段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

大直高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 3 題（18 分）、填充題 12 題（72 分）、計算題 1 題（10 分）

一、多選題（占 18 分）說明：第 1 題至第 3 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

請選出正確的選項。

(1) 若 $a$ ， $b$ ， $\frac{a}{b}$ 均為無理數，則 $ab$ 為無理數
(2) 若 $a + b$ 為有理數、 $ab$ 為無理數，則 $a - b$ 為無理數
(3) 若 $a$ 為有理數、 $b$ 為無理數，且 $a < b$ ，則至少有一無理數 $x$ 使得 $a < x < b$
(4) 若實數 $a$ 滿足 $a^{108}$ 與 $a^{114}$ 都是有理數，則 $a$ 為有理數
(5) 若實數 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 滿足 $a + bπ = c + d π$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$

下列哪些方程式恰有一個實數解？

(1) $∣ x - 3∣ = ∣ x + 7∣$
(2) $∣ x - 3∣ + ∣ x + 7∣ = 12$
(3) $∣ x - 3∣ - ∣ x + 7∣ = 4$
(4) $∣ x + 7∣ - ∣ x - 3∣ = 4$
(5) $∣ x - 3∣ = 2∣ x + 7∣$

某機構在 12 點時將兩種不同的營養劑分別投入培養皿甲與培養皿乙中，此時甲、乙的細菌數量分別為

X

、

Y

。已知甲的數量每 3 小時成長為原來的 2 倍，例如 15 點時甲的數量為

2 X

。乙的數量每 2 小時成長為原來的 3 倍，例如 14 點時乙的數量為

3 Y

，測量所得結果部分記錄於下表。該機構在 18 點時測量發現甲、乙的數量相同，欲以細菌數量隨時間呈指數成長的模型來預估甲、乙 12 點至 24 點的細菌數量。根據上述，試選出正確的選項。

(1) 在 13 點時，乙的數量為 $2 Y$
(2) $4 X = 9 Y$
(3) $X > Y$
(4) 在 20 點時，甲的數量大於乙的數量
(5) 在 24 點時，乙的數量為甲的 $\frac{27}{4}$ 倍

載入中...

二、填充題（占 72 分）說明：第 4 題至第 15 題。

若

a

，

b

為有理數，且

a - 20

的整數部分是

b

，小數部分是

5 - 2

，則

a + b =

____。

1.1 \overline{4} \times 0. \overline{81} =

____。（以最簡分數形式表示）

數線上有

A (a)

、

B (b)

、

P (4)

、

Q (- 36)

四點，且

a < b

，若

P

在

\overline{A B}

上滿足

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 1

，

Q

在

\overline{A B}

外滿足

\overline{Q A} : \overline{QB} = 2 : 3

，則數對

(a, b) =

____。

若

x

為實數滿足方程式

∣ x + 1∣ = 2 x - 5

，則所有

x

的總和為 ____。

設

a

、

b

為實數，已知不等式

∣ a x - 3∣ \geq b

的解為

x \geq 2

或

x \leq 1

，則數對

(a, b) =

____。

已知

9^{a} = \frac{3 + 5}{2}

，則

\frac{2 7 ^{a} + 2 7 ^{- a}}{3 ^{a} - 3 ^{- a}}

的值為 ____。

1 \div 3 8 1^{- 3} + (\frac{3}{2})^{- 1} \times (\frac{81}{625})^{0.25} + ((3 + 10)^{9} \times (3 - 10)^{9}) =

____。

生物學家克萊柏發現多數哺乳動物（例如老鼠、貓、牛等）的基礎代謝率

B

（千卡/天）與其體重

M

（公斤）會滿足關係式

B = k M^{\frac{3}{4}}

，其中

k

為大於

0

的常數。設老鼠的基礎代謝率為

b

（千卡/天），體重為

m

（公斤）。設一隻貓的基礎代謝率約為一隻老鼠的

162

倍。試問：貓的體重

M

（公斤）約為老鼠的 ____ 倍。

若

(3.2 \times 1 0^{- 8}) \div (0.13 \times 1 0^{- 2})

