段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式、絕對值、指數、科學記號、常用對數）

南大附中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 南大附中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 南大附中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 12 題由和求差，平方後有正負兩種可能，選項只寫其中一個所以不能選；第 15 題科學記號的位數與小數點後第幾位都要數清楚；第 22 題芮氏規模差 4.2 要把 32 改寫成 2 的 5 次方；第 25 題小於 1 的數取 log 是負的，高斯符號要往更小的整數取。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

單選題 10 題（40 分）、多選題 5 題（20 分）、填充題 10 題（40 分）

一、單選題（一題 4 分，共 40 分）

下列哪個選項的值為最大？

(A) $0.98$
(B) $0.98 \overline{7}$
(C) $0.9 \overline{87}$
(D) $0. \overline{987}$
(E) $0.987$

下列哪一個數為有理數？

(A) $21$
(B) $22$
(C) $23$
(D) $24$
(E) $25$

下列何者為

a^{3} + b^{3}

的乘法公式？

(A) $(a + b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(B) $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$
(C) $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(D) $(a - b) (a^{2} - ab + b^{2})$
(E) $(a - b) (a^{2} - 2 ab + b^{2})$

請問

11 + 62

介在哪兩個連續整數之間？

(A) $1$ 與 $2$
(B) $2$ 與 $3$
(C) $3$ 與 $4$
(D) $4$ 與 $5$
(E) $5$ 與 $6$

設

A (- 5)

，

B (1)

為數線上兩點，已知

P

點在

A

，

B

之間，且

\overline{A P} = 2 \overline{B P}

，求點

P (x)

的坐標為

(A) $- 1$
(B) $- 2$
(C) $- 3$
(D) $- 4$
(E) $- 5$

設

a < b

，下列各數中何者最大？

(A) $a$
(B) $\frac{4 a + b}{5}$
(C) $\frac{2 a + 3 b}{5}$
(D) $\frac{3 a + 2 b}{5}$
(E) $\frac{a + 4 b}{5}$

在合適的環境下，草履蟲平均每

6

小時就可以分裂成原來的

2

倍。問：

2

個草履蟲經過

24

小時之後將會變成多少個？

(A) $4$
(B) $8$
(C) $16$
(D) $32$
(E) $64$

若

a = (\frac{1}{2})^{(\frac{1}{2})}

，下列何者正確？

(A) $a < 0.5$
(B) $0.5 \leq a < 0.6$
(C) $0.6 \leq a < 0.7$
(D) $0.7 \leq a < 0.8$
(E) $a \geq 0.8$

計算

2.5 \times 1 0^{- 6} - 5 \times 1 0^{- 7}

的值為多少？

(A) $- 4.75 \times 1 0^{- 7}$
(B) $2 \times 1 0^{- 6}$
(C) $2 \times 1 0^{- 7}$
(D) $2.5 \times 1 0^{- 6}$
(E) $2.5 \times 1 0^{- 7}$

已知

a = lo g 2

，則

1 0^{- 2 a}

之值為何？

(A) $2$
(B) $- 2$
(C) $\frac{1}{4}$
(D) $4$
(E) $1$

二、多選題（一題 4 分，共 20 分）（本頁第 11～15 題依序為流傳版本多選第 1～5 題）

下列哪些數為有理數？

(A) $\frac{1}{2}$
(B) $1.23$
(C) $4.5 \overline{6}$
(D) $2 + 4$
(E) $π$

若

t + \frac{1}{t} = 5

，則下列選項哪些正確？

(A) $t - \frac{1}{t} = 1$
(B) $t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = 3$
(C) $t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = 25$
(D) $t^{4} + \frac{1}{t ^{4}} = 7$
(E) $t^{6} + \frac{1}{t ^{6}} = 18$

當

x

為下列哪些區間內的值時，可使得方程式

∣ x - 3∣ + ∣ x - 8∣ = 5

成立？

(A) $[1, 2]$
(B) $[3, 4]$
(C) $[5, 6]$
(D) $[7, 8]$
(E) $[9, 10]$

選出正確的選項：

(A) $2^{3} = 8$
(B) $2^{0} = 0$
(C) $2^{- 1} = - \frac{1}{2}$
(D) $2^{\frac{1}{3}} = 32$
(E) $2^{- \frac{1}{3}} = - \frac{1}{2 ^{3}}$

設

a = 7.53 \times 1 0^{23}

、

b = 2.3 \times 1 0^{- 9}

，請選出正確選項：

(A) $a$ 為 $23$ 位數
(B) $a$ 的有效數字有 $3$ 位
(C) $b$ 從小數點後第 $10$ 位開始出現不為 $0$ 的數字
(D) $b$ 的有效數字有 $9$ 位
(E) $a + b$ 的最高位數字是 $7$

三、填充題（一題 4 分，共 40 分）（本頁第 16～25 題依序為流傳版本填充第 1～10 題）

設

11 + 62 = a + b

，其中

a

是整數，

0 \leq b < 1

，則

b =

____。（請以最簡根式表示）

化為最簡根式：

\frac{1}{2 + 3} + \frac{2}{- 4 5 - 4 3 + 27 + 125} =

____。（請以最簡根式表示）

世界衛生組織計算男性標準體重之方法如下：（身高(cm)

