段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數、有效數字）

林口高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

單選題 4 題、多選題 3 題、填充題 15 題，共 22 格；依答對格數對照計分（第 1～3 格每格 8 分、第 4～7 格每格 6 分、第 8～18 格每格 4 分、第 19～22 格每格 2 分），22 格全對 100 分

一、單選題（每題答對得 1 格）

若

lo g x = 2.3456

，則

x

的整數部分為

n

位數，則

n =

？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

設

3^{0.6} = a

，

3^{0.03} = b

，則

3^{1.54}

之值為下列哪一個選項？

(1) $8 a^{3} b^{- 4}$
(2) $8 a^{3} b^{- 2}$
(3) $3 a^{2} b$
(4) $3 a^{2} b^{- 3}$
(5) $3 a b^{- 2}$

若有某種細菌 delta，每經過

5

天，數量就會變為

3

倍，且假設該細菌沒有其他因素造成死亡。經過

10

天後，該細菌數量為原來數量的多少倍？

(1) $3$
(2) $6$
(3) $9$
(4) $12$
(5) $15$

設

A = 11 + 34

，則

A

值在下列哪兩個連續整數之間？

(1) $3$ 與 $4$
(2) $4$ 與 $5$
(3) $5$ 與 $6$
(4) $6$ 與 $7$
(5) $7$ 與 $8$

二、多選題（五個選項全對得 1 格，只錯 1 個選項得 0.5 格，錯 2 個或 2 個以上選項不給分）

數線上，有

A (a)

，

B (b)

，

C (\frac{2 a + 3 b}{5})

，

D (\frac{3 a + 2 b}{5})

四點且

A

點在

B

點左方，下列選項何者正確？

(1) $\overline{A B} = ∣ a - b ∣$
(2) $B$ 點在 $C$ 點右方
(3) $D$ 點在 $C$ 點右方
(4) $\overline{A B} : \overline{C D} = 2 : 3$
(5) $\overline{A C} = \overline{B D}$

下列選項何者正確？

(1) $3 + 14 > 4 + 13$
(2) 兩個相異有理數之間必至少有一無理數
(3) 若 $p$ 為質數，則 $p$ 必為無理數
(4) $a$ ， $b$ 為實數，若 $a + b 5 = 0$ ，則 $a$ ， $b$ 均為零
(5) 循環小數為有理數

試問下列選項何者的方程式有解？

(1) $∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ = 5$
(2) $∣ x + 2∣ - ∣ x - 1∣ = - 4$
(3) $∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ = 2$
(4) $∣ x + 2∣ - ∣ x - 1∣ = 5$
(5) $2∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ = 4$

三、填充題（共 15 格，每格全對才給分）

將

x^{4} - 625

分解因式到最簡式子 ____。

已知科學記號表示

a = 5.6 \times 1 0^{5}

為

2

位有效數字，

b = 1.27 \times 1 0^{5}

為

3

位有效數字，則

a + b

運算後結果為 ____。

設

a

，

b

為有理數，若

a 7 + 212 - b 4 - 23 = 7 - 3

，試求

a + b

的值 ____。

試求

1 0^{2 l o g 3 + \frac{1}{2} l o g 25}

的值 ____。

設

x = \frac{5 - 2}{5 + 2}

，試求

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

的值 ____。

設

A (- 3)

，

B (7)

，

P (x)

為數線上三點，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 2

，當

P

點在

\overline{A B}

外時，求

x

值 ____。

求絕對值不等式

1 \leq ∣2 x - 1∣ < 5

解的範圍 ____。

化簡

[(3^{2})^{2}] \cdot 2 7^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{( 3 ^{\frac{1}{2}} ) ^{3}}{3 ^{\frac{1}{2}}} =

____。

A 放射性元素之半衰期為

15

天，B 放射性元素之半衰期為

10

天，若一金屬礦石中 A，B 兩元素之質量比為

3 : 5

，則

30

天後 A，B 兩元素之質量比為 ____。

設

a

，

b

為實數，若絕對值不等式

∣ a x + 3∣ \leq b

之解為

- 1 \leq x \leq 5

，試求

a + b

的值 ____。

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特（

W / m^{2}

）來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W / m^{2}

）；當測得聲音強度為

I

（

W / m^{2}

）時，所產生噪音分貝數

d

且滿足下列數學式：

d = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

。試問

80

分貝的聲音等於多少強度（

W / m^{2}

） ____。

農夫想用長

56

公尺的竹籬笆圍成一座矩形的菜園，如下圖所示，其中

\overline{B C}

邊的中央留著寬

4

公尺的出入口。若菜園圍出面積為

A

，試問面積

A

的最大值是多少平方公尺 ____。

載入中...

