段考詳解範圍：數與式（實數與數線、乘法公式與根式、絕對值、指數與算幾不等式）

岡山高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 岡山高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 岡山高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 16 題方程式的兩個根都是正數，差的正負號定不下來，答案有兩個值；第 17 題要先從解的對稱中心找出係數，再把兩端的距離換回上下界；第 18 題開根號後是絕對值，要用範圍判斷正負；第 20 題的算幾不等式要用在關係式裡和固定的那兩項上。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 4 題（20 分）、填充題 10 題（50 分）、混合題 1 題組 2 小題（10 分）

一、單選題（一題 5 分，共 20 分）

0. \overline{34} =

？

(A) $\frac{34}{100}$
(B) $\frac{34}{10}$
(C) $\frac{34}{9}$
(D) $\frac{34}{90}$
(E) $\frac{34}{99}$

在

\frac{33}{16}

、

\frac{11}{6}

、

\frac{33}{120}

、

\frac{23}{256}

、

\frac{33}{60}

這五個有理數中，可以化成有限小數的有幾個？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
(E) $5$

若

a = (0.3)^{3}

，則下列何者正確？

(A) $a < 0.01$
(B) $0.01 \leq a < 0.02$
(C) $0.02 \leq a < 0.03$
(D) $0.03 \leq a < 0.04$
(E) $0.04 \leq a < 0.05$

設

a = 6 + 2

，

b = 6 - 2

，若

a^{3} + b^{3} = k \times (a + b)

，則

k =

？

(A) $4$
(B) $12$
(C) $24$
(D) $36$
(E) $60$

二、多選題（一題 5 分，共 20 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項以上或未作答者，該題以零分計算）（本頁第 5～8 題依序為流傳版本多選題第 1～4 題）

下列敘述哪些正確？

(A) $(5 - 3)^{2} = 5 - 3$
(B) $1.414$ 為有理數
(C) $0. \overline{3} + 0. \overline{6} < 1$
(D) $\frac{3}{5}$ 與 $\frac{4}{5}$ 之間不存在有理數
(E) $3 + 2$ 為無理數

下列敘述哪些正確？

(A) $(a + b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
(B) $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = (a - b)^{3} + 3 ab (a - b)$
(C) 設 $a < b$ ，則 $\frac{2 a + b}{3} < \frac{a + 2 b}{3} < \frac{a + 3 b}{4}$
(D) 數線上點 $P (x)$ 與點 $A (a)$ 的距離為 $∣ x + a ∣$
(E) 不等式 $∣ x - 1∣ > 3$ 與不等式 $∣1 - x ∣ < - 3$ 的解相同

下列敘述哪些正確？

(A) $3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3 ^{2}}$
(B) $4^{- 3} = \frac{1}{4 ^{3}}$
(C) $5 3^{2} = 3^{\frac{5}{2}}$
(D) 設 $a = 3^{0.3}$ ， $b = 3^{0.01}$ ，則 $a b^{2} = 3^{0.32}$
(E) $40 0^{\frac{1}{2}} = 20$

下列敘述哪些正確？

(A) $0.234 \times 1 0^{6}$ 為科學記號表示法
(B) $0.234 \times 1 0^{6}$ 為 $6$ 位數
(C) $0.234 \times 1 0^{6}$ 的有效位數是 $4$
(D) $4 < 12 + 21 < 5$
(E) 設 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，則 $ab$ 可能為有理數也可能為無理數

三、填充題（一題 5 分，共 50 分，須全部答對才給分，答錯不倒扣）（本頁第 9～18 題依序為流傳版本填充題第 1～10 題）

解方程式

∣1 - 2 x ∣ = 7

得

x =

____。

解不等式

∣ x + 2∣ < 7

得

x

的範圍為

a < x < b

，其中

a < b

，則序對

(a, b) =

____。

設數線上點

A (3)

與點

B (π)

，其中

π

為圓周率，若數線上線段

\overline{A B}

內另一點

P (x)

滿足

\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 3

，求

x =

____。

若在計算機中按某正整數

N

，接著連續按

x

鍵（取正平方根）

3

次，得到答案為

4

，請問

N =

____。

電腦的運算會用到二進位制，也就是「滿二進一」，例如：一個二進位的

4

位數

(1001)_{2}

將它轉換為十進位的數為

1 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 8 + 0 + 0 + 1 = 9

。請問一個二進位的

5

位數

(11101)_{2}

轉換為十進位的數為 ____。

將

\frac{26}{111}

分數化為小數後，小數點後第

107

位數字為 ____。

已知數線上三點

A (4)

