段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值與數線、指數與算幾不等式、常用對數）

新化高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 新化高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 25 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 新化高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題五個選項都寫不等於，要選的是兩邊真的不相等的那一個；單選第 7 題兩個未知數都在指數上，要先把兩式各自乘方再相除消去一個；多重選擇第 3 題 x 的範圍有正有負，相乘相除和平方都不能直接代兩端；填充第 10 題有兩個絕對值，分三段解完還要檢查每個解是否落在那一段。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 25 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

單選題 7 題、多重選擇題 5 題、填充題 12 題共 13 格；流傳版本未印各題配分

一、單選題

設數線上有三點

A (- 2)

、

B (8)

、

P (x)

，其中

P (x)

在

\overline{A B}

上，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 3

，求

P

點坐標

x =

？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $4$
(E) $5$

計算

lo g 1 + lo g 100 + 1 0^{l o g 3} =

？

(A) $5$
(B) $6$
(C) $7$
(D) $8$
(E) $9$

選出「正確」者：

(A) $0. \overline{39} \neq = \frac{13}{33}$
(B) $0.3 \overline{9} \neq = 0.4$
(C) $\frac{0. 5}{0. 2} \neq = \frac{5}{2}$
(D) $0. \overline{7} + 0. \overline{3} \neq = 1$
(E) $0. \overline{7} \times 0. \overline{3} \neq = \frac{7}{27}$

求絕對值不等式

1 \leq ∣2 x + 3∣ < 11

之「整數解」有幾個？

(A) $8$
(B) $9$
(C) $10$
(D) $11$
(E) $12$

已知不等式

∣ a x + 2∣ \leq b

的解落在區間

[- 3, 7]

，求

a + b =

？

(A) $2$
(B) $4$
(C) $6$
(D) $8$
(E) $10$

如右圖（僅供參考，不代表實際大小），

\overline{A C} = 2

、

\overline{B C} = 4

，以

\overline{A B}

為直徑作一半圓，過

C

作

\overline{A B}

垂直線交半圓於

D

，若

\overline{C D}

的長度範圍為：

\frac{k}{9} < \overline{C D} < \frac{k + 1}{9}

，

k

為正整數，求

k =

？（

2 \approx 1.414

）

(A) $21$
(B) $22$
(C) $23$
(D) $24$
(E) $25$

載入中...

設

a

、

b

為實數，且滿足

10 0^{a} \times 2 7^{b} = 5

，

100 0^{a} \times 9^{b} = 10

，求

a

的值最接近下列何者？（

lo g 2 \approx 0.301

）

(A) $0.32$
(B) $0.42$
(C) $0.52$
(D) $0.62$
(E) $0.72$

二、多重選擇題（錯一個選項得題分的一半）（本頁第 8～12 題依序為原卷多重選擇題第 1～5 題）

選出正確者：

(A) $(2 x + y)^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}$
(B) $\frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} + x y + y ^{2}} = x + y$
(C) $(x + 2 y - z)^{2} = x^{2} + 4 y^{2} + z^{2} + 4 x y - 4 y z - 2 x z$
(D) $0. \overline{12345}$ 的小數點後第 $47$ 位數字為 $2$
(E) 若 $a + 2 b$ 與 $b + 2 a$ 皆為有理數，則 $a$ 、 $b$ 必皆為有理數

選出正確者：

(A) $(3 - 5)^{\frac{1}{2}} (3 + 5)^{\frac{1}{2}} = 2$
(B) 設 $x$ 、 $y$ 皆正實數，當 $\frac{3 x + 4 y}{2} = 12 x y$ 時，則 $\frac{x}{y} > 1$
(C) $\frac{2 3 + 7}{3} < \frac{3 3 + 2 7}{5}$
(D) $3 - 2 < 6 - 5$
(E) $5 + 11 < 6 + 10$

已知

x

、

y

均為實數，且

- 3 \leq x \leq 2

，

3 \leq y \leq 5

，請選出正確者：

(A) $0 \leq x + y \leq 7$
(B) $- 9 \leq x - 2 y \leq - 8$
(C) $- 9 \leq x y \leq 10$
(D) $4 \leq x^{2} \leq 9$
(E) $- 1 \leq \frac{x}{y} \leq \frac{2}{3}$

