段考詳解範圍：數與式（實數與數線、絕對值、乘法公式與根式、算幾不等式、指數）

瀛海高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 5 題（25 分）、多重選擇題 4 題（24 分）、填充題 8 題（40 分）、混合題 1 題組 2 小題（11 分）

一、單選題（一題 5 分，共 25 分）

設

- \frac{5}{2} < x < \frac{7}{2}

，則

(2 x + 5)^{2} + ∣2 x - 7∣ =

？

(A) $4 x^{2} + 22 x + 18$
(B) $- 2$
(C) $12$
(D) $4 x + 12$
(E) $4 x - 2$

化簡

\frac{( \frac{32}{243} ) ^{\frac{3}{5}} \times ( \frac{8}{27} ) ^{- \frac{2}{3}}}{8 ^{- \frac{2}{3}}} =

？

(A) $\frac{16}{3}$
(B) $\frac{8}{3}$
(C) $\frac{4}{3}$
(D) $\frac{2}{3}$
(E) $\frac{1}{3}$

有一個矩形面積為

125 a^{3} + 27 b^{3} + 8

，剪去邊長為

22

的正方形，若有一新矩形面積與剩下的圖形相同，下列哪一個選項可能為新矩形的周長？（

a > 0

，

b > 0

）

(A) $5 a + 3 b$
(B) $25 a^{2} - 15 ab + 9 b^{2}$
(C) $125 a^{3} + 27 b^{3}$
(D) $2 [(5 a + 3 b) + (25 a^{2} - 30 ab + 9 b^{2})]$
(E) $2 [(5 a + 3 b) + (25 a^{2} - 15 ab + 9 b^{2})]$

將有理數

\frac{3}{13}

化成循環小數，小數點後第

100

位數字為？

(A) $2$
(B) $3$
(C) $0$
(D) $7$
(E) $6$

大雄看到花蓮馬太鞍溪堰塞湖潰堤災情後決定出一份力，他找多拉 A 夢借了「成倍增加液」，這個藥水可以讓物品的數量每隔一小時增加

3

倍（即變為原來的

4

倍）；如果

8

個銅鑼燒滴了這種藥水，那麼一天（

24

小時）後其數量就可以裝滿一台物資運輸車，但是大雄只有一個銅鑼燒，請問他最少要等待多少時間才能讓其數量裝滿一台物資運輸車？

(A) $24 \sim 25$ 小時之間
(B) $25 \sim 26$ 小時之間
(C) $26 \sim 27$ 小時之間
(D) $35 \sim 36$ 小時之間
(E) $36 \sim 37$ 小時之間

二、多重選擇題（一題 6 分，共 24 分，6-3.6-1.2-0）（本頁第 6～9 題依序為原卷多重選擇題第 1～4 題）

設實數

a

、

b

滿足

0 < a < 1

，

0 < b < 1

，則下列選項哪些必定為真？

(A) $0 < a + b < 2$
(B) $0 < ab < 1$
(C) $- 1 < b - a < 0$
(D) $0 < \frac{a}{b} < 1$
(E) $- 1 < a - b < 1$

已知

f (x) = 3^{x}

，則下列何者正確？

(A) $f (m + n) = f (m) \cdot f (n)$
(B) $f (m + n) = f (m) + f (n)$
(C) $f (m) = 72$ ， $f (n) = 8$ ，則 $f (m - n) = 9$
(D) $f (m^{n}) = f (m) \cdot f (n)$
(E) $f (- m) = \frac{1}{f ( m )}$

下列各方程式中，請選出有實數解的選項。

(A) $∣ x ∣ + ∣ x - 5∣ = 1$
(B) $∣ x ∣ - ∣ x - 5∣ = 1$
(C) $∣ x ∣ - ∣ x - 5∣ = - 1$
(D) $∣ x ∣ + ∣ x - 5∣ = 6$
(E) $∣ x ∣ - ∣ x - 5∣ = 6$

請選出下列敘述正確的選項。

(A) $0. \overline{24} + 0. \overline{76} = 1$
(B) 若 $a^{100}$ 、 $a^{97}$ 、 $a^{95}$ 均為有理數，則 $a$ 必為有理數
(C) $17 - 122 = 22 - 3$
(D) 設 $a$ 、 $b$ 為有理數，且 $a + b 2 = 0$ ，則 $a = b = 0$
(E) 若 $x > 0$ ， $2^{x} + 2^{- x}$ 有最小值 $1$