、

B (10)

和

C (x)

，若滿足兩線段和

\overline{A C} + \overline{B C} \leq 8

的

x

範圍為

a \leq x \leq b

，則數對

(a, b) =

____。

設正實數

x

滿足

x^{2} - 5 x + 1 = 0

，求

x + x^{2} + x^{3} - x^{- 1} + x^{- 2} - x^{- 3}

之值

=

____。

設

a

、

b

、

c

皆為實數且

a \neq = 0

，若不等式

b \leq ∣ a x + 1∣ \leq c

的解為

- 4 \leq x \leq - 2

或

6 \leq x \leq 8

，則序對

(a, b, c) =

____。

設

0 < x < 1

，若

x^{2} + \frac{4}{x ^{2}} + 4 + x^{2} + \frac{9}{x ^{2}} - 6 = 8

，求

x

值

=

____。

四、混合題（填充題每題 4 分，非選擇題每題 6 分，共 10 分）（本頁第 19～20 題依序為流傳版本混合題第 1～2 題）

第 19～20 題為題組（第 19～20 題）　如右圖所示，設正三角形

△ A B C

空地的邊長為

9

公尺，若想在空地上沿著某一邊圍出一個矩形花圃：

設矩形沿著正三角形空地的一邊長

x

公尺，另一邊寬

y

公尺，如圖所示，已知正三角形的每個內角為

6 0^{\circ}

且

3 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 9 0^{\circ}

的直角三角形三邊長的比為

1 : 3 : 2

。試利用線段

\overline{B C}

寫出

x

與

y

的關係式：____。（填充題，4 分）

載入中...

承上題，請問該矩形的最大面積為何？此時的

x

與

y

分別為何？（非選擇題，6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(D)

第 3 題(C)

第 4 題(B)

第 5 題(A)(B)(E)

第 6 題(B)(C)

第 7 題(B)(D)(E)

第 8 題(B)(D)(E)

第 9 題

- 3

或

4

第 10 題

(- 9, 5)

第 11 題

\frac{2 π + 3 3}{5}

第 12 題

65536

第 13 題

29

第 14 題

3

第 15 題

(3, 11)

第 16 題

23 \pm 2521

第 17 題

(- \frac{1}{2}, 2, 3)

第 18 題

\frac{5}{8}

第 19 題

x + \frac{2 3}{3} y = 9

第 20 題最大面積

\frac{81 3}{8}

平方公尺，此時

x = \frac{9}{2}

，

y = \frac{9 3}{4}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：循環小數、有限小數、次方與立方和

