段考詳解範圍：數與式、直線方程式（實數與根式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數、直線的斜率與截距、直線的平移）

鳳新高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 5 題（20 分）、多選題 5 題（40 分）、選填題 A～H 共 8 題（40 分）

一、單選題（占 20 分）說明：第 1 題至第 5 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 4 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

如下圖所示，四條直線

p x - y = 3

、

q x - y = 2

、

r x - y = - 1

、

s x - y = - 4

，其中

p

、

q

、

r

、

s

為實數，試比較

p

、

q

、

r

、

s

的大小？

(1) $p > q > r > s$
(2) $r > q > s > p$
(3) $q > r > p > s$
(4) $r > q > p > s$
(5) $s > r > q > p$

載入中...

若過點

P (1, - 2)

的直線

M

在第四象限和兩坐標軸所圍三角形面積為最小，則直線

M

方程式為下列哪一個選項？

(1) $x - 4 y = 9$
(2) $3 x - 4 y = 11$
(3) $x - y = 3$
(4) $x - 2 y = 5$
(5) $2 x - y = 4$

若

b

為

22

的小數部分，即

0 < b < 1

，則

62 + 11

的小數部分為下列哪一個選項？

(1) $b$
(2) $\frac{b}{2}$
(3) $\frac{b}{3}$
(4) $\frac{1 + b}{2}$
(5) $\frac{1 + 3 b}{2}$

「十二平均律」是鋼琴音階的依循規則；每一個音的弦長都是前一個音弦長（string length）的

122

。若第一個音弦長為

16

，試問第幾個音的弦長為

64

？

(1) 第 $22$ 個
(2) 第 $23$ 個
(3) 第 $24$ 個
(4) 第 $25$ 個
(5) 第 $26$ 個

滿足不等式

2∣ x - 4∣ + ∣ x + 2∣ \leq 21

的正整數

x

共有多少個？

(1) $9$ 個
(2) $10$ 個
(3) $11$ 個
(4) $12$ 個
(5) $13$ 個

二、多選題（占 40 分）說明：第 6 題至第 10 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 6 分；答錯 2 個選項者，得 4 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設

t > 1

，且

t^{\frac{1}{2}} + t^{- \frac{1}{2}} = 5

，則下列哪些選項正確？

(1) $t + t^{- 1} = 23$
(2) $t^{2} + t^{- 2} = 527$
(3) $t^{\frac{3}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} = 110$
(4) $t^{\frac{1}{4}} + t^{- \frac{1}{4}} = \pm 7$
(5) $t^{\frac{1}{2}} - t^{- \frac{1}{2}} = \pm 21$

已知

K = (3^{50} + 3^{- 50})^{2}

，請選出正確的選項。（

1 0^{0.71} \approx 5.12

、

1 0^{0.29} \approx 1.94

）

(1) $K > 1 0^{47}$
(2) $K$ 的整數部分有 $47$ 位數
(3) $K$ 的整數部分最高位數字是 $5$
(4) $K$ 的小數點後共有連續 $47$ 個 $0$
(5) $K$ 的小數點後第一個不為 $0$ 的數字是 $2$

請選出正確的選項。

(1) 若 $a$ 、 $b$ 為無理數，則 $a - b$ 為無理數
(2) $\frac{1170}{3 ^{2} \times 5 ^{3}}$ 可化成有限小數
(3) 若 $p = \frac{2 5 + 3 3}{5 + 3}$ ，則 $p$ 介於 $2.5$ 和 $3$ 之間
(4) 已知 $t = 2 - 1$ ，則 $4 2 (t - 1) (t^{2} + 1) (t^{4} + 1) - (t - 2) = 3 - 22$
(5) 已知 $α$ 、 $β$ 為實數且 $α < β$ ，則 $α < \frac{2 α + 3 β}{5} < \frac{2 α + 4 β}{7} < \frac{2 α + 5 β}{9} < β$