- 80

）

\times 70% =

標準體重(kg)，且定義標準體重正負

10%

為正常體重。今有一位身高

180

公分的男性，標準體重為

70

公斤，若正常體重為

x

公斤，

x

的範圍表示成

∣ x - 70∣ \leq a

，則

a =

____。

不等式

∣3 - 2 x ∣ \leq 15

的解，用區間符號表示為 ____。

若

∣ x + a ∣ > 4

的解為

x > 7

或

x < - 1

，則

a

為 ____。

將一張厚度為

0.02

公分足夠大的紙，一直對摺，問：對摺

10

次後厚度為 ____ 公分。（請以小數形式表示）

芮氏規模為地震大小的標度，芮氏規模每增加

1

，釋放的能量約變為

32

倍。已知芮氏規模

7.2

所釋放的能量是芮氏規模

3.0

的

2^{n}

倍，求

n

的值

=

____。

電腦科學的基礎與二進位有關，在實用上，記憶體基本單位是 Byte，簡寫為 B。為了處理很大的數據，所以規定

1 KB = 2^{10} B

，

1 MB = 2^{20} B

，

1 GB = 2^{30} B

。今天小櫻使用數位相機拍照，只要設定每一張相片檔案大小均為

8

MB，一張

256

GB 的記憶卡就剛好可以儲存

2^{n}

張相片，求

n

的值

=

____。

聲功率(Sound Power)指的是聲源在單位時間內發射出的總聲能量，單位是瓦(

W

)。聲功率級(Sound Power Level)指的是聲源的實際功率

W

與參考功率

W_{0}

之比，取常用對數，單位為貝爾(B)。常用的聲功率級單位是分貝(dB)，「分」(deci-)指十分之一，所以分貝(dB)是十分之一貝爾之意。已知參考功率

W_{0}

為

1

(

W

)，則聲功率級為

20

(dB)的聲源，實際功率

W

為 ____ (

W

)。（請以整數表示）

[x]

為高斯符號，表示小於或等於此數字的最大整數。例如：

[1.25] = 1

、

[- 3.75] = - 4

，求

[lo g 2025] + [lo g 0.002025] =

____。（請以整數表示）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(E)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題(A)

第 6 題(E)

第 7 題(D)

第 8 題(D)

第 9 題(B)

第 10 題(C)

第 11 題(A)(B)(C)(D)

第 12 題(B)(C)(D)(E)

第 13 題(B)(C)(D)

第 14 題(A)(D)

第 15 題(B)(E)

第 16 題

2 - 1

第 17 題

2 + 5

第 18 題

7

第 19 題

[- 6, 9]

第 20 題

- 3

第 21 題

20.48

第 22 題

21

第 23 題

15

第 24 題

100

第 25 題

0

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：循環小數、有理數、立方和、雙重根號、分點

第 1 題答案 (D)。把五個數都寫到小數點後第六位：(A)

0.980000

，(B)

0.987777 \dots

，(C)

0.987878 \dots

，(D)

0.987987 \dots

，(E)

0.987000

。前三位

0.987

相同的有 (B)(C)(D)(E)，再比第四位：(B) 是

7

、(C) 是

8

、(D) 是

9

、(E) 是

0

，所以 (D) 最大。

循環節上的橫線蓋住哪幾位，就只重複那幾位；先展開再逐位比較。

第 2 題答案 (E)。

25 = 5

是整數，所以是有理數。

21

、

22

、

23

、

24

都介於

4^{2} = 16

和

5^{2} = 25

之間，不是完全平方數，它們的平方根都是無理數。

第 3 題答案 (B)。把 (B) 乘開：

(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} - a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b - a b^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3}

。(C) 乘開是

a^{3} - b^{3}

（立方差）。

立方和、立方差的記法：第一個括號的符號和原式相同，第二個括號中間項的符號相反。

第 4 題答案 (D)。

11 + 62 = 11 + 218

，找兩數和

11

、積

18

：

9

和

2

，所以

11 + 62 = 9 + 2 = 3 + 2

。

1 < 2 < 2

，所以

4 < 3 + 2 < 5

。另一種檢查：

11 + 62 \approx 11 + 8.49 = 19.49

，介於

4^{2} = 16

和

5^{2} = 25

之間。

化簡雙重根號前，先把裡面的根號係數整理成

2

的形式：

62 = 218

。

第 5 題答案 (A)。

\overline{A B} = 1 - (- 5) = 6

。

P

在

A

、

B

之間且

\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 1

，所以

\overline{A P} = 6 \times \frac{2}{3} = 4

，

x = - 5 + 4 = - 1

。驗算：

\overline{A P} = 4

，

\overline{B P} = 1 - (- 1) = 2

，

4 = 2 \times 2

。

\overline{A P} = 2 \overline{B P}

表示

P

離

B

比較近。

02單選 6～10：分點的大小、倍數成長、分數指數、科學記號、log 的意義

第 6 題答案 (E)。(B)～(E) 都是

a

和

b

的加權平均，都落在

a

與

b

之間，所以都比

a

大。它們的分母相同，比分子：

(a + 4 b) - (2 a + 3 b) = b - a > 0

，

(2 a + 3 b) - (3 a + 2 b) = b - a > 0

，

(3 a + 2 b) - (4 a + b) = b - a > 0

，所以

b

的係數越大的越大，(E) 最大。

用數線看：

\frac{a + 4 b}{5}

是把

a

到

b

這一段分成

5

等分後最靠近

b

的分點。也可以代

a = 0

、

b = 5

檢查：五個數依序是

0

、

1

、

3

、

2

、

4

。

第 7 題答案 (D)。

24

小時共分裂

24 \div 6 = 4

次，每次變成

2

倍，所以數量是

2 \times 2^{4} = 2^{5} = 32

個。

一開始就有

2

個，不是

1

個，

2^{4}

還要再乘以

2

。

第 8 題答案 (D)。

a = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} \approx \frac{1.414}{2} = 0.707

