段考詳解範圍：數與式（實數與根式、數線與絕對值、乘法公式、算幾不等式、指數、科學記號與常用對數）

小港高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 小港高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 小港高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題的小數點後第幾位與負數的對數範圍容易差一位；第 7 題算出乘積的最大值之後還要加回原來的面積和；第 8 題分段後要檢查每一段的解有沒有落在該段；第 15 題混合的是氫離子濃度不是酸鹼值本身。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多選題 3 題（18 分）、填充題 11 題共 12 格（72 分）、混合題 2 小題（10 分）

一、多選題（一題 6 分，共 18 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個以上不給分）

關於下列各敘述何者正確？

(A) 若 $a$ 、 $b$ 均為無理數，則 $a + b$ 亦為無理數
(B) 設 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 均為有理數，若 $a + b 2 = c + d 2$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$
(C) 任意兩個相異有理數之間必定存在無限多個有理數
(D) 若 $a$ 為無理數， $b$ 為有理數，則 $ab$ 必為無理數
(E) 設 $a$ 、 $b$ 為無理數， $c$ 、 $d$ 為有理數，若 $a + c = b + d$ ，則 $a = b$ 且 $c = d$

數線上，有

A (a)

、

B (b)

、

C (\frac{4 a + 7 b}{11})

、

D (\frac{4 a + 9 b}{13})

、

E (\frac{4 a + 11 b}{15})

五點且

A

點在

B

點左方，試選出正確選項：

(A) $D$ 點在 $C$ 點的左方
(B) $E$ 點在 $D$ 點的右方
(C) $\overline{A B} = ∣ a - b ∣$
(D) $\overline{A C} : \overline{B C} = 4 : 7$
(E) $\overline{C D} > \overline{D E}$

關於下列各敘述何者正確？

(A) $3.14159 \times 1 0^{8}$ 為 $9$ 位數
(B) $3.14159 \times 1 0^{- 8}$ 小數點後第 $9$ 位開始不為 $0$
(C) 統計至 2018 年 10 月止，台灣人口總數為 $23, 580, 833$ 人，若以 $3$ 位有效數字的科學記號表示人口總數，則要記為 $2.35 \times 1 0^{7}$
(D) $lo g 21970$ 介於 $4$ 與 $5$ 之間
(E) $lo g 0.000357$ 介於 $- 4$ 與 $- 5$ 之間

二、填充題（一格 6 分，共 72 分）（本頁第 4～15 題依序為流傳版本填充題 1、2、3、4、5(1)、5(2)、6、7、8、9、10、11）

設

a

、

b

為有理數，若

(3 - 5) a + (2 + 5) b = 13 - 5

，則數對

(a, b) =

____。

設

n = 7 + 43

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，求

\frac{n}{2} - a + \frac{1}{b} =

____。

已知

x + \frac{1}{x} = 6

，求

\frac{x ^{3} + \frac{1}{x ^{3}} + 2}{x ^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 1} =

____。

設有兩種正方形，邊長分別為

x

和

y

，已知

9

塊邊長為

x

的正方形之面積與

4

塊邊長為

y

的正方形之面積和為

54

，則以

3 x + 2 y

為邊長的正方形之最大面積為 ____。

填充題 5（第 8～9 題）　試解下列方程式與不等式：

(1)

∣2 x + 1∣ + 2∣ x - 5∣ = 13

，

x

的解為 ____。

(2)

∣5 - 3 x ∣ \leq 7

，

x

的範圍為 ____。

設

A (2)

、

B (- 5)

與

P (x)

為數線上三點，且

4 \overline{A P} = 3 \overline{B P}

，求

x =

____。（有兩解）

利用指數律算出：

2 7^{\frac{2}{3}} + (0.001)^{\frac{- 2}{3}} \times [(5)^{\frac{1}{4}}]^{- 8} =

____。

已知

a^{\frac{3}{4}} = 27

、

5^{b} = 64

，求

a \times 2 5^{\frac{- b}{3}} =

____。

若

a = 8^{\frac{1}{4}}

、

b = 64

、

c = (\frac{1}{4})^{\frac{- 1}{3}}

、

d = 234

，則

a

、

b

、

c

、

d

的大小關係為 ____。

冠狀病毒在許多動物廣泛存在，過去也有數種冠狀病毒會感染人類造成普通感冒或肺炎。這個病毒具有外套膜，病毒顆粒直徑大小約

120 nm

（

1 nm = 1 0^{- 9} m

）。若與人的頭髮直徑相比較的話，頭髮直徑約為

5 \times 1 0^{- 3} cm

，請問頭髮直徑約是病毒顆粒直徑的 ____ 倍。（以

3

位有效數字的科學記號表示）

pH 值是衡量溶液酸鹼程度的標準，它的定義如下：pH 值

= - lo g [H^{+}]

，其中

[H^{+}]