請選出正確的選項。

(1) 設 $c = \frac{7 ^{\frac{1}{n}} + 7 ^{- \frac{1}{n}}}{2}$ ，其中 $n$ 為正整數，則 $(c + c^{2} - 1)^{n} = 7$
(2) 若兩正實數 $p$ 、 $q$ 滿足 $lo g p = lo g q + 1$ ，則 $p = \frac{q}{10}$
(3) 若 $u > 0$ ，且 $u^{2 x} = 7 - 43$ ，則 $\frac{u ^{4 x} + u ^{- 4 x}}{u ^{x} + u ^{- x}} = \frac{97}{2}$
(4) 二進位制的 $6$ 位數 $(101010)_{2}$ 轉為十進位制的數為 $63$
(5) 已知 $x$ 、 $y$ 為正實數，則 $(x + \frac{1}{y})^{2} + (y + \frac{1}{2 x})^{2}$ 的最小值為 $3 + 22$

請選出正確的選項。

(1) $0.1 \overline{52} < \frac{13}{90}$
(2) $\frac{1}{13 - 3} > 0.6$
(3) 若 $a = 34 + 32 + 1$ ，則 $\frac{3}{a} + \frac{3}{a ^{2}} + \frac{1}{a ^{3}} = 1$
(4) 方程式 $∣ x + 1∣ - ∣ x - 1∣ = 2$ 的解為 $[1, \infty)$
(5) 若 $x + \frac{1}{2} \leq \frac{3}{2}$ 且 $y - \frac{5}{2} \leq \frac{1}{2}$ ，則 $- 1 \leq \frac{x}{y} \leq \frac{1}{3}$

三、選填題（占 40 分）說明：1. 第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（11～28）。2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。（本頁第 11～18 題依序為選填 A、B、C、D、E、F、G、H）

已知直線

P : x - 2 y - 2 = 0

向右平移

3

單位得到直線

P_{1}

，直線

P

向下平移

k

單位得到直線

P_{2}

，若

P_{1}

與

P_{2}

是同一條直線，則實數

k =

____。（化為最簡分數）

已知

lo g α = 0.3

、

lo g β = 7

、

lo g γ = - 4

，則

α^{8} \times β^{27} \div 1 0^{\frac{2}{5} l o g γ}

展開後為 ____ 位數。

已知不等式

⎩ ⎨ ⎧ x + \frac{3}{2} \geq \frac{b}{2} ∣1 - x ∣ < a

的解為

[2, 3)

，則

a + b =

____。

愛因斯坦（Albert Einstein）的時間膨脹效應（Time Dilation）提及極大的飛行速度會使得飛行物體的時間減慢，並提出：「太空人以光速的

x

倍（

0 < x < 1

）進行

t

年的太空旅行（太空人老了

t

歲）；旅行結束後返回地球，地球上已經過了

\frac{t}{1 - x ^{2}}

年（地球上的人老了

\frac{t}{1 - x ^{2}}

歲）。」某年，

A

太空人

29

歲，他有位

3

歲的兒子。此年，該太空人以光速的

\frac{4}{5}

倍進行

t

年的太空旅行；旅行結束後返回地球，太空人發現他跟兒子的年紀竟然一樣。試問，根據上述理論，

A

太空人旅行了 ____ 年。

鳳新高中籃球隊（FHSH BASKETBALL TEAM）的隊徽，其設計靈感來自於一種長期棲息在校園內的鳥類，黑冠麻鷺（Malayan Night Heron），暱稱地瓜鳥、大笨鳥。若已知

6 \times 1 0^{13}

根黑冠麻鷺的羽毛重量約為

405

克，則一根羽毛重量為 ____ 克。（用科學記號表示並將係數部分四捨五入取兩位有效數字）

如下圖所示（示意圖），以

\overline{A B}

為直徑作半圓，

P

為半圓上的一點且

\overline{P D}

垂直

\overline{A B}

。若

C

、

A

、

B

的坐標分別為

0

、

2

、

12

，且

\overline{A D} : \overline{P B} = 9 : 20

，則

D

的坐標為 ____。（化為最簡分數）

載入中...