已知

t = lo g 6

，則下列何者正確：

(A) $1 0^{2 t} = 60$
(B) $10 0^{- t} = \frac{1}{36}$
(C) $lo g 1 0^{t} = 6$
(D) 若 $1 0^{0.301} \approx 2$ ， $1 0^{0.4771} \approx 3$ ，則 $t \approx 0.7781$
(E) $\frac{1}{t} = (\frac{1}{10})^{l o g t}$

設

a = 2^{0.4}

，

b = 2^{0.02}

，

1 0^{0.301} \approx 2

，請選出正確選項：

(A) $a^{5} = 20$
(B) $a = b^{20}$
(C) $a b^{5} = 2$
(D) $a^{100}$ 為 $12$ 位數
(E) $lo g a < 0.1$

三、填充題（本頁第 13～25 題依序為原卷填充題第 1、2、3、4、5(1)、5(2)、6、7、8、9、10、11、12 題）

計算

(4 \times 1 0^{6}) - (6 \times 1 0^{5}) =

____。（答案以科學記號表示）

若

lo g a = - 0.5

，且

b = 10 a

，求

b =

____。

設

x

是實數且滿足

∣ - 2 x + 3∣ = 11

，則

x

的值為 ____。（兩解）

(0.01)^{- \frac{1}{2}} \times (\frac{9}{4})^{\frac{1}{4}} \times 3 4 2^{6} =

____。

填充題第 5 題（第 17～18 題）　設

x = \frac{3 - 2}{3 + 2}

，試求：

(1)

x + \frac{1}{x} =

____。

(2)

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

____。

小君想要用鐵絲網沿著筆直的河岸圍出一個矩形菜圃（如右圖），希望圍出的矩形面積恰為

800

平方公尺，且只圍三邊（河岸那一邊不圍），試問最少需要 ____ 公尺的鐵絲網才能達成。

載入中...

已知

9^{x} = 10

，試求

lo g 2 7^{x} =

____。

做實驗時，發現某種細菌的數量，每過

3

日後會增加為原來的

a

倍，已知實驗一開始放入若干量的細菌後，在經過

4

日後細菌數已變為原來的

9

倍，求

a =

____。

設

x

、

y

是不為

0

的實數，若

11 7^{x} = 9

，

1 3^{y} = 3

，求

\frac{2}{x} - \frac{1}{y} =

____。

已知數線上有三點，其坐標分別為

P (x)

、

A (\frac{- 3}{2})

、

B (2)

，若

A

、

P

兩點距離的兩倍再加上

B

、

P

兩點的距離後恰為

10

（單位），請問點

P

的坐標為 ____。（兩解）

設

a

為

48

的小數部分，且

m

、

n

為非零之有理數，若

(13 + a)^{\frac{- 1}{2}} = m + n 3

，求數對

(m, n) =

____。

設

a

為正實數，

a + a^{- 1} = 3

，求

\frac{a ^{3} + a ^{- 3}}{a ^{\frac{1}{2}} + a ^{\frac{- 1}{2}}} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(A)

第 3 題(D)

第 4 題(C)

第 5 題(B)

第 6 題(E)

第 7 題(A)

第 8 題(A)(C)(D)(E)

第 9 題(B)(C)(E)

第 10 題(A)(E)

第 11 題(B)(D)(E)

第 12 題(B)(C)

第 13 題

3.4 \times 1 0^{6}

第 14 題

1

第 15 題

- 4

或

7

第 16 題

103

第 17 題

10

第 18 題

970

第 19 題

80

第 20 題

\frac{3}{2}

第 21 題

33

第 22 題

2

第 23 題

- \frac{11}{3}

或

3

第 24 題

(2, - 1)

第 25 題

\frac{18 5}{5}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：分點、log 的意義、循環小數、絕對值不等式

第 1 題答案 (B)。

\overline{A B} = 8 - (- 2) = 10

，

P

在

\overline{A B}

上且

\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 3

，所以

\overline{A P} = 10 \times \frac{2}{5} = 4

，

x = - 2 + 4 = 2

。用分點公式也一樣：

x = \frac{3 \times ( - 2 ) + 2 \times 8}{2 + 3} = \frac{10}{5} = 2

。

分點公式的係數是交叉乘：離

A

的份數

2

乘在

B

的坐標上。

第 2 題答案 (A)。

1 = 1 0^{0}

，所以

lo g 1 = 0

；

100 = 1 0^{2}

，所以

lo g 100 = 2

；

lo g 3

是「

10

的幾次方等於

3

」的那個指數，所以

1 0^{l o g 3} = 3

。相加得

0 + 2 + 3 = 5

。

第 3 題答案 (D)。把循環小數化成分數再判斷。(A)

