段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、指數、常用對數）

中正高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、填充題 12 題（72 分）；本頁收錄的兩大題合計 92 分

一、單選題（占 20 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題 5 分。

a = 32

，

b = 23

，

c = 4

，

d = 14

，

e = 15

這五個數何者最大？

(1) $a$
(2) $b$
(3) $c$
(4) $d$
(5) $e$

若

lo g a = 4.5

，則

a

最接近下列哪一個數字？（已知

lo g 2 = 0.3010

，

lo g 3 = 0.4771

，

lo g 4 = 0.6020

）

(1) $90000$
(2) $20000$
(3) $50000$
(4) $30000$
(5) $40000$

實數中

φ = \frac{1 + 5}{2}

是一個特殊的數字（

φ

讀作 “phi”），試計算

φ^{2} - \frac{1}{φ} =

？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $3$
(5) $φ$

設

a

，

b

，

c

都是實數。請問下列敘述何者正確？

(1) 若 $a > b$ ，則 $a c > b c$
(2) $a^{2} = ∣ a ∣$
(3) $\frac{a + b}{2} \geq ab$
(4) 若 $a$ ， $b$ 是無理數，則 $a + b$ 一定也是無理數
(5) 若 $∣ a ∣ > ∣ b ∣$ ，則 $a > b$

二、填充題（占 72 分）說明：第 5 題至第 16 題，每題 6 分。

將分數

\frac{3}{7}

化成小數，求小數點後第

2025

位的數字是 ____。

試比較

a = 5 - 4

，

b = 6 - 5

兩實數的大小關係為 ____。（填

a > b

，

a = b

，

a < b

）

設

A (4. \overline{6})

，

B (5. \overline{6})

為數線上兩點，

P

為數線上的一點，且

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 3

，若

P

點不介於

A

，

B

之間，則

P

點坐標為何？ ____。

若

x

為整數，且滿足

∣2 x - 1∣ \leq x + 3

，試求

x

共有多少個？ ____。

實數

11 + 62

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，試求

\frac{1}{b} + \frac{7}{a + b}

的值。 ____。

設

∣ x - 1∣ + ∣ x - 2∣ = 4

，則

x =

____。（兩解）

已知

x + x^{- 1} = 5

，求

x^{3} + x^{- 3} =

____。

(3 + 1)^{- 4} \times (3 - 1)^{- 3} = \frac{3 - 1}{a}

，求

a =

____。

設

x

、

y

為實數，若

(25.7)^{x} = 1000

，

(0.0257)^{y} = 1000

，則

\frac{1}{x} - \frac{1}{y} =

____。

1 0^{l o g 2 + l o g 5} + 1 0^{l o g 3 + l o g 6} + 1 0^{l o g 6 - l o g 2} + 1 0^{l o g 8 - l o g 2} =

____。

設

p

、

q

、

r

為正數，已知

p^{4} = q^{- 3}

，

q^{9} = r^{- 8}

，

r^{2} = 5^{9}

，試求

p =

____。

若

a

，

b

為正數，已知

lo g a = 4.8

，

lo g b = 2.5

，試問

ab

的整數部分為幾位數？ ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(4)

第 3 題(3)

第 4 題(2)

