段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

政大附中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 政大附中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 政大附中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要用算幾不等式先找出 p 乘 q 的上限再檢查選項；第 12 題算出的最小值不是整數，題目問的是能取到的最小整數；第 13 題有兩個絕對值，要分三段討論並且每段都和前提取共同部分；第 14 題要用立方差約分，答案有正負兩個。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 3 題（24 分）、填充題 10 題（50 分）、計算題 1 題（6 分）

一、單選題（占 20 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題 5 分。

設

a = 39

，

b = (\frac{1}{3})^{- \frac{5}{6}}

，

c = 4 (\frac{1}{3})^{- 3}

，則

a

、

b

、

c

大小順序為何？

(1) $a > b > c$
(2) $c > b > a$
(3) $c > a > b$
(4) $b > a > c$
(5) $b > c > a$

已知一不等式的解如圖塗色區域（含端點），試問下列哪一個選項為該不等式？

(1) $∣ x - 3∣ < 2$
(2) $∣ x - 3∣ > 2$
(3) $∣ x - 3∣ \geq 2$
(4) $∣ x - 3∣ \leq 2$
(5) $∣ x - 3∣ > 3$

載入中...

設

x

、

y

、

z

均為正整數，且

6^{x} \times 8^{y} \times 9^{z} = 2^{8} \times 3^{7}

，則

x + 2 y + z

的值為何？

(1) $5$
(2) $6$
(3) $7$
(4) $8$
(5) $9$

設

p

、

q

、

x

、

y

為正實數，滿足

p x + q y = 50

，與

x y = 23

，請問數對

(p, q)

可能是下列哪一個選項？

(1) $(3, 7)$
(2) $(4, 7)$
(3) $(5, 7)$
(4) $(6, 7)$
(5) $(7, 7)$

二、多選題（占 24 分）說明：第 5 題至第 7 題，每題 8 分。（8－5－2－0）

若

- 2 < lo g a < - 1

，則下列哪些可能為

a

之值？

(1) $0.1$
(2) $0.2$
(3) $0.03$
(4) $0.04$
(5) $0.09$

若

15 + 176

的整數部分為

a

，小數部分為

b

。請選出正確的選項。

(1) $a = 2$
(2) $b = - 3 + 11$
(3) $ab = - 6 + 211$
(4) $\frac{1}{b} = \frac{11}{11}$
(5) $\frac{2 a - b - 3}{a + b - 2} = \frac{- 11 + 10 11}{11}$

請問下列哪些敘述是正確？

(1) $1.9 < 1. \overline{9} < 2$
(2) 給定長度為 $1$ 的線段，可用作圖做出長度為 $7$ 的線段
(3) 循環小數 $2. \overline{34}$ 無法用尺規在數線上精準作圖
(4) 兩個相異無理數之間，有無限多個有理數和無限多個無理數
(5) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，則 $a + b$ 必為無理數

三、填充題（占 50 分）說明：第 8 題至第 17 題，每題 5 分。

化成最簡分數：

3.2 \overline{5} + 4. \overline{3} - 11 \times (0. \overline{27}) =

____。

滿足絕對值不等式

∣ a x + 4∣ \leq b

的解為

2 \leq x \leq 14

，則

a + b =

____。

已知

lo g a = - 4.321

，

lo g b = - 7.89

，

lo g c = - 13.711

，則

\frac{ab}{c} =

____。

數線上

A

點代表

1 0^{7}

，

B

點代表

1 0^{9}

，

P

點在

\overline{A B}

上且

3 \overline{P A} = 2 \overline{P B}

。若

P

點在數線上代表的數以科學記號表示為

k \times 1 0^{n}

，則數對

(k, n) =

____。

設

a

、

b

為正實數，滿足

ab = 50

，請問

3 a + 2 b

的最小整數值為何？

試解不等式

2∣ x + 1∣ - ∣2 x - 3∣ > x + 2

得

x

的範圍為 ____。

設

\frac{3 ^{3 x} - 3 ^{- 3 x}}{3 ^{x} - 3 ^{- x}} = \frac{13}{3}

，試求

x =

____。

已知有理數

x

，

y

滿足

x + y 17 - 122 = x 34 + 3128 + 15

，則

x^{2} + y^{2} =

____。

某種傳染病的感染率定義為：感染率

y = \frac{1}{1 + a \times 7 ^{- b t}}

，其中

t

表時間（週），

a

，

b

為常數。若此種傳染病在某城市蔓延，已知剛開始（即

t = 0

）時，有

2%

的人口被傳染；而經過

3

週後（即

t = 3

）有

12.5%

的人口被傳染。則 ____ 週後，該城市的人口被傳染過該傳染病的比例達

87.5%

。

設

lo g (lo g A) = 4

，則

A

為 ____ 位數。

四、計算題（占 6 分）說明：第 18 題，每個答案 2 分。

工匠接受委託，要製作一個掛在牆壁上的長方形公佈欄，用木板裁切，外圍用四片鋁片包框。買主未限制左右的寬度與上下的高度，只要求公布欄的面積為

700

平方吋，且公布欄下緣要置物，故下緣鋁片的寬度設計為

5

吋，左、右及上緣鋁片的寬度設計為

2

吋，如圖。因鋁片價格昂貴，故工匠希望裁切的鋁片面積愈少愈好，以降低製作成本，請問他應該如何設計這個公布欄的寬度（

x

吋）與高度（

y

吋），才能使裁切的鋁片有最小面積？此最小面積為何？

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(3)

