段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

臺南一中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 2 題（10 分）、多選題 2 題（12 分）、填充題 12 格（72 分）、計算題 1 題（6 分）

一、單選題（一題 5 分，共 10 分）

FM 頻道，通常可以顯示 88MHz 到 108MHz，如圖，從 88MHz 頻道開始離

x

cm（

x > 0

）的頻道叫

y

MHz，且

x

、

y

滿足

y = k a^{x}

（

k

、

a

為常數）這個關係式。已知 FM 頻道

x = 2

cm 的頻道是 96MHz，試問

x = 4

cm 的頻道是多少？

(A) 100.2MHz
(B) 102.5MHz
(C) 103.8MHz
(D) 104.7MHz

載入中...

若

x

為實數，不等式

∣ x - 4∣ - ∣ x - 3∣ \leq a

恆成立，則實數

a

的範圍為何？

(A) $a < 1$
(B) $a > 1$
(C) $a \leq 1$
(D) $a \geq 1$

二、多選題（一題 6 分，共 12 分，錯一個扣 2 分直至 0 分為止）（本頁第 3、4 題為卷面多選第 1、2 題）

下列何者可化為有限小數？

(A) $\frac{2027}{625}$
(B) $\frac{4201}{1024}$
(C) $\frac{2019}{108} + 0.0 \overline{5}$
(D) $1 - 0. \overline{9}$
(E) $\frac{111}{111111}$

a

、

b

為實數，且

a < b

，下列選項何者正確？

(A) $a^{2} < b^{2}$
(B) $∣ a - b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$
(C) $∣ a ∣ - b < 0$
(D) $\frac{a + b}{2} > ab$
(E) $\frac{∣ a ∣ + ∣ b ∣}{2} > ∣ ab ∣$

三、填充題（一格 6 分，共 72 分）（本頁第 5～16 題依序為卷面填充第 1、2、3(1)、3(2)、4、5、6、7、8、9、10、11 題）

設

11 - 62

的整數部分為

a

，純小數部分為

b

，則

\frac{1}{a - b} + b =

____。

求

\frac{3}{7}

小數點後第一百位是 ____。

填充第 3 題（第 7～8 題）　試算下列各式最簡化的值。

(1)

lo g 20 - lo g 5 + \frac{1}{2} lo g 125 =

____。

(2)

(8)^{- \frac{1}{3}} \times 0.2 5^{- 2.5} \times 44 \times 6 \frac{1}{8} =

____。

在數線上

A (- 1)

、

B (10)

、

P \in A B

且

\frac{A P}{B P} = \frac{3}{8}

，試求

P

的坐標 ____。（兩解）

設

a = lo g (1 + \frac{1}{7})

、

b = lo g (1 + \frac{1}{49})

，則

lo g 2 =

____。（以

a

、

b

表示）

不等式

∣ m x + 5∣ \leq 3

之解為

1 \leq x \leq n

，試求數對

(m, n) =

____。

若

a^{2} + b^{2} = 39

，正數

a

的正純小數部分是

b

，即

a = n + b

，

n \in N

，則

a =

____。

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特

W/ m^{2}

來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W/ m^{2}

）；當測得的聲音強度為

I

（

W/ m^{2}

），所產生的噪音分貝數

d = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

計算。如果一支瓦斯汽笛獨鳴，其測得的噪音分貝為 70 分貝，12 強棒球台北大巨蛋台日大戰選手擊出全壘打的瞬間，噪音分貝高達 110 分貝，試算相當於 ____ 支汽笛同時同地合鳴。

假設

x

、

y

均為實數，而且

∣ x ∣ < 1

，

\frac{x - y}{1 - x y} < 1

，試求

y

的範圍。

計成科學記號

1 0^{l o g 1 + l o g 2 + l o g 3 + l o g 4 + l o g 5 + l o g 6 + l o g 7 + l o g 8 + l o g 9} = a \times 1 0^{n}

，則

a

的領導數字為 ____。

已知

\frac{1}{2 ^{x}} - \frac{1}{2 ^{y}} - \frac{2}{2 ^{x} + 2 ^{y}} = 0

，則

2^{3 y - 3 x} - 2^{3 x - 3 y} =

____。

四、計算題（共 6 分）（本頁第 17 題為卷面計算第 1 題）

比較

\frac{1}{86} + \frac{1}{91} + \frac{1}{97}

與

\frac{1}{87} + \frac{1}{92} + \frac{1}{95}

的大小。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(D)