第 5 題

8

第 6 題

a > b

第 7 題

\frac{8}{3}

第 8 題

5

第 9 題

4

第 10 題

- \frac{1}{2}

或

\frac{7}{2}

第 11 題

110

第 12 題

16

第 13 題

1

第 14 題

35

第 15 題

125

第 16 題

8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：根式比大小、log 估計、根式運算與實數的性質

第 1 題五個數都是正數，全部寫成一個根號再比根號裡的數：

a = 32 = 18

，

b = 23 = 12

，

c = 4 = 16

，

d = 14

，

e = 15

。根號裡最大的是

18

，所以

a

最大，選 (1)。

由大到小是

a > c > e > d > b

。

第 2 題

lo g a = 4.5

表示

a = 1 0^{4.5} = 1 0^{0.5} \times 1 0^{4}

。由

lo g 3 = 0.4771 < 0.5 < 0.6020 = lo g 4

知

3 < 1 0^{0.5} < 4

，所以

30000 < a < 40000

。再看靠近哪一邊：

1 0^{0.5} = 10

，而

3. 5^{2} = 12.25 > 10

，所以

10 < 3.5

，

a < 35000

，比較接近

30000

，選 (4)。

實際上

10 \approx 3.162

，

a \approx 31623

。「最接近」是比

a

本身和各選項的差，所以要確認

a

在

35000

的哪一邊。

第 3 題

φ^{2} = \frac{( 1 + 5 ) ^{2}}{4} = \frac{6 + 2 5}{4} = \frac{3 + 5}{2}

。

\frac{1}{φ} = \frac{2}{5 + 1} = \frac{2 ( 5 - 1 )}{( 5 + 1 ) ( 5 - 1 )} = \frac{2 ( 5 - 1 )}{4} = \frac{5 - 1}{2}