小林想要將

3^{1141021} - 1

的數字列印出來，若每張 A4 紙張可印

2000

個數字，則他需要準備 ____ 張紙。（已知

lo g 3 = 0.4771

）

設

x

為實數，求絕對值

∣ x - 1∣ + ∣ x - 2∣ + ∣ x - 3∣ + \dots + ∣ x - 2023∣ + ∣ x - 2024∣ + ∣ x - 2025∣

的最小值 ____。（註：總共有

2025

個絕對值）

若

x > 4

，

y > 3

，且

x y - 3 x - 4 y = 4

，試求

x + y

的最小值 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(3)

第 4 題(2)

第 5 題(1)(2)(5)

第 6 題(2)(3)(5)

第 7 題(1)(5)

第 8 題

(x - 5) (x + 5) (x^{2} + 25)

第 9 題

6.9 \times 1 0^{5}

第 10 題

5

第 11 題

45

第 12 題

5778

第 13 題

27

第 14 題

- 2 < x \leq 0

或

1 \leq x < 3

第 15 題

243

第 16 題

6 : 5

第 17 題

3

第 18 題

1 0^{- 4}

第 19 題

225

第 20 題

273

第 21 題

1025156

第 22 題

15

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：位數、指數律與根式估計

第 1 題答案 (3)。

lo g x = 2.3456

表示

x = 1 0^{2.3456}

，而

1 0^{2} < 1 0^{2.3456} < 1 0^{3}

，也就是

100 < x < 1000

，整數部分是

3

位數，

n = 3

。

lo g x

的整數部分是

2

，位數要再加

1

。

第 2 題答案 (5)。把

1.54

用

1

、

0.6

、

0.03

湊出來：

1.54 = 1 + 0.6 - 0.06 = 1 + 0.6 - 2 \times 0.03

。所以

3^{1.54} = 3^{1} \times 3^{0.6} \times (3^{0.03})^{- 2} = 3 a b^{- 2}

。

可以逐一檢查其他選項的指數：(3) 是

1 + 1.2 + 0.03 = 2.23

，(4) 是

1 + 1.2 - 0.09 = 2.11

，都不是

1.54

；(1)(2) 的係數

8

不是

3

的整數次方，也湊不出來。

第 3 題答案 (3)。每

5

天變為

3

倍，

10

天是兩個

5

天，所以變為

3 \times 3 = 3^{2} = 9

倍。

倍數是連乘，不是相加：兩個週期是

3^{2} = 9

倍，不是

3 + 3 = 6

倍。

第 4 題答案 (2)。

25 < 34 < 36

，所以

5 < 34 < 6

，

16 < 11 + 34 < 17

。開根號得

4 < A < 17 < 5

，

A

在

4

與

5

之間。（數值約

4.10

）

02多選 5～7：數線上的分點、有理數與無理數、絕對值方程式

第 5 題答案 (1)(2)(5)。

A

在

B

左方表示

a < b

，令

d = b - a > 0

。

C

的坐標是

\frac{2 a + 3 b}{5} = a + \frac{3}{5} d

，

D

的坐標是

\frac{3 a + 2 b}{5} = a + \frac{2}{5} d

，所以四點由左到右是

A

、

D

、

C

、

B

。(1) 對：數線上兩點的距離就是坐標差的絕對值。(2) 對：

b - (a + \frac{3}{5} d) = \frac{2}{5} d > 0

。(3) 錯：

D

在

C

的左方。(4) 錯：

\overline{A B} = d

，

\overline{C D} = \frac{3}{5} d - \frac{2}{5} d = \frac{1}{5} d

，比是

5 : 1

。(5) 對：

\overline{A C} = \frac{3}{5} d

，

\overline{B D} = d - \frac{2}{5} d = \frac{3}{5} d

。

C

是把

\overline{A B}

分成

3 : 2

的內分點，

D

是分成

2 : 3

的內分點。取

a = 0

、

b = 5

檢查：

C (3)

、

D (2)

。

第 6 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯：兩邊都是正數，比較平方。左邊平方是

17 + 242

，右邊平方是

17 + 252

，左邊比較小。(2) 對：設有理數

r < s

，取

r + \frac{s - r}{2}

，它是無理數，而且因為

0 < \frac{1}{2} < 1

，它落在

r

和

s

之間。(3) 對：若

p = \frac{m}{n}

（最簡分數），則

m^{2} = p n^{2}

，

p

整除

m

；設

m = p k

，得

n^{2} = p k^{2}

，

p

也整除

n

，和最簡分數矛盾。(4) 錯：條件只說

a

、

b

是實數，取

a = - 5

、

b = 1

就有

a + b 5 = 0

。(5) 對：循環小數都可以化成分數。

(4) 如果條件是「

a

、

b

為有理數」才會成立；題目寫的是實數。

第 7 題答案 (1)(5)。

∣ x + 2∣

是

x

到

- 2

的距離，

∣ x - 1∣

是

x

到

1

的距離，

- 2

和

1

相距

3

。兩距離的和最小是

3

（

x

在

- 2

和

1

之間時），往兩側可以任意大；兩距離的差介於

- 3

和

3

之間。(1) 有解：

5 \geq 3

，解是

x = 2

或

x = - 3

。(2) 無解：

- 4 < - 3

。(3) 無解：

2 < 3

。(4) 無解：

5 > 3

。(5) 有解：在

- 2 \leq x \leq 1

時式子是

2 (x + 2) + (1 - x) = x + 5

，令它等於

4

得

x = - 1

，在範圍內。（另一個解是

x = - \frac{7}{3}

。）

(5) 左邊的最小值是

3

（在

x = - 2

），而

4 \geq 3

，所以有解。

∣ x - p ∣ + ∣ x - q ∣

的值最小是

p

、

q

的距離；

∣ x - p ∣ - ∣ x - q ∣

的值介於正負這個距離之間。右邊的數在不在這個範圍內，就決定方程式有沒有解。

03填充 8～12：因式分解、有效數字、雙重根號與求值

第 8 題

x^{4} - 625 = (x^{2})^{2} - 2 5^{2} = (x^{2} - 25) (x^{2} + 25) = (x - 5) (x + 5) (x^{2} + 25)