的值為

b \times 1 0^{n}

（取二位有效數字，且以科學記號表示），則數對

(b, n) =

____。

已知

10 \approx 3.16

，則滿足

1.5 < lo g n < 2

的整數

n

有 ____ 個。

美國科學家 Donald Ervin Knuth 定義「雙箭號」運算符，用來表示重複的冪運算，其表示法如下：

a ↑↑ b = b a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}

。例如：

3 ↑↑ 2 = 3^{3} = 27

；

2 ↑↑ 3 = 2^{2^{2}} = 2^{4} = 16

。試求

4 ↑↑ 3

為 ____ 位數。（

lo g 2 \approx 0.3010

）

溶液的酸鹼程度常以 pH 值來衡量。若溶液中的氫離子濃度為

x

莫耳/升，pH 值就定為

- lo g x

。今有 4 升 pH 值為 2 的

A

溶液，若想將其調配成 pH 值為 3 的溶液，則須與 ____ 升 pH 值為 4 的

B

溶液充分混合。（假設混合後體積不變）

三、計算題（占 10 分）說明：第 16 題。

如圖所示，在一半徑為 20 公尺的半圓形草皮上，想要圍出一長方形作為花圃，且花圃的一邊落在圓的直徑上，求此花圃的最大面積，又此時長、寬分別為多少公尺。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(3)

第 2 題(1)(3)(4)

第 3 題(3)(5)

第 4 題

7

第 5 題

\frac{103}{110}

第 6 題

(- 6, 9)

第 7 題

6

第 8 題

(2, 1)

第 9 題

25

第 10 題

\frac{42}{5}

第 11 題

64

第 12 題

(2.5, - 5)

第 13 題

68

第 14 題

155

第 15 題

40

第 16 題最大面積

400

平方公尺；長

202

公尺、寬

102

公尺

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～3：無理數的判斷、絕對值方程式、指數成長

第 1 題答案 (2)(3)。(1) 錯：取

a = 2 + 1

、

b = 2 - 1

，兩數都是無理數，

\frac{a}{b} = (2 + 1)^{2} = 3 + 22

也是無理數，但

ab = 1

是有理數。(2) 對：

(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4 ab

，有理數減無理數是無理數；如果

a - b

是有理數，它的平方也會是有理數，矛盾，所以

a - b

是無理數。(3) 對：取

x = \frac{a + b}{2}

，它在

a

、

b

之間；若

x

是有理數，則

b = 2 x - a

也是有理數，矛盾，所以

x

是無理數。(4) 錯：

a = 2

時

a^{108} = 2^{54}

、

a^{114} = 2^{57}

都是有理數，但

a

是無理數。(5) 錯：

a, b, c, d

只說是實數，例如

a = π

、

b = 0

、

c = 0

、

d = 1

時兩邊都等於

π

，但

a \neq = c

。

(5) 要

a, b, c, d

都是有理數才能比較係數；題目寫的是實數，所以不成立。

第 2 題答案 (1)(3)(4)。把

∣ x - 3∣

、

∣ x + 7∣

看成

x

到

3

、到

- 7

的距離，兩點相距

10

。(1) 到兩點等距，只有中點

x = - 2

，一個解。(2) 距離和是

12 > 10

，兩點外側各有一個解（

x = 4

與

x = - 8

），兩個解。(3)

x \leq - 7

時左式恆為

10

、

x \geq 3

時恆為

- 10

，都不等於

4

；

- 7 < x < 3

時左式

= (3 - x) - (x + 7) = - 2 x - 4 = 4

，得

x = - 4

，一個解。(4) 同理只需看

- 7 < x < 3

：

(x + 7) - (3 - x) = 2 x + 4 = 4

，得

x = 0

，一個解。(5)

x - 3 = 2 (x + 7)

得

x = - 17

；

x - 3 = - 2 (x + 7)

得

x = - \frac{11}{3}

，兩個解。

距離差

∣ x - 3∣ - ∣ x + 7∣

的值介於

- 10

和

10

之間，而且在

- 7

與

3

之間每個值恰好出現一次。

第 3 題答案 (3)(5)。設 12 點後經過

t

小時，甲的數量是

X \cdot 2^{\frac{t}{3}}

，乙的數量是

Y \cdot 3^{\frac{t}{2}}

。18 點（

t = 6

）兩者相同：

X \cdot 2^{2} = Y \cdot 3^{3}

，即

4 X = 27 Y

。(1) 錯：13 點時乙是

Y \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3 Y

。(2) 錯：應為

4 X = 27 Y

。(3) 對：

X = \frac{27}{4} Y > Y

。(4) 錯：20 點（

t = 8

）時甲是

X \cdot 2^{\frac{8}{3}} = \frac{27}{4} Y \cdot 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 27 \cdot 2^{\frac{2}{3}} Y

