成功高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學：試題、答案與詳解

Q: 成功高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 成功高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題負數底數與偶次方根沒有定義、第 12 題絕對值不等式分段後要把各段合起來、第 16 題要把分貝換回聲音強度再相加，以及第 18、19 題混合時要用氫離子總量計算而不是直接平均 pH 值。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）｜單選題 2 題（12 分）、多選題 2 題（16 分）、填充題 12 題（60 分）、混合題 1 題組 3 小題（12 分）

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解。不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

試題

第壹部分：選擇（填）題（占 88 分）　一、單選題（占 12 分）說明：第 1 題至第 2 題，每題 6 分。

下列哪一個選項的分數可以化成有限小數？

(1) $\frac{64}{14}$
(2) $\frac{385}{15}$
(3) $\frac{861}{123}$
(4) $\frac{9999}{35}$
(5) $\frac{63}{1042}$

下列哪一個選項的敘述是正確的？

(1) 若 $2^{a}$ 是有理數， $3^{b}$ 為無理數，則 $2^{a} \cdot 3^{b}$ 有可能是有理數
(2) 若 $a, b, c, d$ 是有理數，且 $a 3 + b 12 = c 3 + d 12$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$
(3) 若 $a, b$ 是有理數， $c, d$ 無理數，則 $a + b \times c + d$ 必為無理數
(4) 若 $lo g a, lo g b$ 是有理數，則 $(lo g a) \times (lo g b)$ 必為有理數
(5) 若 $lo g a, lo g b$ 是無理數，則 $a + b$ 必為無理數

二、多選題（占 16 分）說明：第 3 題至第 4 題，每題 8 分。（8－5－2－0）

下列哪一個選項的

x

是無解？

(1) $∣ x - 2∣ + ∣ x + 5∣ = 4$
(2) $∣ x - 2∣ + ∣ x + 5∣ \leq 9$
(3) $∣ x - 2∣ - ∣ x + 5∣ \geq 8$
(4) $∣ x - 2∣ - ∣ x + 5∣ \leq 4$
(5) $∣ x - 2∣ - ∣ x + 5∣ < 5$

若

a, n

皆為實數，則下列哪一個選項的敘述或式子是正確的？

(1) $(- 2)^{- 3} = \frac{1}{( - 2 ) ^{3}}$
(2) 若 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 2$ ，則 $a^{2025} + a^{- 2025} = 2$
(3) $6 - 2 = (- 2)^{\frac{1}{6}}$
(4) $1 0^{n l o g 2} = n \cdot 2$
(5) $lo g (- 2)^{2} + lo g 3^{2} = lo g (- 2 \times 3)^{2}$

三、填充題（占 60 分）說明：第 5 題至第 16 題，每題 5 分。

若

3729 \times (\frac{1}{6})^{- 5} \div 7 2^{3} \times 3 6^{\frac{1}{3}} = 2^{m} \times 3^{n}

，則序對

(m, n) =

____。

若

∣2 x - 3∣ < 4

，則

x

的範圍為 ____。

試求

[(3)^{\frac{1}{3}} - (3)^{- \frac{1}{3}}] [(9)^{\frac{1}{3}} + (9)^{- \frac{1}{3}} + 1]

的值為 ____。

若

x

為

\frac{5 + 21}{5 - 21}

的小數部分，則

x + \frac{3}{x}

的值為 ____。

數線上兩點

A (3 - 8)

、

B (17 + 122)

，若

P

點在

\overline{A B}

線段上，且滿足

\overline{P B} = 3 \overline{P A}

，試求

P

點坐標 ____。

若

10 6^{x} = 81

，

286 2^{y} = 27

，則

\frac{4}{x} - \frac{3}{y}

的值為 ____。

若

a

、

b

為實數，已知

a^{2} + 36 b^{2} = 8

，試求

ab

的最小值 ____。

解不等式

2∣ x + 1∣ - ∣ x - 6∣ \geq 3 x - 4

，則

x

的範圍 ____。

若

x^{2} - x + lo g 2 \times lo g 5 = 0

，則

x

的值為 ____。

若不等式

{∣ x - 1∣ \leq 3 ∣ x - a ∣ \geq 6

的解為

3 \leq x \leq 4

，試求

a

值 ____。

若

a = 11 - 6

，

b = 6 - 2

，

c = 5 - 2

，則

a, b, c

由大而小依序寫出為 ____。

某一天后級歌手開演唱會，因門票一票難求，故在場外架設

25

台直播的電視牆。已知每一台電視牆發出

108

分貝的聲音，且已知聲音的分貝

s

與聲音的強度

ω

的關係為

s = 10 \cdot lo g ω

。主辦方為避免被投訴而遭環保局開罰，欲控制電視牆的聲音在

120

分貝以內，則請問場外的電視牆至少要關閉 ____ 台，才能達到主辦方的要求。（

1 0^{0.2} \approx 1.585

）

第貳部分：混合題（占 12 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

17－19 題組（第 17～19 題）　我們常用

p H

值來表示溶液的酸鹼程度。其中

p H

值是以溶液中的氫離子濃度

[H^{+}]