若

W

、

Y

、

Z

皆為正實數且滿足

⎩ ⎨ ⎧ \frac{9}{W} + Y + \frac{1}{4 Z} = 7 W + \frac{25}{4 Y} + 9 Z = 7

，則

12 W Y Z =

____。

如下圖所示（示意圖），已知有一四邊形

A B C D

，其中

\overline{A B}

與

\overline{C D}

平行，且

\overline{A B} = 3

、

\overline{C D} = 5

，

\overline{A C}

與

\overline{B D}

相交於

P

點，過

P

點作與

\overline{A B}

平行的線段，分別交兩腰

\overline{A D}

、

\overline{B C}

於

E

、

F

，而

G

、

H

分別為兩腰

\overline{A D}

、

\overline{B C}

之中點，則

\overline{G H} - \overline{E F} =

____。（化為最簡分數）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(1)

第 6 題(1)(2)(3)

第 7 題(1)(3)(4)

第 8 題(2)(4)

第 9 題(1)(3)(5)

第 10 題(3)(4)

第 11 題

\frac{3}{2}

第 12 題

19

第 13 題

9

第 14 題

39

第 15 題

6.8 \times 1 0^{- 12}

第 16 題

\frac{28}{5}

第 17 題

15

第 18 題

\frac{1}{4}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：斜率、截距式、小數部分、分數指數與絕對值不等式

第 1 題答案 (3)。四條直線改寫成

y = p x - 3

、

y = q x - 2

、

y = r x + 1

、

y = s x + 4

，

y

截距依序是

- 3

、

- 2

、

1

、

4

，斜率依序是

p

、

q

、

r

、

s

。看圖上與

y

軸的四個交點，由上到下對應

s

、

r

、

q

、

p

四條線。最上面那條向右下傾斜，

s < 0

；截距

1

那條向右上緩升，

r > 0

；截距

- 2

那條向右上且比

r

那條陡，

q > r > 0

；最下面那條向右下緩降，

p < 0

，而且沒有

s

那條陡，所以

s < p < 0

。合起來

q > r > p > s

。

先用

y

截距認出哪條線是哪個字母，再比斜率。兩條斜率都是負的時，越陡的斜率越小。

第 2 題答案 (5)。設直線

M

的

x

截距為

a

、

y

截距為

- b

（

a > 0

，

b > 0

），方程式是

\frac{x}{a} + \frac{y}{- b} = 1

。過

(1, - 2)

：

\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1

。三角形面積是

\frac{ab}{2}

。由算幾不等式

1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geq 2 \frac{2}{ab}

，兩邊平方得

1 \geq \frac{8}{ab}

，

ab \geq 8

，面積最小是

4

。等號在

\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{1}{2}

，也就是

a = 2

、

b = 4

時成立。直線是

\frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 1

，即

2 x - y = 4

。

五個選項都通過

(1, - 2)