，乙是

3^{4} Y = 81 Y

；比較

2^{\frac{2}{3}}

與

3

：兩邊三次方得

4 < 27

，所以甲比乙少。(5) 對：24 點（

t = 12

）時甲是

16 X = 16 \cdot \frac{27}{4} Y = 108 Y

，乙是

3^{6} Y = 729 Y

，

\frac{729}{108} = \frac{27}{4}

。

指數成長的模型在不是整數週期的時刻用分數次方，13 點的乙不是「

Y

與

3 Y

的平均

2 Y

」。

02填充 4～8：根式、循環小數、分點、絕對值

第 4 題整數部分加小數部分就是原數：

a - 20 = b + 5 - 2

。兩邊平方：

a - 25 = (b - 2)^{2} + 5 + 2 (b - 2) 5

。

a, b

是有理數，比較

5

的係數得

2 (b - 2) = - 2

，

b = 1

；再比較有理數部分得

a = 1 + 5 = 6

。檢查：

6 - 25 = 5 - 1 \approx 1.236

，整數部分

1

、小數部分

5 - 2

，符合。所以

a + b = 7

。

第 5 題

1.1 \overline{4} = 1 + \frac{14 - 1}{90} = 1 + \frac{13}{90} = \frac{103}{90}

，

0. \overline{81} = \frac{81}{99} = \frac{9}{11}

。相乘：

\frac{103}{90} \times \frac{9}{11} = \frac{103}{110}

。

0.1 \overline{4}

的分母是

90

（一個循環位、一個不循環位），分子是

14 - 1

。

第 6 題

P

在

\overline{A B}

上且

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 1

，由分點公式

4 = \frac{a + 2 b}{3}

，即

a + 2 b = 12

。

Q

在

\overline{A B}

外且離

A

比較近，所以

Q

在

A

的左邊：

\overline{Q A} = a + 36

、

\overline{QB} = b + 36

，

3 (a + 36) = 2 (b + 36)

，即

3 a - 2 b = - 36

。兩式相加得

4 a = - 24

，

a = - 6

，

b = 9

。

外分點先判斷在哪一側：

\overline{Q A} < \overline{QB}

，所以

Q

在靠近

A

的那一側。

第 7 題左邊是絕對值，所以

2 x - 5 \geq 0

，即

x \geq \frac{5}{2}

。

x + 1 = 2 x - 5

得

x = 6

，符合；

x + 1 = - (2 x - 5)

得

x = \frac{4}{3}

，不符合

x \geq \frac{5}{2}

，捨去。只有一個解

x = 6

，總和為

6

。

解出來要代回檢查：

x = \frac{4}{3}

時右邊是

- \frac{7}{3}

，絕對值不可能是負數。

第 8 題解的兩個端點

x = 1

與

x = 2

是

∣ a x - 3∣ = b

的兩個解：

∣ a - 3∣ = b

且

∣2 a - 3∣ = b

。若

a - 3 = 2 a - 3

則

a = 0

，不等式沒有端點，不合；所以

a - 3 = - (2 a - 3)

，

a = 2

，

b = ∣2 - 3∣ = 1

。檢查：

∣2 x - 3∣ \geq 1

即

2 x - 3 \geq 1

或

2 x - 3 \leq - 1

，

x \geq 2

或

x \leq 1

，符合。

(a, b) = (2, 1)

。

03填充 9～12：指數律與科學記號

第 9 題令

t = 3^{a}

，則

t^{2} = 9^{a} = \frac{3 + 5}{2}

，

t^{- 2} = \frac{2}{3 + 5} = \frac{3 - 5}{2}

，所以

t^{2} + t^{- 2} = 3

。

(t + t^{- 1})^{2} = 3 + 2 = 5

，

t + t^{- 1} = 5

；

(t - t^{- 1})^{2} = 3 - 2 = 1

，又

t^{2} > 1

所以

t > t^{- 1}

，

t - t^{- 1} = 1

。分子用立方和：

2 7^{a} + 2 7^{- a} = t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1}) (t^{2} - 1 + t^{- 2}) = 5 \times 2 = 25