三、填充題（一格 5 分，共 40 分）（本頁第 10～17 題依序為原卷填充題第 1～8 題）

數線上有

A

、

B

、

C

三點，其中

B

在

\overline{A C}

上，且

\overline{A B} : \overline{B C} = 3 : 2

，已知

A (- 4)

、

B (x)

、

C (6)

，則

x =

____。

設

7 + 43

的整數部分為

a

，純小數部分為

b

，則

a + \frac{b ^{2}}{1 - b}

之值為 ____。

設

a

、

b

為實數，若

∣ a x + 3∣ \geq b

之解為

x \leq 2

或

x \geq 6

，求

a =

____，

b =

____。

不等式

2∣ x + 1∣ - ∣ x - 2∣ < 7

的解為 ____。

若

\frac{x ^{2} + x + 2}{2} = x^{2} (x + 2)

，則所有滿足的

x

總和為 ____。

若

x

是實數，

x + x^{- 1} = 5

，則

x^{5} + x^{- 5} =

____。

解方程式

2 (4^{x} + 4^{- x}) - 7 (2^{x} + 2^{- x}) + 10 = 0

，則

x =

____。

已知

(16 + 6 \times 7^{\frac{1}{2}})^{\frac{3}{2}} = n + b

，其中

n

為整數，

0 < b < 1

，則

n =

____。

四、混合題（共 11 分）（本頁第 18、19 題依序為原卷混合題第 (1)、(2) 小題）

混合題（第 18～19 題）　氣體質量擴散率

D

和絕對溫度

T

的關係可以用

D = k \times T^{\frac{2}{3}}

表示，且

k

為常數，已知當絕對溫度

T = 343

度時，氧氣的氣體擴散率

0.175

（

cm^{2} / s

）。

(1)

k

常數是多少？

(2) 當氧氣的氣體擴散率為

0.1

（

cm^{2} / s

）時，此時的絕對溫度是多少？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)

第 3 題(E)

第 4 題(D)

第 5 題(B)

第 6 題(A)(B)(E)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(B)(C)(D)

第 9 題(B)(D)

第 10 題

2

第 11 題

5

第 12 題

a = - \frac{3}{4}

，

b = \frac{3}{2}

第 13 題

- 11 < x < 3

第 14 題

1

第 15 題

55

第 16 題

0

第 17 題

179

第 18 題

k = \frac{1}{280}

第 19 題

T = 567

（度）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：去絕對值、指數化簡、立方和、循環小數

第 1 題答案 (C)。

(2 x + 5)^{2} = ∣2 x + 5∣

。由

- \frac{5}{2} < x < \frac{7}{2}

得

2 x + 5 > 0

、

2 x - 7 < 0

，所以

∣2 x + 5∣ = 2 x + 5

，

∣2 x - 7∣ = - (2 x - 7) = 7 - 2 x

。相加：

(2 x + 5) + (7 - 2 x) = 12

。

A^{2} = ∣ A ∣

，不是

A

；去絕對值之前先由

x

的範圍判斷裡面的正負。

第 2 題答案 (B)。

\frac{32}{243} = (\frac{2}{3})^{5}

，所以

(\frac{32}{243})^{\frac{3}{5}} = (\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27}

。

\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^{3}

，所以

(\frac{8}{27})^{- \frac{2}{3}} = (\frac{2}{3})^{- 2} = \frac{9}{4}

。分母

8^{- \frac{2}{3}} = (2^{3})^{- \frac{2}{3}} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

。原式

= \frac{8}{27} \times \frac{9}{4} \div \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3}

。

第 3 題答案 (E)。正方形面積是

(22)^{2} = 8

，剩下的面積是

125 a^{3} + 27 b^{3} = (5 a)^{3} + (3 b)^{3}

。用立方和公式分解：

(5 a + 3 b) (25 a^{2} - 15 ab + 9 b^{2})

。新矩形的兩邊可以取

5 a + 3 b

與

25 a^{2} - 15 ab + 9 b^{2}

（兩者都是正的），周長就是

2 [(5 a + 3 b) + (25 a^{2} - 15 ab + 9 b^{2})]