計算出來的，

p H

值與溶液中氫離子濃度

[H^{+}]

的關係式為：

p H = - lo g [H^{+}]

。今有

p H

值

4.3

的蜂蜜水

300

ml，

p H

值

2.3

的檸檬水

300

ml。

檸檬水

[H^{+}]

濃度是蜂蜜水

[H^{+}]

濃度的幾倍？（單選題，3 分）

(1) $\frac{2}{3}$
(2) $\frac{1}{100}$
(3) $100$
(4) $\frac{3}{2}$
(5) $\frac{23}{43}$

將現有的蜂蜜水與檸檬水全部混合成蜂蜜檸檬水，混合後的

p H

值為何 ____。（四捨五入至小數點以下第一位，

lo g 5.05 \approx 0.7032

）（填充題，4 分）

欲將現有的蜂蜜水和檸檬水各取一些出來調配成

p H = 3.3

的蜂蜜檸檬水

330

ml，請問各需多少 ml 才能調製出來。（非選擇題，5 分）

答案一覽

第 1 題　(3)

第 2 題　(4)

第 3 題　(1)(3)

第 4 題　(2)(5)

第 5 題　 $(- \frac{10}{3}, \frac{5}{3})$

第 6 題　 $- \frac{1}{2} < x < \frac{7}{2}$

第 7 題　 $\frac{2 3}{3}$

第 8 題　 $21$

第 9 題　 $\frac{5 2}{4}$

第 10 題　 $- 3$

第 11 題　 $- \frac{2}{3}$

第 12 題　 $x \leq 6$

第 13 題　 $lo g 2$ 或 $lo g 5$

第 14 題　 $- 3$

第 15 題　 $b, a, c$

第 16 題　 $10$

第 17 題　(3)

第 18 題　 $2.6$

第 19 題　蜂蜜水 $300$ ml、檸檬水 $30$ ml

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

逐題詳解

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

單選 1～2：有限小數與有理數的判斷

第 1 題答案 (3)。分數先約成最簡分數，分母只含質因數

2

和

5

才能化成有限小數。(1)

\frac{64}{14} = \frac{32}{7}

；(2)

\frac{385}{15} = \frac{77}{3}

；(3)

123 = 3 \times 41

，

861 = 3 \times 7 \times 41

，

\frac{861}{123} = 7

是整數，可以；(4)

9999 = 3^{2} \times 11 \times 101

與

35 = 5 \times 7

互質，分母含

7

；(5)

1042 = 2 \times 521

，與

63

互質，分母含

521

。

判斷前一定要先約分：(3) 看起來分母有

3

和

41

，約分後分母是

1

。

第 2 題答案 (4)。(1) 錯：

2^{a} > 0

是有理數，非零有理數乘無理數一定是無理數。(2) 錯：

12 = 23

，等式只能推出

a + 2 b = c + 2 d

，例如

a = 2, b = 0, c = 0, d = 1

。(3) 錯：取

b = 1, c = 2, d = - 2

，

a + b c + d = a

是有理數。(4) 對：有理數乘有理數還是有理數。(5) 錯：

a = 2, b = 8

，

lo g 2

、

lo g 8

都是無理數，但

a + b = 10

。

判斷「必為」的敘述，找一個反例就能推翻；(3) 的反例是讓兩個無理部分互相抵消。

有限小數先約分再看分母；有理、無理的敘述先想封閉性，再找反例。

多選 3～4：絕對值的範圍與指數、對數的定義

第 3 題答案 (1)(3)。

∣ x - 2∣ + ∣ x + 5∣

是數線上

x

到

2

與到

- 5

的距離和，最小值是兩點距離

7

（

- 5 \leq x \leq 2

時），沒有最大值；所以 (1)

= 4

無解，(2)

\leq 9

有解（例如

x = 0

）。

∣ x - 2∣ - ∣ x + 5∣

是距離差，範圍是

- 7

到

7

；所以 (3)

\geq 8

無解，(4)

\leq 4

、(5)