第 3 題(4)

第 4 題(1)

第 5 題(3)(4)(5)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(2)(4)(5)

第 8 題

\frac{413}{90}

第 9 題

\frac{5}{2}

第 10 題

1010

第 11 題

(4.06, 8)

第 12 題

35

第 13 題

x < - 7

或

1 < x < 3

第 14 題

\pm \frac{1}{2}

第 15 題

13

第 16 題

9

第 17 題

10001

第 18 題

x = 20

，

y = 35

；最小面積

280

平方吋

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：指數比大小、絕對值不等式、指數律與算幾不等式

第 1 題答案 (5)。全部化成

3

的次方：

a = 3 3^{2} = 3^{\frac{2}{3}}

；

b = (3^{- 1})^{- \frac{5}{6}} = 3^{\frac{5}{6}}

；

c = ((3^{- 1})^{- 3})^{\frac{1}{4}} = (3^{3})^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{3}{4}}

。通分比指數：

\frac{2}{3} = \frac{8}{12}

、

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}

、

\frac{3}{4} = \frac{9}{12}

。底數

3 > 1

，指數越大值越大，所以

b > c > a

。

\frac{1}{3} = 3^{- 1}

，負指數再取負次方會變成正的。

第 2 題答案 (3)。塗色區域是

x \leq 1

或

x \geq 5

。

1

和

5

的中點是

3

，兩個端點到

3

的距離都是

2

，所以解是「

x

到

3

的距離大於或等於

2

」，也就是

∣ x - 3∣ \geq 2

。

含端點要用

\geq

；(2) 的

>

不含

1

和

5

。

第 3 題答案 (4)。左邊

= (2 \cdot 3)^{x} \times (2^{3})^{y} \times (3^{2})^{z} = 2^{x + 3 y} \times 3^{x + 2 z}

。和右邊比較

2

與

3

的次方：

x + 3 y = 8

，

x + 2 z = 7

。

y

是正整數，由第一式

y = 1

時

x = 5

，

y = 2

時

x = 2

。

x = 5

代入第二式得

z = 1

；

x = 2

代入得

z = \frac{5}{2}

不是整數。所以

(x, y, z) = (5, 1, 1)

，

x + 2 y + z = 5 + 2 + 1 = 8

。

y = 2

那一組也要代進第二式檢查，確認只有一組解。

第 4 題答案 (1)。

p x

和

q y

都是正數，由算幾不等式

\frac{p x + q y}{2} \geq p x \cdot q y

，即

25 \geq 23 pq

，兩邊平方得

pq \leq \frac{625}{23} \approx 27.2

。五個選項的

pq

依序是

21

、

28

、

35

、

42

、

49

，只有 (1) 不超過

27.2

。檢查 (1) 真的做得到：

y = \frac{23}{x}

代入

3 x + 7 y = 50

得

3 x^{2} - 50 x + 161 = 0

，判別式

2500 - 1932 = 568 > 0

，兩根的和

\frac{50}{3}

、積

\frac{161}{3}

都是正的，所以有正數解。

算幾不等式給的是

pq

的上限；

pq

超過上限的選項，找不到滿足條件的正數

x

、

y

。

02多選 5～7：log 的範圍、雙重根號、實數的性質

第 5 題答案 (3)(4)(5)。

lo g a

是「

a

等於

10

的幾次方」，

- 2 < lo g a < - 1

表示

1 0^{- 2} < a < 1 0^{- 1}

，也就是

0.01 < a < 0.1

。(1)

0.1

剛好等於右端點，不在範圍內。(2)

0.2 > 0.1

，不在。(3)

0.03

、(4)

0.04

、(5)