第 3 題(A)(B)(C)(D)

第 4 題(B)

第 5 題

3

第 6 題

5

第 7 題

2

第 8 題

162

第 9 題

2

或

- \frac{38}{5}

第 10 題

\frac{2 a - b + 2}{7}

第 11 題

(- 2, 4)

第 12 題

3 + \frac{42}{2}

第 13 題

10000

第 14 題

- 1 < y < 1

第 15 題

3

第 16 題

14

第 17 題

\frac{1}{86} + \frac{1}{91} + \frac{1}{97} > \frac{1}{87} + \frac{1}{92} + \frac{1}{95}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：指數關係式、絕對值的差

第 1 題答案 (D)。

x

是離 88MHz 的距離，所以

x = 0

的位置就是 88MHz：

88 = k a^{0} = k

。

x = 2

時

96 = 88 a^{2}

，

a^{2} = \frac{96}{88} = \frac{12}{11}

。

x = 4

時

y = 88 a^{4} = 88 \times (\frac{12}{11})^{2} = \frac{88 \times 144}{121} = \frac{1152}{11} \approx 104.7

（MHz）。

不必求出

a

，只要

a^{2}

：

a^{4} = (a^{2})^{2}

。距離每多

2

cm，頻率就乘以

\frac{12}{11}

，所以也可以直接算

96 \times \frac{12}{11}

。

第 2 題答案 (D)。

∣ x - 4∣

、

∣ x - 3∣

分別是數線上

x

到

4

、到

3

的距離。分三段看

∣ x - 4∣ - ∣ x - 3∣

：

x \leq 3

時是

(4 - x) - (3 - x) = 1

；

3 < x < 4

時是

(4 - x) - (x - 3) = 7 - 2 x

，介於

- 1

和

1

之間；

x \geq 4

時是

(x - 4) - (x - 3) = - 1

。所以這個式子的最大值是

1

。要對所有實數

x

都有

∣ x - 4∣ - ∣ x - 3∣ \leq a

，

a

必須不小於最大值，即

a \geq 1

。

「恆成立」是要

a

蓋住左邊的最大值；

a = 1

時在

x \leq 3

等號成立，仍然符合

\leq

，所以含等號。

02多選 1～2（第 3～4 題）：有限小數、不等式的真偽

第 3 題答案 (A)(B)(C)(D)。最簡分數能化成有限小數的條件是分母的質因數只有

2

或

5

。(A) 對：

625 = 5^{4}

。(B) 對：

1024 = 2^{10}

。(C) 對：

0.0 \overline{5} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18} = \frac{6}{108}