，也可以逐一算截距與面積：依序是

\frac{81}{8}

、

\frac{121}{24}

、

\frac{9}{2}

、

\frac{25}{4}

、

4

，最小的是 (5)。

第 3 題答案 (2)。

22 = 8

介於

2

和

3

之間，所以

b = 22 - 2

。

11 + 62 = 11 + 218

，找兩數和

11

、積

18

：

9

和

2

，所以它等於

9 + 2 = 3 + 2

。

1 < 2 < 2

，整數部分是

4

，小數部分是

2 - 1

。而

\frac{b}{2} = \frac{2 2 - 2}{2} = 2 - 1

，就是 (2)。

第 4 題答案 (4)。第

n

個音的弦長是第一個音乘上

n - 1

次

122 = 2^{\frac{1}{12}}

，也就是

16 \times 2^{\frac{n - 1}{12}}

。令它等於

64

：

2^{\frac{n - 1}{12}} = 4 = 2^{2}

，所以

\frac{n - 1}{12} = 2

，

n = 25

。

從第 1 個音到第

n

個音只乘了

n - 1

次，不是

n

次。

第 5 題答案 (1)。只看正整數

x

，所以

x + 2 > 0

，

∣ x + 2∣ = x + 2

。當

1 \leq x < 4

時，

2 (4 - x) + (x + 2) = 10 - x \leq 21

恆成立，

x = 1, 2, 3

都可以。當

x \geq 4

時，

2 (x - 4) + (x + 2) = 3 x - 6 \leq 21

，

x \leq 9

，

x = 4, 5, \dots, 9

。合起來

x = 1, 2, \dots, 9

，共

9

個。

整個不等式的解是

- 5 \leq x \leq 9

；題目只問正整數，

0

和負整數不算。

02多選 6～7：對稱式求值、位數與小數點後的 0

第 6 題答案 (1)(2)(3)。(1) 對：把

t^{\frac{1}{2}} + t^{- \frac{1}{2}} = 5

兩邊平方，

t + 2 + t^{- 1} = 25

，

t + t^{- 1} = 23

。(2) 對：再平方，

t^{2} + 2 + t^{- 2} = 529

，

t^{2} + t^{- 2} = 527

。(3) 對：

t^{\frac{3}{2}} + t^{- \frac{3}{2}} = (t^{\frac{1}{2}} + t^{- \frac{1}{2}})^{3} - 3 (t^{\frac{1}{2}} + t^{- \frac{1}{2}}) = 125 - 15 = 110

。(4) 錯：

(t^{\frac{1}{4}} + t^{- \frac{1}{4}})^{2} = t^{\frac{1}{2}} + 2 + t^{- \frac{1}{2}} = 7

，但

t^{\frac{1}{4}}

和

t^{- \frac{1}{4}}

都是正數，和只能是

7

，不會是

- 7

。(5) 錯：

(t^{\frac{1}{2}} - t^{- \frac{1}{2}})^{2} = t - 2 + t^{- 1} = 21

，因為

t > 1

，

t^{\frac{1}{2}} > 1 > t^{- \frac{1}{2}}

，差是正的，只能是

21

。

(4)(5) 的數字都對，錯在「

\pm

」：平方之後開根號，要回頭用條件判斷正負。

第 7 題答案 (1)(3)(4)。展開：

K = 3^{100} + 2 + 3^{- 100}

。用

lo g 3 \approx 0.4771

，

3^{100} = 1 0^{47.71} = 1 0^{0.71} \times 1 0^{47} \approx 5.12 \times 1 0^{47}

，是

48

位數、最高位是

5

。

3^{- 100} = 1 0^{- 47.71} = 1 0^{0.29} \times 1 0^{- 48} \approx 1.94 \times 1 0^{- 48}

，是介於

0

和

1

之間的數。所以

K

的整數部分是

3^{100} + 2

，小數部分是

3^{- 100}

。(1) 對：

K > 5 \times 1 0^{47} > 1 0^{47}

。(2) 錯：整數部分是

48

位數。(3) 對：加

2

不影響最高位，仍是

5

。(4) 對：

1.94 \times 1 0^{- 48}

的小數點後先有

47

個

0

，第

48

位才是

1

。(5) 錯：第一個不為

0

的數字是

1

。

題目給的

0.71

和

0.29

相加是

1

：

- 47.71 = - 48 + 0.29

，負指數要拆成「負整數＋介於

0

和

1

的小數」。

lo g 3 \approx 0.4771

題幹沒有印，要自己記得。

N = a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

）時：

n \geq 0

表示整數部分

n + 1

位、最高位看

a

；

n < 0

表示小數點後第

- n

位開始不為

0

。

03多選 8～10：實數性質、根式化簡與算幾不等式的綜合判斷

第 8 題答案 (2)(4)。(1) 錯：取

a = b = 2

，

a - b = 0

是有理數。(2) 對：

1170 = 2 \times 3^{2} \times 5 \times 13

，約分後是

\frac{26}{25} = 1.04

。(3) 錯：

p = \frac{2 ( 5 + 3 ) + 3}{5 + 3} = 2 + \frac{3}{5 + 3} = 2 + \frac{3 ( 5 - 3 )}{2} = \frac{1 + 15}{2}