。

x^{2} + 25

在實數範圍內恆為正，不能再分解。

平方差公式要用兩次，

x^{2} - 25

還可以再分解。

第 9 題直接相加：

5.6 \times 1 0^{5} + 1.27 \times 1 0^{5} = 6.87 \times 1 0^{5}

。

a

只有

2

位有效數字，準確到

1 0^{5}

的小數第一位（也就是萬位）；

b

準確到小數第二位（千位）。相加的結果只能保留到兩者中比較不準確的那一位，所以把

6.87

四捨五入到小數第一位，得

6.9 \times 1 0^{5}

。

加減法看的是「準確到哪一位」，不是有效數字的個數。

第 10 題

7 + 212

：找兩數和

7

、積

12

，是

4

和

3

，所以等於

4 + 3 = 2 + 3

。

4 - 23

：和

4

、積

3

，是

3

和

1

，所以等於

3 - 1

。原式變成

a (2 + 3) - b (3 - 1) = (2 a + b) + (a - b) 3 = 7 - 3

。

a

、

b

是有理數，比較兩邊：

2 a + b = 7

，

a - b = - 1

。兩式相加得

3 a = 6

，

a = 2

，

b = 3

，

a + b = 5

。

4 - 23

要寫成大減小

3 - 1

，才是正數。

第 11 題指數相加就是底數相同的數相乘：

1 0^{2 l o g 3 + \frac{1}{2} l o g 25} = (1 0^{l o g 3})^{2} \times (1 0^{l o g 25})^{\frac{1}{2}}

。由

lo g

的意義，

1 0^{l o g 3} = 3

、

1 0^{l o g 25} = 25

，所以原式

= 3^{2} \times 2 5^{\frac{1}{2}} = 9 \times 5 = 45

。

第 12 題分子分母同乘以

5 - 2

：

x = \frac{( 5 - 2 ) ^{2}}{5 - 4} = 9 - 45

。同理

\frac{1}{x} = \frac{5 + 2}{5 - 2} = (5 + 2)^{2} = 9 + 45

。所以

x + \frac{1}{x} = 18

。由

(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} + 3 (x + \frac{1}{x})

，得

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 1 8^{3} - 3 \times 18 = 5832 - 54 = 5778

。

x

和

\frac{1}{x}

互為倒數、乘積是

1

，所以只要先求出兩者的和。

04填充 13～18：外分點、絕對值不等式、指數律、半衰期與分貝

第 13 題

\overline{A P} = ∣ x + 3∣

，

\overline{B P} = ∣ x - 7∣

，條件是

2∣ x + 3∣ = 3∣ x - 7∣

。

P

在

\overline{A B}

外，而且

\overline{A P} > \overline{B P}

，表示

P

離

B

比較近，所以

P

在

B

的右側，

x > 7

。這時

2 (x + 3) = 3 (x - 7)

，

2 x + 6 = 3 x - 21

，

x = 27

。驗算：

\overline{A P} = 30

，

\overline{B P} = 20

，比是

3 : 2

。

另一個解

x = 3

是內分點（在

A

、

B

之間），題目指定在線段外，所以不取。

第 14 題分成兩種情形。

2 x - 1 \geq 0

時：

1 \leq 2 x - 1 < 5

，

2 \leq 2 x < 6

，

1 \leq x < 3

。

2 x - 1 < 0

時：

1 \leq - (2 x - 1) < 5

，也就是

- 5 < 2 x - 1 \leq - 1

，

- 4 < 2 x \leq 0

，

- 2 < x \leq 0

。合起來是

- 2 < x \leq 0

或

1 \leq x < 3

。

左邊是

\leq

、右邊是

<

，端點有沒有等號要分清楚：

x = 0

、

x = 1

有包含，

x = - 2

、

x = 3

不包含。

第 15 題分三段算。

(3^{2})^{2} = 3^{2 \times 2} = 3^{2} = 9

。

2 7^{\frac{2}{3}} = (3^{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{2} = 9

。

\frac{( 3 ^{\frac{1}{2}} ) ^{3}}{3 ^{\frac{1}{2}}} = 3^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = 3^{1} = 3