第 1 題答案 (E)。設

t = 0. \overline{34} = 0.343434 \dots

，則

100 t = 34.3434 \dots

。兩式相減，

99 t = 34

，所以

t = \frac{34}{99}

。

循環節有兩位，就乘以

100

再相減，把小數點後面完全消掉。

第 2 題答案 (D)。先約成最簡分數，再看分母的質因數是否只有

2

和

5

。

\frac{33}{16}

：分母

2^{4}

，可以。

\frac{11}{6}

：分母

2 \times 3

，含有

3

，不行。

\frac{33}{120} = \frac{11}{40}

：分母

2^{3} \times 5

，可以。

\frac{23}{256}

：分母

2^{8}

，可以。

\frac{33}{60} = \frac{11}{20}

：分母

2^{2} \times 5

，可以。共

4

個。

一定要先約分：

120

和

60

都含有因數

3

，但約分後

3

被分子的

33

消掉了。

第 3 題答案 (C)。

a = 0.3 \times 0.3 \times 0.3 = 0.09 \times 0.3 = 0.027

，介於

0.02

和

0.03

之間。

第 4 題答案 (B)。立方和公式

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

，所以

k = a^{2} - ab + b^{2} = (a + b)^{2} - 3 ab

。

a + b = 26

，

ab = (6)^{2} - (2)^{2} = 4

，因此

k = (26)^{2} - 3 \times 4 = 24 - 12 = 12

。

不必把

a^{3}

、

b^{3}

分別展開，只要用到

a + b

和

ab

兩個值。

分數能不能化成有限小數，先約分，再看分母的質因數是不是只有 2 和 5。

02多選 5～8：實數的性質、乘法公式、指數律與科學記號

第 5 題答案 (A)(B)(E)。(A) 對：

t^{2} = ∣ t ∣

，而

5 > 3

，所以

5 - 3 = 5 - 3

。(B) 對：

1.414 = \frac{1414}{1000}

是有限小數，為有理數。(C) 錯：

0. \overline{3} = \frac{1}{3}

，

0. \overline{6} = \frac{2}{3}

，相加恰好等於

1

，不是小於

1

。(D) 錯：例如

\frac{7}{10}

就在

\frac{3}{5}

與

\frac{4}{5}

之間；任意兩個相異有理數之間都還有有理數。(E) 對：若

3 + 2

是有理數，減去

3

之後

2

也會是有理數，矛盾。

(B) 的

1.414

只是

2

的近似值，它本身是有限小數。

第 6 題答案 (B)(C)。(A) 錯：

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

，選項右邊是

(a - b)^{3}

的展開式。(B) 對：前一個等號是立方差公式；後一個等號，

(a - b)^{3} + 3 ab (a - b) = (a - b) [(a - b)^{2} + 3 ab] = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

。(C) 對：

\frac{a + 2 b}{3} - \frac{2 a + b}{3} = \frac{b - a}{3} > 0

；

\frac{a + 3 b}{4} - \frac{a + 2 b}{3} = \frac{3 a + 9 b - 4 a - 8 b}{12} = \frac{b - a}{12} > 0

。(D) 錯：距離是

∣ x - a ∣

。(E) 錯：

∣ x - 1∣ > 3

的解是

x > 4

或

x < - 2

；絕對值不會是負數，

∣1 - x ∣ < - 3

沒有解。

A (a)

、

B (b)

之間的分點，依序離

A

有

\frac{1}{3}

、

\frac{2}{3}

、

\frac{3}{4}

個

\overline{A B}

長，所以由左到右排列。

第 7 題答案 (B)(D)(E)。(A) 錯：

3^{\frac{1}{2}} = 3

，而

\frac{1}{3 ^{2}} = 3^{- 2}

。(B) 對：負指數的定義

4^{- 3} = \frac{1}{4 ^{3}}

。(C) 錯：

5 3^{2} = 3^{\frac{2}{5}}

，指數是「次方除以根號的次數」。(D) 對：

a b^{2} = 3^{0.3} \times (3^{0.01})^{2} = 3^{0.3 + 0.02} = 3^{0.32}

。(E) 對：

40 0^{\frac{1}{2}} = 400 = 20

。

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

：根號的次數在分母。

第 8 題答案 (B)(D)(E)。(A) 錯：科學記號要寫成

a \times 1 0^{n}

且

1 \leq a < 10

，這個數的科學記號是

2.34 \times 1 0^{5}

。(B) 對：

0.234 \times 1 0^{6} = 234000

，是

6

位數。(C) 錯：有效數字是

2

、

3

、

4

，有效位數是

3

。(D) 對：三個數都是正數，平方後比較，

16 < 12 + 21 < 25

相當於

4 < 21 < 13

，而

4 = 16 < 21 < 25 = 5

，成立。(E) 對：取

a = 0

，

ab = 0

是有理數；取

a = 1

，

ab = b

是無理數。

(E) 的關鍵是

a

可以等於

0

；如果限定

a \neq = 0

，

ab

就一定是無理數。

判斷「哪些正確」時，錯的選項舉一個反例就夠；對的選項要回到定義或公式。

03填充 9～11：絕對值方程式、不等式與分點

第 9 題

∣1 - 2 x ∣ = 7

表示

1 - 2 x = 7

或

1 - 2 x = - 7

。前者得

x = - 3

，後者得

x = 4

。驗算：

∣1 + 6∣ = 7

，

∣1 - 8∣ = 7

。答案

x = - 3

或

4

。

第 10 題

∣ x + 2∣ < 7

即

- 7 < x + 2 < 7

，各邊減

2

得

- 9 < x < 5

，所以

(a, b) = (- 9, 5)