為氫離子的濃度（莫耳／升）。例如：氫離子濃度為

1 0^{- 5}

（莫耳／升）的溶液，它的 pH 值為

5

。現在把 pH 值為

3

與

4

的溶液依

5

比

4

混合，求混合溶液的 pH 值是 ____。（四捨五入至小數點後第二位，已知

1 0^{0.7781} \approx 6

）

三、混合題（共 10 分）（本頁第 16、17 題為流傳版本混合題 1、2）

混合題（第 16～17 題）　阿港想在好多多大賣場同一條筆直的馬路上買一間房子，若把此馬路當成一條數線的話，假設好多多大賣場位於數線上

+ 10

的位置，如今阿港買的房子位置須滿足到好多多大賣場距離至少

2

單位且不超過

k

單位，其中

k > 2

，則：

若阿港房子的位置為

x

，下列哪一個選項是正確的？（單選題，4 分）

(A) $2 < x - 10 < k$
(B) $2 \leq x - 10 \leq k$
(C) $2 < ∣ x - 10∣ < k$
(D) $2 \leq ∣ x - 10∣ \leq k$
(E) $2 < ∣ x - 10∣ \leq k$

承上題，若

k = 5

且

x

為整數，則

x

的值有 ____ 個。（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)

第 2 題(B)(C)(E)

第 3 題(A)(D)

第 4 題

(3, 2)

第 5 題

3 - \frac{3}{2}

第 6 題

\frac{200}{33}

第 7 題

108

第 8 題

x = - 1

或

x = \frac{11}{2}

第 9 題

- \frac{2}{3} \leq x \leq 4

第 10 題

- 1

或

23

第 11 題

29

第 12 題

\frac{81}{16}

第 13 題

d > a > c > b

第 14 題

4.17 \times 1 0^{2}

第 15 題

3.22

第 16 題(D)

第 17 題

8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～3：有理數與無理數、數線上的分點、科學記號與 log

第 1 題答案 (B)(C)。(A) 錯：取

a = 2

、

b = - 2

，

a + b = 0

是有理數。(B) 對：移項得

a - c = (d - b) 2

；若

d \neq = b

，則

2 = \frac{a - c}{d - b}

是有理數，矛盾，所以

b = d

，接著

a = c

。(C) 對：兩個相異有理數的平均仍是有理數，且落在兩數之間；對新的數再取平均，可以一直做下去，所以有無限多個。(D) 錯：取

b = 0

，

ab = 0

是有理數。(E) 錯：取

a = 2

、

b = 2 + 1

、

c = 1

、

d = 0

，則

a + c = b + d = 2 + 1

，但

a \neq = b

。

(B) 和 (E) 長得像，差別在 (E) 的

a

、

b

是無理數，無理數相減可以是有理數，所以不能比較係數。(D) 要記得

b

可以是

0

。

第 2 題答案 (B)(C)(E)。把三點都寫成「從

a

出發走

\overline{A B}

的幾分之幾」：

\frac{4 a + 7 b}{11} = a + \frac{7}{11} (b - a)

，同理

D

是

a + \frac{9}{13} (b - a)

，

E

是

a + \frac{11}{15} (b - a)

。因為

b - a > 0

且

\frac{7}{11} < \frac{9}{13} < \frac{11}{15} < 1

（約

0.636

、

0.692

、

0.733

），五點由左到右是

A

、

C

、

D

、

E

、

B

。(A) 錯、(B) 對。(C) 對：數線上兩點的距離就是坐標差的絕對值。(D) 錯：

\overline{A C} = \frac{7}{11} \overline{A B}

、

\overline{B C} = \frac{4}{11} \overline{A B}

，比是

7 : 4

。(E) 對：

\overline{C D} = (\frac{9}{13} - \frac{7}{11}) \overline{A B} = \frac{8}{143} \overline{A B}

，

\overline{D E} = (\frac{11}{15} - \frac{9}{13}) \overline{A B} = \frac{8}{195} \overline{A B}