；

15 < 4

，所以

p < 2.5

。(4) 對：

t + 1 = 2

，所以

2 (t - 1) = (t + 1) (t - 1) = t^{2} - 1

，接著

(t^{2} - 1) (t^{2} + 1) (t^{4} + 1) = t^{8} - 1

；又

t - 2 = - 1

，根號內是

t^{8} - 1 + 1 = t^{8}

。

t > 0

，開四次方得

t^{2} = (2 - 1)^{2} = 3 - 22

。(5) 錯：三個數分別是

α + \frac{3}{5} (β - α)

、

α + \frac{4}{7} (β - α)

、

α + \frac{5}{9} (β - α)

，而

\frac{3}{5} > \frac{4}{7} > \frac{5}{9}

，大小順序和選項寫的相反。

(5) 可以代

α = 0

、

β = 1

檢查：三個數是

0.6

、

0.571 \dots

、

0.555 \dots

，越來越小。

第 9 題答案 (1)(3)(5)。(1) 對：令

a = 7^{\frac{1}{n}} > 1

，

c = \frac{a + a ^{- 1}}{2}

，

c^{2} - 1 = \frac{a ^{2} + 2 + a ^{- 2}}{4} - 1 = (\frac{a - a ^{- 1}}{2})^{2}

，因為

a > a^{- 1}

，

c^{2} - 1 = \frac{a - a ^{- 1}}{2}

，

c + c^{2} - 1 = a

，

a^{n} = 7

。(2) 錯：

lo g p = lo g q + 1

表示

p = q \times 1 0^{1} = 10 q

。(3) 對：

7 - 43 = (2 - 3)^{2}

，

u^{x} > 0

，所以

u^{x} = 2 - 3

、

u^{- x} = 2 + 3

，

u^{x} + u^{- x} = 4

；平方減

2

得

u^{2 x} + u^{- 2 x} = 14

，再平方減

2

得

u^{4 x} + u^{- 4 x} = 194

；

\frac{194}{4} = \frac{97}{2}

。(4) 錯：

(101010)_{2} = 32 + 8 + 2 = 42

。(5) 對：展開得

(x^{2} + \frac{1}{4 x ^{2}}) + (y^{2} + \frac{1}{y ^{2}}) + (\frac{2 x}{y} + \frac{y}{x})