。不用近似值也可以判斷：

a^{2} = 0.5

，而

0. 7^{2} = 0.49

、

0. 8^{2} = 0.64

，

0.49 \leq 0.5 < 0.64

，所以

0.7 \leq a < 0.8

。

第 9 題答案 (B)。把兩個數換成同一個

10

的次方：

5 \times 1 0^{- 7} = 0.5 \times 1 0^{- 6}

，所以

2.5 \times 1 0^{- 6} - 0.5 \times 1 0^{- 6} = 2 \times 1 0^{- 6}

。

次方不同時，係數不能直接相減。

第 10 題答案 (C)。

a = lo g 2

表示

1 0^{a} = 2

。

1 0^{- 2 a} = (1 0^{a})^{- 2} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

。

a = lo g x

和

1 0^{a} = x

是同一件事；看到

10

的

lo g

次方，先換回指數式再用指數律。

03多選（第 11～15 題）：有理數、對稱式、絕對值的幾何意義、指數、科學記號

第 11 題答案 (A)(B)(C)(D)。(A) 分數，是有理數。(B)

1.23 = \frac{123}{100}

是有限小數，是有理數。(C)

4.5 \overline{6}

是循環小數，可以化成分數

\frac{456 - 45}{90} = \frac{411}{90} = \frac{137}{30}

，是有理數。(D)

2 + 4 = 2 + 2 = 4

，是有理數。(E)

π

是無理數。

(D) 有根號不代表是無理數，先化簡再判斷。

第 12 題答案 (B)(C)(D)(E)。(B) 對：兩邊平方，

t^{2} + 2 + \frac{1}{t ^{2}} = 5

，所以

t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = 3

。(A) 錯：

(t - \frac{1}{t})^{2} = t^{2} - 2 + \frac{1}{t ^{2}} = 3 - 2 = 1

，所以

t - \frac{1}{t} = \pm 1

，兩個值都可能，不一定是

1

。(C) 對：

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = (t + \frac{1}{t})^{3} - 3 (t + \frac{1}{t}) = 55 - 35 = 25

。(D) 對：

t^{4} + \frac{1}{t ^{4}} = (t^{2} + \frac{1}{t ^{2}})^{2} - 2 = 9 - 2 = 7

。(E) 對：

t^{6} + \frac{1}{t ^{6}} = (t^{3} + \frac{1}{t ^{3}})^{2} - 2 = 20 - 2 = 18

。

由

t + \frac{1}{t} = 5

解出

t = \frac{5 \pm 1}{2}

：取

+

時

t - \frac{1}{t} = 1

，取

-

時

t - \frac{1}{t} = - 1

，題目沒有指定是哪一個，所以 (A) 不能選。

第 13 題答案 (B)(C)(D)。

∣ x - 3∣ + ∣ x - 8∣

是數線上

x

到

3

的距離加上

x

到

8

的距離。

3

和

8

相距

5

：當

3 \leq x \leq 8

時，兩段距離剛好拼成整段，和等於

5

；

x

在這一段之外時，和大於

5

。所以方程式的解是

3 \leq x \leq 8

。整個落在

[3, 8]

裡面的區間是

[3, 4]

、

[5, 6]

、

[7, 8]

。檢查 (A)：

x = 1

時

2 + 7 = 9 \neq = 5

；(E)：

x = 9

時

6 + 1 = 7 \neq = 5

。

這個方程式的解不是一兩個數，而是一整段區間。端點

3

和

8

也成立。

第 14 題答案 (A)(D)。(A) 對：

2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8

。(B) 錯：

2^{0} = 1

。(C) 錯：

2^{- 1} = \frac{1}{2}

，負指數是取倒數，值仍是正的。(D) 對：

2^{\frac{1}{3}}

的定義就是

32

。(E) 錯：

2^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{2 ^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3 2}

，是正數，而

- \frac{1}{2 ^{3}} = - \frac{1}{8}

。

底數是正數時，不管指數是多少，結果一定是正數。

第 15 題答案 (B)(E)。(A) 錯：

7.53 \times 1 0^{23}

的整數部分是

753

後面接

21

個

0

，共

24

位數。(B) 對：

7.53

有

7

、

5

、

3

三位有效數字。(C) 錯：

2.3 \times 1 0^{- 9} = 0.0000000023

，小數點後前

8

位是

0

，第

9

位開始出現

2

。(D) 錯：

2.3

的有效數字是

2

位。(E) 對：

b

遠小於

1

，加到

a

上只影響小數點後面的位數，

a + b

的最高位數字仍是

7

。

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

，

n

是正整數）是

n + 1

位數；

a \times 1 0^{- n}

從小數點後第

n

位開始不為

0

。

04填充 1～5（第 16～20 題）：雙重根號、有理化、絕對值不等式

第 16 題和第 4 題是同一個數：

11 + 62 = 11 + 218 = 3 + 2

。

1 < 2 < 2

，所以

4 < 3 + 2 < 5

，整數部分

a = 4

，

b = (3 + 2) - 4 = 2 - 1

。

a

不是

3

：

2

本身大於

1

，還要再分出一個

1

給整數部分，剩下的

2 - 1 \approx 0.414

才介於

0

和

1

之間。

第 17 題第一項：

\frac{1}{2 + 3} = \frac{2 - 3}{( 2 + 3 ) ( 2 - 3 )} = \frac{2 - 3}{4 - 3} = 2 - 3