< 5

都有解（例如

x = 0

時值為

- 3

）。

距離和的最小值、距離差的範圍，都由兩點距離

7

決定。

第 4 題答案 (2)(5)。(1) 錯：底數是負數時，指數只能是整數，

(- 2)^{- 3}

沒有定義。(2) 對：令

t = a^{\frac{1}{2}} > 0

，

t + \frac{1}{t} = 2

得

(t - 1)^{2} = 0

，

t = 1

，

a = 1

，所以

a^{2025} + a^{- 2025} = 1 + 1 = 2

。(3) 錯：偶次方根內不能是負數，

6 - 2

在實數裡沒有定義。(4) 錯：

1 0^{n l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{n} = 2^{n}

，不是

2 n

。(5) 對：左邊

lo g 4 + lo g 9 = lo g 36

，右邊

lo g (- 6)^{2} = lo g 36

。

(5) 裡的

lo g (- 2)^{2}

是

lo g 4

，先平方再取對數，所以有意義。

填充 5～9：指數律、雙重根號與分點

第 5 題全部化成

2

、

3

的次方：

3729 = 3^{2}

，

(\frac{1}{6})^{- 5} = 6^{5} = 2^{5} \cdot 3^{5}

，

7 2^{3} = (2^{3} \cdot 3^{2})^{3} = 2^{9} \cdot 3^{6}

，

3 6^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}

。由左而右計算，

2

的次方：

5 - 9 + \frac{2}{3} = - \frac{10}{3}

；

3

的次方：

2 + 5 - 6 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}

。答案

(m, n) = (- \frac{10}{3}, \frac{5}{3})

。

第 6 題

∣2 x - 3∣ < 4 ⟺ - 4 < 2 x - 3 < 4 ⟺ - 1 < 2 x < 7

，所以

- \frac{1}{2} < x < \frac{7}{2}

。

第 7 題令

t = (3)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{6}}

，則

(9)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{3}} = t^{2}

。原式

= (t - \frac{1}{t}) (t^{2} + 1 + \frac{1}{t ^{2}}) = t^{3} - \frac{1}{t ^{3}}

（立方差公式）。

t^{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3

，所以答案

3 - \frac{1}{3} = \frac{2 3}{3}

。

看出第二個括號是

t^{2} + 1 + t^{- 2}

，就能直接用立方差，不必展開。

第 8 題分子分母同乘

5 + 21

：原數

= \frac{5 + 21}{25 - 21} = \frac{5 + 21}{2}

。

4 < 21 < 5

，所以原數介於

4.5

和

5

之間，整數部分是

4

，

x = \frac{5 + 21}{2} - 4 = \frac{21 - 3}{2}

。

\frac{3}{x} = \frac{6}{21 - 3} = \frac{6 ( 21 + 3 )}{12} = \frac{21 + 3}{2}

，相加得

21

。

第 9 題

3 - 8 = 3 - 22 = (2 - 1)^{2}

，所以

A = 2 - 1

；

17 + 122 = 17 + 272 = (3 + 22)^{2}

，所以

B = 3 + 22

。

P

在線段上且

\overline{A P} : \overline{P B} = 1 : 3

，

P = \frac{3 A + 1 \cdot B}{4} = \frac{3 2 - 3 + 3 + 2 2}{4} = \frac{5 2}{4}

。

分點公式的權重是交叉的：離

A

近，

A

的權重就大。

填充 10～14：對數運算、算幾不等式與絕對值不等式

第 10 題

x = \frac{lo g 81}{lo g 106} = \frac{4 lo g 3}{lo g 106}

，所以

\frac{4}{x} = \frac{lo g 106}{lo g 3}

；同理

\frac{3}{y} = \frac{lo g 2862}{lo g 3}

。相減：

\frac{lo g 106 - lo g 2862}{lo g 3} = \frac{lo g \frac{1}{27}}{lo g 3} = \frac{- 3 lo g 3}{lo g 3} = - 3