，所以原式

= \frac{2019 + 6}{108} = \frac{2025}{108} = \frac{75}{4} = 18.75

。(D) 對：

0. \overline{9} = \frac{9}{9} = 1

，原式

= 0

，是整數，屬於有限小數。(E) 錯：

111111 = 111 \times 1001

，所以

\frac{111}{111111} = \frac{1}{1001}

，而

1001 = 7 \times 11 \times 13

，分母有

2

、

5

以外的質因數，是循環小數。

第 4 題答案 (B)。(A) 錯：取

a = - 2

、

b = 1

，

a^{2} = 4 > 1 = b^{2}

。(B) 對：三角不等式

∣ a + c ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ c ∣

對任意實數成立，取

c = - b

就得到

∣ a - b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣

。(C) 錯：取

a = - 2

、

b = 1

，

∣ a ∣ - b = 1 > 0

。(D) 錯：取

a = - 1

、

b = 1

，

ab = - 1 < 0

，

ab

不是實數，不等式不成立。(E) 錯：取

a = - 1

、

b = 1

，左邊

= 1

、右邊

= 1 = 1

，兩邊相等，「

>

」不成立。

(E) 是

∣ a ∣

、

∣ b ∣

的算幾不等式，

∣ a ∣ = ∣ b ∣

時等號成立；

a < b

只保證

a \neq = b

，不保證

∣ a ∣ \neq = ∣ b ∣

。

判斷「對所有滿足條件的

a

、

b

都成立」的不等式，先試一正一負、絕對值相等這類特別的數，找得到一個反例就是錯的。

03填充 1～3（第 5～8 題）：雙重根號、循環小數、對數與指數的化簡

第 5 題

11 - 62 = 11 - 218

，找兩數和

11

、積

18

：

9

和

2

，所以

11 - 62 = 9 - 2 = 3 - 2

。

2 \approx 1.414

，

3 - 2 \approx 1.586

，整數部分

a = 1

，小數部分

b = (3 - 2) - 1 = 2 - 2

。

a - b = 2 - 1

，

\frac{1}{a - b} = \frac{1}{2 - 1} = 2 + 1

。所求

= (2 + 1) + (2 - 2) = 3

。

62

要先改寫成

218

，根號前面是

2

才能找「和、積」。

第 6 題直式除法得

\frac{3}{7} = 0. \overline{428571}

，循環節

428571

共

6

位。

100 = 6 \times 16 + 4

，所以第

100

位和循環節的第

4

位相同，是

5

。

餘數是

4

就看循環節第

4

個數字；餘數是

0

時要看第

6

個。

第 7 題設所求為

t

，改看

1 0^{t}

。由

lo g

的意義，

1 0^{l o g 20} = 20

、

1 0^{l o g 5} = 5

、

1 0^{l o g 125} = 125

。用指數律：

1 0^{t} = 1 0^{l o g 20} \div 1 0^{l o g 5} \times (1 0^{l o g 125})^{\frac{1}{2}} = 20 \div 5 \times 125 = 20 \div 5 \times 55 = 100 = 1 0^{2}

，所以

t = 2

。

lo g

相加減，換回

10

的次方就是真數相乘除；

lo g

前面的係數

\frac{1}{2}

換回去是開根號。

第 8 題全部化成

2

的次方：

(8)^{- \frac{1}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{- \frac{1}{3}} = 2^{- \frac{1}{2}}

；

0.2 5^{- 2.5} = (2^{- 2})^{- \frac{5}{2}} = 2^{5}

；

44 = (2^{2})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}

；

6 \frac{1}{8} = (2^{- 3})^{\frac{1}{6}} = 2^{- \frac{1}{2}}

。指數相加：

- \frac{1}{2} + 5 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}

，所以原式

= 2^{\frac{9}{2}} = 2^{4} \times 2^{\frac{1}{2}} = 162

。

根式與小數的乘除，先全部改寫成同一個底數的分數次方，再把指數加起來。

04填充 4～7（第 9～12 題）：分點、log 2 的表示、絕對值不等式、小數部分

第 9 題設

P (p)

，

\overline{A P} = ∣ p + 1∣

、

\overline{B P} = ∣ p - 10∣

，條件是

8∣ p + 1∣ = 3∣ p - 10∣

。

P

在

A

、

B

之間時

8 (p + 1) = 3 (10 - p)

，

11 p = 22

，

p = 2

（

\overline{A P} = 3

、

\overline{B P} = 8

）。

P

在

\overline{A B}

之外時

8 (p + 1) = 3 (p - 10)

，

5 p = - 38

，

p = - \frac{38}{5}

（

\overline{A P} = \frac{33}{5}

、

\overline{B P} = \frac{88}{5}

，比是

3 : 8

）。

P

在直線

A B

上，不一定在

A

、

B

之間。

\overline{A P} < \overline{B P}

，所以外分點在靠近

A

的那一側，也就是

A

的左邊。

第 10 題由

lo g

的意義，

1 0^{a} = \frac{8}{7}

、

1 0^{b} = \frac{50}{49}

。要消去

7

：

1 0^{2 a - b} = (\frac{8}{7})^{2} \div \frac{50}{49} = \frac{64}{49} \times \frac{49}{50} = \frac{64}{50} = \frac{128}{100} = \frac{2 ^{7}}{1 0 ^{2}}