。

立方和公式

x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

的中間項是

- x y

，這裡是

- 15 ab

；(D) 的

- 30 ab

是完全平方

(5 a - 3 b)^{2}

的中間項。

第 4 題答案 (D)。直式除法得

\frac{3}{13} = 0. \overline{230769}

，循環節有

6

位。

100 = 6 \times 16 + 4

，所以第

100

位就是循環節的第

4

位。循環節依序是

2, 3, 0, 7, 6, 9

，第

4

位是

7

。

第 5 題答案 (B)。每小時變為

4

倍，

t

小時後變為

4^{t}

倍。

8

個放

24

小時是

8 \times 4^{24}

個，這就是裝滿一車的數量。因為

8 = 2^{3} = 4^{\frac{3}{2}}

，所以

8 \times 4^{24} = 4^{25.5}

。只有

1

個時，

t

小時後是

4^{t}

個，要達到

4^{25.5}

需要

t = 25.5

小時，在

25 \sim 26

小時之間。

也可以用整數小時檢查：

25

小時後是

4^{25} = 4 \times 4^{24}

，比

8 \times 4^{24}

少；

26

小時後是

16 \times 4^{24}

，已經超過。所以是在第

25

到第

26

小時之間裝滿。

02多重選擇（第 6～9 題）：不等式、指數律、絕對值與有理數的判斷

第 6 題答案 (A)(B)(E)。(A) 對：兩式相加得

0 < a + b < 2

。(B) 對：

a

、

b

都是正數所以

ab > 0

；又

b < 1

且

a > 0

，所以

ab < a < 1

。(C) 錯：取

a = 0.2

、

b = 0.7

，

b - a = 0.5 > 0

。(D) 錯：取

a = 0.9

、

b = 0.1

，

\frac{a}{b} = 9

。(E) 對：由

0 < b < 1

得

- 1 < - b < 0

，和

0 < a < 1

相加得

- 1 < a - b < 1

。

不等式可以同向相加，不能直接相減或相除；要算

a - b

時，先把

b

的範圍改寫成

- b

的範圍再相加。

第 7 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：

f (m + n) = 3^{m + n} = 3^{m} \cdot 3^{n} = f (m) \cdot f (n)

。(B) 錯：取

m = n = 1

，

f (2) = 9

，但

f (1) + f (1) = 6

。(C) 對：

f (m - n) = 3^{m - n} = \frac{3 ^{m}}{3 ^{n}} = \frac{72}{8} = 9

。(D) 錯：取

m = 2

、

n = 1

，

f (2^{1}) = 9

，但

f (2) \cdot f (1) = 27

。(E) 對：

f (- m) = 3^{- m} = \frac{1}{3 ^{m}} = \frac{1}{f ( m )}

。

第 8 題答案 (B)(C)(D)。

∣ x ∣

是數線上

x

到

0

的距離，

∣ x - 5∣

是

x

到

5

的距離。距離的和

∣ x ∣ + ∣ x - 5∣

最小是

5

（

x

在

0

和

5

之間時），而且可以是任何不小於

5

的數，所以 (A)

= 1

無解、(D)

= 6

有解（例如

x = 5.5

：

5.5 + 0.5 = 6

）。距離的差

∣ x ∣ - ∣ x - 5∣

介於

- 5

和

5

之間：

x \leq 0

時是

- 5

，

x \geq 5

時是

5

，

0 \leq x \leq 5

時是

2 x - 5

。所以 (B) 有解（

2 x - 5 = 1

，

x = 3

）、(C) 有解（

2 x - 5 = - 1

，

x = 2

）、(E)