0. \overline{39} = \frac{39}{99} = \frac{13}{33}

，兩邊相等，寫

\neq =

不正確。(B)

0.3 \overline{9} = 0.3 + 0.0 \overline{9} = 0.3 + 0.1 = 0.4

，相等，不正確。(C)

\frac{0. 5}{0. 2} = \frac{5/9}{2/9} = \frac{5}{2}

，相等，不正確。(D)

0. \overline{7} + 0. \overline{3} = \frac{7}{9} + \frac{3}{9} = \frac{10}{9} \neq = 1

，正確。(E)

\frac{7}{9} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{81} = \frac{7}{27}

，相等，不正確。

五個選項都寫「

\neq =

」，所以要選的是「兩邊真的不相等」的那一個。

0. \overline{9} = 1

，所以

0.0 \overline{9} = 0.1

。

第 4 題答案 (C)。先看右半

∣2 x + 3∣ < 11

：

- 11 < 2 x + 3 < 11

，

- 7 < x < 4

，整數有

- 6, - 5, \dots, 3

共

10

個。再看左半

∣2 x + 3∣ \geq 1

：

2 x + 3 \geq 1

或

2 x + 3 \leq - 1

，即

x \geq - 1

或

x \leq - 2

，被排除的只有

- 2 < x < - 1

，這段裡沒有整數。所以整數解是

- 6

到

3

，共

10

個。

x

是整數時

2 x + 3

一定是奇數，

∣2 x + 3∣

最小就是

1

，所以左半的條件不會再刪掉任何整數。

02單選 5～7：由解回推係數、半圓上的垂線、指數聯立

第 5 題答案 (B)。解是

- 3 \leq x \leq 7

，中點是

2

，中點到端點的距離是

5

，所以解可以寫成

∣ x - 2∣ \leq 5

，也就是

∣ - x + 2∣ \leq 5

。和

∣ a x + 2∣ \leq b

對照（常數項要是

+ 2

），得

a = - 1

、

b = 5

，

a + b = 4

。驗算：

∣ - x + 2∣ \leq 5

即

- 5 \leq - x + 2 \leq 5

，

- 3 \leq x \leq 7

。

這裡把「解落在區間

[- 3, 7]

」讀成「解就是

- 3 \leq x \leq 7

」。

∣ x - 2∣

和

∣ - x + 2∣

相等，要配合題目的「

+ 2

」選後者，所以

a

是負的。

第 6 題答案 (E)。

\overline{A B} = 2 + 4 = 6

，半圓的圓心

O

是

\overline{A B}

的中點，半徑

3

。

\overline{A O} = 3

、

\overline{A C} = 2

，所以

\overline{O C} = 1

。

D

在半圓上，

\overline{O D} = 3

，直角三角形

O C D

中

\overline{C D} = 3^{2} - 1^{2} = 8 = 22 \approx 2.828

。

9 \times 2.828 = 25.452

，所以

\frac{25}{9} < \overline{C D} < \frac{26}{9}

，

k = 25

。

也可以用國中學過的結論：直徑所對的圓周角是直角，

△ A C D

與

△ D C B

相似，

\overline{C D}^{2} = \overline{A C} \times \overline{B C} = 8

。不用小數也能確認：

(\frac{25}{9})^{2} = \frac{625}{81} < 8 < \frac{676}{81} = (\frac{26}{9})^{2}

。

第 7 題答案 (A)。兩式寫成

1 0^{2 a} \times 3^{3 b} = 5

、

1 0^{3 a} \times 3^{2 b} = 10

。為了消去

3

的次方，第一式平方、第二式立方：

1 0^{4 a} \times 3^{6 b} = 25

，

1 0^{9 a} \times 3^{6 b} = 1000

。兩式相除得

1 0^{5 a} = \frac{1000}{25} = 40

。由

lo g 2 \approx 0.301

知

2 \approx 1 0^{0.301}

，所以

40 = 2^{2} \times 10 \approx 1 0^{0.602} \times 10 = 1 0^{1.602}

，

5 a \approx 1.602

，

a \approx 0.3204

，最接近

0.32

。

兩個未知數都在指數上時，把兩式各自乘方，讓其中一個底數的次方相同再相除，就能消掉一個。

絕對值不等式

∣ x - c ∣ \leq r

的解是以

c

為中心、

r

為半徑的區間；反過來，看到解的區間就先找中點和半徑。

03多重選擇 1～3（第 8～10 題）：乘法公式、根式比較、不等式的範圍

第 8 題答案 (A)(C)(D)(E)。(A) 對：

(2 x + y)^{3} = (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} y + 3 (2 x) y^{2} + y^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}