。第二項的分母先化簡：

27 = 33

，

125 = 55

，所以分母是

- 45 - 43 + 33 + 55 = 5 - 3

，

\frac{2}{5 - 3} = \frac{2 ( 5 + 3 )}{5 - 3} = 5 + 3

。相加：

(2 - 3) + (5 + 3) = 2 + 5

。

分母很長時先把每個根式化成最簡、合併同類根式，再有理化。

第 18 題標準體重

(180 - 80) \times 70% = 70

公斤。正負

10%

是

70 \times 10% = 7

公斤，所以正常體重是

70 - 7 \leq x \leq 70 + 7

，也就是

63 \leq x \leq 77

，寫成

∣ x - 70∣ \leq 7

，

a = 7

。

∣ x - 70∣ \leq a

的意思是「

x

和

70

的距離不超過

a

」，

a

是範圍的一半寬度。

第 19 題

∣3 - 2 x ∣ \leq 15

等於

- 15 \leq 3 - 2 x \leq 15

。各減

3

：

- 18 \leq - 2 x \leq 12

。各除以

- 2

，不等號方向要反過來：

9 \geq x \geq - 6

，也就是

- 6 \leq x \leq 9

，用區間表示為

[- 6, 9]

。

也可以先用

∣3 - 2 x ∣ = ∣2 x - 3∣

改寫成

- 15 \leq 2 x - 3 \leq 15

，就不用處理除以負數。兩端有等號，用中括號。

第 20 題

∣ x + a ∣ > 4

等於

x + a > 4

或

x + a < - 4

，也就是

x > 4 - a

或

x < - 4 - a

。和「

x > 7

或

x < - 1

」對照：

4 - a = 7

，得

a = - 3

；檢查另一邊

- 4 - a = - 4 + 3 = - 1

，相符。

用幾何意義看：解的兩個端點

- 1

和

7

的中點是

3

，所以不等式是

∣ x - 3∣ > 4

，

a = - 3

。

絕對值不等式

∣ x - c ∣ \leq r

是以

c

為中心、左右各

r

的一段；

∣ x - c ∣ > r

是這一段的外面。

05填充 6～10（第 21～25 題）：指數的情境題與常用對數

第 21 題每對摺一次厚度變成

2

倍，對摺

10

次是

2^{10} = 1024

倍，厚度

0.02 \times 1024 = 20.48

公分。

第 22 題規模相差

7.2 - 3.0 = 4.2

，每增加

1

能量變為

32

倍，所以能量是

3 2^{4.2}

倍。

32 = 2^{5}

，

3 2^{4.2} = (2^{5})^{4.2} = 2^{5 \times 4.2} = 2^{21}

，

n = 21

。

把

32

換成以

2

為底，指數相乘

5 \times 4.2 = 21

。

第 23 題

256 GB = 2^{8} \times 2^{30} B = 2^{38} B

，

8 MB = 2^{3} \times 2^{20} B = 2^{23} B

。可存的張數是

2^{38} \div 2^{23} = 2^{38 - 23} = 2^{15}

，

n = 15

。

也可以先算

1 GB = 2^{10} MB

：

256 GB = 2^{18} MB

，

2^{18} \div 2^{3} = 2^{15}

。

第 24 題依題意，聲功率級（貝爾）

= lo g \frac{W}{W _{0}}

。

1

分貝是

\frac{1}{10}

貝爾，所以

20

分貝是

2

貝爾：

lo g \frac{W}{W _{0}} = 2

，

\frac{W}{W _{0}} = 1 0^{2} = 100

。

W_{0} = 1

，所以

W = 100

瓦。

單位要先換：

20

dB 是

2

B，不是

200

B，也不是直接

lo g W = 20

。

第 25 題

1 0^{3} < 2025 < 1 0^{4}

，所以

3 < lo g 2025 < 4

，

[lo g 2025] = 3

。

0.002025 = 2.025 \times 1 0^{- 3}

，

1 0^{- 3} < 0.002025 < 1 0^{- 2}

，所以

- 3 < lo g 0.002025 < - 2

，

[lo g 0.002025] = - 3

。相加得

3 + (- 3) = 0

。

lo g 0.002025 \approx - 2.69

，小於或等於它的最大整數是

- 3

不是

- 2

，和題目的例子

[- 3.75] = - 4

同樣的道理。

把數寫成科學記號

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

），

lo g

值就介於

n

和

n + 1

之間，高斯符號取

n

。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

南大附中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

南大附中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 12 題由和求差，平方後有正負兩種可能，選項只寫其中一個所以不能選；第 15 題科學記號的位數與小數點後第幾位都要數清楚；第 22 題芮氏規模差 4.2 要把 32 改寫成 2 的 5 次方；第 25 題小於 1 的數取 log 是負的，高斯符號要往更小的整數取。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自南大附中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式、絕對值、指數、科學記號、常用對數）

