + 1

而不是

x^{3} + 1

，這就是提示：分子要和「下一項」的分母配對，配剩的是最後一項的分子

1 0^{3} - 1

和第一項的分母

2^{3} + 1

。

05多選 1～3（第 17～19 題）：有限小數、指數律、分數指數的對稱式

第 17 題答案 (A)(C)(D)。先約成最簡分數，分母的質因數只有

2

或

5

時才能化成有限小數。(A)

\frac{97}{4}

，分母

2^{2}

，可以（

24.25

）。(B)

\frac{17}{6}

，分母含

3

，不行。(C)

\frac{35}{56} = \frac{5}{8}

，分母

2^{3}

，可以（

0.625

）。(D)

\frac{143}{220} = \frac{11 \times 13}{11 \times 20} = \frac{13}{20}

，分母

2^{2} \times 5

，可以（

0.65

）。(E)

\frac{154}{49} = \frac{22}{7}

，分母含

7

，不行。

要先約分再看分母：(C) 的

56

含

7

、(D) 的

220

含

11

，約分之後都消掉了。

第 18 題答案 (A)(B)(C)(E)。(A)(B) 是

a \neq = 0

時零指數與負整數指數的定義，正確。(C)(E) 是整數指數的指數律，

a

為任何不為

0

的實數都成立，正確。(D) 分數指數

a^{\frac{1}{n}}

只對

a > 0

定義；題目的

a

可以是負數，例如

a = - 4

、

n = 2

時

- 4

不是實數，所以 (D) 不是對所有題設的

a

都成立，不選。

整數指數的底數只要不是

0

；分數指數的底數必須是正數。本題差別就在 (D)。

第 19 題答案 (A)(E)。設

t = a^{\frac{1}{2}}

，則

t > 0

，條件是

t - \frac{1}{t} = 23

。(A) 對：兩邊平方，

t^{2} - 2 + \frac{1}{t ^{2}} = 12

，所以

a + a^{- 1} = 14

。(B) 錯：

(t + \frac{1}{t})^{2} = a + 2 + a^{- 1} = 16

，而

t > 0

使

t + \frac{1}{t} > 0

，只能是

4

，不會是

- 4

。(C) 錯：

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = (t + \frac{1}{t})^{3} - 3 (t + \frac{1}{t}) = 64 - 12 = 52

，只有正的。(E) 對：把

t + \frac{1}{t} = 4

和

t - \frac{1}{t} = 23

相加，

2 t = 4 + 23

，

t = 2 + 3

。(D) 錯：

a = t^{2} = (2 + 3)^{2} = 7 + 43

，只有這一個值；若

a = 7 - 43

，則

a^{\frac{1}{2}} = 2 - 3

、

a^{- \frac{1}{2}} = 2 + 3

，相減是

- 23

，不合條件。

(B)(C)(D) 都是把「

\pm

」多寫了一個。

a^{\frac{1}{2}}

一定是正數，所以和一定是正的；已知的差是正的，又排除了

a = 7 - 43

。

06計算 1～2（第 20～21 題）：雙重根號、含兩個絕對值的不等式

第 20 題

72 n = 2 18 n

，所以根號內是

9 + 2 n - 2 9 \times 2 n

。兩數

9

和

2 n

的和是

9 + 2 n

、積是

18 n

，因此

9 + 2 n - 2 18 n = (3 - 2 n)^{2}

，原式

= 3 - 2 n

。

3

是整數，所以原式為整數等於

2 n

為整數，即

2 n

是完全平方數。

2 n

是偶數，設

2 n = (2 k)^{2}

（

k

為正整數），得

n = 2 k^{2}

。

1 \leq 2 k^{2} \leq 100

即

k^{2} \leq 50

，

k = 1, 2, \dots, 7

，對應

n = 2, 8, 18, 32, 50, 72, 98

，共

7

個。這時原式的值依序是

1, 1, 3, 5, 7, 9, 11

。

原卷題幹印作「已

1 \leq n \leq 100

知，

n

是正整數」，字序錯置，應為「已知

1 \leq n \leq 100

，

n

是正整數」。另外

2 n

可能比

3

大，開根號要寫成絕對值

3 - 2 n

。

第 21 題烏薩奇到小八家的距離是

∣ n - 4∣

，到吉伊家的距離是

∣ n + 2∣

，條件是

2∣ n - 4∣ + ∣ n + 2∣ \leq 15

。依

- 2

和

4

把數線分三段。①

n < - 2

：

2 (4 - n) - (n + 2) \leq 15

，

6 - 3 n \leq 15

，

n \geq - 3

，得

- 3 \leq n < - 2

。②

- 2 \leq n \leq 4

：

2 (4 - n) + (n + 2) \leq 15

，

10 - n \leq 15

，

n \geq - 5

，這一段全部成立，得

- 2 \leq n \leq 4

。③

n > 4

：

2 (n - 4) + (n + 2) \leq 15

，

3 n - 6 \leq 15

，

n \leq 7

，得

4 < n \leq 7

。三段合起來：

- 3 \leq n \leq 7

。

驗算兩個端點：

n = - 3

時

2 \times 7 + 1 = 15

；

n = 7

時

2 \times 3 + 9 = 15

，都剛好等於

15

。「不超過」含等號，所以端點要算進去。

含兩個絕對值的不等式，以絕對值裡面等於

0

的點為界分段，每一段去掉絕對值後解出來，還要和該段的範圍取交集，最後再合併。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

臺東高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺東高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 10 題要把三個連等的指數式設成同一個數，再把底數湊成 6 的 12 次方；填充第 15 題第 (2) 格要用第 (1) 格的結果把分子和下一項的分母配對相消；多選第 3 題（本頁第 19 題）三個帶正負號的選項都要用二分之一次方一定是正數來排除；計算第 1 題（本頁第 20 題）要先把雙重根號化成絕對值，再數 2n 是完全平方數的個數。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自臺東高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺東高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 21 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01填充 1～6：循環小數、根式、指數律、常用對數、絕對值不等式

02填充 7～10：循環節、分數指數、無理數的個數、連等的指數式

03填充 11～14：指數式求值、四捨五入、絕對值的應用、算幾不等式

04填充 15：立方和、立方差公式與連乘相消

05多選 1～3（第 17～19 題）：有限小數、指數律、分數指數的對稱式

06計算 1～2（第 20～21 題）：雙重根號、含兩個絕對值的不等式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

臺東高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

臺東高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

臺東高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

臺東高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

臺東高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？