。(B) 錯：

x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

，中間是

- x y

；取

x = y = 1

，左邊是

\frac{2}{3}

，右邊是

2

。(C) 對：

(x + 2 y - z)^{2} = x^{2} + 4 y^{2} + z^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 y + 2 \cdot 2 y \cdot (- z) + 2 \cdot x \cdot (- z)

，就是右式。(D) 對：循環節

12345

有

5

位，

47 = 5 \times 9 + 2

，第

47

位是循環節的第

2

個數字

2

。(E) 對：設

a + 2 b = p

、

b + 2 a = q

都是有理數，兩式相加得

a + b = \frac{p + q}{3}

，所以

a = q - (a + b) = \frac{2 q - p}{3}

、

b = p - (a + b) = \frac{2 p - q}{3}

都是有理數。

(B) 的分母若是

x^{2} - x y + y^{2}

才會約成

x + y

。(E) 能成立是因為由這兩個式子可以把

a

、

b

各自解出來。

第 9 題答案 (B)(C)(E)。(A) 錯：

[(3 - 5) (3 + 5)]^{\frac{1}{2}} = (9 - 5)^{\frac{1}{2}} = 2

，不是

2

。(B) 對：由算幾不等式

\frac{3 x + 4 y}{2} \geq 3 x \cdot 4 y = 12 x y

，等號成立時

3 x = 4 y

，所以

\frac{x}{y} = \frac{4}{3} > 1

。(C) 對：兩邊同乘

15

，比較

103 + 57

與

93 + 67

，後者減前者是

7 - 3 > 0

。(D) 錯：

3 - 2 = \frac{1}{3 + 2}

，

6 - 5 = \frac{1}{6 + 5}

；分母

3 + 2 < 6 + 5

，所以

3 - 2 > 6 - 5

。(E) 對：兩邊都是正數，平方後左邊

16 + 255

、右邊

16 + 260

，左邊較小。

3

與

7

之間的分點，

7

的比重分別是

\frac{1}{3}

和

\frac{2}{5}

，比重大的比較靠近

7

。(D) 兩個相鄰根號的差，數越大差越小。

第 10 題答案 (A)(E)。(A) 對：

- 3 + 3 \leq x + y \leq 2 + 5

，即

0 \leq x + y \leq 7

。(B) 錯：

- 10 \leq - 2 y \leq - 6

，所以

- 13 \leq x - 2 y \leq - 4

；例如

x = 2

、

y = 3

時

x - 2 y = - 4

。(C) 錯：

y

是正的，

x = - 3

、

y = 5

時

x y = - 15

最小，

x = 2

、

y = 5

時

x y = 10

最大，範圍是

- 15 \leq x y \leq 10

。(D) 錯：

x

可以是

0

，

0 \leq x^{2} \leq 9

。(E) 對：

x

為負時

\frac{x}{y}

在

x = - 3

、

y = 3

時最小，是

- 1

；

x

為正時在

x = 2

、

y = 3

時最大，是

\frac{2}{3}

。

x

的範圍有正有負時，乘、除、平方都不能直接把兩端代進去，要看哪一組

x

、

y

讓結果最大或最小。

04多重選擇 4～5（第 11～12 題）：log 的意義、指數律與位數

第 11 題答案 (B)(D)(E)。

t = lo g 6

表示

1 0^{t} = 6

。(A) 錯：

1 0^{2 t} = (1 0^{t})^{2} = 36

。(B) 對：

10 0^{- t} = 1 0^{- 2 t} = \frac{1}{36}

。(C) 錯：

lo g 1 0^{t} = t = lo g 6

，不是

6

。(D) 對：

6 = 2 \times 3 \approx 1 0^{0.301} \times 1 0^{0.4771} = 1 0^{0.7781}