0.09

都介於

0.01

和

0.1

之間。

兩邊都是嚴格的

<

，

a = 0.1

時

lo g a = - 1

，不合。

第 6 題答案 (2)(5)。

176 = 244

，所以

15 + 176 = 15 + 244

，找兩數和

15

、積

44

：

11

和

4

，原式

= 11 + 4 = 11 + 2

。

3 < 11 < 4

，所以

5 < 11 + 2 < 6

，整數部分

a = 5

，小數部分

b = 11 + 2 - 5 = 11 - 3

。(1) 錯：

a = 5

。(2) 對。(3) 錯：

ab = 511 - 15

。(4) 錯：

\frac{1}{b} = \frac{1}{11 - 3} = \frac{11 + 3}{11 - 9} = \frac{11 + 3}{2}

。(5) 對：分子

2 a - b - 3 = 10 - (11 - 3) - 3 = 10 - 11

，分母

a + b - 2 = 11

，相除並有理化得

\frac{( 10 - 11 ) 11}{11} = \frac{10 11 - 11}{11}

。

a + b

就是原數

11 + 2

，(5) 的分母可以直接寫成

11

。

第 7 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：

1. \overline{9} = 1 + 0. \overline{9} = 1 + \frac{9}{9} = 2

，不小於

2

。(2) 對：作一個斜邊長

4

、一股長

3

的直角三角形，另一股長

4^{2} - 3^{2} = 7

。(3) 錯：

2. \overline{34} = 2 + \frac{34}{99} = \frac{232}{99}

是有理數，把單位長用平行線等分成

99

份就能在數線上作出。(4) 對：任意兩個相異實數之間都有無限多個有理數，也有無限多個無理數。(5) 對：若

a + b = r

是有理數，則

b = r - a

是有理數，矛盾。

(1) 的

0. \overline{9}

化成分數是

\frac{9}{9} = 1

，所以

1. \overline{9}

和

2

是同一個數。

03填充 8～12：循環小數、絕對值、對數與算幾不等式

第 8 題

3.2 \overline{5} = 3.2 + 0.0 \overline{5} = \frac{32}{10} + \frac{5}{90} = \frac{288 + 5}{90} = \frac{293}{90}

；

4. \overline{3} = 4 + \frac{3}{9} = \frac{13}{3} = \frac{390}{90}

；

0. \overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}

，乘以

11

得

3 = \frac{270}{90}

。合計

\frac{293 + 390 - 270}{90} = \frac{413}{90}

。

413 = 7 \times 59

，和

90

沒有公因數，已是最簡分數。

3.2 \overline{5}

只有

5

在循環，

0.0 \overline{5} = \frac{5}{90}

，不是

\frac{25}{99}

。

第 9 題

2 \leq x \leq 14

的中點是

8

、半徑是

6

，所以解等於

∣ x - 8∣ \leq 6

。要讓常數項變成

+ 4

，兩邊同乘以

\frac{1}{2}

：

\frac{1}{2} x - 4 \leq 3

，也就是

- \frac{1}{2} x + 4 \leq 3

。和

∣ a x + 4∣ \leq b

對照得

a = - \frac{1}{2}

、

b = 3

，

a + b = \frac{5}{2}

。

\frac{1}{2} x - 4

和

- \frac{1}{2} x + 4

相等，要配合題目的「

+ 4

」選後者，

a

是負的。

第 10 題由

lo g

的意義，

a = 1 0^{- 4.321}

、

b = 1 0^{- 7.89}

、

c = 1 0^{- 13.711}

。

\frac{ab}{c} = 1 0^{- 4.321 - 7.89 - (- 13.711)} = 1 0^{1.5} = 10 \times 1 0^{0.5} = 1010

。

指數的計算：

- 4.321 - 7.89 = - 12.211

，再加

13.711

得

1.5

。

第 11 題

3 \overline{P A} = 2 \overline{P B}

表示

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 3

，

P

在

\overline{A B}

上，由分點公式

P = \frac{3 \times 1 0 ^{7} + 2 \times 1 0 ^{9}}{2 + 3}

。把

1 0^{9}

寫成

100 \times 1 0^{7}

：分子

= (3 + 200) \times 1 0^{7} = 203 \times 1 0^{7}

，除以

5

得

40.6 \times 1 0^{7} = 4.06 \times 1 0^{8}

。所以

(k, n) = (4.06, 8)

。

科學記號的

k

要滿足

1 \leq k < 10

，

40.6 \times 1 0^{7}

還要再調成

4.06 \times 1 0^{8}

。

第 12 題

3 a

、

2 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{3 a + 2 b}{2} \geq 3 a \cdot 2 b = 6 \times 50 = 300 = 103

，所以

3 a + 2 b \geq 203

，等號在

3 a = 2 b

時成立。

203 = 1200

，而

3 4^{2} = 1156 < 1200 < 1225 = 3 5^{2}

，所以

34 < 203 < 35

。而

35

取得到：

a = 5

、

b = 10

時

ab = 50

且

3 a + 2 b = 15 + 20 = 35

。所以最小的整數值是

35

。

最小值

203 \approx 34.64

不是整數，題目問的是能取到的最小「整數」。

由解回推絕對值不等式的係數：先寫成「到中點的距離」的形式，再整個乘上一個數去配合題目指定的常數項。

04填充 13～15：分段討論、指數方程式、雙重根號

第 13 題絕對值裡面變號的位置是

x = - 1

和

x = \frac{3}{2}

，分三段。①

x < - 1

：左邊

= - 2 (x + 1) + (2 x - 3) = - 5

，不等式變成

- 5 > x + 2

，

x < - 7

，和

x < - 1

取共同部分得

x < - 7

。②

- 1 \leq x < \frac{3}{2}

：左邊

= 2 (x + 1) + (2 x - 3) = 4 x - 1

，

4 x - 1 > x + 2

得

x > 1

，共同部分

1 < x < \frac{3}{2}

。③

x \geq \frac{3}{2}

：左邊

= 2 (x + 1) - (2 x - 3) = 5

，

5 > x + 2

得

x < 3

，共同部分

\frac{3}{2} \leq x < 3

。②③ 合起來是

1 < x < 3

，所以解為

x < - 7

或

1 < x < 3

。

每一段解出來的範圍都要和該段的前提取共同部分；最後 ② 和 ③ 在

x = \frac{3}{2}

接起來。

第 14 題令

t = 3^{x}

（

t > 0

）。分子

t^{3} - t^{- 3} = (t - t^{- 1}) (t^{2} + 1 + t^{- 2})