，三組各用算幾不等式：

\geq 1

、

\geq 2

、

\geq 22

，合計

\geq 3 + 22

。等號要

x^{2} = \frac{1}{2}

、

y = 1

、

y^{2} = 2 x^{2}

同時成立，取

x = \frac{2}{2}

、

y = 1

三個都滿足，所以最小值就是

3 + 22

。

(5) 分三組用算幾不等式時，三個等號成立條件要能同時滿足，最小值才取得到；這題剛好可以。

第 10 題答案 (3)(4)。(1) 錯：

\frac{13}{90} = 0.1444 \dots

，而

0.1 \overline{52} = 0.15252 \dots

比較大。(2) 錯：有理化得

\frac{13 + 3}{10}

；

13 < 3.7

、

3 < 1.8

，所以小於

0.55

。(3) 對：

(32 - 1) (34 + 32 + 1) = 2 - 1 = 1

，所以

\frac{1}{a} = 32 - 1

。所求

= (1 + \frac{1}{a})^{3} - 1 = (32)^{3} - 1 = 1

。(4) 對：

x \geq 1

時左邊

= (x + 1) - (x - 1) = 2

成立；

- 1 \leq x < 1

時左邊

= 2 x = 2

得

x = 1

，不在這段；

x < - 1

時左邊

= - 2

。解是

x \geq 1

。(5) 錯：條件是

- 2 \leq x \leq 1

、

2 \leq y \leq 3

。

y

是正的，

\frac{x}{y}

最大在

x = 1

、

y = 2

時為

\frac{1}{2}

，最小在

x = - 2

、

y = 2

時為

- 1

，範圍是

- 1 \leq \frac{x}{y} \leq \frac{1}{2}

；例如

x = 1

、

y = 2

就超過

\frac{1}{3}

。

(3) 的

\frac{3}{a} + \frac{3}{a ^{2}} + \frac{1}{a ^{3}}

剛好是

(1 + \frac{1}{a})^{3}

展開後少一個

1

。(5) 求

\frac{x}{y}

的最大值時分子取最大、分母取最小（分子為正時）。

04選填 A～D（第 11～14 題）：平移、位數、絕對值不等式與情境列式

第 11 題向右平移

3

單位：把

x

換成

x - 3

，

P_{1} : (x - 3) - 2 y - 2 = 0

，即

x - 2 y - 5 = 0

。向下平移

k

單位：把

y

換成

y + k

，

P_{2} : x - 2 (y + k) - 2 = 0

，即

x - 2 y - 2 - 2 k = 0

。兩式相同：

- 2 - 2 k = - 5

，

k = \frac{3}{2}

。

也可以用斜率看：直線斜率是

\frac{1}{2}

，向右移

3

相當於向下移

3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

。

第 12 題

α = 1 0^{0.3}

，所以

α^{8} = 1 0^{2.4}

。

β = 1 0^{7}

，所以

β^{27} = 1 0^{7 \times 27} = 1 0^{14}

。

\frac{2}{5} lo g γ = \frac{2}{5} \times (- 4) = - 1.6

，所以除數是

1 0^{- 1.6}

。全部合併：

1 0^{2.4 + 14 - (- 1.6)} = 1 0^{18}

，是

19

位數。

除以

1 0^{- 1.6}

是指數加

1.6

；

1 0^{18}

是

1

後面

18

個

0

，共

19

位。

第 13 題第二式

∣ x - 1∣ < a

的解是

1 - a < x < 1 + a

。第一式的解是

x \geq - \frac{3}{2} + \frac{b}{2}

或

x \leq - \frac{3}{2} - \frac{b}{2}

。共同的解是

[2, 3)

：右端

3

是不含的，來自第二式，

1 + a = 3

，

a = 2

；左端

2

是含的，來自第一式，

- \frac{3}{2} + \frac{b}{2} = 2

，

b = 7

。檢查：

a = 2

、

b = 7

時兩式分別是

- 1 < x < 3

和「

x \geq 2

或

x \leq - 5

」，交集正是

2 \leq x < 3

。

a + b = 9

。

端點含不含（中括號、小括號）可以用來判斷它是哪一個不等式給的。

第 14 題

x = \frac{4}{5}

時

1 - x^{2} = \frac{9}{25} = \frac{3}{5}

，地球上經過

\frac{t}{\frac{3}{5}} = \frac{5 t}{3}

年。回到地球時太空人

29 + t

歲，兒子

3 + \frac{5 t}{3}

歲。兩者相等：

29 + t = 3 + \frac{5 t}{3}

，

26 = \frac{2 t}{3}

，

t = 39

。檢查：太空人

68

歲，地球過了

65

年，兒子

68

歲。

05選填 E～H（第 15～18 題）：科學記號、半圓、算幾不等式與梯形

第 15 題

\frac{405}{6 \times 1 0 ^{13}} = 67.5 \times 1 0^{- 13} = 6.75 \times 1 0^{- 12}

。係數取兩位有效數字，

6.75

四捨五入為

6.8

，答案

6.8 \times 1 0^{- 12}

克。

科學記號的係數要介於

1

和

10

之間，所以

67.5 \times 1 0^{- 13}

要先改成

6.75 \times 1 0^{- 12}

再取位。

第 16 題

\overline{A B} = 10

。設

\overline{A D} = u

，則

\overline{D B} = 10 - u

。直徑所對的圓周角是直角，

∠ A P B = 9 0^{\circ}

，所以

△ P D B

和

△ A P B

相似（共用

∠ B

，各有一個直角），

\frac{P B}{A B} = \frac{D B}{P B}

，即

\overline{P B}^{2} = \overline{D B} \times \overline{A B} = 10 (10 - u)