。相乘：

9 \times 9 \times 3 = 243

（就是

3^{5}

）。

第 16 題設原來 A、B 的質量是

3 k

、

5 k

。

30

天是 A 的

2

個半衰期，A 剩下

3 k \times (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4} k

。

30

天是 B 的

3

個半衰期，B 剩下

5 k \times (\frac{1}{2})^{3} = \frac{5}{8} k

。質量比是

\frac{3}{4} : \frac{5}{8} = 6 : 5

。

兩個元素經過的半衰期個數不同（

2

個和

3

個），要分別算。

第 17 題解

- 1 \leq x \leq 5

的中點是

2

，端點到中點的距離是

3

，所以它就是

∣ x - 2∣ \leq 3

。和

∣ a x + 3∣ \leq b

對照：兩邊同乘以

\frac{3}{2}

得

\frac{3}{2} x - 3 \leq \frac{9}{2}

，也就是

- \frac{3}{2} x + 3 \leq \frac{9}{2}

。常數項要是

+ 3

，所以

a = - \frac{3}{2}

，

b = \frac{9}{2}

，

a + b = 3

。驗算：

x = - 1

時

\frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}

，

x = 5

時

- \frac{15}{2} + 3 = \frac{9}{2}

。

絕對值裡面整個變號不影響大小，要配合題目的「

+ 3

」決定

a

的正負。

第 18 題把

d = 80

代入：

80 = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

，

lo g \frac{I}{I _{0}} = 8

，由

lo g

的意義得

\frac{I}{I _{0}} = 1 0^{8}

。所以

I = 1 0^{8} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 4}

（

W / m^{2}

）。

原卷參考答案寫

1 0^{- 4}

或

\frac{1}{10000}

，兩者相同。

絕對值不等式

∣ x - c ∣ \leq r

的解是以

c

為中點、左右各

r

的區間；反過來，看到解的區間就先找中點和半徑。

05填充 19～22：算幾不等式、位數與絕對值和的最小值

第 19 題設

\overline{A B} = x

公尺、

\overline{B C} = y

公尺。籬笆圍

\overline{A B}

、

\overline{A D}

、

\overline{D C}

三邊，以及

\overline{B C}

邊扣掉

4

公尺出入口的部分，所以

x + y + x + (y - 4) = 56

，

x + y = 30

。由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y

，得

x y \leq 15

，

x y \leq 225

。等號在

x = y = 15

時成立（這時

\overline{B C} = 15 > 4

，留得出出入口），所以面積最大值是

225

平方公尺。

出入口不用籬笆，所以矩形的周長是

56 + 4 = 60

公尺，不是

56

公尺。

第 20 題先算

3^{1141021}

的位數：

lo g 3^{1141021} = 1141021 \times 0.4771 = 544381.1191

，所以

1 0^{544381} < 3^{1141021} < 1 0^{544382}

，是

544382

位數。

3^{1141021}

不是

10

的整數次方，減

1

之後仍然不小於

1 0^{544381}

，位數不變。

544382 \div 2000 = 272

餘

382

，前

272

張印滿後還剩

382

個數字，要再一張，共

273

張。

乘法分段算：

1141021 \times 0.4 = 456408.4

，

\times 0.07 = 79871.47

，

\times 0.007 = 7987.147

，

\times 0.0001 = 114.1021

，加起來是

544381.1191

。有餘數就要多準備一張紙。題目給的

lo g 3

只有四位小數，用更精確的值算，實際位數是

544406

，同樣需要

273

張。

第 21 題頭尾兩兩配對。

∣ x - 1∣ + ∣ x - 2025∣

是

x

到

1

和到

2025

的距離和，最小是

2024

（

x

在

1

和

2025

之間時）；同理

∣ x - 2∣ + ∣ x - 2024∣ \geq 2022

，……，

∣ x - 1012∣ + ∣ x - 1014∣ \geq 2

；中間剩下的

∣ x - 1013∣ \geq 0

。當

x = 1013

時每一個等號同時成立，所以最小值是

2024 + 2022 + \dots + 2 + 0 = 2 \times (1 + 2 + \dots + 1012) = 2 \times \frac{1012 \times 1013}{2} = 1012 \times 1013 = 1025156

。

絕對值有奇數個（

2025

個）時，最小值發生在正中間那一個數，也就是第

1013

個數

x = 1013

。

第 22 題把條件配成乘積：

(x - 4) (y - 3) = x y - 3 x - 4 y + 12 = 4 + 12 = 16

。因為

x > 4

、

y > 3

，

x - 4

和

y - 3

都是正數，由算幾不等式

\frac{( x - 4 ) + ( y - 3 )}{2} \geq (x - 4) (y - 3) = 4

，得

x + y - 7 \geq 8

，

x + y \geq 15

。等號在

x - 4 = y - 3 = 4

，也就是

x = 8

、

y = 7

時成立（代回

56 - 24 - 28 = 4

，符合），所以最小值是

15

。

條件

x > 4

、

y > 3

就是在提示要用

x - 4

和

y - 3

這兩個正數。

用算幾不等式求極值，先找出「和是定值」或「積是定值」的兩個正數，最後一定要檢查等號成立的條件是否做得到。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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上傳考卷