，分母

t - t^{- 1}

不能是

0

（即

x \neq = 0

），約分後得

t^{2} + 1 + t^{- 2} = \frac{13}{3}

，

t^{2} + t^{- 2} = \frac{10}{3}

。令

u = t^{2} = 9^{x}

：

u + \frac{1}{u} = \frac{10}{3}

，

3 u^{2} - 10 u + 3 = 0

，

(3 u - 1) (u - 3) = 0

，

u = 3

或

\frac{1}{3}

。

9^{x} = 3

得

x = \frac{1}{2}

；

9^{x} = \frac{1}{3}

得

x = - \frac{1}{2}

。兩個都不是

0

，都合。

立方差

A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})

，這裡

A B = t \cdot t^{- 1} = 1

。

第 15 題先化簡兩個雙重根號。

17 - 122 = 17 - 272

，和

17

、積

72

的兩數是

9

和

8

，所以

17 - 122 = 3 - 22

。

3128 = 242 = 2288

，和

34

、積

288

的兩數是

18

和

16

，所以

34 + 3128 = 18 + 16 = 32 + 4

。原式變成

x + y (3 - 22) = x (4 + 32) + 15

。

x

、

y

是有理數，比較有理數部分和

2

的係數：

x + 3 y = 4 x + 15

，

- 2 y = 3 x

。由第一式

y = x + 5

，代入第二式

- 2 x - 10 = 3 x

，

x = - 2

，

y = 3

。

x^{2} + y^{2} = 4 + 9 = 13

。

驗算：左邊

- 2 + 3 (3 - 22) = 7 - 62

，右邊

- 2 (4 + 32) + 15 = 7 - 62

。

雙重根號

m \pm 2 n

：找兩個數和為

m

、積為

n

，結果是兩數的根號相加或大減小。根號前的係數不是

2

時先把它調成

2

。

05填充 16～17 與計算 18：指數模型、位數、算幾不等式的應用

第 16 題

t = 0

：

\frac{1}{1 + a} = 2% = \frac{1}{50}

，所以

a = 49

。

t = 3

：

\frac{1}{1 + 49 \times 7 ^{- 3 b}} = 12.5% = \frac{1}{8}

，

49 \times 7^{- 3 b} = 7

，即

7^{2 - 3 b} = 7^{1}

，

b = \frac{1}{3}

。要達到

87.5% = \frac{7}{8}

：

1 + 49 \times 7^{- \frac{t}{3}} = \frac{8}{7}

，

49 \times 7^{- \frac{t}{3}} = \frac{1}{7}

，即

7^{2 - \frac{t}{3}} = 7^{- 1}

，

2 - \frac{t}{3} = - 1

，

t = 9

。

把

49

寫成

7^{2}

、

\frac{1}{7}

寫成

7^{- 1}

，兩邊同底數就能直接比較指數。

第 17 題

lo g (lo g A) = 4

表示

lo g A = 1 0^{4} = 10000

，再一次得

A = 1 0^{10000}

。

1 0^{10000}

是

1

後面接

10000

個

0

，共

10001

位數。

1 0^{n}

是

n + 1

位數（例如

1 0^{2} = 100

是

3

位數）。

第 18 題公布欄的木板寬

x

、高

y

，面積

x y = 700

（

x > 0

，

y > 0

）。依圖，四片鋁片都是長條：上緣一片長

x

、寬

2

，下緣一片長

x

、寬

5

，左、右各一片長

y

、寬

2

。鋁片面積合計

2 x + 5 x + 2 y + 2 y = 7 x + 4 y

。由算幾不等式

\frac{7 x + 4 y}{2} \geq 7 x \cdot 4 y = 28 \times 700 = 19600 = 140

，所以

7 x + 4 y \geq 280

。等號在

7 x = 4 y = 140

時成立，即

x = 20

、

y = 35

，這時

x y = 700

符合。答：寬

20

吋、高

35

吋時鋁片面積最小，最小面積

280

平方吋。

算幾不等式要寫出等號成立的條件，並確認那組

x

、

y

滿足

x y = 700

。這裡鋁片依附圖看成四片各自貼在木板四邊的長條（長度等於所貼的邊長）；若把四個角落也補上鋁片，面積會多出

2 \times 2 \times 2 + 2 \times 5 \times 2 = 28

平方吋，寬與高的設計不變。

兩個正數的乘積固定時，它們的和在兩數相等時最小；用算幾不等式求極值，要把式子拆成乘積為定值的兩項。

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常見問題

政大附中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

政大附中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要用算幾不等式先找出 p 乘 q 的上限再檢查選項；第 12 題算出的最小值不是整數，題目問的是能取到的最小整數；第 13 題有兩個絕對值，要分三段討論並且每段都和前提取共同部分；第 14 題要用立方差約分，答案有正負兩個。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自政大附中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