。所求

= \frac{2 5}{1} = 25

。

2 7^{a} = (3^{a})^{3}

、

9^{a} = (3^{a})^{2}

，全部換成

3^{a}

來看。

第 10 題第一項：

8 1^{- 3} = 3^{- 12} = 3^{- 6}

，再開三次方得

3^{- 2}

，

1 \div 3^{- 2} = 9

。第二項：

(\frac{3}{2})^{- 1} = \frac{2}{3}

，

(\frac{81}{625})^{0.25} = (\frac{3 ^{4}}{5 ^{4}})^{\frac{1}{4}} = \frac{3}{5}

，相乘得

\frac{2}{5}

。第三項：

((3 + 10) (3 - 10))^{9} = (9 - 10)^{9} = - 1

。合計

9 + \frac{2}{5} - 1 = \frac{42}{5}

。

第 11 題貓：

B = k M^{\frac{3}{4}}

；老鼠：

b = k m^{\frac{3}{4}}

。相除：

\frac{B}{b} = (\frac{M}{m})^{\frac{3}{4}} = 162 = 2^{4} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}

。兩邊取

\frac{4}{3}

次方：

\frac{M}{m} = 2^{\frac{9}{2} \times \frac{4}{3}} = 2^{6} = 64

。

第 12 題

\frac{3.2 \times 1 0 ^{- 8}}{0.13 \times 1 0 ^{- 2}} = \frac{3.2}{0.13} \times 1 0^{- 6} \approx 24.6 \times 1 0^{- 6} = 2.46 \times 1 0^{- 5}

。取二位有效數字得

2.5 \times 1 0^{- 5}

，所以

(b, n) = (2.5, - 5)

。

科學記號要求

1 \leq b < 10

，所以

24.6 \times 1 0^{- 6}

要再改寫成

2.46 \times 1 0^{- 5}

。

04填充 13～15：常用對數

第 13 題

1.5 < lo g n < 2

就是

1 0^{1.5} < n < 1 0^{2}

。

1 0^{1.5} = 1010 \approx 31.6

，所以

31.6 < n < 100

，整數

n = 32, 33, \dots, 99

，共

99 - 32 + 1 = 68

個。

第 14 題

4 ↑↑ 3 = 4^{4^{4}} = 4^{256} = 2^{512}

。

lo g 2^{512} = 512 \times 0.3010 = 154.112

，所以

1 0^{154} < 2^{512} < 1 0^{155}

，是

155

位數。

次方要從最上面算起：先算

4^{4} = 256

，再算

4^{256}

，不是

(4^{4})^{4}

。

第 15 題pH 值

2

、

4

、

3

分別表示氫離子濃度

1 0^{- 2}

、

1 0^{- 4}

、

1 0^{- 3}

莫耳/升。設加入

V

升

B

溶液，氫離子總量不變：

4 \times 1 0^{- 2} + V \times 1 0^{- 4} = (4 + V) \times 1 0^{- 3}

。兩邊同乘

1 0^{4}

：

400 + V = 10 (4 + V)

，

9 V = 360

，

V = 40

。

pH 值不能直接平均；要先換回濃度，用「莫耳數＝濃度×體積」列式。

05計算 16：算幾不等式

第 16 題設圓心為

O

，花圃在直徑上的一邊長

2 x

公尺（圓心兩側各

x

），另一邊長

y

公尺，

x > 0

、

y > 0

。面積最大時花圃的上面兩個頂點在半圓上，頂點到圓心的距離是半徑：

x^{2} + y^{2} = 2 0^{2} = 400

。花圃面積為

2 x y

。由算幾不等式

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} \geq x^{2} y^{2} = x y

，得

2 x y \leq x^{2} + y^{2} = 400

。等號在

x^{2} = y^{2}

時成立，即

x = y = 102

。所以最大面積是

400

平方公尺，此時長

2 x = 202

公尺、寬

y = 102

公尺。

長是

2 x

不是

x

；寫完不等式要交代等號成立的條件，才能說最大值做得到。

求極值的計算題照順序寫：設未知數、寫出限制式、用算幾不等式、交代等號成立的條件、回答題目問的量。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

大直高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

大直高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題選項 (1) 與 (5) 要自己舉反例、第 3 題選項 (4) 要比較分數次方的大小、第 9 題要把式子全部換成同一個底數再用立方和，以及第 15 題 pH 值不能直接平均、要換回濃度列式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自大直高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

大直高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 3 題（18 分）、填充題 12 題（72 分）、計算題 1 題（10 分）