常見問題

林口高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

林口高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題要用數線上的距離判斷絕對值的和與差能取到哪些值；第 9 題有效數字的加法要看準確到哪一位，不是看有幾位有效數字；第 21 題要把頭尾的絕對值兩兩配對，最小值發生在正中間的數；第 22 題要先把條件配成兩個正數的乘積再用算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自林口高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數、有效數字）

林口高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

一、單選題（每題答對得 1 格）

若

lo g x = 2.3456

，則

x

的整數部分為

n

位數，則

n =

？

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $4$
(5) $5$

設

3^{0.6} = a

，

3^{0.03} = b

，則

3^{1.54}

之值為下列哪一個選項？

(1) $8 a^{3} b^{- 4}$
(2) $8 a^{3} b^{- 2}$
(3) $3 a^{2} b$
(4) $3 a^{2} b^{- 3}$
(5) $3 a b^{- 2}$

若有某種細菌 delta，每經過

5

天，數量就會變為

3

倍，且假設該細菌沒有其他因素造成死亡。經過

10

天後，該細菌數量為原來數量的多少倍？

(1) $3$
(2) $6$
(3) $9$
(4) $12$
(5) $15$

設

A = 11 + 34

，則

A

值在下列哪兩個連續整數之間？

(1) $3$ 與 $4$
(2) $4$ 與 $5$
(3) $5$ 與 $6$
(4) $6$ 與 $7$
(5) $7$ 與 $8$

二、多選題（五個選項全對得 1 格，只錯 1 個選項得 0.5 格，錯 2 個或 2 個以上選項不給分）

數線上，有

A (a)

，

B (b)

，

C (\frac{2 a + 3 b}{5})

，

D (\frac{3 a + 2 b}{5})

四點且

A

點在

B

點左方，下列選項何者正確？

(1) $\overline{A B} = ∣ a - b ∣$
(2) $B$ 點在 $C$ 點右方
(3) $D$ 點在 $C$ 點右方
(4) $\overline{A B} : \overline{C D} = 2 : 3$
(5) $\overline{A C} = \overline{B D}$

下列選項何者正確？

(1) $3 + 14 > 4 + 13$
(2) 兩個相異有理數之間必至少有一無理數
(3) 若 $p$ 為質數，則 $p$ 必為無理數
(4) $a$ ， $b$ 為實數，若 $a + b 5 = 0$ ，則 $a$ ， $b$ 均為零
(5) 循環小數為有理數

試問下列選項何者的方程式有解？

(1) $∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ = 5$
(2) $∣ x + 2∣ - ∣ x - 1∣ = - 4$
(3) $∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ = 2$
(4) $∣ x + 2∣ - ∣ x - 1∣ = 5$
(5) $2∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ = 4$

三、填充題（共 15 格，每格全對才給分）

將

x^{4} - 625

分解因式到最簡式子 ____。

已知科學記號表示

a = 5.6 \times 1 0^{5}

為

2

位有效數字，

b = 1.27 \times 1 0^{5}

為

3

位有效數字，則

a + b

運算後結果為 ____。

設

a

，

b

為有理數，若

a 7 + 212 - b 4 - 23 = 7 - 3

，試求

a + b

的值 ____。

試求

1 0^{2 l o g 3 + \frac{1}{2} l o g 25}

的值 ____。

設

x = \frac{5 - 2}{5 + 2}

，試求

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

的值 ____。

設

A (- 3)

，

B (7)

，

P (x)

為數線上三點，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 2

，當

P

點在

\overline{A B}

外時，求

x

值 ____。

求絕對值不等式

1 \leq ∣2 x - 1∣ < 5

解的範圍 ____。

化簡

[(3^{2})^{2}] \cdot 2 7^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{( 3 ^{\frac{1}{2}} ) ^{3}}{3 ^{\frac{1}{2}}} =

____。

A 放射性元素之半衰期為

15

天，B 放射性元素之半衰期為

10

天，若一金屬礦石中 A，B 兩元素之質量比為

3 : 5

，則

30

天後 A，B 兩元素之質量比為 ____。

設

a

，

b

為實數，若絕對值不等式

∣ a x + 3∣ \leq b

之解為

- 1 \leq x \leq 5

，試求

a + b

的值 ____。

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特（

W / m^{2}

）來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12}

（

W / m^{2}

）；當測得聲音強度為

I

（

W / m^{2}

）時，所產生噪音分貝數

d

且滿足下列數學式：

d = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

。試問

80

分貝的聲音等於多少強度（

W / m^{2}

） ____。

農夫想用長

56

公尺的竹籬笆圍成一座矩形的菜園，如下圖所示，其中

\overline{B C}

邊的中央留著寬

4

公尺的出入口。若菜園圍出面積為

A

，試問面積

A

的最大值是多少平方公尺 ____。

載入中...