。相減：

\frac{3 + 5}{2} - \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2

，選 (3)。

這個數滿足

φ^{2} = φ + 1

、

\frac{1}{φ} = φ - 1

，所以

φ^{2} - \frac{1}{φ} = (φ + 1) - (φ - 1) = 2

。

第 4 題(1) 錯：

c \leq 0

時不成立，例如

a = 2

、

b = 1

、

c = - 1

，

a c = - 2 < b c = - 1

。(2) 對：

a \geq 0

時

a^{2} = a

，

a < 0

時

a^{2} = - a

，兩種情形都等於

∣ a ∣

。(3) 錯：算幾不等式要

a

、

b

都不是負數才成立，例如

a = b = - 1

時左邊是

- 1

、右邊是

1

。(4) 錯：

2 + (- 2) = 0

是有理數。(5) 錯：

a = - 2

、

b = 1

時

∣ a ∣ > ∣ b ∣

但

a < b

。選 (2)。

題目只說

a

、

b

、

c

是實數，沒有說是正數，每個選項都要把負數和

0

代進去試。

02填充 5～10：循環小數、根式、絕對值與數線

第 5 題用直式除法得

\frac{3}{7} = 0. \overline{428571}

，循環節是

428571

共

6

位。

2025 = 6 \times 337 + 3

，所以第

2025

位和循環節的第

3

位相同，是

8

。

餘數是

3

就看循環節第

3

位；如果整除，要看循環節的最後一位。

第 6 題把兩數的分子有理化：

a = 5 - 4 = \frac{( 5 - 4 ) ( 5 + 4 )}{5 + 4} = \frac{1}{5 + 4}

，同理

b = \frac{1}{6 + 5}

。兩個分子都是

1

，分母

5 + 4 < 6 + 5

，分母小的分數比較大，所以

a > b

。

數值檢查：

a \approx 2.236 - 2 = 0.236

，

b \approx 2.449 - 2.236 = 0.213

。

第 7 題先把循環小數化成分數：

0. \overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

，所以

A

的坐標是

4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}

，

B

的坐標是

\frac{17}{3}

，

\overline{A B} = 1

。

P

不在

A

、

B

之間，又

\overline{P A} < \overline{P B}

，所以

P

在

A

的左邊。設

\overline{P A} = 2 k

、

\overline{P B} = 3 k

，則

\overline{A B} = \overline{P B} - \overline{P A} = k = 1

，

\overline{P A} = 2

。

P

的坐標是

\frac{14}{3} - 2 = \frac{8}{3}

。

驗算：

\overline{P A} = \frac{14}{3} - \frac{8}{3} = 2

，

\overline{P B} = \frac{17}{3} - \frac{8}{3} = 3

。

P

離

A

比較近，所以在

A

那一側的外面，不是

B

的右邊。

第 8 題

∣2 x - 1∣ \leq x + 3

等於

- (x + 3) \leq 2 x - 1 \leq x + 3

。左半

- x - 3 \leq 2 x - 1

得

x \geq - \frac{2}{3}

；右半

2 x - 1 \leq x + 3

得

x \leq 4

。解是

- \frac{2}{3} \leq x \leq 4

，其中的整數是

0, 1, 2, 3, 4

，共

5

個。

右邊是

x + 3

不是常數，要拆成兩個不等式分別解。在解的範圍內

x + 3 > 0

，拆開的做法沒有問題。

第 9 題

11 + 62 = 11 + 218

，找兩數和

11

、積

18

：

9

和

2

，所以

11 + 62 = 9 + 2 = 3 + 2

。

1 < 2 < 2

，所以它介於

4

和

5

之間，

a = 4

，

b = 3 + 2 - 4 = 2 - 1

。

\frac{1}{b} = \frac{1}{2 - 1} = 2 + 1

；

\frac{7}{a + b} = \frac{7}{3 + 2} = \frac{7 ( 3 - 2 )}{9 - 2} = 3 - 2

。相加得

(2 + 1) + (3 - 2) = 4

。

a + b

就是原來的數

3 + 2

，不必把

a

、

b

分開代。

第 10 題依

x

和

1

、

2

的大小分三段。

x < 1

時，

(1 - x) + (2 - x) = 4

，

x = - \frac{1}{2}

，符合

x < 1

。

1 \leq x \leq 2

時，

(x - 1) + (2 - x) = 1 \neq = 4

，沒有解。

x > 2

時，

(x - 1) + (x - 2) = 4

，

x = \frac{7}{2}

，符合

x > 2

。所以

x = - \frac{1}{2}

或

\frac{7}{2}

。

從數線看：

∣ x - 1∣ + ∣ x - 2∣

是

x

到

1

和到

2

的距離和，在

1

、

2

之間恆為

1

；要等於

4

就得往外各多走

\frac{3}{2}

，得

1 - \frac{3}{2}

和

2 + \frac{3}{2}

。

含絕對值的式子，不等號另一邊是常數或一次式時拆成兩個不等式；有兩個絕對值相加時依絕對值裡面為

0

的點分段。

03填充 11～16：指數律與常用對數

第 11 題由乘法公式

(x + x^{- 1})^{3} = x^{3} + 3 x + 3 x^{- 1} + x^{- 3} = x^{3} + x^{- 3} + 3 (x + x^{- 1})

，所以

x^{3} + x^{- 3} = 5^{3} - 3 \times 5 = 125 - 15 = 110

。

展開時中間兩項是

3 x^{2} \cdot x^{- 1} = 3 x

和

3 x \cdot x^{- 2} = 3 x^{- 1}

，合起來是

3 (x + x^{- 1})

。

第 12 題把

(3 - 1)^{- 3}

寫成

(3 - 1)^{- 4} \times (3 - 1)

，則左式

= [(3 + 1) (3 - 1)]^{- 4} \times (3 - 1) = 2^{- 4} \times (3 - 1) = \frac{3 - 1}{16}

，所以

a = 16

。

兩個指數

- 4

和

- 3

不一樣，先湊成相同的指數，才能用

(3 + 1) (3 - 1) = 2

。

第 13 題

(25.7)^{x} = 1000

兩邊取

\frac{1}{x}

次方：

25.7 = 100 0^{\frac{1}{x}}

。同理

0.0257 = 100 0^{\frac{1}{y}}

。兩式相除：

\frac{25.7}{0.0257} = 100 0^{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}

，左邊等於

1000

，所以

100 0^{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = 100 0^{1}

，

\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1

。

25.7

和

0.0257

的數字相同、只差小數點位置，相除剛好是

1000

；

x

、

y

本身不必求出來。

第 14 題用指數律把每一項拆開，再用

1 0^{l o g k} = k

：

1 0^{l o g 2 + l o g 5} = 1 0^{l o g 2} \times 1 0^{l o g 5} = 2 \times 5 = 10

；

1 0^{l o g 3 + l o g 6} = 3 \times 6 = 18

；

1 0^{l o g 6 - l o g 2} = \frac{1 0 ^{l o g 6}}{1 0 ^{l o g 2}} = \frac{6}{2} = 3