。

2862 = 106 \times 27

，數字設計成可以整除。

第 11 題

a^{2}

與

36 b^{2} = (6 b)^{2}

用算幾不等式：

a^{2} + (6 b)^{2} \geq 2∣ a ∣ \cdot ∣6 b ∣ = 12∣ ab ∣

，所以

12∣ ab ∣ \leq 8

，

∣ ab ∣ \leq \frac{2}{3}

，

ab \geq - \frac{2}{3}

。等號在

∣ a ∣ = ∣6 b ∣

，取

a = 2, b = - \frac{1}{3}

時

a^{2} + 36 b^{2} = 4 + 4 = 8

、

ab = - \frac{2}{3}

，做得到。最小值

- \frac{2}{3}

。

要最小值，就讓

a

、

b

異號；等號要真的取得到。

第 12 題分三段。

x \geq 6

：

2 (x + 1) - (x - 6) = x + 8 \geq 3 x - 4

，得

x \leq 6

，只有

x = 6

。

- 1 \leq x < 6

：

2 (x + 1) - (6 - x) = 3 x - 4 \geq 3 x - 4

恆成立。

x < - 1

：

- 2 (x + 1) - (6 - x) = - x - 8 \geq 3 x - 4

，得

x \leq - 1

，這段全部成立。合起來

x \leq 6

。

第 13 題

lo g 2 + lo g 5 = lo g 10 = 1

，所以方程式是

x^{2} - (lo g 2 + lo g 5) x + lo g 2 \cdot lo g 5 = 0

，即

(x - lo g 2) (x - lo g 5) = 0

，

x = lo g 2

或

lo g 5

。

第 14 題

∣ x - 1∣ \leq 3 ⟺ - 2 \leq x \leq 4

。

∣ x - a ∣ \geq 6 ⟺ x \leq a - 6

或

x \geq a + 6

。要和

[- 2, 4]

的交集剛好是

[3, 4]

，只能是

x \geq a + 6

那一段切在

3

：

a + 6 = 3

，

a = - 3

。檢查：此時另一段

x \leq - 9

與

[- 2, 4]

不重疊，解確實是

3 \leq x \leq 4

。

絕對值不等式先翻成區間或分段，最後一定要把各段合起來、再代回檢查。

填充 15～16：根式比大小與分貝

第 15 題用近似值：

11 \approx 3.317

、

6 \approx 2.449

、

5 \approx 2.236

、

2 \approx 1.414

，得

a \approx 0.867

、

b \approx 1.035

、

c \approx 0.822

。由大而小為

b, a, c

。

也可以不用近似值：

b > c

因為

6 > 5

；

a - c = (11 + 2) - (6 + 5)

，兩邊平方比

13 + 222

與

11 + 230

，即比

1 + 22 \approx 5.69

與

30 \approx 5.48

，所以

a > c

；

b - a = 26 - 2 - 11

，平方比

24

與

13 + 222 \approx 22.4

，所以

b > a

。

第 16 題一台

108

分貝：

10 lo g ω = 108

，

ω = 1 0^{10.8}

。聲音強度可以相加，

n

台的強度是

n \cdot 1 0^{10.8}

，分貝數

10 lo g (n \cdot 1 0^{10.8}) = 108 + 10 lo g n

。要

108 + 10 lo g n \leq 120

，即

lo g n \leq 1.2

，

n \leq 1 0^{1.2} = 10 \times 1 0^{0.2} \approx 15.85

，最多開

15

台。至少關閉

25 - 15 = 10

台。

相加的是強度

ω

，不是分貝數；分貝要先換回強度再加。

混合題 17～19：pH 值

想法

p H = - lo g [H^{+}] ⟺ [H^{+}] = 1 0^{- p H}

。蜂蜜水

[H^{+}] = 1 0^{- 4.3}

，檸檬水

[H^{+}] = 1 0^{- 2.3}

。混合時，氫離子的總量（濃度 × 體積）相加，再除以總體積。

第 17 題答案 (3)。

\frac{1 0 ^{- 2.3}}{1 0 ^{- 4.3}} = 1 0^{2} = 100

。

第 18 題各

300

ml 混合，總體積

600

ml：

[H^{+}] = \frac{300 \cdot 1 0 ^{- 2.3} + 300 \cdot 1 0 ^{- 4.3}}{600} = \frac{1 0 ^{- 2.3} ( 1 + 0.01 )}{2} = 0.505 \times 1 0^{- 2.3} = 5.05 \times 1 0^{- 3.3}

。

p H = - lo g (5.05 \times 1 0^{- 3.3}) = 3.3 - lo g 5.05 \approx 3.3 - 0.7032 = 2.5968

，四捨五入得

2.6

。

第 19 題設取蜂蜜水

h

ml、檸檬水

ℓ

ml，則

h + ℓ = 330

，且氫離子總量

h \cdot 1 0^{- 4.3} + ℓ \cdot 1 0^{- 2.3} = 330 \cdot 1 0^{- 3.3}

。兩邊除以

1 0^{- 4.3}

：

h + 100 ℓ = 3300

。與

h + ℓ = 330

相減得

99 ℓ = 2970

，

ℓ = 30

，

h = 300

。所以蜂蜜水

300

ml、檸檬水

30

ml，現有的量都夠用。

非選題要寫出設的未知數、兩條等式與解的過程；最後確認

h = 300

沒有超過現有的

300

ml。

濃度不能直接平均，要先算總量再除以總體積；對數只在最後一步取。

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第 4 題負數底數與偶次方根沒有定義、第 12 題絕對值不等式分段後要把各段合起來、第 16 題要把分貝換回聲音強度再相加，以及第 18、19 題混合時要用氫離子總量計算而不是直接平均 pH 值。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷

