段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數）

景美女中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 2 題（10 分）、多選題 4 題（20 分）、填充題 13 題共 14 格（70 分）

一、單選題（占 10 分）說明：第 1 題至第 2 題，每題 5 分。

已知

24 + 119 = a + b

，其中

a

為正整數，

0 \leq b < 1

，則

a

值為何？

(1) $2$
(2) $3$
(3) $4$
(4) $5$
(5) 以上皆非

假設

p

，

q

，

r

皆為介於

2

與

10

之間的實數，且滿足：

6 ∣ p - 2∣ = 7 ∣ p - 10∣

，

7 ∣ q - 2∣ = 8 ∣ q - 10∣

，

5 ∣ r - 2∣ = 6 ∣ r - 10∣

，則

p

，

q

，

r

的大小關係為何？

(1) $p > q > r$
(2) $q > r > p$
(3) $q > p > r$
(4) $r > p > q$
(5) 無法判斷

二、多選題（占 20 分）說明：第 3 題至第 6 題，每題 5 分。（5－3－1－0）

下列哪些選項是正確的？

(1) 可以利用尺規作圖在數線上找出 $- \frac{5}{7}$ 所對應的點
(2) 可以利用尺規作圖在數線上找出 $43$ 所對應的點
(3) 若實數 $a$ ， $b$ 滿足 $a + b 2 = 0$ ，則 $a = b = 0$
(4) 若 $a$ ， $b$ 為相異的正實數，則 $a + b \geq \frac{b ^{3}}{a ^{2}} + \frac{a ^{3}}{b ^{2}}$ 恆成立
(5) 若 $a$ 為有理數且 $b$ 為無理數，則 $a + b$ 必為無理數

下列哪些選項經過化簡後會是有理數？

(1) $1 0^{l o g 10}$
(2) $(- 3)^{3}$
(3) $(2)^{l o g 100}$
(4) $364$
(5) $(- 8)^{\frac{1}{3}}$

若平面上有一個直角三角形且其斜邊長為

10

，則此三角形可能的面積為何？

(1) $20$
(2) $30$
(3) $40$
(4) $50$
(5) $60$

下列哪些選項是正確的？（參考數值：

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 5 \approx 0.6990

，

lo g 7 \approx 0.8451

）

(1) 若 $lo g a = 7.3010$ ，則 $a$ 的整數部分為 $7$ 位數
(2) 若 $lo g b = - 3.6990$ ，則 $b$ 小數點後第 $3$ 位開始出現不為 $0$ 的數字
(3) 若 $lo g c = 3.6990$ ，則 $c \approx 5000$
(4) 若 $lo g a = 7.3010$ 、 $lo g c = 3.6990$ ，則 $\frac{a}{c} \approx 4 \times 1 0^{3}$
(5) 若 $lo g a = 7.3010$ 、 $lo g b = - 3.6990$ ，則 $a - b \approx 11$

三、填充題（占 70 分）說明：第 7 題至第 19 題，每格 5 分。

展開

(x + 2)^{3} =

____。

計算化簡：

45 - 125 + \frac{5 + 2}{5 - 2}

的值為 ____。

令

x = 0. \overline{63} + 0.3 \overline{45}

，將

x

化為小數，則小數點後第

114

位數字為 ____。

計算化簡：

(\frac{25}{16})^{\frac{5}{2}} \times (\frac{9}{4})^{- \frac{3}{2}} \times (\frac{8}{125})^{\frac{4}{3}}

的值為 ____。

數線上三點

A (- 2)

，

B (10)

，

P

，若

\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 1

，則

P

點坐標為 ____。（有兩解）

假設實數

x

滿足

∣2 x - 5∣ = 9

，則

x

的值為 ____。（有兩解）

已知

a = \frac{5 - 2}{5 + 2}

，則

a^{2} + \frac{1}{a ^{2}} =

____。

假設

a

，

b

均為有理數且

a + b (11 + 72) = a (18 - 48) + 4

，試回答下列問題：(1) 計算化簡

18 - 48

的值為 ____。(2)

a^{2} + b^{2} =

____。

假設

a

，

b

均為正實數且

ab = 90

，則

2 a + 5 b

的最小值為 ____。

假設

a = lo g 2

，

b = lo g 20

，

c = lo g 200

，則

1 0^{b} - a + c =

____。

專家指出

18

歲以上成人的收縮壓在

120 \sim 139

毫米汞柱之間（含）或舒張壓在

80 \sim 89

毫米汞柱之間（含）是高血壓病發的灰色地帶，被稱為高血壓前期。已知年滿

75

歲的老王在今年的健康檢查報告中，其中一項檢查結果被判定為高血壓前期。若老王的收縮壓為

118

毫米汞柱，而舒張壓為

x

毫米汞柱，且其範圍恰可用

∣ x - a ∣ \leq b

來表示，則數對

(a, b) =

____。

心理專家以數學模式

F (t) = a (1 - 1 0^{- b t})