政大附中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 3 題（24 分）、填充題 10 題（50 分）、計算題 1 題（6 分）

一、單選題（占 20 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題 5 分。

設

a = 39

，

b = (\frac{1}{3})^{- \frac{5}{6}}

，

c = 4 (\frac{1}{3})^{- 3}

，則

a

、

b

、

c

大小順序為何？

(1) $a > b > c$
(2) $c > b > a$
(3) $c > a > b$
(4) $b > a > c$
(5) $b > c > a$

已知一不等式的解如圖塗色區域（含端點），試問下列哪一個選項為該不等式？

(1) $∣ x - 3∣ < 2$
(2) $∣ x - 3∣ > 2$
(3) $∣ x - 3∣ \geq 2$
(4) $∣ x - 3∣ \leq 2$
(5) $∣ x - 3∣ > 3$

載入中...

設

x

、

y

、

z

均為正整數，且

6^{x} \times 8^{y} \times 9^{z} = 2^{8} \times 3^{7}

，則

x + 2 y + z

的值為何？

(1) $5$
(2) $6$
(3) $7$
(4) $8$
(5) $9$

設

p

、

q

、

x

、

y

為正實數，滿足

p x + q y = 50

，與

x y = 23

，請問數對

(p, q)

可能是下列哪一個選項？

(1) $(3, 7)$
(2) $(4, 7)$
(3) $(5, 7)$
(4) $(6, 7)$
(5) $(7, 7)$

二、多選題（占 24 分）說明：第 5 題至第 7 題，每題 8 分。（8－5－2－0）

若

- 2 < lo g a < - 1

，則下列哪些可能為

a

之值？

(1) $0.1$
(2) $0.2$
(3) $0.03$
(4) $0.04$
(5) $0.09$

若

15 + 176

的整數部分為

a

，小數部分為

b

。請選出正確的選項。

(1) $a = 2$
(2) $b = - 3 + 11$
(3) $ab = - 6 + 211$
(4) $\frac{1}{b} = \frac{11}{11}$
(5) $\frac{2 a - b - 3}{a + b - 2} = \frac{- 11 + 10 11}{11}$

請問下列哪些敘述是正確？

(1) $1.9 < 1. \overline{9} < 2$
(2) 給定長度為 $1$ 的線段，可用作圖做出長度為 $7$ 的線段
(3) 循環小數 $2. \overline{34}$ 無法用尺規在數線上精準作圖
(4) 兩個相異無理數之間，有無限多個有理數和無限多個無理數
(5) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，則 $a + b$ 必為無理數

三、填充題（占 50 分）說明：第 8 題至第 17 題，每題 5 分。

化成最簡分數：

3.2 \overline{5} + 4. \overline{3} - 11 \times (0. \overline{27}) =

____。

滿足絕對值不等式

∣ a x + 4∣ \leq b

的解為

2 \leq x \leq 14

，則

a + b =

____。

已知

lo g a = - 4.321

，

lo g b = - 7.89

，

lo g c = - 13.711

，則

\frac{ab}{c} =

____。

數線上

A

點代表

1 0^{7}

，

B

點代表

1 0^{9}

，

P

點在

\overline{A B}

上且

3 \overline{P A} = 2 \overline{P B}

。若

P

點在數線上代表的數以科學記號表示為

k \times 1 0^{n}

，則數對

(k, n) =

____。

設

a

、

b

為正實數，滿足

ab = 50

，請問

3 a + 2 b

的最小整數值為何？

試解不等式

2∣ x + 1∣ - ∣2 x - 3∣ > x + 2

得

x

的範圍為 ____。

設

\frac{3 ^{3 x} - 3 ^{- 3 x}}{3 ^{x} - 3 ^{- x}} = \frac{13}{3}

，試求

x =

____。

已知有理數

x

，

y

滿足

x + y 17 - 122 = x 34 + 3128 + 15

，則

x^{2} + y^{2} =

____。

某種傳染病的感染率定義為：感染率

y = \frac{1}{1 + a \times 7 ^{- b t}}

，其中

t

表時間（週），

a

，

b

為常數。若此種傳染病在某城市蔓延，已知剛開始（即

t = 0

）時，有

2%

的人口被傳染；而經過

3

週後（即

t = 3

）有

12.5%

的人口被傳染。則 ____ 週後，該城市的人口被傳染過該傳染病的比例達

87.5%

。

設

lo g (lo g A) = 4

，則

A

為 ____ 位數。

四、計算題（占 6 分）說明：第 18 題，每個答案 2 分。

700

平方吋，且公布欄下緣要置物，故下緣鋁片的寬度設計為

5

吋，左、右及上緣鋁片的寬度設計為

2

吋，如圖。因鋁片價格昂貴，故工匠希望裁切的鋁片面積愈少愈好，以降低製作成本，請問他應該如何設計這個公布欄的寬度（

x

吋）與高度（

y

吋），才能使裁切的鋁片有最小面積？此最小面積為何？

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(3)