一、多選題（占 18 分）說明：第 1 題至第 3 題，每題 6 分。（6－4－2－0）

請選出正確的選項。

(1) 若 $a$ ， $b$ ， $\frac{a}{b}$ 均為無理數，則 $ab$ 為無理數
(2) 若 $a + b$ 為有理數、 $ab$ 為無理數，則 $a - b$ 為無理數
(3) 若 $a$ 為有理數、 $b$ 為無理數，且 $a < b$ ，則至少有一無理數 $x$ 使得 $a < x < b$
(4) 若實數 $a$ 滿足 $a^{108}$ 與 $a^{114}$ 都是有理數，則 $a$ 為有理數
(5) 若實數 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 滿足 $a + bπ = c + d π$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$

下列哪些方程式恰有一個實數解？

(1) $∣ x - 3∣ = ∣ x + 7∣$
(2) $∣ x - 3∣ + ∣ x + 7∣ = 12$
(3) $∣ x - 3∣ - ∣ x + 7∣ = 4$
(4) $∣ x + 7∣ - ∣ x - 3∣ = 4$
(5) $∣ x - 3∣ = 2∣ x + 7∣$

某機構在 12 點時將兩種不同的營養劑分別投入培養皿甲與培養皿乙中，此時甲、乙的細菌數量分別為

X

、

Y

。已知甲的數量每 3 小時成長為原來的 2 倍，例如 15 點時甲的數量為

2 X

。乙的數量每 2 小時成長為原來的 3 倍，例如 14 點時乙的數量為

3 Y

(1) 在 13 點時，乙的數量為 $2 Y$
(2) $4 X = 9 Y$
(3) $X > Y$
(4) 在 20 點時，甲的數量大於乙的數量
(5) 在 24 點時，乙的數量為甲的 $\frac{27}{4}$ 倍

載入中...

二、填充題（占 72 分）說明：第 4 題至第 15 題。

若

a

，

b

為有理數，且

a - 20

的整數部分是

b

，小數部分是

5 - 2

，則

a + b =

____。

1.1 \overline{4} \times 0. \overline{81} =

____。（以最簡分數形式表示）

數線上有

A (a)

、

B (b)

、

P (4)

、

Q (- 36)

四點，且

a < b

，若

P

在

\overline{A B}

上滿足

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 1

，

Q

在

\overline{A B}

外滿足

\overline{Q A} : \overline{QB} = 2 : 3

，則數對

(a, b) =

____。

若

x

為實數滿足方程式

∣ x + 1∣ = 2 x - 5

，則所有

x

的總和為 ____。

設

a

、

b

為實數，已知不等式

∣ a x - 3∣ \geq b

的解為

x \geq 2

或

x \leq 1

，則數對

(a, b) =

____。

已知

9^{a} = \frac{3 + 5}{2}

，則

\frac{2 7 ^{a} + 2 7 ^{- a}}{3 ^{a} - 3 ^{- a}}

的值為 ____。

1 \div 3 8 1^{- 3} + (\frac{3}{2})^{- 1} \times (\frac{81}{625})^{0.25} + ((3 + 10)^{9} \times (3 - 10)^{9}) =

____。

生物學家克萊柏發現多數哺乳動物（例如老鼠、貓、牛等）的基礎代謝率

B

（千卡/天）與其體重

M

（公斤）會滿足關係式

B = k M^{\frac{3}{4}}

，其中

k

為大於

0

的常數。設老鼠的基礎代謝率為

b

（千卡/天），體重為

m

（公斤）。設一隻貓的基礎代謝率約為一隻老鼠的

162

倍。試問：貓的體重

M

（公斤）約為老鼠的 ____ 倍。

若

(3.2 \times 1 0^{- 8}) \div (0.13 \times 1 0^{- 2})

的值為

b \times 1 0^{n}

（取二位有效數字，且以科學記號表示），則數對

(b, n) =

____。

已知

10 \approx 3.16

，則滿足

1.5 < lo g n < 2

的整數

n

有 ____ 個。

美國科學家 Donald Ervin Knuth 定義「雙箭號」運算符，用來表示重複的冪運算，其表示法如下：

a ↑↑ b = b a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}

。例如：

3 ↑↑ 2 = 3^{3} = 27

；

2 ↑↑ 3 = 2^{2^{2}} = 2^{4} = 16

。試求

4 ↑↑ 3

為 ____ 位數。（

lo g 2 \approx 0.3010

）

溶液的酸鹼程度常以 pH 值來衡量。若溶液中的氫離子濃度為

x

莫耳/升，pH 值就定為

- lo g x

。今有 4 升 pH 值為 2 的

A

溶液，若想將其調配成 pH 值為 3 的溶液，則須與 ____ 升 pH 值為 4 的

B

溶液充分混合。（假設混合後體積不變）

三、計算題（占 10 分）說明：第 16 題。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(3)