來描述學生經過

t

星期的學習之後所得到的學習量（或成果），這裡的常數

a

與

b

跟學習的科目相關。今小嘉一星期可以熟背

100

個英文單字，兩星期可以熟背

150

個英文單字，試問：小嘉三星期可以熟背 ____ 個英文單字。

E (r)

為芮氏規模

r

的地震震央所釋放出的能量，

E (r)

與

r

的關係為

lo g E (r) = 1.5 r + 11.8

，已知

1999

年

9

月

21

日南投集集地震的規模是

7.3

，

2022

年

9

月

18

日花蓮台東池上地震的規模是

6.8

（資料來源：中央氣象局）。已知南投集集地震所釋放出的能量約為台東池上地震的

n

倍，則

n^{2} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(4)

第 3 題(1)(2)(5)

第 4 題(2)(3)(4)

第 5 題(1)

第 6 題(3)(4)

第 7 題

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8

第 8 題

9 + 25

第 9 題

8

第 10 題

\frac{5}{216}

第 11 題

7

或

16

第 12 題

- 2

或

7

第 13 題

322

第 14 題(1)

4 - 2

；(2)

\frac{8}{9}

第 15 題

60

第 16 題

22

第 17 題

(84.5, 4.5)

第 18 題

175

第 19 題

1010

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：根式的整數部分、數線上的距離比

第 1 題答案 (4)。

a

是

24 + 119

的整數部分，

b

是小數部分。先估裡面的根號：

1 0^{2} = 100 < 119 < 121 = 1 1^{2}

，所以

10 < 119 < 11

，

34 < 24 + 119 < 35

。再估外面的根號：

5^{2} = 25 < 34

且

35 < 36 = 6^{2}

，所以

5 < 24 + 119 < 6

，

a = 5

。

這個雙重根號化不成兩個簡單根式的和（要找和為

24

、積為

\frac{119}{4}

的兩數，找不到有理數），所以不用化簡，直接由內而外估範圍。

第 2 題答案 (4)。

p

在

2

與

10

之間，所以

∣ p - 2∣ = p - 2

、

∣ p - 10∣ = 10 - p

，第一式變成

\frac{p - 2}{10 - p} = \frac{7}{6} = \frac{7}{6}

。同理

\frac{q - 2}{10 - q} = \frac{8}{7}

，

\frac{r - 2}{10 - r} = \frac{6}{5}

。因為

\frac{6}{5} = 1 + \frac{1}{5}

、

\frac{7}{6} = 1 + \frac{1}{6}

、

\frac{8}{7} = 1 + \frac{1}{7}

，所以

\frac{6}{5} > \frac{7}{6} > \frac{8}{7}

。在

2

與

10

之間，點越靠右，到

2

的距離越大、到

10

的距離越小，比值

\frac{x - 2}{10 - x}

就越大。比值最大的是

r

、最小的是

q

，所以

r > p > q

。

把每個式子看成「到

2

的距離 : 到

10

的距離」，三個比值都大於

1

，表示三點都在中點

6

的右邊；不必真的解出

p

、

q

、

r

。（數值約為

p \approx 6.15

、

q \approx 6.13

、

r \approx 6.18

。）

02多選 3～6：實數的性質、化簡、直角三角形面積、log 值的判讀

第 3 題答案 (1)(2)(5)。(1) 對：把單位長七等分可以用平行線作出，有理數都能作圖。(2) 對：長度

3

可以用直角三角形作出；已知長度

k

時，以長

k + 1

的線段為直徑作半圓，在分點處作垂線可得長度

k

，對

k = 3

再作一次就得到

3 = 43

。(3) 錯：

a

、

b

只是實數，取

a = - 2

、

b = 1

就有

a + b 2 = 0

。(4) 錯：取

a = 1

、

b = 2

，左邊是

3

，右邊是

8 + \frac{1}{4}

，不成立。(5) 對：若

a + b = r

是有理數，則

b = r - a

是有理數，矛盾。

(3) 要

a

、

b

都是有理數才能推得

a = b = 0

。(4) 的不等號方向其實相反：

\frac{b ^{3}}{a ^{2}} + \frac{a ^{3}}{b ^{2}} - (a + b) = \frac{( a ^{3} - b ^{3} ) ( a ^{2} - b ^{2} )}{a ^{2} b ^{2}}