；

1 0^{l o g 8 - l o g 2} = \frac{8}{2} = 4

。相加：

10 + 18 + 3 + 4 = 35

。

指數相加對應的是相乘、相減對應的是相除，不是

2 + 5

、

6 - 2

。

第 15 題從最後一式往回代，都寫成

5

的次方。

r^{2} = 5^{9}

，

r > 0

，所以

r = 5^{\frac{9}{2}}

。

q^{9} = r^{- 8} = 5^{\frac{9}{2} \times (- 8)} = 5^{- 36}

，

q > 0

，所以

q = 5^{- 4}

。

p^{4} = q^{- 3} = 5^{12}

，

p > 0

，所以

p = 5^{3} = 125

。

p

、

q

、

r

都是正數，開偶次方時只取正的那一個。

第 16 題

a = 1 0^{4.8}

，

b = 1 0^{2.5}

，所以

ab = 1 0^{4.8 + 2.5} = 1 0^{7.3}

，介於

1 0^{7}

和

1 0^{8}

之間。

1 0^{7}

是

8

位數，所以

ab

的整數部分是

8

位數。

指數的整數部分是

7

，位數要再加

1

。

指數求值題把每個數都寫成同一個底數的次方；看到

1 0^{l o g k}

就換成

k

，看到

lo g N = n . \dots

就知道

N

的整數部分是

n + 1

位數。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

中正高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

中正高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要確認 a 在三萬五千的哪一邊才知道比較接近三萬；第 7 題要先把循環小數化成分數，而且 P 在 A 的左側外面，不是 B 的右邊；第 12 題兩個指數不同，要先湊成相同的指數才能合併；第 13 題要把兩個式子都改寫成 1000 的次方再相除。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自中正高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、指數、常用對數）

中正高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、填充題 12 題（72 分）；本頁收錄的兩大題合計 92 分

一、單選題（占 20 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題 5 分。

a = 32

，

b = 23

，

c = 4

，

d = 14

，

e = 15

這五個數何者最大？

(1) $a$
(2) $b$
(3) $c$
(4) $d$
(5) $e$

若

lo g a = 4.5

，則

a

最接近下列哪一個數字？（已知

lo g 2 = 0.3010

，

lo g 3 = 0.4771

，

lo g 4 = 0.6020

）

(1) $90000$
(2) $20000$
(3) $50000$
(4) $30000$
(5) $40000$

實數中

φ = \frac{1 + 5}{2}

是一個特殊的數字（

φ

讀作 “phi”），試計算

φ^{2} - \frac{1}{φ} =

？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $3$
(5) $φ$

設

a

，

b

，

c

都是實數。請問下列敘述何者正確？

(1) 若 $a > b$ ，則 $a c > b c$
(2) $a^{2} = ∣ a ∣$
(3) $\frac{a + b}{2} \geq ab$
(4) 若 $a$ ， $b$ 是無理數，則 $a + b$ 一定也是無理數
(5) 若 $∣ a ∣ > ∣ b ∣$ ，則 $a > b$

二、填充題（占 72 分）說明：第 5 題至第 16 題，每題 6 分。

將分數

\frac{3}{7}

化成小數，求小數點後第

2025

位的數字是 ____。

試比較

a = 5 - 4

，

b = 6 - 5

兩實數的大小關係為 ____。（填

a > b

，

a = b

，

a < b

）

設

A (4. \overline{6})

，

B (5. \overline{6})

為數線上兩點，

P

為數線上的一點，且

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 3

，若

P

點不介於

A

，

B

之間，則

P

點坐標為何？ ____。

若

x

為整數，且滿足

∣2 x - 1∣ \leq x + 3

，試求

x

共有多少個？ ____。

實數

11 + 62

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，試求

\frac{1}{b} + \frac{7}{a + b}

的值。 ____。

設

∣ x - 1∣ + ∣ x - 2∣ = 4

，則

x =

____。（兩解）

已知

x + x^{- 1} = 5

，求

x^{3} + x^{- 3} =

____。

(3 + 1)^{- 4} \times (3 - 1)^{- 3} = \frac{3 - 1}{a}

，求

a =

____。

設

x

、

y

為實數，若

(25.7)^{x} = 1000

，

(0.0257)^{y} = 1000

，則

\frac{1}{x} - \frac{1}{y} =

____。

1 0^{l o g 2 + l o g 5} + 1 0^{l o g 3 + l o g 6} + 1 0^{l o g 6 - l o g 2} + 1 0^{l o g 8 - l o g 2} =