。所以

2^{7} = 1 0^{2 a - b + 2}

，

2 = 1 0^{\frac{2 a - b + 2}{7}}

，即

lo g 2 = \frac{2 a - b + 2}{7}

。

\frac{8}{7}

的分母是

7

、

\frac{50}{49}

的分母是

7^{2}

，所以把前者平方再除以後者，

7

就消掉了；剩下的

50

改寫成

\frac{100}{2}

。

第 11 題

∣ m x + 5∣ \leq 3

即

- 3 \leq m x + 5 \leq 3

，

- 8 \leq m x \leq - 2

。解是

1 \leq x \leq n

，

x

是正的而

m x

是負的，所以

m < 0

。同除以負數

m

，不等號反向：

- \frac{2}{m} \leq x \leq - \frac{8}{m}

。對照得

- \frac{2}{m} = 1

，

m = - 2

；

n = - \frac{8}{m} = 4

。所以

(m, n) = (- 2, 4)

。驗算：

∣ - 2 x + 5∣ \leq 3

即

2 \leq 2 x \leq 8

，

1 \leq x \leq 4

。

除以

m

之前要先判斷

m

的正負；

m < 0

時左右端點會對調。

第 12 題

b

是正純小數，

0 < b < 1

，所以

0 < b^{2} < 1

，

38 < a^{2} < 39

。而

6^{2} = 36 < 38

、

39 < 49 = 7^{2}

，所以

6 < a < 7

，

n = 6

，

a = 6 + b

。代入：

(6 + b)^{2} + b^{2} = 39

，

2 b^{2} + 12 b - 3 = 0

，

b = \frac{- 12 \pm 144 + 24}{4} = \frac{- 6 \pm 42}{2}

。取正的

b = \frac{42 - 6}{2} \approx 0.24

，符合

0 < b < 1

。所以

a = 6 + b = \frac{6 + 42}{2} = 3 + \frac{42}{2}

。

未知數有

a

、

b

、

n

三個，要先用「

b^{2}

小於

1

」把

a^{2}

夾在

38

和

39

之間，定出整數部分

n = 6

。

05填充 8～11（第 13～16 題）：分貝、分式絕對值、科學記號、指數對稱式

第 13 題一支汽笛的強度設為

I_{1}

：

70 = 10 lo g \frac{I _{1}}{I _{0}}

，

lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} = 7

，

I_{1} = 1 0^{7} I_{0}

。

110

分貝的強度設為

I_{2}

：

lo g \frac{I _{2}}{I _{0}} = 11

，

I_{2} = 1 0^{11} I_{0}

。

\frac{I _{2}}{I _{1}} = 1 0^{4}

。同時同地合鳴時聲音強度相加，

k

支汽笛的強度是

k I_{1}

，所以相當於

1 0^{4} = 10000

支。

分貝數不能直接相除（

110 \div 70

沒有意義）；相加的是強度

I

，分貝每多

10

，強度變成

10

倍。

第 14 題分式有意義表示

1 - x y \neq = 0

，

∣1 - x y ∣ > 0

。兩邊同乘

∣1 - x y ∣

：

∣ x - y ∣ < ∣1 - x y ∣

。兩邊都不是負的，平方後大小不變：

x^{2} - 2 x y + y^{2} < 1 - 2 x y + x^{2} y^{2}

，移項得

1 - x^{2} - y^{2} + x^{2} y^{2} > 0

，即

(1 - x^{2}) (1 - y^{2}) > 0

。因為

∣ x ∣ < 1

，

1 - x^{2} > 0

，所以

1 - y^{2} > 0

，

y^{2} < 1

，

- 1 < y < 1

。反過來，

∣ x ∣ < 1

且

∣ y ∣ < 1

時

∣ x y ∣ < 1

，分母不為

0

，上面每一步都可以倒推回去，所以

y

的範圍就是

- 1 < y < 1

。

平方、展開之後

- 2 x y

兩邊消掉，剩下的四項可以分解成

(1 - x^{2}) (1 - y^{2})

。

第 15 題由

lo g

的意義，

1 0^{l o g k} = k

。用指數律把指數的和拆成乘積：

1 0^{l o g 1 + l o g 2 + \dots + l o g 9} = 1 0^{l o g 1} \times 1 0^{l o g 2} \times \dots \times 1 0^{l o g 9} = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 9 = 362880