，分子相同、分母小的比較大。

分點公式裡

a

的係數

4

對應的是到

B

那一段，

b

的係數

7

對應的是到

A

那一段，(D) 的比剛好寫反。

第 3 題答案 (A)(D)。(A) 對：

3.14159 \times 1 0^{8} = 314159000

，是

9

位數。(B) 錯：

3.14159 \times 1 0^{- 8} = 0.0000000314159

，小數點後前

7

位是

0

，第

8

位開始不為

0

。(C) 錯：

23, 580, 833 = 2.3580833 \times 1 0^{7}

，第四位數字是

8

要進位，應記為

2.36 \times 1 0^{7}

。(D) 對：

1 0^{4} < 21970 < 1 0^{5}

，所以

4 < lo g 21970 < 5

。(E) 錯：

0.000357 = 3.57 \times 1 0^{- 4}

，

1 0^{- 4} < 0.000357 < 1 0^{- 3}

，所以

lo g 0.000357

介於

- 4

與

- 3

之間（約

- 3.45

）。

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

）：

n \geq 0

時是

n + 1

位數；

n < 0

時在小數點後第

∣ n ∣

位開始不為

0

。另一個流傳版本的簡答把本題寫成 (A)(D)(E)（該版本標號為 (1)(4)(5)），但

lo g 0.000357 \approx - 3.45

不在

- 5

與

- 4

之間，(E) 不選。

02填充 1～4（第 4～7 題）：比較係數、雙重根號、乘法公式、算幾不等式

第 4 題左邊展開後整理成

(3 a + 2 b) + (- a + b) 5

。

a

、

b

是有理數，

5

是無理數，所以有理數部分與

5

的係數要分別相等：

3 a + 2 b = 13

，

- a + b = - 1

。由第二式

b = a - 1

代入第一式：

3 a + 2 a - 2 = 13

，

a = 3

，

b = 2

。驗算：

3 (3 - 5) + 2 (2 + 5) = 13 - 5

。

第 5 題

7 + 43 = 7 + 212

，找兩數和

7

、積

12

：

4

和

3

，所以

n = 4 + 3 = 2 + 3

。

1 < 3 < 2

，所以

3 < n < 4

，整數部分

a = 3

，小數部分

b = n - 3 = 3 - 1

。

\frac{1}{b} = \frac{1}{3 - 1} = \frac{3 + 1}{2}

。所求

= \frac{2 + 3}{2} - 3 + \frac{3 + 1}{2} = \frac{3 + 2 3}{2} - 3 = 3 - \frac{3}{2}

。

43

要先改寫成

212

，才能套「和

7

、積

12

」。

第 6 題

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 36 - 2 = 34

。

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 216 - 18 = 198

。所求

= \frac{198 + 2}{34 - 1} = \frac{200}{33}

。

(x + \frac{1}{x})^{3}

展開後中間兩項合起來是

3 (x + \frac{1}{x})

，要減掉。

第 7 題條件是

9 x^{2} + 4 y^{2} = 54

（

x > 0

，

y > 0

），所求面積是

(3 x + 2 y)^{2} = 9 x^{2} + 12 x y + 4 y^{2} = 54 + 12 x y

。由算幾不等式

\frac{9 x ^{2} + 4 y ^{2}}{2} \geq 9 x^{2} \cdot 4 y^{2} = 6 x y

，即

27 \geq 6 x y

，所以

12 x y \leq 54

，面積

\leq 54 + 54 = 108

。等號在

9 x^{2} = 4 y^{2} = 27

，也就是

x = 3

、

y = \frac{3 3}{2}

時成立，所以最大面積是

108

。

54

是題目給的面積和，也是

12 x y

的最大值，還要再加上原來的

54

才是答案。另一個流傳版本的簡答把本題寫成

54

，本站重算為

108

（

x = 3

、

y = \frac{3 3}{2}

時

3 x + 2 y = 63

，平方是

108

）。

看到

x + \frac{1}{x}

、

9 x^{2} + 4 y^{2}

這類已知的「和」，先想所求能不能用這個和與一個乘積表示。

03填充 5～6（第 8～10 題）：絕對值方程式、不等式與數線上的距離

第 8 題

2∣ x - 5∣ = ∣2 x - 10∣

，方程式是

∣2 x + 1∣ + ∣2 x - 10∣ = 13

。分三段：①

x \geq 5

：

(2 x + 1) + (2 x - 10) = 13

，

x = \frac{11}{2}

，在這一段內，合。②

- \frac{1}{2} \leq x < 5

：

(2 x + 1) - (2 x - 10) = 11 \neq = 13

，無解。③

x < - \frac{1}{2}

：

- (2 x + 1) - (2 x - 10) = 13

，

x = - 1

，在這一段內，合。所以

x = - 1

或

x = \frac{11}{2}

。

每一段解出來的

x

都要檢查有沒有落在那一段的範圍裡。中間那一段的值固定是

11

，比

13

小，所以解在兩側。

第 9 題

∣5 - 3 x ∣ \leq 7

等於

- 7 \leq 5 - 3 x \leq 7

。各減

5

：

- 12 \leq - 3 x \leq 2

。同除以

- 3

（不等號方向要反過來）：

4 \geq x \geq - \frac{2}{3}

，即

- \frac{2}{3} \leq x \leq 4

。

也可以先把

∣5 - 3 x ∣

寫成

∣3 x - 5∣

，得

- 7 \leq 3 x - 5 \leq 7

，就不必除以負數。

第 10 題

\overline{A P} = ∣ x - 2∣

，

\overline{B P} = ∣ x + 5∣

，條件是

4∣ x - 2∣ = 3∣ x + 5∣

。

4 (x - 2) = 3 (x + 5)

得

x = 23

；

4 (x - 2) = - 3 (x + 5)