____。

設

p

、

q

、

r

為正數，已知

p^{4} = q^{- 3}

，

q^{9} = r^{- 8}

，

r^{2} = 5^{9}

，試求

p =

____。

若

a

，

b

為正數，已知

lo g a = 4.8

，

lo g b = 2.5

，試問

ab

的整數部分為幾位數？ ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(4)

第 3 題(3)

第 4 題(2)

第 5 題

8

第 6 題

a > b

第 7 題

\frac{8}{3}

第 8 題

5

第 9 題

4

第 10 題

- \frac{1}{2}

或

\frac{7}{2}

第 11 題

110

第 12 題

16

第 13 題

1

第 14 題

35

第 15 題

125

第 16 題

8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：根式比大小、log 估計、根式運算與實數的性質

第 1 題五個數都是正數，全部寫成一個根號再比根號裡的數：

a = 32 = 18

，

b = 23 = 12

，

c = 4 = 16

，

d = 14

，

e = 15

。根號裡最大的是

18

，所以

a

最大，選 (1)。

由大到小是

a > c > e > d > b

。

第 2 題

lo g a = 4.5

表示

a = 1 0^{4.5} = 1 0^{0.5} \times 1 0^{4}

。由

lo g 3 = 0.4771 < 0.5 < 0.6020 = lo g 4

知

3 < 1 0^{0.5} < 4

，所以

30000 < a < 40000

。再看靠近哪一邊：

1 0^{0.5} = 10

，而

3. 5^{2} = 12.25 > 10

，所以

10 < 3.5

，

a < 35000

，比較接近

30000

，選 (4)。

實際上

10 \approx 3.162

，

a \approx 31623

。「最接近」是比

a

本身和各選項的差，所以要確認

a

在

35000

的哪一邊。

第 3 題

φ^{2} = \frac{( 1 + 5 ) ^{2}}{4} = \frac{6 + 2 5}{4} = \frac{3 + 5}{2}

。

\frac{1}{φ} = \frac{2}{5 + 1} = \frac{2 ( 5 - 1 )}{( 5 + 1 ) ( 5 - 1 )} = \frac{2 ( 5 - 1 )}{4} = \frac{5 - 1}{2}