第 3 題(4)

第 4 題(1)

第 5 題(3)(4)(5)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(2)(4)(5)

第 8 題

\frac{413}{90}

第 9 題

\frac{5}{2}

第 10 題

1010

第 11 題

(4.06, 8)

第 12 題

35

第 13 題

x < - 7

或

1 < x < 3

第 14 題

\pm \frac{1}{2}

第 15 題

13

第 16 題

9

第 17 題

10001

第 18 題

x = 20

，

y = 35

；最小面積

280

平方吋

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：指數比大小、絕對值不等式、指數律與算幾不等式

第 1 題答案 (5)。全部化成

3

的次方：

a = 3 3^{2} = 3^{\frac{2}{3}}

；

b = (3^{- 1})^{- \frac{5}{6}} = 3^{\frac{5}{6}}

；

c = ((3^{- 1})^{- 3})^{\frac{1}{4}} = (3^{3})^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{3}{4}}

。通分比指數：

\frac{2}{3} = \frac{8}{12}

、

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}

、

\frac{3}{4} = \frac{9}{12}

。底數

3 > 1

，指數越大值越大，所以

b > c > a

。

\frac{1}{3} = 3^{- 1}

，負指數再取負次方會變成正的。

第 2 題答案 (3)。塗色區域是

x \leq 1

或

x \geq 5

。

1

和

5

的中點是

3

，兩個端點到

3

的距離都是

2

，所以解是「

x

到

3

的距離大於或等於

2

」，也就是

∣ x - 3∣ \geq 2

。

含端點要用

\geq

；(2) 的

>

不含

1

和

5

。

第 3 題答案 (4)。左邊

= (2 \cdot 3)^{x} \times (2^{3})^{y} \times (3^{2})^{z} = 2^{x + 3 y} \times 3^{x + 2 z}

。和右邊比較

2

與

3

的次方：

x + 3 y = 8

，

x + 2 z = 7

。

y

是正整數，由第一式

y = 1

時

x = 5

，

y = 2

時

x = 2

。

x = 5

代入第二式得

z = 1

；

x = 2

代入得

z = \frac{5}{2}

不是整數。所以

(x, y, z) = (5, 1, 1)

，

x + 2 y + z = 5 + 2 + 1 = 8

。

y = 2

那一組也要代進第二式檢查，確認只有一組解。

第 4 題答案 (1)。

p x

和

q y

都是正數，由算幾不等式

\frac{p x + q y}{2} \geq p x \cdot q y

，即

25 \geq 23 pq

，兩邊平方得

pq \leq \frac{625}{23} \approx 27.2

。五個選項的

pq

依序是

21

、

28

、

35

、

42

、

49

，只有 (1) 不超過

27.2

。檢查 (1) 真的做得到：

y = \frac{23}{x}

代入

3 x + 7 y = 50

得

3 x^{2} - 50 x + 161 = 0

，判別式

2500 - 1932 = 568 > 0

，兩根的和

\frac{50}{3}

、積

\frac{161}{3}

都是正的，所以有正數解。

算幾不等式給的是

pq

的上限；

pq

超過上限的選項，找不到滿足條件的正數

x

、

y

。

02多選 5～7：log 的範圍、雙重根號、實數的性質

第 5 題答案 (3)(4)(5)。

lo g a

是「

a

等於

10

的幾次方」，

- 2 < lo g a < - 1

表示

1 0^{- 2} < a < 1 0^{- 1}

，也就是

0.01 < a < 0.1

。(1)

0.1

剛好等於右端點，不在範圍內。(2)

0.2 > 0.1

，不在。(3)

0.03

、(4)

0.04

、(5)