，

a \neq = b

時分子的兩個括號同號，所以這個差恆為正。

第 4 題答案 (2)(3)(4)。(1)

1 0^{l o g 10} = 10

，是無理數。(2)

(- 3)^{3} = - 27

，是有理數。(3)

lo g 100 = 2

，

(2)^{2} = 2

，是有理數。(4)

364 = 4

，是有理數。(5) 分數指數

a^{\frac{1}{n}}

只在底數

a > 0

時有定義，

(- 8)^{\frac{1}{3}}

的底數是負數，沒有意義，不能算是有理數。

(1) 用到

1 0^{l o g x} = x

。(5) 不可以直接寫成

3 - 8 = - 2

：如果允許負的底數，

\frac{1}{3} = \frac{2}{6}

會得到

((- 8)^{2})^{\frac{1}{6}} = 2

，指數律就不成立了。

第 5 題答案 (1)。設兩股長為

a

、

b

，則

a^{2} + b^{2} = 1 0^{2} = 100

，面積是

\frac{ab}{2}

。由算幾不等式

\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq a^{2} b^{2} = ab

，得

ab \leq 50

，面積

\leq 25

，等號在

a = b = 52

時成立。面積可以是

0

到

25

之間的任何正數（含

25

），五個選項中只有

20

可能。例如

a = 25

、

b = 45

時

a^{2} + b^{2} = 20 + 80 = 100

，面積

\frac{2 5 \times 4 5}{2} = 20

。

另一個看法：直角頂點在以斜邊為直徑的圓上，斜邊上的高最多等於半徑

5

，面積最多

\frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25

。流傳版本的參考答案寫 (1)(2)(3)(4)，但照題幹「斜邊長為

10

」計算，面積最大只有

25

，本站重算為 (1)。（

ab \leq 50

是兩股乘積的上限，面積還要再除以

2

。）

第 6 題答案 (3)(4)。(1) 錯：

a = 1 0^{7.3010} = 1 0^{0.3010} \times 1 0^{7} \approx 2 \times 1 0^{7}

，整數部分是

8

位數。(2) 錯：

- 3.6990 = - 4 + 0.3010

，

b \approx 2 \times 1 0^{- 4} = 0.0002

，小數點後第

4

位才出現不為

0

的數字。(3) 對：

c = 1 0^{0.6990} \times 1 0^{3} \approx 5 \times 1 0^{3} = 5000

。(4) 對：

lo g \frac{a}{c} = 7.3010 - 3.6990 = 3.6020 = 3 + 2 \times 0.3010

，所以

\frac{a}{c} \approx 2^{2} \times 1 0^{3} = 4 \times 1 0^{3}

。(5) 錯：

a - b \approx 20000000 - 0.0002

，大約是

2 \times 1 0^{7}

。

lo g a = n + α

（

n

是整數，

0 \leq α < 1

）時，

n \geq 0

表示整數部分是

n + 1

位數；

n < 0

表示小數點後第

∣ n ∣

位開始不為

0

。負的 log 值要先改寫成「負整數＋正的小數」。(5) 的

11

是

lo g a - lo g b

，那是

lo g \frac{a}{b}

，不是

a - b

。本題沒有用到

lo g 7

。

03填充 7～10：乘法公式、根式、循環小數與分數指數

第 7 題用

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

，取

a = x

、

b = 2

：

(x + 2)^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 4 + 8 = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8

。

代

x = 1

檢查：左邊

3^{3} = 27

，右邊

1 + 6 + 12 + 8 = 27

。

第 8 題

45 = 35

，

125 = 55

。分式有理化：

\frac{5 + 2}{5 - 2} = \frac{( 5 + 2 ) ^{2}}{( 5 - 2 ) ( 5 + 2 )} = \frac{9 + 4 5}{5 - 4} = 9 + 45