。相減：

\frac{3 + 5}{2} - \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2

，選 (3)。

這個數滿足

φ^{2} = φ + 1

、

\frac{1}{φ} = φ - 1

，所以

φ^{2} - \frac{1}{φ} = (φ + 1) - (φ - 1) = 2

。

第 4 題(1) 錯：

c \leq 0

時不成立，例如

a = 2

、

b = 1

、

c = - 1

，

a c = - 2 < b c = - 1

。(2) 對：

a \geq 0

時

a^{2} = a

，

a < 0

時

a^{2} = - a

，兩種情形都等於

∣ a ∣

。(3) 錯：算幾不等式要

a

、

b

都不是負數才成立，例如

a = b = - 1

時左邊是

- 1

、右邊是

1

。(4) 錯：

2 + (- 2) = 0

是有理數。(5) 錯：

a = - 2

、

b = 1

時

∣ a ∣ > ∣ b ∣

但

a < b

。選 (2)。

題目只說

a

、

b

、

c

是實數，沒有說是正數，每個選項都要把負數和

0

代進去試。

02填充 5～10：循環小數、根式、絕對值與數線

第 5 題用直式除法得

\frac{3}{7} = 0. \overline{428571}

，循環節是

428571

共

6

位。

2025 = 6 \times 337 + 3

，所以第

2025

位和循環節的第

3

位相同，是

8

。

餘數是

3

就看循環節第

3

位；如果整除，要看循環節的最後一位。

第 6 題把兩數的分子有理化：

a = 5 - 4 = \frac{( 5 - 4 ) ( 5 + 4 )}{5 + 4} = \frac{1}{5 + 4}

，同理

b = \frac{1}{6 + 5}

。兩個分子都是

1

，分母

5 + 4 < 6 + 5

，分母小的分數比較大，所以

a > b

。

數值檢查：

a \approx 2.236 - 2 = 0.236

，

b \approx 2.449 - 2.236 = 0.213

。

第 7 題先把循環小數化成分數：

0. \overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

，所以

A

的坐標是

4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}

，

B

的坐標是

\frac{17}{3}

，

\overline{A B} = 1

。

P

不在

A

、

B

之間，又

\overline{P A} < \overline{P B}

，所以

P

在

A

的左邊。設

\overline{P A} = 2 k

、

\overline{P B} = 3 k

，則

\overline{A B} = \overline{P B} - \overline{P A} = k = 1

，

\overline{P A} = 2

。

P

的坐標是

\frac{14}{3} - 2 = \frac{8}{3}

。

驗算：

\overline{P A} = \frac{14}{3} - \frac{8}{3} = 2

，

\overline{P B} = \frac{17}{3} - \frac{8}{3} = 3

。

P

離

A

比較近，所以在

A

那一側的外面，不是

B

的右邊。

第 8 題

∣2 x - 1∣ \leq x + 3

等於

- (x + 3) \leq 2 x - 1 \leq x + 3

。左半

- x - 3 \leq 2 x - 1

得

x \geq - \frac{2}{3}

；右半

2 x - 1 \leq x + 3

得

x \leq 4

。解是

- \frac{2}{3} \leq x \leq 4

，其中的整數是

0, 1, 2, 3, 4

，共

5

個。

右邊是

x + 3

不是常數，要拆成兩個不等式分別解。在解的範圍內

x + 3 > 0

，拆開的做法沒有問題。

第 9 題

11 + 62 = 11 + 218

，找兩數和

11

、積

18

：

9

和

2

，所以

11 + 62 = 9 + 2 = 3 + 2

。

1 < 2 < 2

，所以它介於

4

和

5

之間，

a = 4

，

b = 3 + 2 - 4 = 2 - 1

。

\frac{1}{b} = \frac{1}{2 - 1} = 2 + 1

；

\frac{7}{a + b} = \frac{7}{3 + 2} = \frac{7 ( 3 - 2 )}{9 - 2} = 3 - 2

。相加得

(2 + 1) + (3 - 2) = 4

。

a + b

就是原來的數

3 + 2

，不必把

a

、

b

分開代。

第 10 題依

x

和

1

、

2

的大小分三段。

x < 1

時，

(1 - x) + (2 - x) = 4

，

x = - \frac{1}{2}

，符合

x < 1

。

1 \leq x \leq 2

時，

(x - 1) + (2 - x) = 1 \neq = 4

，沒有解。

x > 2

時，

(x - 1) + (x - 2) = 4

，

x = \frac{7}{2}

，符合

x > 2

。所以

x = - \frac{1}{2}

或

\frac{7}{2}

。

從數線看：

∣ x - 1∣ + ∣ x - 2∣

是

x

到

1

和到

2

的距離和，在

1

、

2

之間恆為

1

；要等於

4

就得往外各多走

\frac{3}{2}

，得

1 - \frac{3}{2}

和

2 + \frac{3}{2}

。

含絕對值的式子，不等號另一邊是常數或一次式時拆成兩個不等式；有兩個絕對值相加時依絕對值裡面為

0

的點分段。

03填充 11～16：指數律與常用對數

第 11 題由乘法公式

(x + x^{- 1})^{3} = x^{3} + 3 x + 3 x^{- 1} + x^{- 3} = x^{3} + x^{- 3} + 3 (x + x^{- 1})