。

幾何意義：數線上與

- 2

的距離小於

7

的點。

第 11 題

3 \approx 1.73 < π

，

P

在

A

、

B

之間且

\overline{A P} : \overline{P B} = 2 : 3

。由分點公式，

x = \frac{3 \times 3 + 2 \times π}{2 + 3} = \frac{2 π + 3 3}{5}

。

分點公式是交叉相乘：靠近

A

的那一段比是

2

，要乘在

B

的坐標上。

P

離

A

比較近，所以

3

的權重

3

比較大。

絕對值是距離：|x−k|＝r 是兩個點，|x−k|<r 是一段區間。

04填充 12～14：分數指數、二進位與循環節

第 12 題按一次根號鍵是

\frac{1}{2}

次方，連按三次是

N^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = N^{\frac{1}{8}}

。由

N^{\frac{1}{8}} = 4

得

N = 4^{8} = (2^{2})^{8} = 2^{16} = 65536

。也可以倒著推：

4 \to 4^{2} = 16 \to 1 6^{2} = 256 \to 25 6^{2} = 65536

。

三次開平方是

\frac{1}{8}

次方，不是

\frac{1}{6}

次方。

第 13 題照例子的做法，由左到右各位依序乘以

2^{4}

、

2^{3}

、

2^{2}

、

2^{1}

、

2^{0}

：

(11101)_{2} = 1 \times 2^{4} + 1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29

。

第 14 題

\frac{26}{111} = \frac{26 \times 9}{111 \times 9} = \frac{234}{999} = 0. \overline{234}

，循環節是

2

、

3

、

4

三位。

107 = 3 \times 35 + 2

，所以第

107

位是循環節的第

2

個數字

3

。

分母

111 \times 9 = 999

，直接看出循環節；用長除法也會得到

0.234234 \dots

。

連續開根號就是指數一直乘以二分之一；循環小數的第 n 位用餘數對回循環節。

05填充 15～18：距離和、對稱式、回推係數與去根號

第 15 題

\overline{A C} + \overline{B C} = ∣ x - 4∣ + ∣ x - 10∣

。

C

在

A

、

B

之間（

4 \leq x \leq 10

）時，距離和恰為

\overline{A B} = 6 \leq 8

，都滿足。

C

在

B

右邊（

x > 10

）時，距離和

= (x - 4) + (x - 10) = 2 x - 14 \leq 8

，得

x \leq 11

。

C

在

A

左邊（

x < 4

）時，距離和

= (4 - x) + (10 - x) = 14 - 2 x \leq 8

，得

x \geq 3

。合起來

3 \leq x \leq 11

，

(a, b) = (3, 11)

。

在線段外每往外走

1

，距離和就多

2

；從

6

加到

8

只能往外走

1

，所以兩端各延伸

1

。

第 16 題

x \neq = 0

，把

x^{2} - 5 x + 1 = 0

同除以

x

得

x + \frac{1}{x} = 5

。所求重新分組為

(x - \frac{1}{x}) + (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) + (x^{3} - \frac{1}{x ^{3}})

。

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 5^{2} - 2 = 23

。

(x - \frac{1}{x})^{2} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 4 = 21

，所以

x - \frac{1}{x} = \pm 21

。

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}) = 24 (x - \frac{1}{x})

。所求

= 23 + 25 (x - \frac{1}{x}) = 23 \pm 2521

。

方程式的兩個根

\frac{5 \pm 21}{2}

都是正數，而且互為倒數：

x

取較大的根時

x - \frac{1}{x} = 21

，取較小的根時

x - \frac{1}{x} = - 21

。「

x

為正實數」排除不了任何一個，所以兩個值都要寫。

第 17 題

∣ a x + 1∣ = ∣ a ∣ x + \frac{1}{a}

，所以不等式是在說「

x

與

- \frac{1}{a}

的距離介於兩個數之間」，解在數線上會以

- \frac{1}{a}

為中心左右對稱。題目的解

- 4 \leq x \leq - 2

或

6 \leq x \leq 8

以

2

為中心對稱：

- 2

與

6

離

2

的距離是

4

，

- 4

與

8

離

2

的距離是

6

，所以解是

4 \leq ∣ x - 2∣ \leq 6

。由

- \frac{1}{a} = 2

得

a = - \frac{1}{2}

，這時

∣ a x + 1∣ = - \frac{1}{2} x + 1 = \frac{1}{2} ∣ x - 2∣

。把

4 \leq ∣ x - 2∣ \leq 6

各邊乘以

\frac{1}{2}

：

2 \leq \frac{1}{2} ∣ x - 2∣ \leq 3

，所以

b = 2

，

c = 3

，

(a, b, c) = (- \frac{1}{2}, 2, 3)