。合起來：

35 - 55 + 9 + 45 = 9 + 25

。

第 9 題

0. \overline{63} = \frac{63}{99} = \frac{7}{11}

；

0.3 \overline{45} = \frac{345 - 3}{990} = \frac{342}{990} = \frac{19}{55}

。相加：

x = \frac{35}{55} + \frac{19}{55} = \frac{54}{55} = 0.9 \overline{81}

。小數點後第

1

位是

9

，從第

2

位起「

8, 1

」循環，偶數位是

8

、

3

以上的奇數位是

1

。

114

是偶數，所以第

114

位數字是

8

。

也可以直接對齊相加（注意進位）：

0.636363 \dots + 0.345454 \dots = 0.981818 \dots

。第

1

位的

9

不在循環節裡，數位置時要先扣掉。

第 10 題每個底數都寫成次方：

(\frac{25}{16})^{\frac{5}{2}} = ((\frac{5}{4})^{2})^{\frac{5}{2}} = (\frac{5}{4})^{5}

；

(\frac{9}{4})^{- \frac{3}{2}} = (\frac{3}{2})^{- 3} = (\frac{2}{3})^{3}

；

(\frac{8}{125})^{\frac{4}{3}} = (\frac{2}{5})^{4}

。相乘：

\frac{5 ^{5}}{2 ^{10}} \times \frac{2 ^{3}}{3 ^{3}} \times \frac{2 ^{4}}{5 ^{4}} = \frac{5 \times 2 ^{7}}{2 ^{10} \times 3 ^{3}} = \frac{5}{2 ^{3} \times 27} = \frac{5}{216}

。

先不要把

5^{5}

、

2^{10}

乘開，留著次方約分比較不會算錯。

04填充 11～14：分點、絕對值方程式、有理化與雙重根號

第 11 題設

P (x)

，

\overline{P A} = ∣ x + 2∣

，

\overline{P B} = ∣ x - 10∣

，條件是

∣ x + 2∣ = 3∣ x - 10∣

。

x + 2 = 3 (x - 10)

得

x = 16

；

x + 2 = - 3 (x - 10)

得

x = 7

。

x = 7

是

\overline{A B}

的內分點（

\overline{P A} = 9

、

\overline{P B} = 3

），

x = 16

是外分點（

\overline{P A} = 18

、

\overline{P B} = 6

）。

題目沒有說

P

在

A

、

B

之間，內分和外分都要算。

\overline{P A}

比較長，所以

P

靠近

B

這一側。

第 12 題

∣2 x - 5∣ = 9

表示

2 x - 5 = 9

或

2 x - 5 = - 9

，分別得

x = 7

或

x = - 2

。

也可以寫成

x - \frac{5}{2} = \frac{9}{2}

：數線上與

\frac{5}{2}

距離

\frac{9}{2}

的兩個點是

\frac{5}{2} \pm \frac{9}{2}

。

第 13 題有理化：

a = \frac{( 5 - 2 ) ^{2}}{( 5 + 2 ) ( 5 - 2 )} = 9 - 45

。

\frac{1}{a} = \frac{5 + 2}{5 - 2} = 9 + 45

。所以

a + \frac{1}{a} = 18

，

a^{2} + \frac{1}{a ^{2}} = (a + \frac{1}{a})^{2} - 2 = 324 - 2 = 322

。

a

和

\frac{1}{a}

互為共軛，相加後根號消掉，不必分別把

a^{2}

和

\frac{1}{a ^{2}}

算出來。

第 14 題(1)

18 - 48 = 18 - 232

，找兩數和

18

、積

32

：

16

和

2

，所以

18 - 48 = 16 - 2 = 4 - 2

。(2)

11 + 72 = 11 + 218

，兩數和

11

、積

18

：

9

和

2

，所以

11 + 72 = 3 + 2

。原式變成

a + b (3 + 2) = a (4 - 2) + 4

，整理成

(a + 3 b) + b 2 = (4 a + 4) - a 2

。

a

、

b

是有理數，兩邊的有理數部分與

2

的係數分別相等：

b = - a

，

a + 3 b = 4 a + 4

。代入得

- 2 a = 4 a + 4

，

a = - \frac{2}{3}

，

b = \frac{2}{3}

。

a^{2} + b^{2} = \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{8}{9}

。

雙重根號要先把裡面湊成

2

的形式：

48 = 232

、

72 = 218

。相減的那個要寫成「大的減小的」，

4 - 2 > 0

。

等式兩邊都是「有理數＋有理數

\times 2

」而且係數都是有理數時，有理數部分和

2

的係數可以分別相等。

05填充 15～19：算幾不等式、常用對數與情境題

第 15 題

2 a

、

5 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 a + 5 b}{2} \geq 2 a \cdot 5 b = 10 ab = 900 = 30