第 2 題(1)(3)(4)

第 3 題(3)(5)

第 4 題

7

第 5 題

\frac{103}{110}

第 6 題

(- 6, 9)

第 7 題

6

第 8 題

(2, 1)

第 9 題

25

第 10 題

\frac{42}{5}

第 11 題

64

第 12 題

(2.5, - 5)

第 13 題

68

第 14 題

155

第 15 題

40

第 16 題最大面積

400

平方公尺；長

202

公尺、寬

102

公尺

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～3：無理數的判斷、絕對值方程式、指數成長

第 1 題答案 (2)(3)。(1) 錯：取

a = 2 + 1

、

b = 2 - 1

，兩數都是無理數，

\frac{a}{b} = (2 + 1)^{2} = 3 + 22

也是無理數，但

ab = 1

是有理數。(2) 對：

(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4 ab

，有理數減無理數是無理數；如果

a - b

是有理數，它的平方也會是有理數，矛盾，所以

a - b

是無理數。(3) 對：取

x = \frac{a + b}{2}

，它在

a

、

b

之間；若

x

是有理數，則

b = 2 x - a

也是有理數，矛盾，所以

x

是無理數。(4) 錯：

a = 2

時

a^{108} = 2^{54}

、

a^{114} = 2^{57}

都是有理數，但

a

是無理數。(5) 錯：

a, b, c, d

只說是實數，例如

a = π

、

b = 0

、

c = 0

、

d = 1

時兩邊都等於

π

，但

a \neq = c

。

(5) 要

a, b, c, d

都是有理數才能比較係數；題目寫的是實數，所以不成立。

第 2 題答案 (1)(3)(4)。把

∣ x - 3∣

、

∣ x + 7∣

看成

x

到

3

、到

- 7

的距離，兩點相距

10

。(1) 到兩點等距，只有中點

x = - 2

，一個解。(2) 距離和是

12 > 10

，兩點外側各有一個解（

x = 4

與

x = - 8

），兩個解。(3)

x \leq - 7

時左式恆為

10

、

x \geq 3

時恆為

- 10

，都不等於

4

；

- 7 < x < 3

時左式

= (3 - x) - (x + 7) = - 2 x - 4 = 4

，得

x = - 4

，一個解。(4) 同理只需看

- 7 < x < 3

：

(x + 7) - (3 - x) = 2 x + 4 = 4

，得

x = 0

，一個解。(5)

x - 3 = 2 (x + 7)

得

x = - 17

；

x - 3 = - 2 (x + 7)

得

x = - \frac{11}{3}

，兩個解。

距離差

∣ x - 3∣ - ∣ x + 7∣

的值介於

- 10

和

10

之間，而且在

- 7

與

3

之間每個值恰好出現一次。

第 3 題答案 (3)(5)。設 12 點後經過

t

小時，甲的數量是

X \cdot 2^{\frac{t}{3}}

，乙的數量是

Y \cdot 3^{\frac{t}{2}}

。18 點（

t = 6

）兩者相同：

X \cdot 2^{2} = Y \cdot 3^{3}

，即

4 X = 27 Y

。(1) 錯：13 點時乙是

Y \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3 Y

。(2) 錯：應為

4 X = 27 Y

。(3) 對：

X = \frac{27}{4} Y > Y

。(4) 錯：20 點（

t = 8

）時甲是

X \cdot 2^{\frac{8}{3}} = \frac{27}{4} Y \cdot 4 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 27 \cdot 2^{\frac{2}{3}} Y

