段考詳解範圍：數與式、直線方程式（實數與根式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數、直線的斜率與方程式）

家齊高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

多重選擇題 5 題（25 分）、填充題 11 題共 13 格（75 分）

一、多重選擇題（一題 5 分，共 25 分，錯一個選項扣 2 分，扣到該題 0 分為止）

下列哪些可以化成有限小數？

(A) $\frac{6733}{125}$
(B) $\frac{235}{128}$
(C) $\frac{91}{35}$
(D) $\frac{49}{256}$
(E) $\frac{36}{102}$

下列選項中的大小關係，哪些是正確的？

(A) $2023 + 2025 \geq 2022 + 2026$
(B) $\frac{5 + 4 7}{9} > \frac{3 + 4 7}{7}$
(C) $0. \overline{67} \geq \frac{4}{9}$
(D) $\frac{2 ^{10} + 3 ^{10}}{2} \geq 6^{5}$
(E) $5^{\frac{2}{5}} \geq 3^{\frac{2}{3}}$

已知

a > 0

，

a^{x} + a^{- x}

不可能為下列哪些數值？

(A) $1$
(B) $3$
(C) $2$
(D) $\frac{21}{5}$
(E) $3.14$

若

x

為實數且

∣ x + 3∣ + ∣ x - 17∣ = k

解有

3

個以上，

k

可能為下列哪一個選項？

(A) $3$
(B) $17$
(C) $20$
(D) $23$
(E) 無解

下列哪些敘述是正確的？

(A) 若 $a$ 是正的有理數，且 $b$ 是無理數，則 $ab$ 是無理數
(B) 若 $a$ 、 $b$ 為實數， $a + b 5 = 3 - 25$ ，則 $a + b = 1$
(C) 若 $a \neq = 0$ 且 $a^{4}$ 、 $a^{7}$ 是有理數，則 $a^{5}$ 是有理數
(D) 若 $3 a + 2 b$ 是無理數，且 $3 a + b$ 是無理數，則 $b$ 是無理數
(E) 若 $3 a + 2 b$ 是有理數，且 $a - b$ 是有理數，則 $b$ 是有理數

二、填充題（一格 6 分，最後 1 格 3 分，共 75 分）（本頁第 6～18 題依序為填充第 1、2、3、4(1)、4(2)、5、6、7、8 第一格、8 第二格、9、10、11 題）

求通過定點

(3, - 4)

且斜率為

- 3

的直線方程式＝ ____。

求出

11 - 72

的小數部分＝ ____。

將分數

\frac{12}{7}

化成小數之後，設小數點後第

n

位的數字記為

f (n)

，求

f (2025) =

____。

填充第 4 題（第 9～10 題）　已知

a > 0

，

3 (a^{x} + a^{- x})^{2} - 17 (a^{x} + a^{- x}) + 20 = 0

，求下列各式的值。

(1)

a^{x} + a^{- x} =

____。

(2)

a^{3 x} + a^{- 3 x} =

____。

試估算

3^{- 100}

小數點後第 ____ 位開始出現不為

0

的數字。（

lo g 3 \approx 0.4771

）

不等式

∣ a x - 3∣ \geq b

的解為

x \geq 3

或

x \leq - 5

，則

a =

____。

設

a

為

0 \sim 9

的整數，且

\frac{21}{90} < 0.2 \overline{a 4} < \frac{25}{90}

，求

a =

____。

填充第 8 題（第 14～15 題）　已知一直線

L

通過定點

(3, 4)

且與坐標軸在第一象限圍成一個三角形。

試求三角形面積最小值＝ ____。

此時直線

L

的方程式＝ ____。

解不等式

∣ x + 1∣ + ∣2 x - 4∣ > 9

，

x

的範圍＝ ____。

設

a

是正實數，

a

的小數部分是

b

，且

a^{2} + b^{2} = 28

，則

a =

____。

已知

m

、

n \geq 0

且

m

、

n

皆為整數，試求滿足

m^{3} + n^{3} + 39 mn - 1 3^{3} = 0

的數對

(m, n)

有 ____ 組。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(D)

第 2 題(A)(C)(D)

第 3 題(A)(B)

第 4 題(C)

第 5 題(A)(C)(E)

第 6 題

3 x + y = 5

第 7 題

2 - 2

第 8 題

4

第 9 題

4

第 10 題

52

第 11 題

48

第 12 題

- 3

第 13 題

3

、

4

、

5

、

6

、

7

第 14 題

24

第 15 題

4 x + 3 y = 24

第 16 題

x < - 2

或

x > 4

第 17 題

\frac{5 + 31}{2}

第 18 題

14

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇 1～5：有限小數、比大小、算幾不等式、絕對值、有理數與無理數

第 1 題答案 (A)(B)(C)(D)。分數約到最簡後，分母的質因數只有

2

或

5

才能化成有限小數。(A) 分母

125 = 5^{3}

，可以。(B) 分母

128 = 2^{7}

，可以。(C)

\frac{91}{35} = \frac{13}{5}

，可以。(D)

\frac{49}{256} = \frac{7}{16}

，分母

16 = 2^{4}

，可以。(E)