南大附中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

單選題 10 題（40 分）、多選題 5 題（20 分）、填充題 10 題（40 分）

一、單選題（一題 4 分，共 40 分）

下列哪個選項的值為最大？

(A) $0.98$
(B) $0.98 \overline{7}$
(C) $0.9 \overline{87}$
(D) $0. \overline{987}$
(E) $0.987$

下列哪一個數為有理數？

(A) $21$
(B) $22$
(C) $23$
(D) $24$
(E) $25$

下列何者為

a^{3} + b^{3}

的乘法公式？

(A) $(a + b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(B) $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$
(C) $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(D) $(a - b) (a^{2} - ab + b^{2})$
(E) $(a - b) (a^{2} - 2 ab + b^{2})$

請問

11 + 62

介在哪兩個連續整數之間？

(A) $1$ 與 $2$
(B) $2$ 與 $3$
(C) $3$ 與 $4$
(D) $4$ 與 $5$
(E) $5$ 與 $6$

設

A (- 5)

，

B (1)

為數線上兩點，已知

P

點在

A

，

B

之間，且

\overline{A P} = 2 \overline{B P}

，求點

P (x)

的坐標為

(A) $- 1$
(B) $- 2$
(C) $- 3$
(D) $- 4$
(E) $- 5$

設

a < b

，下列各數中何者最大？

(A) $a$
(B) $\frac{4 a + b}{5}$
(C) $\frac{2 a + 3 b}{5}$
(D) $\frac{3 a + 2 b}{5}$
(E) $\frac{a + 4 b}{5}$

在合適的環境下，草履蟲平均每

6

小時就可以分裂成原來的

2

倍。問：

2

個草履蟲經過

24

小時之後將會變成多少個？

(A) $4$
(B) $8$
(C) $16$
(D) $32$
(E) $64$

若

a = (\frac{1}{2})^{(\frac{1}{2})}

，下列何者正確？

(A) $a < 0.5$
(B) $0.5 \leq a < 0.6$
(C) $0.6 \leq a < 0.7$
(D) $0.7 \leq a < 0.8$
(E) $a \geq 0.8$

計算

2.5 \times 1 0^{- 6} - 5 \times 1 0^{- 7}

的值為多少？

(A) $- 4.75 \times 1 0^{- 7}$
(B) $2 \times 1 0^{- 6}$
(C) $2 \times 1 0^{- 7}$
(D) $2.5 \times 1 0^{- 6}$
(E) $2.5 \times 1 0^{- 7}$

已知

a = lo g 2

，則

1 0^{- 2 a}

之值為何？

(A) $2$
(B) $- 2$
(C) $\frac{1}{4}$
(D) $4$
(E) $1$

二、多選題（一題 4 分，共 20 分）（本頁第 11～15 題依序為流傳版本多選第 1～5 題）

下列哪些數為有理數？

(A) $\frac{1}{2}$
(B) $1.23$
(C) $4.5 \overline{6}$
(D) $2 + 4$
(E) $π$

若

t + \frac{1}{t} = 5

，則下列選項哪些正確？

(A) $t - \frac{1}{t} = 1$
(B) $t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = 3$
(C) $t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = 25$
(D) $t^{4} + \frac{1}{t ^{4}} = 7$
(E) $t^{6} + \frac{1}{t ^{6}} = 18$

當

x

為下列哪些區間內的值時，可使得方程式

∣ x - 3∣ + ∣ x - 8∣ = 5

成立？

(A) $[1, 2]$
(B) $[3, 4]$
(C) $[5, 6]$
(D) $[7, 8]$
(E) $[9, 10]$

選出正確的選項：

(A) $2^{3} = 8$
(B) $2^{0} = 0$
(C) $2^{- 1} = - \frac{1}{2}$
(D) $2^{\frac{1}{3}} = 32$
(E) $2^{- \frac{1}{3}} = - \frac{1}{2 ^{3}}$

設

a = 7.53 \times 1 0^{23}

、

b = 2.3 \times 1 0^{- 9}

，請選出正確選項：

(A) $a$ 為 $23$ 位數
(B) $a$ 的有效數字有 $3$ 位
(C) $b$ 從小數點後第 $10$ 位開始出現不為 $0$ 的數字
(D) $b$ 的有效數字有 $9$ 位
(E) $a + b$ 的最高位數字是 $7$

三、填充題（一題 4 分，共 40 分）（本頁第 16～25 題依序為流傳版本填充第 1～10 題）

設

11 + 62 = a + b

，其中

a

是整數，

0 \leq b < 1

，則

b =

____。（請以最簡根式表示）

化為最簡根式：

\frac{1}{2 + 3} + \frac{2}{- 4 5 - 4 3 + 27 + 125} =

____。（請以最簡根式表示）

世界衛生組織計算男性標準體重之方法如下：（身高(cm)