。寫成科學記號是

3.6288 \times 1 0^{5}

，

a = 3.6288

、

n = 5

，領導數字是

3

。

這個數可以直接乘出來，不需要查

lo g

的近似值。若改用

lo g

的近似值相加，指數的和約

5.5598

，

1 0^{0.5598} \approx 3.63

，和直接乘出的

362880

相符，領導數字是

3

。

第 16 題設

A = 2^{x}

、

B = 2^{y}

（都是正數）。條件

\frac{1}{A} - \frac{1}{B} = \frac{2}{A + B}

，左邊通分得

\frac{B - A}{A B} = \frac{2}{A + B}

，交叉相乘：

B^{2} - A^{2} = 2 A B

。兩邊同除以

A B

：

\frac{B}{A} - \frac{A}{B} = 2

。令

t = \frac{B}{A} = 2^{y - x}

，則

t - \frac{1}{t} = 2

，所求為

t^{3} - \frac{1}{t ^{3}}

。由

(t - \frac{1}{t})^{3} = t^{3} - 3 t + \frac{3}{t} - \frac{1}{t ^{3}}

，得

t^{3} - \frac{1}{t ^{3}} = (t - \frac{1}{t})^{3} + 3 (t - \frac{1}{t}) = 8 + 6 = 14

。

所求的

2^{3 y - 3 x}

是

(2^{y - x})^{3}

，所以目標是先求出

2^{y - x}

和它的倒數的差。注意是「差」的立方，中間項的符號是

+ 3

。

看到

1 0^{l o g k}

就換成

k

；看到

2^{x}

、

2^{y}

混在分式裡就先各設成一個正數，化成代數式再整理。

06計算 1（第 17 題）：根式倒數和比大小

第 17 題對正整數

n

，令

f (n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1 - n}{n n + 1}

。分子、分母同乘

n + 1 + n

，分子變成

(n + 1) - n = 1

：

f (n) = \frac{1}{n n + 1 ( n + 1 + n )}

。

n

越大分母越大，所以

f (n)

是正的，而且

n

越大

f (n)

越小。前式減後式

= (\frac{1}{86} - \frac{1}{87}) + (\frac{1}{91} - \frac{1}{92}) - (\frac{1}{95} - \frac{1}{97})

。其中

\frac{1}{95} - \frac{1}{97} = (\frac{1}{95} - \frac{1}{96}) + (\frac{1}{96} - \frac{1}{97}) = f (95) + f (96)

，所以前式減後式

= [f (86) - f (95)] + [f (91) - f (96)]

。因為

86 < 95

、

91 < 96

，兩個中括號都是正的，差大於

0

。故

\frac{1}{86} + \frac{1}{91} + \frac{1}{97} > \frac{1}{87} + \frac{1}{92} + \frac{1}{95}

。

兩邊各三項，

86

對

87

、

91

對

92

各差

1

，

97

對

95

反方向差

2

，所以把差

2

的那一組拆成兩個「相鄰」的差，再和前兩組一對一比較。數值上兩式約為

0.31420

與

0.31407

，只差約

0.00013

，用近似值估算不容易看出來。

比較

\frac{1}{n}

這類很接近的數，把相鄰兩項的差有理化成分子為

1

的分式，就能直接看出哪個差比較大。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

臺南一中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南一中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 12 題（填充 7）有三個未知數，要先用小數部分的平方小於 1 把 a 的平方夾在 38 和 39 之間，定出整數部分是 6；第 14 題（填充 9）平方展開後要分解成兩個因式的乘積；第 10 題（填充 5）要把兩個對數改寫成 10 的次方，平方再相除把 7 消掉；第 17 題（計算題）兩式只差約萬分之一，要把差拆成相鄰兩項的差再有理化比較。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自臺南一中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺南一中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01單選 1～2：指數關係式、絕對值的差

02多選 1～2（第 3～4 題）：有限小數、不等式的真偽

03填充 1～3（第 5～8 題）：雙重根號、循環小數、對數與指數的化簡

04填充 4～7（第 9～12 題）：分點、log 2 的表示、絕對值不等式、小數部分

05填充 8～11（第 13～16 題）：分貝、分式絕對值、科學記號、指數對稱式

06計算 1（第 17 題）：根式倒數和比大小

同一次段考的其他學校

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常見問題

臺南一中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

臺南一中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

臺南一中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

臺南一中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

臺南一中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？