。由

\overline{A D} : \overline{P B} = 9 : 20

得

20 u = 9 \overline{P B}

，兩邊平方：

400 u^{2} = 81 \times 10 (10 - u)

，整理成

40 u^{2} + 81 u - 810 = 0

，

(5 u - 18) (8 u + 45) = 0

，取正的

u = \frac{18}{5}

。

D

的坐標是

2 + \frac{18}{5} = \frac{28}{5}

。檢查：

\overline{D B} = \frac{32}{5}

，

\overline{P B}^{2} = 64

，

\overline{P B} = 8

，

\frac{18}{5} : 8 = 9 : 20

。

\overline{A D}

是從

A

量起的長度，

D

的坐標要再加上

A

的坐標

2

。

第 17 題兩式相加：

(W + \frac{9}{W}) + (Y + \frac{25}{4 Y}) + (9 Z + \frac{1}{4 Z}) = 14

。三組各用算幾不等式：

W + \frac{9}{W} \geq 29 = 6

，

Y + \frac{25}{4 Y} \geq 2 \frac{25}{4} = 5

，

9 Z + \frac{1}{4 Z} \geq 2 \frac{9}{4} = 3

，合計

\geq 14

。現在剛好等於

14

，所以三個等號都要成立：

W = \frac{9}{W}

得

W = 3

；

Y = \frac{25}{4 Y}

得

Y = \frac{5}{2}

；

9 Z = \frac{1}{4 Z}

得

Z = \frac{1}{6}

。代回原來兩式都是

3 + \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = 7

，成立。

12 W Y Z = 12 \times 3 \times \frac{5}{2} \times \frac{1}{6} = 15

。

兩個方程式、三個未知數，一般解不出來；這裡是「和剛好等於算幾不等式的下界」，逼得每一組都取等號。求出後要代回原來兩式檢查。

第 18 題

G

、

H

是兩腰中點，

\overline{G H} = \frac{A B + C D}{2} = 4

。

\overline{A B}

平行

\overline{C D}

，所以

△ P A B

和

△ P C D

相似，

\overline{A P} : \overline{P C} = \overline{B P} : \overline{P D} = 3 : 5

。在

△ A D C

中

\overline{E P}

平行

\overline{D C}

：

\frac{E P}{D C} = \frac{A P}{A C} = \frac{3}{8}

，

\overline{E P} = \frac{15}{8}

。在

△ B D C

中

\overline{P F}

平行

\overline{D C}

：

\frac{P F}{D C} = \frac{B P}{B D} = \frac{3}{8}

，

\overline{P F} = \frac{15}{8}

。

\overline{E F} = \frac{15}{4}

，所以

\overline{G H} - \overline{E F} = 4 - \frac{15}{4} = \frac{1}{4}

。

\overline{G H} = 4

是

3

和

5

的算術平均數；

\overline{E F} = \frac{2 \times 3 \times 5}{3 + 5} = \frac{15}{4}

則是倒數平均後再取倒數，比算術平均數小。

看到「幾個正數的和等於定值」又湊得出兩兩乘積為常數時，先試算幾不等式；要用到最小值，一定檢查等號成立的條件能不能同時滿足。

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同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

鳳新高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要先展開成三項，再把負的指數拆成負整數加上零到一之間的小數，才能判斷小數點後有幾個零；第 9 題選項 (5) 要把兩個平方展開後分三組用算幾不等式，並確認三個等號可以同時成立；第 16 題要用直徑所對的圓周角是直角找相似三角形，算出的長度還要加上 A 點的坐標；第 17 題兩個方程式有三個未知數，要把兩式相加後用算幾不等式的等號成立條件求出三個數。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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題目取自鳳新高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

鳳新高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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02多選 6～7：對稱式求值、位數與小數點後的 0

03多選 8～10：實數性質、根式化簡與算幾不等式的綜合判斷

04選填 A～D（第 11～14 題）：平移、位數、絕對值不等式與情境列式

05選填 E～H（第 15～18 題）：科學記號、半圓、算幾不等式與梯形

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高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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