= 6

無解。

第 9 題答案 (B)(D)。(A) 錯：

0. \overline{24} = \frac{24}{99}

、

0. \overline{76} = \frac{76}{99}

，相加是

\frac{100}{99} = 1. \overline{01}

。(B) 對：

a = 0

時是有理數；

a \neq = 0

時

a^{3} = \frac{a ^{100}}{a ^{97}}

、

a^{2} = \frac{a ^{97}}{a ^{95}}

都是有理數相除，仍是有理數，所以

a = \frac{a ^{3}}{a ^{2}}

也是有理數。(C) 錯：

17 - 122 = 17 - 272 = 9 - 8 = 3 - 22

；

22 - 3 < 0

，根號開出來不會是負數。(D) 對：若

b \neq = 0

，則

2 = - \frac{a}{b}

是有理數，矛盾；所以

b = 0

，代回得

a = 0

。(E) 錯：由算幾不等式

2^{x} + 2^{- x} \geq 2 2^{x} \cdot 2^{- x} = 2

，值不會小於

2

，不可能有最小值

1

。

(E) 的等號要

2^{x} = 2^{- x}

也就是

x = 0

才成立，而題目限定

x > 0

，所以

2^{x} + 2^{- x} > 2

，連最小值都不存在。

03填充（第 10～13 題）：分點、雙重根號、絕對值不等式

第 10 題

B

在

\overline{A C}

上且

\overline{A B} : \overline{B C} = 3 : 2

，由分點公式

x = \frac{2 \times ( - 4 ) + 3 \times 6}{3 + 2} = \frac{10}{5} = 2

。檢查：

\overline{A B} = 2 - (- 4) = 6

，

\overline{B C} = 6 - 2 = 4

，

6 : 4 = 3 : 2

。

第 11 題

7 + 43 = 7 + 212

，找兩數和

7

、積

12

：

4

和

3

，所以

7 + 43 = 4 + 3 = 2 + 3

。

1 < 3 < 2

，所以

3 < 2 + 3 < 4

，整數部分

a = 3

，小數部分

b = (2 + 3) - 3 = 3 - 1

。

b^{2} = 4 - 23 = 2 (2 - 3)