，所以

2 a + 5 b \geq 60

。等號在

2 a = 5 b = 30

，也就是

a = 15

、

b = 6

時成立（這時

ab = 90

），所以最小值是

60

。

算幾不等式要對

2 a

和

5 b

這兩項用，乘積

10 ab

才是定值；求出極值後要確認等號成立的

a

、

b

存在。

第 16 題

b = lo g 20

表示

1 0^{b} = 20

。

c - a = lo g 200 - lo g 2

：因為

200 = 2 \times 1 0^{2}

，

1 0^{c} = 1 0^{a} \times 1 0^{2} = 1 0^{a + 2}

，所以

c = a + 2

，

c - a = 2

。

1 0^{b} - a + c = 20 + 2 = 22

。

指數只有

b

，

- a + c

不在指數上。

第 17 題高血壓前期的條件是「收縮壓在

120 \sim 139

」或「舒張壓在

80 \sim 89

」。老王的收縮壓

118

不在

120 \sim 139

之間，卻有一項被判定為高血壓前期，所以是舒張壓符合：

80 \leq x \leq 89

。區間的中點是

\frac{80 + 89}{2} = 84.5

，中點到端點的距離是

\frac{89 - 80}{2} = 4.5

，所以

80 \leq x \leq 89

就是

∣ x - 84.5∣ \leq 4.5

，

(a, b) = (84.5, 4.5)

。

∣ x - a ∣ \leq b

表示

x

與

a

的距離不超過

b

：

a

是區間的中點，

b

是區間長度的一半。寫成分數是

(\frac{169}{2}, \frac{9}{2})

。

第 18 題令

u = 1 0^{- b}

，則

1 0^{- 2 b} = u^{2}

、

1 0^{- 3 b} = u^{3}

。條件是

a (1 - u) = 100

、

a (1 - u^{2}) = 150

。兩式相除：

\frac{1 - u ^{2}}{1 - u} = 1 + u = \frac{150}{100} = \frac{3}{2}

，

u = \frac{1}{2}

，代回得

a = 200

。

F (3) = a (1 - u^{3}) = 200 (1 - \frac{1}{8}) = 175

。

不需要求出

b

，只要知道

1 0^{- b} = \frac{1}{2}

。每多一星期，離上限

200

的差距就減半：

100 \to 50 \to 25

，所以依序是

100

、

150

、

175

。

第 19 題

lo g E (7.3) = 1.5 \times 7.3 + 11.8 = 22.75

，

lo g E (6.8) = 1.5 \times 6.8 + 11.8 = 22

，所以

E (7.3) = 1 0^{22.75}

、

E (6.8) = 1 0^{22}

。

n = \frac{E ( 7.3 )}{E ( 6.8 )} = 1 0^{22.75 - 22} = 1 0^{0.75}

。

n^{2} = 1 0^{1.5} = 10 \times 1 0^{0.5} = 1010

。

規模差

0.5

，log 值差

1.5 \times 0.5 = 0.75

，常數

11.8

會消掉。

n = 1 0^{\frac{3}{4}}

約為

5.6

，

n^{2} \approx 31.6

：規模相差

1

時能量約差

31.6

倍。

情境題先把文字條件翻成式子：區間翻成「中點、半徑」的絕對值不等式；指數模型把

1 0^{- b}

當成一個未知數；對數模型的倍數關係看 log 值的差。

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本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

景美女中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要把三個式子看成到 2 與到 10 的距離比再比大小，不必解出三個數；第 5 題算幾不等式得到的是兩股乘積的上限，面積還要除以二；第 6 題負的對數值要先改寫成負整數加正的小數才能判斷小數點後第幾位；第 14 題要先化簡兩個雙重根號，再用有理數的條件比較係數。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自景美女中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

景美女中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～2：根式的整數部分、數線上的距離比

02多選 3～6：實數的性質、化簡、直角三角形面積、log 值的判讀

03填充 7～10：乘法公式、根式、循環小數與分數指數

04填充 11～14：分點、絕對值方程式、有理化與雙重根號

05填充 15～19：算幾不等式、常用對數與情境題

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景美女中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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