- 80

）

\times 70% =

標準體重(kg)，且定義標準體重正負

10%

為正常體重。今有一位身高

180

公分的男性，標準體重為

70

公斤，若正常體重為

x

公斤，

x

的範圍表示成

∣ x - 70∣ \leq a

，則

a =

____。

不等式

∣3 - 2 x ∣ \leq 15

的解，用區間符號表示為 ____。

若

∣ x + a ∣ > 4

的解為

x > 7

或

x < - 1

，則

a

為 ____。

將一張厚度為

0.02

公分足夠大的紙，一直對摺，問：對摺

10

次後厚度為 ____ 公分。（請以小數形式表示）

芮氏規模為地震大小的標度，芮氏規模每增加

1

，釋放的能量約變為

32

倍。已知芮氏規模

7.2

所釋放的能量是芮氏規模

3.0

的

2^{n}

倍，求

n

的值

=

____。

電腦科學的基礎與二進位有關，在實用上，記憶體基本單位是 Byte，簡寫為 B。為了處理很大的數據，所以規定

1 KB = 2^{10} B

，

1 MB = 2^{20} B

，

1 GB = 2^{30} B

。今天小櫻使用數位相機拍照，只要設定每一張相片檔案大小均為

8

MB，一張

256

GB 的記憶卡就剛好可以儲存

2^{n}

張相片，求

n

的值

=

____。

聲功率(Sound Power)指的是聲源在單位時間內發射出的總聲能量，單位是瓦(

W

)。聲功率級(Sound Power Level)指的是聲源的實際功率

W

與參考功率

W_{0}

之比，取常用對數，單位為貝爾(B)。常用的聲功率級單位是分貝(dB)，「分」(deci-)指十分之一，所以分貝(dB)是十分之一貝爾之意。已知參考功率

W_{0}

為

1

(

W

)，則聲功率級為

20

(dB)的聲源，實際功率

W

為 ____ (

W

)。（請以整數表示）

[x]

為高斯符號，表示小於或等於此數字的最大整數。例如：

[1.25] = 1

、

[- 3.75] = - 4

，求

[lo g 2025] + [lo g 0.002025] =

____。（請以整數表示）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(E)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題(A)

第 6 題(E)

第 7 題(D)

第 8 題(D)

第 9 題(B)

第 10 題(C)

第 11 題(A)(B)(C)(D)

第 12 題(B)(C)(D)(E)

第 13 題(B)(C)(D)

第 14 題(A)(D)

第 15 題(B)(E)

第 16 題

2 - 1

第 17 題

2 + 5

第 18 題

7

第 19 題

[- 6, 9]

第 20 題

- 3

第 21 題

20.48

第 22 題

21

第 23 題

15

第 24 題

100

第 25 題

0

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：循環小數、有理數、立方和、雙重根號、分點

第 1 題答案 (D)。把五個數都寫到小數點後第六位：(A)

0.980000

，(B)

0.987777 \dots

，(C)

0.987878 \dots

，(D)

0.987987 \dots

，(E)

0.987000

。前三位

0.987

相同的有 (B)(C)(D)(E)，再比第四位：(B) 是

7

、(C) 是

8

、(D) 是

9

、(E) 是

0

，所以 (D) 最大。

循環節上的橫線蓋住哪幾位，就只重複那幾位；先展開再逐位比較。

第 2 題答案 (E)。

25 = 5

是整數，所以是有理數。

21

、

22

、

23

、

24

都介於

4^{2} = 16

和

5^{2} = 25

之間，不是完全平方數，它們的平方根都是無理數。

第 3 題答案 (B)。把 (B) 乘開：

(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} - a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b - a b^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3}

。(C) 乘開是

a^{3} - b^{3}

（立方差）。

立方和、立方差的記法：第一個括號的符號和原式相同，第二個括號中間項的符號相反。

第 4 題答案 (D)。

11 + 62 = 11 + 218

，找兩數和

11

、積

18

：

9

和

2

，所以

11 + 62 = 9 + 2 = 3 + 2

。

1 < 2 < 2

，所以

4 < 3 + 2 < 5

。另一種檢查：

11 + 62 \approx 11 + 8.49 = 19.49

，介於

4^{2} = 16

和

5^{2} = 25

之間。

化簡雙重根號前，先把裡面的根號係數整理成

2

的形式：

62 = 218

。

第 5 題答案 (A)。

\overline{A B} = 1 - (- 5) = 6

。

P

在

A

、

B

之間且

\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 1

，所以

\overline{A P} = 6 \times \frac{2}{3} = 4

，

x = - 5 + 4 = - 1

。驗算：

\overline{A P} = 4

，

\overline{B P} = 1 - (- 1) = 2

，

4 = 2 \times 2

。

\overline{A P} = 2 \overline{B P}

表示

P

離

B

比較近。

02單選 6～10：分點的大小、倍數成長、分數指數、科學記號、log 的意義

第 6 題答案 (E)。(B)～(E) 都是

a

和

b

的加權平均，都落在

a

與

b

之間，所以都比

a

大。它們的分母相同，比分子：

(a + 4 b) - (2 a + 3 b) = b - a > 0

，

(2 a + 3 b) - (3 a + 2 b) = b - a > 0

，

(3 a + 2 b) - (4 a + b) = b - a > 0

，所以

b

的係數越大的越大，(E) 最大。

用數線看：

\frac{a + 4 b}{5}

是把

a

到

b

這一段分成

5

等分後最靠近

b

的分點。也可以代

a = 0

、

b = 5

檢查：五個數依序是

0

、

1

、

3

、

2

、

4

。

第 7 題答案 (D)。

24

小時共分裂

24 \div 6 = 4

次，每次變成

2

倍，所以數量是

2 \times 2^{4} = 2^{5} = 32

個。

一開始就有

2

個，不是

1

個，

2^{4}

還要再乘以

2

。

第 8 題答案 (D)。

a = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} \approx \frac{1.414}{2} = 0.707