小林想要將

3^{1141021} - 1

的數字列印出來，若每張 A4 紙張可印

2000

個數字，則他需要準備 ____ 張紙。（已知

lo g 3 = 0.4771

）

設

x

為實數，求絕對值

∣ x - 1∣ + ∣ x - 2∣ + ∣ x - 3∣ + \dots + ∣ x - 2023∣ + ∣ x - 2024∣ + ∣ x - 2025∣

的最小值 ____。（註：總共有

2025

個絕對值）

若

x > 4

，

y > 3

，且

x y - 3 x - 4 y = 4

，試求

x + y

的最小值 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(3)

第 4 題(2)

第 5 題(1)(2)(5)

第 6 題(2)(3)(5)

第 7 題(1)(5)

第 8 題

(x - 5) (x + 5) (x^{2} + 25)

第 9 題

6.9 \times 1 0^{5}

第 10 題

5

第 11 題

45

第 12 題

5778

第 13 題

27

第 14 題

- 2 < x \leq 0

或

1 \leq x < 3

第 15 題

243

第 16 題

6 : 5

第 17 題

3

第 18 題

1 0^{- 4}

第 19 題

225

第 20 題

273

第 21 題

1025156

第 22 題

15

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：位數、指數律與根式估計

第 1 題答案 (3)。

lo g x = 2.3456

表示

x = 1 0^{2.3456}

，而

1 0^{2} < 1 0^{2.3456} < 1 0^{3}

，也就是

100 < x < 1000

，整數部分是

3

位數，

n = 3

。

lo g x

的整數部分是

2

，位數要再加

1

。

第 2 題答案 (5)。把

1.54

用

1

、

0.6

、

0.03

湊出來：

1.54 = 1 + 0.6 - 0.06 = 1 + 0.6 - 2 \times 0.03

。所以

3^{1.54} = 3^{1} \times 3^{0.6} \times (3^{0.03})^{- 2} = 3 a b^{- 2}

。

可以逐一檢查其他選項的指數：(3) 是

1 + 1.2 + 0.03 = 2.23

，(4) 是

1 + 1.2 - 0.09 = 2.11

，都不是

1.54

；(1)(2) 的係數

8

不是

3

的整數次方，也湊不出來。

第 3 題答案 (3)。每

5

天變為

3

倍，

10

天是兩個

5

天，所以變為

3 \times 3 = 3^{2} = 9

倍。

倍數是連乘，不是相加：兩個週期是

3^{2} = 9

倍，不是

3 + 3 = 6

倍。

第 4 題答案 (2)。

25 < 34 < 36

，所以

5 < 34 < 6

，

16 < 11 + 34 < 17

。開根號得

4 < A < 17 < 5

，

A

在

4

與

5

之間。（數值約

4.10

）

02多選 5～7：數線上的分點、有理數與無理數、絕對值方程式

第 5 題答案 (1)(2)(5)。

A

在

B

左方表示

a < b

，令

d = b - a > 0

。

C

的坐標是

\frac{2 a + 3 b}{5} = a + \frac{3}{5} d

，

D

的坐標是

\frac{3 a + 2 b}{5} = a + \frac{2}{5} d

，所以四點由左到右是

A

、

D

、

C

、

B

。(1) 對：數線上兩點的距離就是坐標差的絕對值。(2) 對：

b - (a + \frac{3}{5} d) = \frac{2}{5} d > 0

。(3) 錯：

D

在

C

的左方。(4) 錯：

\overline{A B} = d

，

\overline{C D} = \frac{3}{5} d - \frac{2}{5} d = \frac{1}{5} d

，比是

5 : 1

。(5) 對：

\overline{A C} = \frac{3}{5} d

，

\overline{B D} = d - \frac{2}{5} d = \frac{3}{5} d

。

C

是把

\overline{A B}

分成

3 : 2

的內分點，

D

是分成

2 : 3

的內分點。取

a = 0

、

b = 5

檢查：

C (3)

、

D (2)

。

第 6 題答案 (2)(3)(5)。(1) 錯：兩邊都是正數，比較平方。左邊平方是

17 + 242

，右邊平方是

17 + 252

，左邊比較小。(2) 對：設有理數

r < s

，取

r + \frac{s - r}{2}

，它是無理數，而且因為

0 < \frac{1}{2} < 1

，它落在

r

和

s

之間。(3) 對：若

p = \frac{m}{n}

（最簡分數），則

m^{2} = p n^{2}

，

p

整除

m

；設

m = p k

，得

n^{2} = p k^{2}

，

p

也整除

n

，和最簡分數矛盾。(4) 錯：條件只說

a

、

b

是實數，取

a = - 5

、

b = 1

就有

a + b 5 = 0

。(5) 對：循環小數都可以化成分數。

(4) 如果條件是「

a

、

b

為有理數」才會成立；題目寫的是實數。

第 7 題答案 (1)(5)。

∣ x + 2∣

是

x

到

- 2

的距離，

∣ x - 1∣

是

x

到

1

的距離，

- 2

和

1

相距

3

。兩距離的和最小是

3

（

x

在

- 2

和

1

之間時），往兩側可以任意大；兩距離的差介於

- 3

和

3

之間。(1) 有解：

5 \geq 3

，解是

x = 2

或

x = - 3

。(2) 無解：

- 4 < - 3

。(3) 無解：

2 < 3

。(4) 無解：

5 > 3

。(5) 有解：在

- 2 \leq x \leq 1

時式子是

2 (x + 2) + (1 - x) = x + 5

，令它等於

4

得

x = - 1

，在範圍內。（另一個解是

x = - \frac{7}{3}

。）

(5) 左邊的最小值是

3

（在

x = - 2

），而

4 \geq 3

，所以有解。

∣ x - p ∣ + ∣ x - q ∣

的值最小是

p

、

q

的距離；

∣ x - p ∣ - ∣ x - q ∣

的值介於正負這個距離之間。右邊的數在不在這個範圍內，就決定方程式有沒有解。

03填充 8～12：因式分解、有效數字、雙重根號與求值

第 8 題

x^{4} - 625 = (x^{2})^{2} - 2 5^{2} = (x^{2} - 25) (x^{2} + 25) = (x - 5) (x + 5) (x^{2} + 25)