，所以

t \approx 0.7781

。(E) 對：

t > 0

，

1 0^{l o g t} = t

，所以

(\frac{1}{10})^{l o g t} = (1 0^{l o g t})^{- 1} = \frac{1}{t}

。

lo g 1 0^{t} = t

、

1 0^{l o g t} = t

這兩個式子都只是

lo g

的定義；(C) 把

t

和

1 0^{t}

弄混了。

第 12 題答案 (B)(C)。(A) 錯：

a^{5} = 2^{0.4 \times 5} = 2^{2} = 4

。(B) 對：

b^{20} = 2^{0.02 \times 20} = 2^{0.4} = a

。(C) 對：

a b^{5} = 2^{0.4} \times 2^{0.1} = 2^{0.5} = 2

。(D) 錯：

a^{100} = 2^{40} \approx (1 0^{0.301})^{40} = 1 0^{12.04}

，介於

1 0^{12}

和

1 0^{13}

之間，是

13

位數。(E) 錯：

a = 2^{0.4} \approx 1 0^{0.301 \times 0.4} = 1 0^{0.1204}

，

lo g a \approx 0.1204 > 0.1

。

1 0^{12}

本身就是

13

位數，所以

1 0^{12.04}

是

13

位數：位數是指數的整數部分再加

1

。

t = lo g N

和

1 0^{t} = N

是同一件事。看到

lo g

就先改寫成

10

的次方，再用指數律處理。

05填充 1～5（第 13～18 題）：科學記號、絕對值方程式、指數與根式化簡

第 13 題把兩數化成同一個次方：

6 \times 1 0^{5} = 0.6 \times 1 0^{6}

，所以

(4 \times 1 0^{6}) - (6 \times 1 0^{5}) = (4 - 0.6) \times 1 0^{6} = 3.4 \times 1 0^{6}

。檢查：

4000000 - 600000 = 3400000

。

科學記號

a \times 1 0^{n}

要求

1 \leq a < 10

，

3.4

符合。

第 14 題

lo g a = - 0.5

表示

a = 1 0^{- 0.5}

。

b = 10 \times a = 1 0^{0.5} \times 1 0^{- 0.5} = 1 0^{0} = 1

。

第 15 題

∣ - 2 x + 3∣ = 11

表示

- 2 x + 3 = 11

或

- 2 x + 3 = - 11

。前者

x = - 4

，後者

x = 7

。驗算：

∣8 + 3∣ = 11

、

∣ - 14 + 3∣ = 11

。

第 16 題三項分別化簡：

(0.01)^{- \frac{1}{2}} = (1 0^{- 2})^{- \frac{1}{2}} = 10

；

(\frac{9}{4})^{\frac{1}{4}} = [(\frac{3}{2})^{2}]^{\frac{1}{4}} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}

；

3 4 2^{6} = 2^{6 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2}} = 2

。相乘：

10 \times \frac{3}{2} \times 2 = 103

。

第 17 題(1) 分母有理化：

x = \frac{( 3 - 2 ) ^{2}}{( 3 + 2 ) ( 3 - 2 )} = \frac{5 - 2 6}{1} = 5 - 26

。

\frac{1}{x} = \frac{3 + 2}{3 - 2} = (3 + 2)^{2} = 5 + 26

。所以

x + \frac{1}{x} = 10

。

第 18 題(2)

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) = 1 0^{3} - 3 \times 10 = 970

。

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)