成功高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學：試題、答案與詳解

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(1) $\frac{64}{14}$
(2) $\frac{385}{15}$
(3) $\frac{861}{123}$
(4) $\frac{9999}{35}$
(5) $\frac{63}{1042}$

下列哪一個選項的敘述是正確的？

(1) 若 $2^{a}$ 是有理數， $3^{b}$ 為無理數，則 $2^{a} \cdot 3^{b}$ 有可能是有理數
(2) 若 $a, b, c, d$ 是有理數，且 $a 3 + b 12 = c 3 + d 12$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$
(3) 若 $a, b$ 是有理數， $c, d$ 無理數，則 $a + b \times c + d$ 必為無理數
(4) 若 $lo g a, lo g b$ 是有理數，則 $(lo g a) \times (lo g b)$ 必為有理數
(5) 若 $lo g a, lo g b$ 是無理數，則 $a + b$ 必為無理數

二、多選題（占 16 分）說明：第 3 題至第 4 題，每題 8 分。（8－5－2－0）

下列哪一個選項的

x

是無解？

(1) $∣ x - 2∣ + ∣ x + 5∣ = 4$
(2) $∣ x - 2∣ + ∣ x + 5∣ \leq 9$
(3) $∣ x - 2∣ - ∣ x + 5∣ \geq 8$
(4) $∣ x - 2∣ - ∣ x + 5∣ \leq 4$
(5) $∣ x - 2∣ - ∣ x + 5∣ < 5$

若

a, n

皆為實數，則下列哪一個選項的敘述或式子是正確的？

(1) $(- 2)^{- 3} = \frac{1}{( - 2 ) ^{3}}$
(2) 若 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 2$ ，則 $a^{2025} + a^{- 2025} = 2$
(3) $6 - 2 = (- 2)^{\frac{1}{6}}$
(4) $1 0^{n l o g 2} = n \cdot 2$
(5) $lo g (- 2)^{2} + lo g 3^{2} = lo g (- 2 \times 3)^{2}$

三、填充題（占 60 分）說明：第 5 題至第 16 題，每題 5 分。

若

3729 \times (\frac{1}{6})^{- 5} \div 7 2^{3} \times 3 6^{\frac{1}{3}} = 2^{m} \times 3^{n}

，則序對

(m, n) =

____。

若

∣2 x - 3∣ < 4

，則

x

的範圍為 ____。

試求

[(3)^{\frac{1}{3}} - (3)^{- \frac{1}{3}}] [(9)^{\frac{1}{3}} + (9)^{- \frac{1}{3}} + 1]

的值為 ____。

若

x

為

\frac{5 + 21}{5 - 21}

的小數部分，則

x + \frac{3}{x}

的值為 ____。

數線上兩點

A (3 - 8)

、

B (17 + 122)

，若

P

點在

\overline{A B}

線段上，且滿足

\overline{P B} = 3 \overline{P A}

，試求

P

點坐標 ____。

若

10 6^{x} = 81

，

286 2^{y} = 27

，則

\frac{4}{x} - \frac{3}{y}

的值為 ____。

若

a

、

b

為實數，已知

a^{2} + 36 b^{2} = 8

，試求

ab

的最小值 ____。

解不等式

2∣ x + 1∣ - ∣ x - 6∣ \geq 3 x - 4

，則

x

的範圍 ____。

若

x^{2} - x + lo g 2 \times lo g 5 = 0

，則

x

的值為 ____。

若不等式

{∣ x - 1∣ \leq 3 ∣ x - a ∣ \geq 6

的解為

3 \leq x \leq 4

，試求

a

值 ____。

若

a = 11 - 6

，

b = 6 - 2

，

c = 5 - 2

，則

a, b, c

由大而小依序寫出為 ____。

某一天后級歌手開演唱會，因門票一票難求，故在場外架設

25

台直播的電視牆。已知每一台電視牆發出

108

分貝的聲音，且已知聲音的分貝

s

與聲音的強度

ω

的關係為

s = 10 \cdot lo g ω

。主辦方為避免被投訴而遭環保局開罰，欲控制電視牆的聲音在

120

分貝以內，則請問場外的電視牆至少要關閉 ____ 台，才能達到主辦方的要求。（

1 0^{0.2} \approx 1.585

）

17－19 題組（第 17～19 題）　我們常用

p H

值來表示溶液的酸鹼程度。其中

p H

值是以溶液中的氫離子濃度

[H^{+}]