，乙是

3^{4} Y = 81 Y

；比較

2^{\frac{2}{3}}

與

3

：兩邊三次方得

4 < 27

，所以甲比乙少。(5) 對：24 點（

t = 12

）時甲是

16 X = 16 \cdot \frac{27}{4} Y = 108 Y

，乙是

3^{6} Y = 729 Y

，

\frac{729}{108} = \frac{27}{4}

。

指數成長的模型在不是整數週期的時刻用分數次方，13 點的乙不是「

Y

與

3 Y

的平均

2 Y

」。

02填充 4～8：根式、循環小數、分點、絕對值

第 4 題整數部分加小數部分就是原數：

a - 20 = b + 5 - 2

。兩邊平方：

a - 25 = (b - 2)^{2} + 5 + 2 (b - 2) 5

。

a, b

是有理數，比較

5

的係數得

2 (b - 2) = - 2

，

b = 1

；再比較有理數部分得

a = 1 + 5 = 6

。檢查：

6 - 25 = 5 - 1 \approx 1.236

，整數部分

1

、小數部分

5 - 2

，符合。所以

a + b = 7

。

第 5 題

1.1 \overline{4} = 1 + \frac{14 - 1}{90} = 1 + \frac{13}{90} = \frac{103}{90}

，

0. \overline{81} = \frac{81}{99} = \frac{9}{11}

。相乘：

\frac{103}{90} \times \frac{9}{11} = \frac{103}{110}

。

0.1 \overline{4}

的分母是

90

（一個循環位、一個不循環位），分子是

14 - 1

。

第 6 題

P

在

\overline{A B}

上且

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 1

，由分點公式

4 = \frac{a + 2 b}{3}

，即

a + 2 b = 12

。

Q

在

\overline{A B}

外且離

A

比較近，所以

Q

在

A

的左邊：

\overline{Q A} = a + 36

、

\overline{QB} = b + 36

，

3 (a + 36) = 2 (b + 36)

，即

3 a - 2 b = - 36

。兩式相加得

4 a = - 24

，

a = - 6

，

b = 9

。

外分點先判斷在哪一側：

\overline{Q A} < \overline{QB}

，所以

Q

在靠近

A

的那一側。

第 7 題左邊是絕對值，所以

2 x - 5 \geq 0

，即

x \geq \frac{5}{2}

。

x + 1 = 2 x - 5

得

x = 6

，符合；

x + 1 = - (2 x - 5)

得

x = \frac{4}{3}

，不符合

x \geq \frac{5}{2}

，捨去。只有一個解

x = 6

，總和為

6

。

解出來要代回檢查：

x = \frac{4}{3}

時右邊是

- \frac{7}{3}

，絕對值不可能是負數。

第 8 題解的兩個端點

x = 1

與

x = 2

是

∣ a x - 3∣ = b

的兩個解：

∣ a - 3∣ = b

且

∣2 a - 3∣ = b

。若

a - 3 = 2 a - 3

則

a = 0

，不等式沒有端點，不合；所以

a - 3 = - (2 a - 3)

，

a = 2

，

b = ∣2 - 3∣ = 1

。檢查：

∣2 x - 3∣ \geq 1

即

2 x - 3 \geq 1

或

2 x - 3 \leq - 1

，

x \geq 2

或

x \leq 1

，符合。

(a, b) = (2, 1)

。

03填充 9～12：指數律與科學記號

第 9 題令

t = 3^{a}

，則

t^{2} = 9^{a} = \frac{3 + 5}{2}

，

t^{- 2} = \frac{2}{3 + 5} = \frac{3 - 5}{2}

，所以

t^{2} + t^{- 2} = 3

。

(t + t^{- 1})^{2} = 3 + 2 = 5

，

t + t^{- 1} = 5

；

(t - t^{- 1})^{2} = 3 - 2 = 1

，又

t^{2} > 1

所以

t > t^{- 1}

，

t - t^{- 1} = 1

。分子用立方和：

2 7^{a} + 2 7^{- a} = t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1}) (t^{2} - 1 + t^{- 2}) = 5 \times 2 = 25

。所求

= \frac{2 5}{1} = 25

。

2 7^{a} = (3^{a})^{3}

、

9^{a} = (3^{a})^{2}

，全部換成

3^{a}

來看。

第 10 題第一項：

8 1^{- 3} = 3^{- 12} = 3^{- 6}

，再開三次方得

3^{- 2}

，

1 \div 3^{- 2} = 9

。第二項：

(\frac{3}{2})^{- 1} = \frac{2}{3}

，

(\frac{81}{625})^{0.25} = (\frac{3 ^{4}}{5 ^{4}})^{\frac{1}{4}} = \frac{3}{5}

，相乘得

\frac{2}{5}

。第三項：

((3 + 10) (3 - 10))^{9} = (9 - 10)^{9} = - 1

。合計

9 + \frac{2}{5} - 1 = \frac{42}{5}

。

第 11 題貓：

B = k M^{\frac{3}{4}}

；老鼠：

b = k m^{\frac{3}{4}}

。相除：

\frac{B}{b} = (\frac{M}{m})^{\frac{3}{4}} = 162 = 2^{4} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}