，這裡

ab = x \cdot \frac{1}{x} = 1

。

06填充 6～9（第 19～22 題）：算幾不等式、指數律的應用

第 19 題設垂直河岸的兩邊各長

x

公尺、平行河岸的一邊長

y

公尺（

x > 0

，

y > 0

），則

x y = 800

，鐵絲網長

2 x + y

。由算幾不等式

\frac{2 x + y}{2} \geq 2 x \cdot y = 1600 = 40

，所以

2 x + y \geq 80

。等號在

2 x = y

時成立，即

x = 20

、

y = 40

（面積

20 \times 40 = 800

），所以最少需要

80

公尺。

要用算幾不等式的兩個數是

2 x

和

y

（它們的和是所求、積是定值

1600

），不是

x

和

y

。

第 20 題

9^{x} = 3^{2 x} = 10

，所以

3^{x} = 1 0^{\frac{1}{2}}

。

2 7^{x} = (3^{x})^{3} = 1 0^{\frac{3}{2}}

，

lo g 2 7^{x} = lo g 1 0^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}

。

第 21 題設細菌數每過

1

日變為原來的

r

倍（

r > 0

）。每過

3

日變為

a

倍，所以

a = r^{3}

；經過

4

日變為

9

倍，所以

r^{4} = 9

，

r = 9^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{2}}

。

a = r^{3} = 3^{\frac{3}{2}} = 33

。

也可以直接寫：經過

4

日是

\frac{4}{3}

個「

3

日」，

a^{\frac{4}{3}} = 9

，

a = 9^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{3}{2}}

。這題假設細菌數隨時間以固定倍率成長。

第 22 題把兩式都化成以

3

為底。

11 7^{x} = 9 = 3^{2}

，兩邊取

\frac{1}{x}

次方：

117 = 3^{\frac{2}{x}}

。

1 3^{y} = 3

，兩邊取

\frac{1}{y}

次方：

13 = 3^{\frac{1}{y}}

。兩式相除：

3^{\frac{2}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{117}{13} = 9 = 3^{2}

，所以

\frac{2}{x} - \frac{1}{y} = 2

。

關鍵是

117 = 9 \times 13

。所求是

\frac{2}{x} - \frac{1}{y}

，所以把

x

、

y

移到另一邊的指數上，再用相除變成指數相減。

算幾不等式求極值：先確認「和」與「積」哪一個是定值，再挑出那兩個正數；最後一定要檢查等號成立的條件做得到。

07填充 10～12（第 23～25 題）：兩個絕對值、雙重根號、對稱式

第 23 題條件是

2 x + \frac{3}{2} + ∣ x - 2∣ = 10

，即

∣2 x + 3∣ + ∣ x - 2∣ = 10

。以

- \frac{3}{2}

、

2

分三段。

x \geq 2

時：

(2 x + 3) + (x - 2) = 10

，

x = 3

，在這一段內，合。

- \frac{3}{2} \leq x < 2

時：

(2 x + 3) - (x - 2) = 10

，

x = 5

，不在這一段內，不合。

x < - \frac{3}{2}

時：

- (2 x + 3) - (x - 2) = 10

，

x = - \frac{11}{3}

，在這一段內，合。所以

P

的坐標是

3

或

- \frac{11}{3}

。

每一段解出來的

x

都要檢查是否落在那一段裡。驗算

x = - \frac{11}{3}

：

\overline{A P} = \frac{13}{6}

、

\overline{B P} = \frac{17}{3}

，

2 \times \frac{13}{6} + \frac{17}{3} = 10

。

第 24 題

48 = 43

，

6^{2} = 36 < 48 < 49 = 7^{2}

，整數部分是

6

，所以

a = 43 - 6

。

13 + a = 7 + 43 = 7 + 212

，找兩數和

7

、積

12

：

4

和

3

，所以

7 + 43 = (2 + 3)^{2}

。

(13 + a)^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 + 3} = \frac{2 - 3}{( 2 + 3 ) ( 2 - 3 )} = 2 - 3

。

m

、

n

是有理數，

3

是無理數，比較得

m = 2

、

n = - 1

。

- \frac{1}{2}

次方是「開根號再取倒數」。

第 25 題分子：

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1})^{3} - 3 (a + a^{- 1}) = 27 - 9 = 18

。分母：

(a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a + 2 + a^{- 1} = 5

，而

a > 0

時

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} > 0

，所以分母是

5

。所求

= \frac{18}{5} = \frac{18 5}{5}

。

流傳版本的參考答案寫

\frac{18}{5}

，與

\frac{18 5}{5}

是同一個數，這裡化成分母有理化後的形式。

已知

a + a^{- 1}

求其他對稱式：平方可以得到

a^{2} + a^{- 2}

，立方可以得到

a^{3} + a^{- 3}

；要求

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}

就先算它的平方。

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新化高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題五個選項都寫不等於，要選的是兩邊真的不相等的那一個；單選第 7 題兩個未知數都在指數上，要先把兩式各自乘方再相除消去一個；多重選擇第 3 題 x 的範圍有正有負，相乘相除和平方都不能直接代兩端；填充第 10 題有兩個絕對值，分三段解完還要檢查每個解是否落在那一段。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自新化高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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04多重選擇 4～5（第 11～12 題）：log 的意義、指數律與位數

05填充 1～5（第 13～18 題）：科學記號、絕對值方程式、指數與根式化簡

06填充 6～9（第 19～22 題）：算幾不等式、指數律的應用

07填充 10～12（第 23～25 題）：兩個絕對值、雙重根號、對稱式

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新化高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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