0.09

都介於

0.01

和

0.1

之間。

兩邊都是嚴格的

<

，

a = 0.1

時

lo g a = - 1

，不合。

第 6 題答案 (2)(5)。

176 = 244

，所以

15 + 176 = 15 + 244

，找兩數和

15

、積

44

：

11

和

4

，原式

= 11 + 4 = 11 + 2

。

3 < 11 < 4

，所以

5 < 11 + 2 < 6

，整數部分

a = 5

，小數部分

b = 11 + 2 - 5 = 11 - 3

。(1) 錯：

a = 5

。(2) 對。(3) 錯：

ab = 511 - 15

。(4) 錯：

\frac{1}{b} = \frac{1}{11 - 3} = \frac{11 + 3}{11 - 9} = \frac{11 + 3}{2}

。(5) 對：分子

2 a - b - 3 = 10 - (11 - 3) - 3 = 10 - 11

，分母

a + b - 2 = 11

，相除並有理化得

\frac{( 10 - 11 ) 11}{11} = \frac{10 11 - 11}{11}

。

a + b

就是原數

11 + 2

，(5) 的分母可以直接寫成

11

。

第 7 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：

1. \overline{9} = 1 + 0. \overline{9} = 1 + \frac{9}{9} = 2

，不小於

2

。(2) 對：作一個斜邊長

4

、一股長

3

的直角三角形，另一股長

4^{2} - 3^{2} = 7

。(3) 錯：

2. \overline{34} = 2 + \frac{34}{99} = \frac{232}{99}

是有理數，把單位長用平行線等分成

99

份就能在數線上作出。(4) 對：任意兩個相異實數之間都有無限多個有理數，也有無限多個無理數。(5) 對：若

a + b = r

是有理數，則

b = r - a

是有理數，矛盾。

(1) 的

0. \overline{9}

化成分數是

\frac{9}{9} = 1

，所以

1. \overline{9}

和

2

是同一個數。

03填充 8～12：循環小數、絕對值、對數與算幾不等式

第 8 題

3.2 \overline{5} = 3.2 + 0.0 \overline{5} = \frac{32}{10} + \frac{5}{90} = \frac{288 + 5}{90} = \frac{293}{90}

；

4. \overline{3} = 4 + \frac{3}{9} = \frac{13}{3} = \frac{390}{90}

；

0. \overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}

，乘以

11

得

3 = \frac{270}{90}

。合計

\frac{293 + 390 - 270}{90} = \frac{413}{90}

。

413 = 7 \times 59

，和

90

沒有公因數，已是最簡分數。

3.2 \overline{5}

只有

5

在循環，

0.0 \overline{5} = \frac{5}{90}

，不是

\frac{25}{99}

。

第 9 題

2 \leq x \leq 14

的中點是

8

、半徑是

6

，所以解等於

∣ x - 8∣ \leq 6

。要讓常數項變成

+ 4

，兩邊同乘以

\frac{1}{2}

：

\frac{1}{2} x - 4 \leq 3

，也就是

- \frac{1}{2} x + 4 \leq 3

。和

∣ a x + 4∣ \leq b

對照得

a = - \frac{1}{2}

、

b = 3

，

a + b = \frac{5}{2}

。

\frac{1}{2} x - 4

和

- \frac{1}{2} x + 4

相等，要配合題目的「

+ 4

」選後者，

a

是負的。

第 10 題由

lo g

的意義，

a = 1 0^{- 4.321}

、

b = 1 0^{- 7.89}

、

c = 1 0^{- 13.711}

。

\frac{ab}{c} = 1 0^{- 4.321 - 7.89 - (- 13.711)} = 1 0^{1.5} = 10 \times 1 0^{0.5} = 1010

。

指數的計算：

- 4.321 - 7.89 = - 12.211

，再加

13.711

得

1.5

。

第 11 題

3 \overline{P A} = 2 \overline{P B}

表示

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 3

，

P

在

\overline{A B}

上，由分點公式

P = \frac{3 \times 1 0 ^{7} + 2 \times 1 0 ^{9}}{2 + 3}

。把

1 0^{9}

寫成

100 \times 1 0^{7}

：分子

= (3 + 200) \times 1 0^{7} = 203 \times 1 0^{7}

，除以

5

得

40.6 \times 1 0^{7} = 4.06 \times 1 0^{8}

。所以

(k, n) = (4.06, 8)

。

科學記號的

k

要滿足

1 \leq k < 10

，

40.6 \times 1 0^{7}

還要再調成

4.06 \times 1 0^{8}

。

第 12 題

3 a

、

2 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{3 a + 2 b}{2} \geq 3 a \cdot 2 b = 6 \times 50 = 300 = 103

，所以

3 a + 2 b \geq 203

，等號在

3 a = 2 b

時成立。

203 = 1200

，而

3 4^{2} = 1156 < 1200 < 1225 = 3 5^{2}

，所以

34 < 203 < 35

。而

35

取得到：

a = 5

、

b = 10

時

ab = 50

且

3 a + 2 b = 15 + 20 = 35

。所以最小的整數值是

35

。

最小值

203 \approx 34.64

不是整數，題目問的是能取到的最小「整數」。

由解回推絕對值不等式的係數：先寫成「到中點的距離」的形式，再整個乘上一個數去配合題目指定的常數項。

04填充 13～15：分段討論、指數方程式、雙重根號

第 13 題絕對值裡面變號的位置是

x = - 1

和

x = \frac{3}{2}

，分三段。①

x < - 1

：左邊

= - 2 (x + 1) + (2 x - 3) = - 5

，不等式變成

- 5 > x + 2

，

x < - 7

，和

x < - 1

取共同部分得

x < - 7

。②

- 1 \leq x < \frac{3}{2}

：左邊

= 2 (x + 1) + (2 x - 3) = 4 x - 1

，

4 x - 1 > x + 2

得

x > 1

，共同部分

1 < x < \frac{3}{2}

。③

x \geq \frac{3}{2}

：左邊

= 2 (x + 1) - (2 x - 3) = 5

，

5 > x + 2

得

x < 3

，共同部分

\frac{3}{2} \leq x < 3

。②③ 合起來是

1 < x < 3

，所以解為

x < - 7

或

1 < x < 3

。

每一段解出來的範圍都要和該段的前提取共同部分；最後 ② 和 ③ 在

x = \frac{3}{2}

接起來。

第 14 題令

t = 3^{x}

（

t > 0

）。分子

t^{3} - t^{- 3} = (t - t^{- 1}) (t^{2} + 1 + t^{- 2})