計算出來的，

p H

值與溶液中氫離子濃度

[H^{+}]

的關係式為：

p H = - lo g [H^{+}]

。今有

p H

值

4.3

的蜂蜜水

300

ml，

p H

值

2.3

的檸檬水

300

ml。

檸檬水

[H^{+}]

濃度是蜂蜜水

[H^{+}]

濃度的幾倍？（單選題，3 分）

(1) $\frac{2}{3}$
(2) $\frac{1}{100}$
(3) $100$
(4) $\frac{3}{2}$
(5) $\frac{23}{43}$

將現有的蜂蜜水與檸檬水全部混合成蜂蜜檸檬水，混合後的

p H

值為何 ____。（四捨五入至小數點以下第一位，

lo g 5.05 \approx 0.7032

）（填充題，4 分）

欲將現有的蜂蜜水和檸檬水各取一些出來調配成

p H = 3.3

的蜂蜜檸檬水

330

ml，請問各需多少 ml 才能調製出來。（非選擇題，5 分）

答案一覽

第 1 題　(3)

第 2 題　(4)

第 3 題　(1)(3)

第 4 題　(2)(5)

第 5 題　 $(- \frac{10}{3}, \frac{5}{3})$

第 6 題　 $- \frac{1}{2} < x < \frac{7}{2}$

第 7 題　 $\frac{2 3}{3}$

第 8 題　 $21$

第 9 題　 $\frac{5 2}{4}$

第 10 題　 $- 3$

第 11 題　 $- \frac{2}{3}$

第 12 題　 $x \leq 6$

第 13 題　 $lo g 2$ 或 $lo g 5$

第 14 題　 $- 3$

第 15 題　 $b, a, c$

第 16 題　 $10$

第 17 題　(3)

第 18 題　 $2.6$

第 19 題　蜂蜜水 $300$ ml、檸檬水 $30$ ml

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

逐題詳解

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

單選 1～2：有限小數與有理數的判斷

第 1 題答案 (3)。分數先約成最簡分數，分母只含質因數

2

和

5

才能化成有限小數。(1)

\frac{64}{14} = \frac{32}{7}

；(2)

\frac{385}{15} = \frac{77}{3}

；(3)

123 = 3 \times 41

，

861 = 3 \times 7 \times 41

，

\frac{861}{123} = 7

是整數，可以；(4)

9999 = 3^{2} \times 11 \times 101

與

35 = 5 \times 7

互質，分母含

7

；(5)

1042 = 2 \times 521

，與

63

互質，分母含

521

。

判斷前一定要先約分：(3) 看起來分母有

3

和

41

，約分後分母是

1

。

第 2 題答案 (4)。(1) 錯：

2^{a} > 0

是有理數，非零有理數乘無理數一定是無理數。(2) 錯：

12 = 23

，等式只能推出

a + 2 b = c + 2 d

，例如

a = 2, b = 0, c = 0, d = 1

。(3) 錯：取

b = 1, c = 2, d = - 2

，

a + b c + d = a

是有理數。(4) 對：有理數乘有理數還是有理數。(5) 錯：

a = 2, b = 8

，

lo g 2

、

lo g 8

都是無理數，但

a + b = 10

。

判斷「必為」的敘述，找一個反例就能推翻；(3) 的反例是讓兩個無理部分互相抵消。

有限小數先約分再看分母；有理、無理的敘述先想封閉性，再找反例。

多選 3～4：絕對值的範圍與指數、對數的定義

第 3 題答案 (1)(3)。

∣ x - 2∣ + ∣ x + 5∣

是數線上

x

到

2

與到

- 5

的距離和，最小值是兩點距離

7

（

- 5 \leq x \leq 2

時），沒有最大值；所以 (1)

= 4

無解，(2)

\leq 9

有解（例如

x = 0

）。

∣ x - 2∣ - ∣ x + 5∣

是距離差，範圍是

- 7

到

7

；所以 (3)

\geq 8

無解，(4)

\leq 4

、(5)