得

7 x = - 7

，

x = - 1

。驗算：

x = - 1

時

\overline{A P} = 3

、

\overline{B P} = 4

；

x = 23

時

\overline{A P} = 21

、

\overline{B P} = 28

，都滿足

4 \overline{A P} = 3 \overline{B P}

。

x = - 1

在

A

、

B

之間，

x = 23

在

A

的右側，兩種位置都要算。

絕對值就是距離：兩個絕對值相等用「相等或差一個負號」，有加號的用分段討論。

04填充 7～9（第 11～13 題）：指數律與比大小

第 11 題

2 7^{\frac{2}{3}} = (3^{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{2} = 9

。

(0.001)^{- \frac{2}{3}} = (1 0^{- 3})^{- \frac{2}{3}} = 1 0^{2} = 100

。

[(5)^{\frac{1}{4}}]^{- 8} = (5)^{- 2} = \frac{1}{5}

。所以原式

= 9 + 100 \times \frac{1}{5} = 9 + 20 = 29

。

先乘後加：

100 \times \frac{1}{5}

要先算。

第 12 題

a^{\frac{3}{4}} = 27

，兩邊取

\frac{4}{3}

次方：

a = 2 7^{\frac{4}{3}} = (3^{3})^{\frac{4}{3}} = 3^{4} = 81

。

2 5^{- \frac{b}{3}} = (5^{2})^{- \frac{b}{3}} = (5^{b})^{- \frac{2}{3}} = 6 4^{- \frac{2}{3}} = (4^{3})^{- \frac{2}{3}} = 4^{- 2} = \frac{1}{16}

。所以

a \times 2 5^{- \frac{b}{3}} = \frac{81}{16}

。

不用解出

b

，把

2 5^{- \frac{b}{3}}

改寫成

5^{b}

的次方就可以代入。

第 13 題全部化成以

2

為底：

a = (2^{3})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{4}}

；

b = (2^{2})^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{3}}

；

c = (2^{- 2})^{- \frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}

；

d = (2 \times 2^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = (2^{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{6}}

。底數

2 > 1

，指數越大值越大。通分成十二分之幾：

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}

、

\frac{3}{4} = \frac{9}{12}

、

\frac{2}{3} = \frac{8}{12}

、

\frac{1}{3} = \frac{4}{12}

，所以

d > a > c > b

。

根式、分數、小數混在一起時，先全部改寫成同一個底數的次方，再用指數律。

05填充 10～11（第 14～15 題）：科學記號與 pH 值

第 14 題先把單位都換成公尺。病毒直徑

120 nm = 120 \times 1 0^{- 9} m = 1.2 \times 1 0^{- 7} m

；頭髮直徑

5 \times 1 0^{- 3} cm = 5 \times 1 0^{- 3} \times 1 0^{- 2} m = 5 \times 1 0^{- 5} m

。倍數

= \frac{5 \times 1 0 ^{- 5}}{1.2 \times 1 0 ^{- 7}} = \frac{5}{1.2} \times 1 0^{2} = 4.1666 \dots \times 1 0^{2}

，取

3

位有效數字得

4.17 \times 1 0^{2}

。

頭髮的單位是公分，要多乘一個

1 0^{- 2}

才是公尺。

第 15 題pH 值

3

的溶液氫離子濃度是

1 0^{- 3}

，pH 值

4

的是

1 0^{- 4}

。依

5 : 4

混合，取

5

升與

4

升：氫離子共

5 \times 1 0^{- 3} + 4 \times 1 0^{- 4} = 5.4 \times 1 0^{- 3}

莫耳，體積

9

升，濃度

= \frac{5.4 \times 1 0 ^{- 3}}{9} = 6 \times 1 0^{- 4}

。由

6 \approx 1 0^{0.7781}

，濃度

\approx 1 0^{0.7781 - 4} = 1 0^{- 3.2219}

，所以 pH 值

= 3.2219

，四捨五入得

3.22

。

混合時要相加再平均的是氫離子濃度，不是 pH 值本身；直接把

3

和

4

依

5 : 4

加權會得到

3.44

，不是答案。

06混合題（第 16～17 題）：用絕對值寫距離的範圍

第 16 題答案 (D)。房子到大賣場的距離是

∣ x - 10∣

。「至少

2

單位」是

∣ x - 10∣ \geq 2

，「不超過

k

單位」是

∣ x - 10∣ \leq k

，合起來是

2 \leq ∣ x - 10∣ \leq k

。

房子可以在大賣場的左邊或右邊，所以要用絕對值；「至少」和「不超過」都包含等號。

第 17 題

k = 5

時

2 \leq ∣ x - 10∣ \leq 5

，分成

2 \leq x - 10 \leq 5

或

- 5 \leq x - 10 \leq - 2

，也就是

12 \leq x \leq 15

或

5 \leq x \leq 8

。整數

x = 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15

，共

8

個。

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常見問題

小港高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

小港高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題的小數點後第幾位與負數的對數範圍容易差一位；第 7 題算出乘積的最大值之後還要加回原來的面積和；第 8 題分段後要檢查每一段的解有沒有落在該段；第 15 題混合的是氫離子濃度不是酸鹼值本身。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自小港高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數與根式、數線與絕對值、乘法公式、算幾不等式、指數、科學記號與常用對數）