，分母

t - t^{- 1}

不能是

0

（即

x \neq = 0

），約分後得

t^{2} + 1 + t^{- 2} = \frac{13}{3}

，

t^{2} + t^{- 2} = \frac{10}{3}

。令

u = t^{2} = 9^{x}

：

u + \frac{1}{u} = \frac{10}{3}

，

3 u^{2} - 10 u + 3 = 0

，

(3 u - 1) (u - 3) = 0

，

u = 3

或

\frac{1}{3}

。

9^{x} = 3

得

x = \frac{1}{2}

；

9^{x} = \frac{1}{3}

得

x = - \frac{1}{2}

。兩個都不是

0

，都合。

立方差

A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})

，這裡

A B = t \cdot t^{- 1} = 1

。

第 15 題先化簡兩個雙重根號。

17 - 122 = 17 - 272

，和

17

、積

72

的兩數是

9

和

8

，所以

17 - 122 = 3 - 22

。

3128 = 242 = 2288

，和

34

、積

288

的兩數是

18

和

16

，所以

34 + 3128 = 18 + 16 = 32 + 4

。原式變成

x + y (3 - 22) = x (4 + 32) + 15

。

x

、

y

是有理數，比較有理數部分和

2

的係數：

x + 3 y = 4 x + 15

，

- 2 y = 3 x

。由第一式

y = x + 5

，代入第二式

- 2 x - 10 = 3 x

，

x = - 2

，

y = 3

。

x^{2} + y^{2} = 4 + 9 = 13

。

驗算：左邊

- 2 + 3 (3 - 22) = 7 - 62

，右邊

- 2 (4 + 32) + 15 = 7 - 62

。

雙重根號

m \pm 2 n

：找兩個數和為

m

、積為

n

，結果是兩數的根號相加或大減小。根號前的係數不是

2

時先把它調成

2

。

05填充 16～17 與計算 18：指數模型、位數、算幾不等式的應用

第 16 題

t = 0

：

\frac{1}{1 + a} = 2% = \frac{1}{50}

，所以

a = 49

。

t = 3

：

\frac{1}{1 + 49 \times 7 ^{- 3 b}} = 12.5% = \frac{1}{8}

，

49 \times 7^{- 3 b} = 7

，即

7^{2 - 3 b} = 7^{1}

，

b = \frac{1}{3}

。要達到

87.5% = \frac{7}{8}

：

1 + 49 \times 7^{- \frac{t}{3}} = \frac{8}{7}

，

49 \times 7^{- \frac{t}{3}} = \frac{1}{7}

，即

7^{2 - \frac{t}{3}} = 7^{- 1}

，

2 - \frac{t}{3} = - 1

，

t = 9

。

把

49

寫成

7^{2}

、

\frac{1}{7}

寫成

7^{- 1}

，兩邊同底數就能直接比較指數。

第 17 題

lo g (lo g A) = 4

表示

lo g A = 1 0^{4} = 10000

，再一次得

A = 1 0^{10000}

。

1 0^{10000}

是

1

後面接

10000

個

0

，共

10001

位數。

1 0^{n}

是

n + 1

位數（例如

1 0^{2} = 100

是

3

位數）。

第 18 題公布欄的木板寬

x

、高

y

，面積

x y = 700

（

x > 0

，

y > 0

）。依圖，四片鋁片都是長條：上緣一片長

x

、寬

2

，下緣一片長

x

、寬

5

，左、右各一片長

y

、寬

2

。鋁片面積合計

2 x + 5 x + 2 y + 2 y = 7 x + 4 y

。由算幾不等式

\frac{7 x + 4 y}{2} \geq 7 x \cdot 4 y = 28 \times 700 = 19600 = 140

，所以

7 x + 4 y \geq 280

。等號在

7 x = 4 y = 140

時成立，即

x = 20

、

y = 35

，這時

x y = 700

符合。答：寬

20

吋、高

35

吋時鋁片面積最小，最小面積

280

平方吋。

算幾不等式要寫出等號成立的條件，並確認那組

x

、

y

滿足

x y = 700

。這裡鋁片依附圖看成四片各自貼在木板四邊的長條（長度等於所貼的邊長）；若把四個角落也補上鋁片，面積會多出

2 \times 2 \times 2 + 2 \times 5 \times 2 = 28

平方吋，寬與高的設計不變。

兩個正數的乘積固定時，它們的和在兩數相等時最小；用算幾不等式求極值，要把式子拆成乘積為定值的兩項。

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02多選 5～7：log 的範圍、雙重根號、實數的性質

03填充 8～12：循環小數、絕對值、對數與算幾不等式

04填充 13～15：分段討論、指數方程式、雙重根號

05填充 16～17 與計算 18：指數模型、位數、算幾不等式的應用

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