。

x^{2} + 25

在實數範圍內恆為正，不能再分解。

平方差公式要用兩次，

x^{2} - 25

還可以再分解。

第 9 題直接相加：

5.6 \times 1 0^{5} + 1.27 \times 1 0^{5} = 6.87 \times 1 0^{5}

。

a

只有

2

位有效數字，準確到

1 0^{5}

的小數第一位（也就是萬位）；

b

準確到小數第二位（千位）。相加的結果只能保留到兩者中比較不準確的那一位，所以把

6.87

四捨五入到小數第一位，得

6.9 \times 1 0^{5}

。

加減法看的是「準確到哪一位」，不是有效數字的個數。

第 10 題

7 + 212

：找兩數和

7

、積

12

，是

4

和

3

，所以等於

4 + 3 = 2 + 3

。

4 - 23

：和

4

、積

3

，是

3

和

1

，所以等於

3 - 1

。原式變成

a (2 + 3) - b (3 - 1) = (2 a + b) + (a - b) 3 = 7 - 3

。

a

、

b

是有理數，比較兩邊：

2 a + b = 7

，

a - b = - 1

。兩式相加得

3 a = 6

，

a = 2

，

b = 3

，

a + b = 5

。

4 - 23

要寫成大減小

3 - 1

，才是正數。

第 11 題指數相加就是底數相同的數相乘：

1 0^{2 l o g 3 + \frac{1}{2} l o g 25} = (1 0^{l o g 3})^{2} \times (1 0^{l o g 25})^{\frac{1}{2}}

。由

lo g

的意義，

1 0^{l o g 3} = 3

、

1 0^{l o g 25} = 25

，所以原式

= 3^{2} \times 2 5^{\frac{1}{2}} = 9 \times 5 = 45

。

第 12 題分子分母同乘以

5 - 2

：

x = \frac{( 5 - 2 ) ^{2}}{5 - 4} = 9 - 45

。同理

\frac{1}{x} = \frac{5 + 2}{5 - 2} = (5 + 2)^{2} = 9 + 45

。所以

x + \frac{1}{x} = 18

。由

(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} + 3 (x + \frac{1}{x})

，得

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 1 8^{3} - 3 \times 18 = 5832 - 54 = 5778

。

x

和

\frac{1}{x}

互為倒數、乘積是

1

，所以只要先求出兩者的和。

04填充 13～18：外分點、絕對值不等式、指數律、半衰期與分貝

第 13 題

\overline{A P} = ∣ x + 3∣

，

\overline{B P} = ∣ x - 7∣

，條件是

2∣ x + 3∣ = 3∣ x - 7∣

。

P

在

\overline{A B}

外，而且

\overline{A P} > \overline{B P}

，表示

P

離

B

比較近，所以

P

在

B

的右側，

x > 7

。這時

2 (x + 3) = 3 (x - 7)

，

2 x + 6 = 3 x - 21

，

x = 27

。驗算：

\overline{A P} = 30

，

\overline{B P} = 20

，比是

3 : 2

。

另一個解

x = 3

是內分點（在

A

、

B

之間），題目指定在線段外，所以不取。

第 14 題分成兩種情形。

2 x - 1 \geq 0

時：

1 \leq 2 x - 1 < 5

，

2 \leq 2 x < 6

，

1 \leq x < 3

。

2 x - 1 < 0

時：

1 \leq - (2 x - 1) < 5

，也就是

- 5 < 2 x - 1 \leq - 1

，

- 4 < 2 x \leq 0

，

- 2 < x \leq 0

。合起來是

- 2 < x \leq 0

或

1 \leq x < 3

。

左邊是

\leq

、右邊是

<

，端點有沒有等號要分清楚：

x = 0

、

x = 1

有包含，

x = - 2

、

x = 3

不包含。

第 15 題分三段算。

(3^{2})^{2} = 3^{2 \times 2} = 3^{2} = 9

。

2 7^{\frac{2}{3}} = (3^{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{2} = 9

。

\frac{( 3 ^{\frac{1}{2}} ) ^{3}}{3 ^{\frac{1}{2}}} = 3^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = 3^{1} = 3