小港高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多選題 3 題（18 分）、填充題 11 題共 12 格（72 分）、混合題 2 小題（10 分）

一、多選題（一題 6 分，共 18 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個以上不給分）

關於下列各敘述何者正確？

(A) 若 $a$ 、 $b$ 均為無理數，則 $a + b$ 亦為無理數
(B) 設 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 均為有理數，若 $a + b 2 = c + d 2$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$
(C) 任意兩個相異有理數之間必定存在無限多個有理數
(D) 若 $a$ 為無理數， $b$ 為有理數，則 $ab$ 必為無理數
(E) 設 $a$ 、 $b$ 為無理數， $c$ 、 $d$ 為有理數，若 $a + c = b + d$ ，則 $a = b$ 且 $c = d$

數線上，有

A (a)

、

B (b)

、

C (\frac{4 a + 7 b}{11})

、

D (\frac{4 a + 9 b}{13})

、

E (\frac{4 a + 11 b}{15})

五點且

A

點在

B

點左方，試選出正確選項：

(A) $D$ 點在 $C$ 點的左方
(B) $E$ 點在 $D$ 點的右方
(C) $\overline{A B} = ∣ a - b ∣$
(D) $\overline{A C} : \overline{B C} = 4 : 7$
(E) $\overline{C D} > \overline{D E}$

關於下列各敘述何者正確？

(A) $3.14159 \times 1 0^{8}$ 為 $9$ 位數
(B) $3.14159 \times 1 0^{- 8}$ 小數點後第 $9$ 位開始不為 $0$
(C) 統計至 2018 年 10 月止，台灣人口總數為 $23, 580, 833$ 人，若以 $3$ 位有效數字的科學記號表示人口總數，則要記為 $2.35 \times 1 0^{7}$
(D) $lo g 21970$ 介於 $4$ 與 $5$ 之間
(E) $lo g 0.000357$ 介於 $- 4$ 與 $- 5$ 之間

二、填充題（一格 6 分，共 72 分）（本頁第 4～15 題依序為流傳版本填充題 1、2、3、4、5(1)、5(2)、6、7、8、9、10、11）

設

a

、

b

為有理數，若

(3 - 5) a + (2 + 5) b = 13 - 5

，則數對

(a, b) =

____。

設

n = 7 + 43

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，求

\frac{n}{2} - a + \frac{1}{b} =

____。

已知

x + \frac{1}{x} = 6

，求

\frac{x ^{3} + \frac{1}{x ^{3}} + 2}{x ^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 1} =

____。

設有兩種正方形，邊長分別為

x

和

y

，已知

9

塊邊長為

x

的正方形之面積與

4

塊邊長為

y

的正方形之面積和為

54

，則以

3 x + 2 y

為邊長的正方形之最大面積為 ____。

填充題 5（第 8～9 題）　試解下列方程式與不等式：

(1)

∣2 x + 1∣ + 2∣ x - 5∣ = 13

，

x

的解為 ____。

(2)

∣5 - 3 x ∣ \leq 7

，

x

的範圍為 ____。

設

A (2)

、

B (- 5)

與

P (x)

為數線上三點，且

4 \overline{A P} = 3 \overline{B P}

，求

x =

____。（有兩解）

利用指數律算出：

2 7^{\frac{2}{3}} + (0.001)^{\frac{- 2}{3}} \times [(5)^{\frac{1}{4}}]^{- 8} =

____。

已知

a^{\frac{3}{4}} = 27

、

5^{b} = 64

，求

a \times 2 5^{\frac{- b}{3}} =

____。

若

a = 8^{\frac{1}{4}}

、

b = 64

、

c = (\frac{1}{4})^{\frac{- 1}{3}}

、

d = 234

，則

a

、

b

、

c

、

d

的大小關係為 ____。

冠狀病毒在許多動物廣泛存在，過去也有數種冠狀病毒會感染人類造成普通感冒或肺炎。這個病毒具有外套膜，病毒顆粒直徑大小約

120 nm

（

1 nm = 1 0^{- 9} m

）。若與人的頭髮直徑相比較的話，頭髮直徑約為

5 \times 1 0^{- 3} cm

，請問頭髮直徑約是病毒顆粒直徑的 ____ 倍。（以

3

位有效數字的科學記號表示）

pH 值是衡量溶液酸鹼程度的標準，它的定義如下：pH 值

= - lo g [H^{+}]

，其中

[H^{+}]