。

驗算：

x = - 2

時

∣1 + 1∣ = 2

，

x = 8

時

∣ - 4 + 1∣ = 3

，與

b

、

c

相符。

第 18 題兩個根號裡面都是完全平方：

x^{2} + \frac{4}{x ^{2}} + 4 = (x + \frac{2}{x})^{2}

，

x^{2} + \frac{9}{x ^{2}} - 6 = (x - \frac{3}{x})^{2}

。開根號後是絕對值。

0 < x < 1

時

x + \frac{2}{x} > 0

；又

\frac{3}{x} > 3 > x

，所以

x - \frac{3}{x} < 0

，

x - \frac{3}{x} = \frac{3}{x} - x

。原式變成

(x + \frac{2}{x}) + (\frac{3}{x} - x) = \frac{5}{x} = 8

，

x = \frac{5}{8}

，符合

0 < x < 1

。

t^{2} = ∣ t ∣

，去絕對值之前先用

0 < x < 1

判斷裡面的正負。

看到 x 與 1/x 成對出現，先求 x＋1/x，再用乘法公式湊出要的式子；開平方得到的正負號要回頭檢查條件能不能決定。

06混合題 19～20：矩形花圃的關係式與最大面積

第 19 題矩形的一邊在

\overline{B C}

上，長

x

；另外兩個頂點分別在

\overline{A B}

、

\overline{A C}

上，矩形的高是

y

。矩形左邊與

\overline{A B}

、

\overline{B C}

圍成一個直角三角形，它在

B

的角是

6 0^{\circ}

，

6 0^{\circ}

的對邊是

y

。由邊長比

1 : 3 : 2

，

\overline{B C}

上的那一小段長

\frac{y}{3}

。右邊同理也是

\frac{y}{3}

。所以

\overline{B C} = \frac{y}{3} + x + \frac{y}{3} = 9

，即

x + \frac{2}{3} y = 9

，有理化後寫成

x + \frac{2 3}{3} y = 9

。

流傳版本的參考答案寫

x + \frac{2}{3} y = 9

，與

x + \frac{2 3}{3} y = 9

是同一個式子；寫成

3 x + 2 y = 93

也一樣。

第 20 題面積是

x y

。

x

與

\frac{2}{3} y

都是正數，且和固定為

9

，由算幾不等式

\frac{x + \frac{2}{3} y}{2} \geq x \cdot \frac{2}{3} y

，即

\frac{9}{2} \geq \frac{2}{3} x y

。兩邊平方：

\frac{81}{4} \geq \frac{2}{3} x y

，所以

x y \leq \frac{81}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{81 3}{8}

。等號成立在

x = \frac{2}{3} y

，兩者各佔

9

的一半：

x = \frac{9}{2}

，

\frac{2}{3} y = \frac{9}{2}

得

y = \frac{9 3}{4}

。最大面積

\frac{81 3}{8}

平方公尺，此時

x = \frac{9}{2}

公尺、

y = \frac{9 3}{4}

公尺。

算幾不等式要用在「和固定」的兩項

x

與

\frac{2}{3} y

上，不是直接用在

x

與

y

上。作答時要寫出等號成立的條件。

和固定求乘積的最大值，把關係式裡的兩項當成算幾不等式的兩個數，等號成立時兩項相等。

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同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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岡山高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

岡山高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 16 題方程式的兩個根都是正數，差的正負號定不下來，答案有兩個值；第 17 題要先從解的對稱中心找出係數，再把兩端的距離換回上下界；第 18 題開根號後是絕對值，要用範圍判斷正負；第 20 題的算幾不等式要用在關係式裡和固定的那兩項上。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自岡山高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

岡山高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～4：循環小數、有限小數、次方與立方和

02多選 5～8：實數的性質、乘法公式、指數律與科學記號

03填充 9～11：絕對值方程式、不等式與分點

04填充 12～14：分數指數、二進位與循環節

05填充 15～18：距離和、對稱式、回推係數與去根號

06混合題 19～20：矩形花圃的關係式與最大面積

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高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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