。兩邊取

\frac{4}{3}

次方：

\frac{M}{m} = 2^{\frac{9}{2} \times \frac{4}{3}} = 2^{6} = 64

。

第 12 題

\frac{3.2 \times 1 0 ^{- 8}}{0.13 \times 1 0 ^{- 2}} = \frac{3.2}{0.13} \times 1 0^{- 6} \approx 24.6 \times 1 0^{- 6} = 2.46 \times 1 0^{- 5}

。取二位有效數字得

2.5 \times 1 0^{- 5}

，所以

(b, n) = (2.5, - 5)

。

科學記號要求

1 \leq b < 10

，所以

24.6 \times 1 0^{- 6}

要再改寫成

2.46 \times 1 0^{- 5}

。

04填充 13～15：常用對數

第 13 題

1.5 < lo g n < 2

就是

1 0^{1.5} < n < 1 0^{2}

。

1 0^{1.5} = 1010 \approx 31.6

，所以

31.6 < n < 100

，整數

n = 32, 33, \dots, 99

，共

99 - 32 + 1 = 68

個。

第 14 題

4 ↑↑ 3 = 4^{4^{4}} = 4^{256} = 2^{512}

。

lo g 2^{512} = 512 \times 0.3010 = 154.112

，所以

1 0^{154} < 2^{512} < 1 0^{155}

，是

155

位數。

次方要從最上面算起：先算

4^{4} = 256

，再算

4^{256}

，不是

(4^{4})^{4}

。

第 15 題pH 值

2

、

4

、

3

分別表示氫離子濃度

1 0^{- 2}

、

1 0^{- 4}

、

1 0^{- 3}

莫耳/升。設加入

V

升

B

溶液，氫離子總量不變：

4 \times 1 0^{- 2} + V \times 1 0^{- 4} = (4 + V) \times 1 0^{- 3}

。兩邊同乘

1 0^{4}

：

400 + V = 10 (4 + V)

，

9 V = 360

，

V = 40

。

pH 值不能直接平均；要先換回濃度，用「莫耳數＝濃度×體積」列式。

05計算 16：算幾不等式

第 16 題設圓心為

O

，花圃在直徑上的一邊長

2 x

公尺（圓心兩側各

x

），另一邊長

y

公尺，

x > 0

、

y > 0

。面積最大時花圃的上面兩個頂點在半圓上，頂點到圓心的距離是半徑：

x^{2} + y^{2} = 2 0^{2} = 400

。花圃面積為

2 x y

。由算幾不等式

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} \geq x^{2} y^{2} = x y

，得

2 x y \leq x^{2} + y^{2} = 400

。等號在

x^{2} = y^{2}

時成立，即

x = y = 102

。所以最大面積是

400

平方公尺，此時長

2 x = 202

公尺、寬

y = 102

公尺。

長是

2 x

不是

x

；寫完不等式要交代等號成立的條件，才能說最大值做得到。

求極值的計算題照順序寫：設未知數、寫出限制式、用算幾不等式、交代等號成立的條件、回答題目問的量。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

大直高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

大直高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自大直高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

大直高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選 1～3：無理數的判斷、絕對值方程式、指數成長

02填充 4～8：根式、循環小數、分點、絕對值

03填充 9～12：指數律與科學記號

04填充 13～15：常用對數

05計算 16：算幾不等式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

大直高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

大直高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

大直高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選 1～3：無理數的判斷、絕對值方程式、指數成長

02填充 4～8：根式、循環小數、分點、絕對值

03填充 9～12：指數律與科學記號

04填充 13～15：常用對數

05計算 16：算幾不等式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

大直高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

大直高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

大直高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選 1～3：無理數的判斷、絕對值方程式、指數成長

02填充 4～8：根式、循環小數、分點、絕對值

03填充 9～12：指數律與科學記號

04填充 13～15：常用對數

05計算 16：算幾不等式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

大直高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

大直高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

大直高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選 1～3：無理數的判斷、絕對值方程式、指數成長

02填充 4～8：根式、循環小數、分點、絕對值

03填充 9～12：指數律與科學記號

04填充 13～15：常用對數

05計算 16：算幾不等式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

大直高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

大直高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

大直高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

大直高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

大直高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

大直高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

大直高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

大直高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？