，所以

x^{3} + x^{- 3} = 5^{3} - 3 \times 5 = 125 - 15 = 110

。

展開時中間兩項是

3 x^{2} \cdot x^{- 1} = 3 x

和

3 x \cdot x^{- 2} = 3 x^{- 1}

，合起來是

3 (x + x^{- 1})

。

第 12 題把

(3 - 1)^{- 3}

寫成

(3 - 1)^{- 4} \times (3 - 1)

，則左式

= [(3 + 1) (3 - 1)]^{- 4} \times (3 - 1) = 2^{- 4} \times (3 - 1) = \frac{3 - 1}{16}

，所以

a = 16

。

兩個指數

- 4

和

- 3

不一樣，先湊成相同的指數，才能用

(3 + 1) (3 - 1) = 2

。

第 13 題

(25.7)^{x} = 1000

兩邊取

\frac{1}{x}

次方：

25.7 = 100 0^{\frac{1}{x}}

。同理

0.0257 = 100 0^{\frac{1}{y}}

。兩式相除：

\frac{25.7}{0.0257} = 100 0^{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}

，左邊等於

1000

，所以

100 0^{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = 100 0^{1}

，

\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1

。

25.7

和

0.0257

的數字相同、只差小數點位置，相除剛好是

1000

；

x

、

y

本身不必求出來。

第 14 題用指數律把每一項拆開，再用

1 0^{l o g k} = k

：

1 0^{l o g 2 + l o g 5} = 1 0^{l o g 2} \times 1 0^{l o g 5} = 2 \times 5 = 10

；

1 0^{l o g 3 + l o g 6} = 3 \times 6 = 18

；

1 0^{l o g 6 - l o g 2} = \frac{1 0 ^{l o g 6}}{1 0 ^{l o g 2}} = \frac{6}{2} = 3

；

1 0^{l o g 8 - l o g 2} = \frac{8}{2} = 4

。相加：

10 + 18 + 3 + 4 = 35

。

指數相加對應的是相乘、相減對應的是相除，不是

2 + 5

、

6 - 2

。

第 15 題從最後一式往回代，都寫成

5

的次方。

r^{2} = 5^{9}

，

r > 0

，所以

r = 5^{\frac{9}{2}}

。

q^{9} = r^{- 8} = 5^{\frac{9}{2} \times (- 8)} = 5^{- 36}

，

q > 0

，所以

q = 5^{- 4}

。

p^{4} = q^{- 3} = 5^{12}

，

p > 0

，所以

p = 5^{3} = 125

。

p

、

q

、

r

都是正數，開偶次方時只取正的那一個。

第 16 題

a = 1 0^{4.8}

，

b = 1 0^{2.5}

，所以

ab = 1 0^{4.8 + 2.5} = 1 0^{7.3}

，介於

1 0^{7}

和

1 0^{8}

之間。

1 0^{7}

是

8

位數，所以

ab

的整數部分是

8

位數。

指數的整數部分是

7

，位數要再加

1

。

指數求值題把每個數都寫成同一個底數的次方；看到

1 0^{l o g k}

就換成

k

，看到

lo g N = n . \dots

就知道

N

的整數部分是

n + 1

位數。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

中正高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

中正高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自中正高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

中正高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：根式比大小、log 估計、根式運算與實數的性質

02填充 5～10：循環小數、根式、絕對值與數線

03填充 11～16：指數律與常用對數

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

中正高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

中正高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

中正高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：根式比大小、log 估計、根式運算與實數的性質

02填充 5～10：循環小數、根式、絕對值與數線

03填充 11～16：指數律與常用對數

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

中正高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

中正高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

中正高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：根式比大小、log 估計、根式運算與實數的性質

02填充 5～10：循環小數、根式、絕對值與數線

03填充 11～16：指數律與常用對數

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

中正高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

中正高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

中正高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：根式比大小、log 估計、根式運算與實數的性質

02填充 5～10：循環小數、根式、絕對值與數線

03填充 11～16：指數律與常用對數

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

中正高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

中正高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

中正高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

中正高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

中正高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

中正高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

中正高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

中正高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？