為氫離子的濃度（莫耳／升）。例如：氫離子濃度為

1 0^{- 5}

（莫耳／升）的溶液，它的 pH 值為

5

。現在把 pH 值為

3

與

4

的溶液依

5

比

4

混合，求混合溶液的 pH 值是 ____。（四捨五入至小數點後第二位，已知

1 0^{0.7781} \approx 6

）

三、混合題（共 10 分）（本頁第 16、17 題為流傳版本混合題 1、2）

混合題（第 16～17 題）　阿港想在好多多大賣場同一條筆直的馬路上買一間房子，若把此馬路當成一條數線的話，假設好多多大賣場位於數線上

+ 10

的位置，如今阿港買的房子位置須滿足到好多多大賣場距離至少

2

單位且不超過

k

單位，其中

k > 2

，則：

若阿港房子的位置為

x

，下列哪一個選項是正確的？（單選題，4 分）

(A) $2 < x - 10 < k$
(B) $2 \leq x - 10 \leq k$
(C) $2 < ∣ x - 10∣ < k$
(D) $2 \leq ∣ x - 10∣ \leq k$
(E) $2 < ∣ x - 10∣ \leq k$

承上題，若

k = 5

且

x

為整數，則

x

的值有 ____ 個。（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)

第 2 題(B)(C)(E)

第 3 題(A)(D)

第 4 題

(3, 2)

第 5 題

3 - \frac{3}{2}

第 6 題

\frac{200}{33}

第 7 題

108

第 8 題

x = - 1

或

x = \frac{11}{2}

第 9 題

- \frac{2}{3} \leq x \leq 4

第 10 題

- 1

或

23

第 11 題

29

第 12 題

\frac{81}{16}

第 13 題

d > a > c > b

第 14 題

4.17 \times 1 0^{2}

第 15 題

3.22

第 16 題(D)

第 17 題

8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～3：有理數與無理數、數線上的分點、科學記號與 log

第 1 題答案 (B)(C)。(A) 錯：取

a = 2

、

b = - 2

，

a + b = 0

是有理數。(B) 對：移項得

a - c = (d - b) 2

；若

d \neq = b

，則

2 = \frac{a - c}{d - b}

是有理數，矛盾，所以

b = d

，接著

a = c

。(C) 對：兩個相異有理數的平均仍是有理數，且落在兩數之間；對新的數再取平均，可以一直做下去，所以有無限多個。(D) 錯：取

b = 0

，

ab = 0

是有理數。(E) 錯：取

a = 2

、

b = 2 + 1

、

c = 1

、

d = 0

，則

a + c = b + d = 2 + 1

，但

a \neq = b

。

(B) 和 (E) 長得像，差別在 (E) 的

a

、

b

是無理數，無理數相減可以是有理數，所以不能比較係數。(D) 要記得

b

可以是

0

。

第 2 題答案 (B)(C)(E)。把三點都寫成「從

a

出發走

\overline{A B}

的幾分之幾」：

\frac{4 a + 7 b}{11} = a + \frac{7}{11} (b - a)

，同理

D

是

a + \frac{9}{13} (b - a)

，

E

是

a + \frac{11}{15} (b - a)

。因為

b - a > 0

且

\frac{7}{11} < \frac{9}{13} < \frac{11}{15} < 1

（約

0.636

、

0.692

、

0.733

），五點由左到右是

A

、

C

、

D

、

E

、

B

。(A) 錯、(B) 對。(C) 對：數線上兩點的距離就是坐標差的絕對值。(D) 錯：

\overline{A C} = \frac{7}{11} \overline{A B}

、

\overline{B C} = \frac{4}{11} \overline{A B}

，比是

7 : 4

。(E) 對：

\overline{C D} = (\frac{9}{13} - \frac{7}{11}) \overline{A B} = \frac{8}{143} \overline{A B}

，

\overline{D E} = (\frac{11}{15} - \frac{9}{13}) \overline{A B} = \frac{8}{195} \overline{A B}