。不用近似值也可以判斷：

a^{2} = 0.5

，而

0. 7^{2} = 0.49

、

0. 8^{2} = 0.64

，

0.49 \leq 0.5 < 0.64

，所以

0.7 \leq a < 0.8

。

第 9 題答案 (B)。把兩個數換成同一個

10

的次方：

5 \times 1 0^{- 7} = 0.5 \times 1 0^{- 6}

，所以

2.5 \times 1 0^{- 6} - 0.5 \times 1 0^{- 6} = 2 \times 1 0^{- 6}

。

次方不同時，係數不能直接相減。

第 10 題答案 (C)。

a = lo g 2

表示

1 0^{a} = 2

。

1 0^{- 2 a} = (1 0^{a})^{- 2} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

。

a = lo g x

和

1 0^{a} = x

是同一件事；看到

10

的

lo g

次方，先換回指數式再用指數律。

03多選（第 11～15 題）：有理數、對稱式、絕對值的幾何意義、指數、科學記號

第 11 題答案 (A)(B)(C)(D)。(A) 分數，是有理數。(B)

1.23 = \frac{123}{100}

是有限小數，是有理數。(C)

4.5 \overline{6}

是循環小數，可以化成分數

\frac{456 - 45}{90} = \frac{411}{90} = \frac{137}{30}

，是有理數。(D)

2 + 4 = 2 + 2 = 4

，是有理數。(E)

π

是無理數。

(D) 有根號不代表是無理數，先化簡再判斷。

第 12 題答案 (B)(C)(D)(E)。(B) 對：兩邊平方，

t^{2} + 2 + \frac{1}{t ^{2}} = 5

，所以

t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = 3

。(A) 錯：

(t - \frac{1}{t})^{2} = t^{2} - 2 + \frac{1}{t ^{2}} = 3 - 2 = 1

，所以

t - \frac{1}{t} = \pm 1

，兩個值都可能，不一定是

1

。(C) 對：

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = (t + \frac{1}{t})^{3} - 3 (t + \frac{1}{t}) = 55 - 35 = 25

。(D) 對：

t^{4} + \frac{1}{t ^{4}} = (t^{2} + \frac{1}{t ^{2}})^{2} - 2 = 9 - 2 = 7

。(E) 對：

t^{6} + \frac{1}{t ^{6}} = (t^{3} + \frac{1}{t ^{3}})^{2} - 2 = 20 - 2 = 18

。

由

t + \frac{1}{t} = 5

解出

t = \frac{5 \pm 1}{2}

：取

+

時

t - \frac{1}{t} = 1

，取

-

時

t - \frac{1}{t} = - 1

，題目沒有指定是哪一個，所以 (A) 不能選。

第 13 題答案 (B)(C)(D)。

∣ x - 3∣ + ∣ x - 8∣

是數線上

x

到

3

的距離加上

x

到

8

的距離。

3

和

8

相距

5

：當

3 \leq x \leq 8

時，兩段距離剛好拼成整段，和等於

5

；

x

在這一段之外時，和大於

5

。所以方程式的解是

3 \leq x \leq 8

。整個落在

[3, 8]

裡面的區間是

[3, 4]

、

[5, 6]

、

[7, 8]

。檢查 (A)：

x = 1

時

2 + 7 = 9 \neq = 5

；(E)：

x = 9

時

6 + 1 = 7 \neq = 5

。

這個方程式的解不是一兩個數，而是一整段區間。端點

3

和

8

也成立。

第 14 題答案 (A)(D)。(A) 對：

2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8

。(B) 錯：

2^{0} = 1

。(C) 錯：

2^{- 1} = \frac{1}{2}

，負指數是取倒數，值仍是正的。(D) 對：

2^{\frac{1}{3}}

的定義就是

32

。(E) 錯：

2^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{2 ^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3 2}

，是正數，而

- \frac{1}{2 ^{3}} = - \frac{1}{8}

。

底數是正數時，不管指數是多少，結果一定是正數。

第 15 題答案 (B)(E)。(A) 錯：

7.53 \times 1 0^{23}

的整數部分是

753

後面接

21

個

0

，共

24

位數。(B) 對：

7.53

有

7

、

5

、

3

三位有效數字。(C) 錯：

2.3 \times 1 0^{- 9} = 0.0000000023

，小數點後前

8

位是

0

，第

9

位開始出現

2

。(D) 錯：

2.3

的有效數字是

2

位。(E) 對：

b

遠小於

1

，加到

a

上只影響小數點後面的位數，

a + b

的最高位數字仍是

7

。

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

，

n

是正整數）是

n + 1

位數；

a \times 1 0^{- n}

從小數點後第

n

位開始不為

0

。

04填充 1～5（第 16～20 題）：雙重根號、有理化、絕對值不等式

第 16 題和第 4 題是同一個數：

11 + 62 = 11 + 218 = 3 + 2

。

1 < 2 < 2

，所以

4 < 3 + 2 < 5

，整數部分

a = 4

，

b = (3 + 2) - 4 = 2 - 1

。

a

不是

3

：

2

本身大於

1

，還要再分出一個

1

給整數部分，剩下的

2 - 1 \approx 0.414

才介於

0

和

1

之間。

第 17 題第一項：

\frac{1}{2 + 3} = \frac{2 - 3}{( 2 + 3 ) ( 2 - 3 )} = \frac{2 - 3}{4 - 3} = 2 - 3