。相乘：

9 \times 9 \times 3 = 243

（就是

3^{5}

）。

第 16 題設原來 A、B 的質量是

3 k

、

5 k

。

30

天是 A 的

2

個半衰期，A 剩下

3 k \times (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4} k

。

30

天是 B 的

3

個半衰期，B 剩下

5 k \times (\frac{1}{2})^{3} = \frac{5}{8} k

。質量比是

\frac{3}{4} : \frac{5}{8} = 6 : 5

。

兩個元素經過的半衰期個數不同（

2

個和

3

個），要分別算。

第 17 題解

- 1 \leq x \leq 5

的中點是

2

，端點到中點的距離是

3

，所以它就是

∣ x - 2∣ \leq 3

。和

∣ a x + 3∣ \leq b

對照：兩邊同乘以

\frac{3}{2}

得

\frac{3}{2} x - 3 \leq \frac{9}{2}

，也就是

- \frac{3}{2} x + 3 \leq \frac{9}{2}

。常數項要是

+ 3

，所以

a = - \frac{3}{2}

，

b = \frac{9}{2}

，

a + b = 3

。驗算：

x = - 1

時

\frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}

，

x = 5

時

- \frac{15}{2} + 3 = \frac{9}{2}

。

絕對值裡面整個變號不影響大小，要配合題目的「

+ 3

」決定

a

的正負。

第 18 題把

d = 80

代入：

80 = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

，

lo g \frac{I}{I _{0}} = 8

，由

lo g

的意義得

\frac{I}{I _{0}} = 1 0^{8}

。所以

I = 1 0^{8} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 4}

（

W / m^{2}

）。

原卷參考答案寫

1 0^{- 4}

或

\frac{1}{10000}

，兩者相同。

絕對值不等式

∣ x - c ∣ \leq r

的解是以

c

為中點、左右各

r

的區間；反過來，看到解的區間就先找中點和半徑。

05填充 19～22：算幾不等式、位數與絕對值和的最小值

第 19 題設

\overline{A B} = x

公尺、

\overline{B C} = y

公尺。籬笆圍

\overline{A B}

、

\overline{A D}

、

\overline{D C}

三邊，以及

\overline{B C}

邊扣掉

4

公尺出入口的部分，所以

x + y + x + (y - 4) = 56

，

x + y = 30

。由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y

，得

x y \leq 15

，

x y \leq 225

。等號在

x = y = 15

時成立（這時

\overline{B C} = 15 > 4

，留得出出入口），所以面積最大值是

225

平方公尺。

出入口不用籬笆，所以矩形的周長是

56 + 4 = 60

公尺，不是

56

公尺。

第 20 題先算

3^{1141021}

的位數：

lo g 3^{1141021} = 1141021 \times 0.4771 = 544381.1191

，所以

1 0^{544381} < 3^{1141021} < 1 0^{544382}

，是

544382

位數。

3^{1141021}

不是

10

的整數次方，減

1

之後仍然不小於

1 0^{544381}

，位數不變。

544382 \div 2000 = 272

餘

382

，前

272

張印滿後還剩

382

個數字，要再一張，共

273

張。

乘法分段算：

1141021 \times 0.4 = 456408.4

，

\times 0.07 = 79871.47

，

\times 0.007 = 7987.147

，

\times 0.0001 = 114.1021

，加起來是

544381.1191

。有餘數就要多準備一張紙。題目給的

lo g 3

只有四位小數，用更精確的值算，實際位數是

544406

，同樣需要

273

張。

第 21 題頭尾兩兩配對。

∣ x - 1∣ + ∣ x - 2025∣

是

x

到

1

和到

2025

的距離和，最小是

2024

（

x

在

1

和

2025

之間時）；同理

∣ x - 2∣ + ∣ x - 2024∣ \geq 2022

，……，

∣ x - 1012∣ + ∣ x - 1014∣ \geq 2

；中間剩下的

∣ x - 1013∣ \geq 0

。當

x = 1013

時每一個等號同時成立，所以最小值是

2024 + 2022 + \dots + 2 + 0 = 2 \times (1 + 2 + \dots + 1012) = 2 \times \frac{1012 \times 1013}{2} = 1012 \times 1013 = 1025156

。

絕對值有奇數個（

2025

個）時，最小值發生在正中間那一個數，也就是第

1013

個數

x = 1013

。

第 22 題把條件配成乘積：

(x - 4) (y - 3) = x y - 3 x - 4 y + 12 = 4 + 12 = 16

。因為

x > 4

、

y > 3

，

x - 4

和

y - 3

都是正數，由算幾不等式

\frac{( x - 4 ) + ( y - 3 )}{2} \geq (x - 4) (y - 3) = 4

，得

x + y - 7 \geq 8

，

x + y \geq 15

。等號在

x - 4 = y - 3 = 4

，也就是

x = 8

、

y = 7

時成立（代回

56 - 24 - 28 = 4

，符合），所以最小值是

15

。

條件

x > 4

、

y > 3

就是在提示要用

x - 4

和

y - 3

這兩個正數。

用算幾不等式求極值，先找出「和是定值」或「積是定值」的兩個正數，最後一定要檢查等號成立的條件是否做得到。

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03填充 8～12：因式分解、有效數字、雙重根號與求值

04填充 13～18：外分點、絕對值不等式、指數律、半衰期與分貝

05填充 19～22：算幾不等式、位數與絕對值和的最小值

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