，分子相同、分母小的比較大。

分點公式裡

a

的係數

4

對應的是到

B

那一段，

b

的係數

7

對應的是到

A

那一段，(D) 的比剛好寫反。

第 3 題答案 (A)(D)。(A) 對：

3.14159 \times 1 0^{8} = 314159000

，是

9

位數。(B) 錯：

3.14159 \times 1 0^{- 8} = 0.0000000314159

，小數點後前

7

位是

0

，第

8

位開始不為

0

。(C) 錯：

23, 580, 833 = 2.3580833 \times 1 0^{7}

，第四位數字是

8

要進位，應記為

2.36 \times 1 0^{7}

。(D) 對：

1 0^{4} < 21970 < 1 0^{5}

，所以

4 < lo g 21970 < 5

。(E) 錯：

0.000357 = 3.57 \times 1 0^{- 4}

，

1 0^{- 4} < 0.000357 < 1 0^{- 3}

，所以

lo g 0.000357

介於

- 4

與

- 3

之間（約

- 3.45

）。

a \times 1 0^{n}

（

1 \leq a < 10

）：

n \geq 0

時是

n + 1

位數；

n < 0

時在小數點後第

∣ n ∣

位開始不為

0

。另一個流傳版本的簡答把本題寫成 (A)(D)(E)（該版本標號為 (1)(4)(5)），但

lo g 0.000357 \approx - 3.45

不在

- 5

與

- 4

之間，(E) 不選。

02填充 1～4（第 4～7 題）：比較係數、雙重根號、乘法公式、算幾不等式

第 4 題左邊展開後整理成

(3 a + 2 b) + (- a + b) 5

。

a

、

b

是有理數，

5

是無理數，所以有理數部分與

5

的係數要分別相等：

3 a + 2 b = 13

，

- a + b = - 1

。由第二式

b = a - 1

代入第一式：

3 a + 2 a - 2 = 13

，

a = 3

，

b = 2

。驗算：

3 (3 - 5) + 2 (2 + 5) = 13 - 5

。

第 5 題

7 + 43 = 7 + 212

，找兩數和

7

、積

12

：

4

和

3

，所以

n = 4 + 3 = 2 + 3

。

1 < 3 < 2

，所以

3 < n < 4

，整數部分

a = 3

，小數部分

b = n - 3 = 3 - 1

。

\frac{1}{b} = \frac{1}{3 - 1} = \frac{3 + 1}{2}

。所求

= \frac{2 + 3}{2} - 3 + \frac{3 + 1}{2} = \frac{3 + 2 3}{2} - 3 = 3 - \frac{3}{2}

。

43

要先改寫成

212

，才能套「和

7

、積

12

」。

第 6 題

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 36 - 2 = 34

。

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 216 - 18 = 198

。所求

= \frac{198 + 2}{34 - 1} = \frac{200}{33}

。

(x + \frac{1}{x})^{3}

展開後中間兩項合起來是

3 (x + \frac{1}{x})

，要減掉。

第 7 題條件是

9 x^{2} + 4 y^{2} = 54

（

x > 0

，

y > 0

），所求面積是

(3 x + 2 y)^{2} = 9 x^{2} + 12 x y + 4 y^{2} = 54 + 12 x y

。由算幾不等式

\frac{9 x ^{2} + 4 y ^{2}}{2} \geq 9 x^{2} \cdot 4 y^{2} = 6 x y

，即

27 \geq 6 x y

，所以

12 x y \leq 54

，面積

\leq 54 + 54 = 108

。等號在

9 x^{2} = 4 y^{2} = 27

，也就是

x = 3

、

y = \frac{3 3}{2}

時成立，所以最大面積是

108

。

54

是題目給的面積和，也是

12 x y

的最大值，還要再加上原來的

54

才是答案。另一個流傳版本的簡答把本題寫成

54

，本站重算為

108

（

x = 3

、

y = \frac{3 3}{2}

時

3 x + 2 y = 63

，平方是

108

）。

看到

x + \frac{1}{x}

、

9 x^{2} + 4 y^{2}

這類已知的「和」，先想所求能不能用這個和與一個乘積表示。

03填充 5～6（第 8～10 題）：絕對值方程式、不等式與數線上的距離

第 8 題

2∣ x - 5∣ = ∣2 x - 10∣

，方程式是

∣2 x + 1∣ + ∣2 x - 10∣ = 13

。分三段：①

x \geq 5

：

(2 x + 1) + (2 x - 10) = 13

，

x = \frac{11}{2}

，在這一段內，合。②

- \frac{1}{2} \leq x < 5

：

(2 x + 1) - (2 x - 10) = 11 \neq = 13

，無解。③

x < - \frac{1}{2}

：

- (2 x + 1) - (2 x - 10) = 13

，

x = - 1

，在這一段內，合。所以

x = - 1

或

x = \frac{11}{2}

。

每一段解出來的

x

都要檢查有沒有落在那一段的範圍裡。中間那一段的值固定是

11

，比

13

小，所以解在兩側。

第 9 題

∣5 - 3 x ∣ \leq 7

等於

- 7 \leq 5 - 3 x \leq 7

。各減

5

：

- 12 \leq - 3 x \leq 2

。同除以

- 3

（不等號方向要反過來）：

4 \geq x \geq - \frac{2}{3}

，即

- \frac{2}{3} \leq x \leq 4

。

也可以先把

∣5 - 3 x ∣

寫成

∣3 x - 5∣

，得

- 7 \leq 3 x - 5 \leq 7

，就不必除以負數。

第 10 題

\overline{A P} = ∣ x - 2∣

，

\overline{B P} = ∣ x + 5∣

，條件是

4∣ x - 2∣ = 3∣ x + 5∣

。

4 (x - 2) = 3 (x + 5)

得

x = 23

；

4 (x - 2) = - 3 (x + 5)

得

7 x = - 7

，

x = - 1

。驗算：

x = - 1

時

\overline{A P} = 3

、

\overline{B P} = 4

；

x = 23

時

\overline{A P} = 21

、

\overline{B P} = 28

，都滿足

4 \overline{A P} = 3 \overline{B P}

。

x = - 1

在

A

、

B

之間，

x = 23

在

A

的右側，兩種位置都要算。

絕對值就是距離：兩個絕對值相等用「相等或差一個負號」，有加號的用分段討論。

04填充 7～9（第 11～13 題）：指數律與比大小

第 11 題

2 7^{\frac{2}{3}} = (3^{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{2} = 9