。第二項的分母先化簡：

27 = 33

，

125 = 55

，所以分母是

- 45 - 43 + 33 + 55 = 5 - 3

，

\frac{2}{5 - 3} = \frac{2 ( 5 + 3 )}{5 - 3} = 5 + 3

。相加：

(2 - 3) + (5 + 3) = 2 + 5

。

分母很長時先把每個根式化成最簡、合併同類根式，再有理化。

第 18 題標準體重

(180 - 80) \times 70% = 70

公斤。正負

10%

是

70 \times 10% = 7

公斤，所以正常體重是

70 - 7 \leq x \leq 70 + 7

，也就是

63 \leq x \leq 77

，寫成

∣ x - 70∣ \leq 7

，

a = 7

。

∣ x - 70∣ \leq a

的意思是「

x

和

70

的距離不超過

a

」，

a

是範圍的一半寬度。

第 19 題

∣3 - 2 x ∣ \leq 15

等於

- 15 \leq 3 - 2 x \leq 15

。各減

3

：

- 18 \leq - 2 x \leq 12

。各除以

- 2

，不等號方向要反過來：

9 \geq x \geq - 6

，也就是

- 6 \leq x \leq 9

，用區間表示為

[- 6, 9]

。

也可以先用

∣3 - 2 x ∣ = ∣2 x - 3∣

改寫成

- 15 \leq 2 x - 3 \leq 15

，就不用處理除以負數。兩端有等號，用中括號。

第 20 題

∣ x + a ∣ > 4

等於

x + a > 4

或

x + a < - 4

，也就是

x > 4 - a

或

x < - 4 - a

。和「

x > 7

或

x < - 1

」對照：

4 - a = 7

，得

a = - 3

；檢查另一邊

- 4 - a = - 4 + 3 = - 1

，相符。

用幾何意義看：解的兩個端點

- 1

和

7

的中點是

3

，所以不等式是

∣ x - 3∣ > 4

，

a = - 3

。

絕對值不等式

∣ x - c ∣ \leq r

是以

c

為中心、左右各

r

的一段；

∣ x - c ∣ > r

是這一段的外面。

05填充 6～10（第 21～25 題）：指數的情境題與常用對數

第 21 題每對摺一次厚度變成

2

倍，對摺

10

次是

2^{10} = 1024

倍，厚度

0.02 \times 1024 = 20.48

公分。

第 22 題規模相差

7.2 - 3.0 = 4.2

，每增加

1

能量變為

32

倍，所以能量是

3 2^{4.2}

倍。

32 = 2^{5}

，

3 2^{4.2} = (2^{5})^{4.2} = 2^{5 \times 4.2} = 2^{21}

，

n = 21

。

把

32

換成以

2

為底，指數相乘

5 \times 4.2 = 21

。

第 23 題

256 GB = 2^{8} \times 2^{30} B = 2^{38} B

，

8 MB = 2^{3} \times 2^{20} B = 2^{23} B

。可存的張數是

2^{38} \div 2^{23} = 2^{38 - 23} = 2^{15}

，

n = 15

。

也可以先算

1 GB = 2^{10} MB

：

256 GB = 2^{18} MB

，

2^{18} \div 2^{3} = 2^{15}

。

第 24 題依題意，聲功率級（貝爾）

= lo g \frac{W}{W _{0}}

。

1

分貝是

\frac{1}{10}

貝爾，所以

20

分貝是

2

貝爾：

lo g \frac{W}{W _{0}} = 2

，

\frac{W}{W _{0}} = 1 0^{2} = 100

。

W_{0} = 1

，所以

W = 100

瓦。

單位要先換：

20

dB 是

2

B，不是

200

B，也不是直接

lo g W = 20

。

第 25 題

1 0^{3} < 2025 < 1 0^{4}

，所以

3 < lo g 2025 < 4

，

[lo g 2025] = 3

。

0.002025 = 2.025 \times 1 0^{- 3}

，

1 0^{- 3} < 0.002025 < 1 0^{- 2}

，所以

- 3 < lo g 0.002025 < - 2

，

[lo g 0.002025] = - 3

。相加得

3 + (- 3) = 0

。

lo g 0.002025 \approx - 2.69

，小於或等於它的最大整數是

- 3

不是

- 2

，和題目的例子

[- 3.75] = - 4

同樣的道理。

把數寫成科學記號

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

），

lo g

值就介於

n

和

n + 1

之間，高斯符號取

n

。

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同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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02單選 6～10：分點的大小、倍數成長、分數指數、科學記號、log 的意義

03多選（第 11～15 題）：有理數、對稱式、絕對值的幾何意義、指數、科學記號

04填充 1～5（第 16～20 題）：雙重根號、有理化、絕對值不等式

05填充 6～10（第 21～25 題）：指數的情境題與常用對數

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