，

1 - b = 2 - 3

，所以

\frac{b ^{2}}{1 - b} = 2

，所求

= 3 + 2 = 5

。

第 12 題解是「

x \leq 2

或

x \geq 6

」，兩個端點的中點是

4

，到中點的距離是

2

，所以解等於

∣ x - 4∣ \geq 2

。要讓常數項變成

+ 3

，兩邊同乘以

\frac{3}{4}

：

\frac{3}{4} x - 3 \geq \frac{3}{2}

，也就是

- \frac{3}{4} x + 3 \geq \frac{3}{2}

。和

∣ a x + 3∣ \geq b

對照，得

a = - \frac{3}{4}

、

b = \frac{3}{2}

。

\frac{3}{4} x - 3

和

- \frac{3}{4} x + 3

相等，要配合題目的「

+ 3

」選後者，所以

a

是負的。

第 13 題以

x = - 1

、

x = 2

分三段。①

x \geq 2

：

2 (x + 1) - (x - 2) = x + 4 < 7

，得

x < 3

，這一段的解是

2 \leq x < 3

。②

- 1 \leq x < 2

：

2 (x + 1) + (x - 2) = 3 x < 7

，得

x < \frac{7}{3}

，這一段全部都滿足，解是

- 1 \leq x < 2

。③

x < - 1

：

- 2 (x + 1) + (x - 2) = - x - 4 < 7

，得

x > - 11

，解是

- 11 < x < - 1

。三段合起來是

- 11 < x < 3

。

每一段解出來的範圍要和那一段本身的範圍取共同部分，最後再把三段合併。

絕對值不等式的解如果是「兩端向外」，先找兩個端點的中點和半徑，寫成

∣ x - 中點 ∣ \geq 半徑

，再乘上適當的數去配合題目的形式。

04填充（第 14～17 題）：算幾不等式的等號、對稱式、指數方程式

第 14 題令

A = x^{2}

、

B = x + 2

，原式是

\frac{A + B}{2} = A B

，正好是算幾不等式等號成立的情形，所以

A = B

。直接算也可以：左邊

x^{2} + x + 2

恆為正，兩邊平方得

(A + B)^{2} = 4 A B

，移項得

(A - B)^{2} = 0

，所以

A = B

。

x^{2} = x + 2

，

(x - 2) (x + 1) = 0

，

x = 2

或

x = - 1

。代回檢查：

x = 2

時兩邊都是

4

；

x = - 1

時兩邊都是

1

。總和

2 + (- 1) = 1

。

兩個解都要代回原式檢查（根號裡不能是負的、平方可能產生增根），這一題兩個都成立。

第 15 題平方：

x^{2} + x^{- 2} = (x + x^{- 1})^{2} - 2 = 5 - 2 = 3

。三次方：

x^{3} + x^{- 3} = (x + x^{- 1})^{3} - 3 (x + x^{- 1}) = 55 - 35 = 25

。把這兩個相乘：

(x^{2} + x^{- 2}) (x^{3} + x^{- 3}) = x^{5} + x^{- 5} + x + x^{- 1}

，所以

x^{5} + x^{- 5} = 3 \times 25 - 5 = 55

。

二次和三次相乘會多出

x^{- 1} + x

這兩項，要記得減掉。

第 16 題令

t = 2^{x} + 2^{- x}

，則

t^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}

，所以

4^{x} + 4^{- x} = t^{2} - 2

。代入：

2 (t^{2} - 2) - 7 t + 10 = 0

，

2 t^{2} - 7 t + 6 = 0

，

(2 t - 3) (t - 2) = 0

，

t = \frac{3}{2}

或

t = 2

。由算幾不等式

t = 2^{x} + 2^{- x} \geq 2

，所以

t = \frac{3}{2}

不合。

t = 2

時

2^{x} + 2^{- x} = 2

，兩邊乘以

2^{x}

：

(2^{x})^{2} - 2 \cdot 2^{x} + 1 = 0

，

(2^{x} - 1)^{2} = 0

，

2^{x} = 1

，

x = 0

。

代換之後要檢查

t

的範圍：

2^{x} + 2^{- x}

不會小於

2

。

第 17 題

16 + 67 = 16 + 263

，找兩數和

16

、積

63

：

9

和

7

，所以

16 + 67 = (3 + 7)^{2}

，原式

= (3 + 7)^{3}

。展開：

27 + 3 \times 9 \times 7 + 3 \times 3 \times 7 + 77 = 90 + 347

。

347 = 3 4^{2} \times 7 = 8092

，而

8 9^{2} = 7921 < 8092 < 8100 = 9 0^{2}

，所以

89 < 347 < 90

。因此

179 < 90 + 347 < 180

，

n = 179

。

\frac{3}{2}

次方先看成「開根號再三次方」；估計

347

時把

34

收進根號裡比較平方數，比用

7 \approx 2.646

去乘更可靠。

看到

2^{x} + 2^{- x}

、

x + x^{- 1}

這種「互為倒數的兩項相加」，就把它當成一個整體，用平方、立方把高次的式子換成它的式子。

05混合題（第 18、19 題）：分數指數的應用

第 18 題(1)

343 = 7^{3}

，所以

34 3^{\frac{2}{3}} = (7^{3})^{\frac{2}{3}} = 7^{2} = 49

。代入

D = k \times T^{\frac{2}{3}}

：

0.175 = k \times 49

。

0.175 = \frac{175}{1000} = \frac{7}{40}

，所以

k = \frac{7}{40} \times \frac{1}{49} = \frac{1}{280}

。

第 19 題(2) 代入

D = 0.1

、

k = \frac{1}{280}

：

0.1 = \frac{1}{280} \times T^{\frac{2}{3}}

，

T^{\frac{2}{3}} = 28

。兩邊同取

\frac{3}{2}

次方：

T = 2 8^{\frac{3}{2}} = 2828 = 28 \times 27 = 567

（度），大約是

148

度。

T^{\frac{2}{3}} = 28

要解出

T

，是兩邊取

\frac{3}{2}

次方（

\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1

），不是取

\frac{2}{3}

次方。

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同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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瀛海高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

瀛海高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 3 題（本頁第 12 題）要把解改寫成中點與半徑的形式，再配合常數項決定 a 是負的；填充第 5 題（第 14 題）要看出是算幾不等式等號成立的情形；填充第 8 題（第 17 題）要先化雙重根號再估計根式介於哪兩個整數之間；多重選擇第 4 題（第 9 題）的最後一個選項要注意等號成立的條件。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自瀛海高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

瀛海高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

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01單選 1～5：去絕對值、指數化簡、立方和、循環小數

02多重選擇（第 6～9 題）：不等式、指數律、絕對值與有理數的判斷

03填充（第 10～13 題）：分點、雙重根號、絕對值不等式

04填充（第 14～17 題）：算幾不等式的等號、對稱式、指數方程式

05混合題（第 18、19 題）：分數指數的應用

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瀛海高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

瀛海高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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