。

(0.001)^{- \frac{2}{3}} = (1 0^{- 3})^{- \frac{2}{3}} = 1 0^{2} = 100

。

[(5)^{\frac{1}{4}}]^{- 8} = (5)^{- 2} = \frac{1}{5}

。所以原式

= 9 + 100 \times \frac{1}{5} = 9 + 20 = 29

。

先乘後加：

100 \times \frac{1}{5}

要先算。

第 12 題

a^{\frac{3}{4}} = 27

，兩邊取

\frac{4}{3}

次方：

a = 2 7^{\frac{4}{3}} = (3^{3})^{\frac{4}{3}} = 3^{4} = 81

。

2 5^{- \frac{b}{3}} = (5^{2})^{- \frac{b}{3}} = (5^{b})^{- \frac{2}{3}} = 6 4^{- \frac{2}{3}} = (4^{3})^{- \frac{2}{3}} = 4^{- 2} = \frac{1}{16}

。所以

a \times 2 5^{- \frac{b}{3}} = \frac{81}{16}

。

不用解出

b

，把

2 5^{- \frac{b}{3}}

改寫成

5^{b}

的次方就可以代入。

第 13 題全部化成以

2

為底：

a = (2^{3})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{4}}

；

b = (2^{2})^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{3}}

；

c = (2^{- 2})^{- \frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}

；

d = (2 \times 2^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = (2^{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{6}}

。底數

2 > 1

，指數越大值越大。通分成十二分之幾：

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}

、

\frac{3}{4} = \frac{9}{12}

、

\frac{2}{3} = \frac{8}{12}

、

\frac{1}{3} = \frac{4}{12}

，所以

d > a > c > b

。

根式、分數、小數混在一起時，先全部改寫成同一個底數的次方，再用指數律。

05填充 10～11（第 14～15 題）：科學記號與 pH 值

第 14 題先把單位都換成公尺。病毒直徑

120 nm = 120 \times 1 0^{- 9} m = 1.2 \times 1 0^{- 7} m

；頭髮直徑

5 \times 1 0^{- 3} cm = 5 \times 1 0^{- 3} \times 1 0^{- 2} m = 5 \times 1 0^{- 5} m

。倍數

= \frac{5 \times 1 0 ^{- 5}}{1.2 \times 1 0 ^{- 7}} = \frac{5}{1.2} \times 1 0^{2} = 4.1666 \dots \times 1 0^{2}

，取

3

位有效數字得

4.17 \times 1 0^{2}

。

頭髮的單位是公分，要多乘一個

1 0^{- 2}

才是公尺。

第 15 題pH 值

3

的溶液氫離子濃度是

1 0^{- 3}

，pH 值

4

的是

1 0^{- 4}

。依

5 : 4

混合，取

5

升與

4

升：氫離子共

5 \times 1 0^{- 3} + 4 \times 1 0^{- 4} = 5.4 \times 1 0^{- 3}

莫耳，體積

9

升，濃度

= \frac{5.4 \times 1 0 ^{- 3}}{9} = 6 \times 1 0^{- 4}

。由

6 \approx 1 0^{0.7781}

，濃度

\approx 1 0^{0.7781 - 4} = 1 0^{- 3.2219}

，所以 pH 值

= 3.2219

，四捨五入得

3.22

。

混合時要相加再平均的是氫離子濃度，不是 pH 值本身；直接把

3

和

4

依

5 : 4

加權會得到

3.44

，不是答案。

06混合題（第 16～17 題）：用絕對值寫距離的範圍

第 16 題答案 (D)。房子到大賣場的距離是

∣ x - 10∣

。「至少

2

單位」是

∣ x - 10∣ \geq 2

，「不超過

k

單位」是

∣ x - 10∣ \leq k

，合起來是

2 \leq ∣ x - 10∣ \leq k

。

房子可以在大賣場的左邊或右邊，所以要用絕對值；「至少」和「不超過」都包含等號。

第 17 題

k = 5

時

2 \leq ∣ x - 10∣ \leq 5

，分成

2 \leq x - 10 \leq 5

或

- 5 \leq x - 10 \leq - 2

，也就是

12 \leq x \leq 15

或

5 \leq x \leq 8

。整數

x = 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14, 15

，共

8

個。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

小港高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

小港高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自小港高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

小港高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

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01多選 1～3：有理數與無理數、數線上的分點、科學記號與 log

02填充 1～4（第 4～7 題）：比較係數、雙重根號、乘法公式、算幾不等式

03填充 5～6（第 8～10 題）：絕對值方程式、不等式與數線上的距離

04填充 7～9（第 11～13 題）：指數律與比大小

05填充 10～11（第 14～15 題）：科學記號與 pH 值

06混合題（第 16～17 題）：用絕對值寫距離的範圍

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小港高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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