< 5

都有解（例如

x = 0

時值為

- 3

）。

距離和的最小值、距離差的範圍，都由兩點距離

7

決定。

第 4 題答案 (2)(5)。(1) 錯：底數是負數時，指數只能是整數，

(- 2)^{- 3}

沒有定義。(2) 對：令

t = a^{\frac{1}{2}} > 0

，

t + \frac{1}{t} = 2

得

(t - 1)^{2} = 0

，

t = 1

，

a = 1

，所以

a^{2025} + a^{- 2025} = 1 + 1 = 2

。(3) 錯：偶次方根內不能是負數，

6 - 2

在實數裡沒有定義。(4) 錯：

1 0^{n l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{n} = 2^{n}

，不是

2 n

。(5) 對：左邊

lo g 4 + lo g 9 = lo g 36

，右邊

lo g (- 6)^{2} = lo g 36

。

(5) 裡的

lo g (- 2)^{2}

是

lo g 4

，先平方再取對數，所以有意義。

填充 5～9：指數律、雙重根號與分點

第 5 題全部化成

2

、

3

的次方：

3729 = 3^{2}

，

(\frac{1}{6})^{- 5} = 6^{5} = 2^{5} \cdot 3^{5}

，

7 2^{3} = (2^{3} \cdot 3^{2})^{3} = 2^{9} \cdot 3^{6}

，

3 6^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}

。由左而右計算，

2

的次方：

5 - 9 + \frac{2}{3} = - \frac{10}{3}

；

3

的次方：

2 + 5 - 6 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}

。答案

(m, n) = (- \frac{10}{3}, \frac{5}{3})

。

第 6 題

∣2 x - 3∣ < 4 ⟺ - 4 < 2 x - 3 < 4 ⟺ - 1 < 2 x < 7

，所以

- \frac{1}{2} < x < \frac{7}{2}

。

第 7 題令

t = (3)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{6}}

，則

(9)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{3}} = t^{2}

。原式

= (t - \frac{1}{t}) (t^{2} + 1 + \frac{1}{t ^{2}}) = t^{3} - \frac{1}{t ^{3}}

（立方差公式）。

t^{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3

，所以答案

3 - \frac{1}{3} = \frac{2 3}{3}

。

看出第二個括號是

t^{2} + 1 + t^{- 2}

，就能直接用立方差，不必展開。

第 8 題分子分母同乘

5 + 21

：原數

= \frac{5 + 21}{25 - 21} = \frac{5 + 21}{2}

。

4 < 21 < 5

，所以原數介於

4.5

和

5

之間，整數部分是

4

，

x = \frac{5 + 21}{2} - 4 = \frac{21 - 3}{2}

。

\frac{3}{x} = \frac{6}{21 - 3} = \frac{6 ( 21 + 3 )}{12} = \frac{21 + 3}{2}

，相加得

21

。

第 9 題

3 - 8 = 3 - 22 = (2 - 1)^{2}

，所以

A = 2 - 1

；

17 + 122 = 17 + 272 = (3 + 22)^{2}

，所以

B = 3 + 22

。

P

在線段上且

\overline{A P} : \overline{P B} = 1 : 3

，

P = \frac{3 A + 1 \cdot B}{4} = \frac{3 2 - 3 + 3 + 2 2}{4} = \frac{5 2}{4}

。

分點公式的權重是交叉的：離

A

近，

A

的權重就大。

填充 10～14：對數運算、算幾不等式與絕對值不等式

第 10 題

x = \frac{lo g 81}{lo g 106} = \frac{4 lo g 3}{lo g 106}

，所以

\frac{4}{x} = \frac{lo g 106}{lo g 3}

；同理

\frac{3}{y} = \frac{lo g 2862}{lo g 3}

。相減：

\frac{lo g 106 - lo g 2862}{lo g 3} = \frac{lo g \frac{1}{27}}{lo g 3} = \frac{- 3 lo g 3}{lo g 3} = - 3

。

2862 = 106 \times 27

，數字設計成可以整除。

第 11 題

a^{2}

與

36 b^{2} = (6 b)^{2}

用算幾不等式：

a^{2} + (6 b)^{2} \geq 2∣ a ∣ \cdot ∣6 b ∣ = 12∣ ab ∣

，所以

12∣ ab ∣ \leq 8

，

∣ ab ∣ \leq \frac{2}{3}

，

ab \geq - \frac{2}{3}

。等號在

∣ a ∣ = ∣6 b ∣

，取

a = 2, b = - \frac{1}{3}

時

a^{2} + 36 b^{2} = 4 + 4 = 8

、

ab = - \frac{2}{3}

，做得到。最小值

- \frac{2}{3}

。

要最小值，就讓

a

、

b

異號；等號要真的取得到。

第 12 題分三段。

x \geq 6

：

2 (x + 1) - (x - 6) = x + 8 \geq 3 x - 4

，得

x \leq 6

，只有

x = 6

。

- 1 \leq x < 6

：

2 (x + 1) - (6 - x) = 3 x - 4 \geq 3 x - 4

恆成立。

x < - 1

：

- 2 (x + 1) - (6 - x) = - x - 8 \geq 3 x - 4

，得

x \leq - 1

，這段全部成立。合起來

x \leq 6

。

第 13 題

lo g 2 + lo g 5 = lo g 10 = 1

，所以方程式是

x^{2} - (lo g 2 + lo g 5) x + lo g 2 \cdot lo g 5 = 0

，即

(x - lo g 2) (x - lo g 5) = 0

，

x = lo g 2

或

lo g 5

。

第 14 題

∣ x - 1∣ \leq 3 ⟺ - 2 \leq x \leq 4

。

∣ x - a ∣ \geq 6 ⟺ x \leq a - 6

或

x \geq a + 6

。要和

[- 2, 4]

的交集剛好是

[3, 4]

，只能是

x \geq a + 6

那一段切在

3

：

a + 6 = 3

，

a = - 3

。檢查：此時另一段

x \leq - 9

與

[- 2, 4]

不重疊，解確實是

3 \leq x \leq 4

。

絕對值不等式先翻成區間或分段，最後一定要把各段合起來、再代回檢查。

填充 15～16：根式比大小與分貝

第 15 題用近似值：

11 \approx 3.317

、

6 \approx 2.449

、

5 \approx 2.236

、

2 \approx 1.414

，得

a \approx 0.867

、

b \approx 1.035

、

c \approx 0.822

。由大而小為

b, a, c

。

也可以不用近似值：

b > c

因為

6 > 5

；

a - c = (11 + 2) - (6 + 5)

，兩邊平方比

13 + 222

與

11 + 230

，即比

1 + 22 \approx 5.69

與

30 \approx 5.48

，所以

a > c

；

b - a = 26 - 2 - 11

，平方比

24

與

13 + 222 \approx 22.4

，所以

b > a

。

第 16 題一台

108

分貝：

10 lo g ω = 108

，

ω = 1 0^{10.8}

。聲音強度可以相加，

n

台的強度是

n \cdot 1 0^{10.8}

，分貝數

10 lo g (n \cdot 1 0^{10.8}) = 108 + 10 lo g n

。要

108 + 10 lo g n \leq 120

，即

lo g n \leq 1.2

，

n \leq 1 0^{1.2} = 10 \times 1 0^{0.2} \approx 15.85

，最多開

15

台。至少關閉

25 - 15 = 10

台。

相加的是強度

ω

，不是分貝數；分貝要先換回強度再加。

混合題 17～19：pH 值

想法

p H = - lo g [H^{+}] ⟺ [H^{+}] = 1 0^{- p H}

。蜂蜜水

[H^{+}] = 1 0^{- 4.3}

，檸檬水

[H^{+}] = 1 0^{- 2.3}

。混合時，氫離子的總量（濃度 × 體積）相加，再除以總體積。

第 17 題答案 (3)。

\frac{1 0 ^{- 2.3}}{1 0 ^{- 4.3}} = 1 0^{2} = 100

。

第 18 題各

300

ml 混合，總體積

600

ml：

[H^{+}] = \frac{300 \cdot 1 0 ^{- 2.3} + 300 \cdot 1 0 ^{- 4.3}}{600} = \frac{1 0 ^{- 2.3} ( 1 + 0.01 )}{2} = 0.505 \times 1 0^{- 2.3} = 5.05 \times 1 0^{- 3.3}

。

p H = - lo g (5.05 \times 1 0^{- 3.3}) = 3.3 - lo g 5.05 \approx 3.3 - 0.7032 = 2.5968

，四捨五入得

2.6

。

第 19 題設取蜂蜜水

h

ml、檸檬水

ℓ

ml，則

h + ℓ = 330

，且氫離子總量

h \cdot 1 0^{- 4.3} + ℓ \cdot 1 0^{- 2.3} = 330 \cdot 1 0^{- 3.3}

。兩邊除以

1 0^{- 4.3}

：

h + 100 ℓ = 3300

。與

h + ℓ = 330

相減得

99 ℓ = 2970

，

ℓ = 30

，

h = 300

。所以蜂蜜水

300

ml、檸檬水

30

ml，現有的量都夠用。

非選題要寫出設的未知數、兩條等式與解的過程；最後確認

h = 300

沒有超過現有的

300

ml。

濃度不能直接平均，要先算總量再除以總體積；對數只在最後一步取。

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試題

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逐題詳解

單選 1～2：有限小數與有理數的判斷

多選 3～4：絕對值的範圍與指數、對數的定義

填充 5～9：指數律、雙重根號與分點

填充 10～14：對數運算、算幾不等式與絕對值不等式

填充 15～16：根式比大小與分貝

混合題 17～19：pH 值

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