\frac{36}{102} = \frac{6}{17}

，分母有質因數

17

，是循環小數。

要先約到最簡再看分母：(C) 的

35

有因數

7

，但和分子約掉了。

第 2 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：兩邊都是正數，比平方。左邊平方是

4048 + 2 2023 \times 2025 = 4048 + 2 202 4^{2} - 1

，右邊平方是

4048 + 2 2022 \times 2026 = 4048 + 2 202 4^{2} - 4

，左邊較大。(B) 錯：兩邊同乘以

63

，左邊是

7 (5 + 47) = 35 + 287

，右邊是

9 (3 + 47) = 27 + 367

，左減右是

8 - 87 < 0

，所以左邊較小。(C) 對：

0. \overline{67} = \frac{67}{99}

，

\frac{4}{9} = \frac{2}{3} = \frac{66}{99}

。(D) 對：由算幾不等式

\frac{2 ^{10} + 3 ^{10}}{2} \geq 2^{10} \times 3^{10} = 6^{5}

。(E) 錯：兩邊同取

15

次方，

(5^{\frac{2}{5}})^{15} = 5^{6} = 15625

，

(3^{\frac{2}{3}})^{15} = 3^{10} = 59049

，左邊較小。

(A) 用到

(n - 1) (n + 1) = n^{2} - 1

、

(n - 2) (n + 2) = n^{2} - 4

；(E) 的

15

是兩個指數分母

5

和

3

的最小公倍數。

第 3 題答案 (A)(B)。

a > 0

時

a^{x} > 0

、

a^{- x} > 0

，而且

a^{x} \times a^{- x} = 1

。由算幾不等式

\frac{a ^{x} + a ^{- x}}{2} \geq a^{x} \times a^{- x} = 1

，所以

a^{x} + a^{- x} \geq 2

。(A)

1 < 2

、(B)

3 \approx 1.73 < 2

，都不可能。(C)

x = 0

時就等於

2

。(D)

\frac{21}{5} = 4.2 > 2

、(E)

3.14 > 2

，都可能。

題目問的是「不可能」的數值，選的是小於

2

的選項。

第 4 題答案 (C)。

∣ x + 3∣ + ∣ x - 17∣

是數線上

x

到

- 3

的距離加上

x

到

17

的距離。

x

在

- 3

和

17

之間（含端點）時，距離和固定是

20

；

x

在這段之外時，距離和大於

20

。所以

k < 20

時無解，

k = 20

時

- 3 \leq x \leq 17

都是解（無限多個），

k > 20

時左右各一個、恰有

2

個解。解有

3

個以上只能是

k = 20

。

k = 23

時解是

x = - 4.5

和

x = 18.5

，只有

2

個。

第 5 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：如果

ab = r

是有理數，因為

a \neq = 0

，

b = \frac{r}{a}

是有理數，矛盾。(B) 錯：

a

、

b

只說是實數，不能比較係數；例如

a = 3 + 5

、

b = - 3

時

a + b 5 = 3 - 25

，但

a + b = 5

。(C) 對：

a^{3} = \frac{a ^{7}}{a ^{4}}

是有理數，

a = \frac{a ^{4}}{a ^{3}}

是有理數，所以

a^{5}

是有理數。(D) 錯：取

a = 2

、

b = 0

，

3 a + 2 b

和

3 a + b

都是

32

，但

b

是有理數。(E) 對：

(3 a + 2 b) - 3 (a - b) = 5 b

是有理數，所以

b

是有理數。

(B) 要有「

a

、

b

為有理數」才能得到

a = 3

、

b = - 2

。

02填充 1～3（第 6～8 題）：點斜式、雙重根號、循環小數

第 6 題由點斜式，

y - (- 4) = - 3 (x - 3)

，即

y + 4 = - 3 x + 9

，整理得

3 x + y = 5

。

寫成

3 x + y - 5 = 0

或

y = - 3 x + 5

是同一條直線。

第 7 題

72 = 218

，所以

11 - 72 = 11 - 218

。找兩數和

11

、積

18

：

9

和

2

，所以

11 - 72 = 9 - 2 = 3 - 2

。

1 < 2 < 2

，所以

1 < 3 - 2 < 2

，整數部分是

1

，小數部分是

(3 - 2) - 1 = 2 - 2

。

要先把

72

改寫成

218

，根號前面是

2

才能套「和、積」的做法。

第 8 題直式除法得

\frac{12}{7} = 1. \overline{714285}

，小數點後每

6

位循環一次，依序是

7, 1, 4, 2, 8, 5

。

2025 = 6 \times 337 + 3

，所以第

2025

位和第

3

位相同，

f (2025) = 4

。

03填充 4～5（第 9～11 題）：指數式求值與常用對數

第 9 題(1) 令

t = a^{x} + a^{- x}

，原式是

3 t^{2} - 17 t + 20 = 0

，分解成

(3 t - 5) (t - 4) = 0

，

t = \frac{5}{3}

或

t = 4

。由算幾不等式

t = a^{x} + a^{- x} \geq 2 a^{x} \times a^{- x} = 2

，

\frac{5}{3} < 2

不合，所以

a^{x} + a^{- x} = 4

。

兩個根不能都留，要用

a^{x} + a^{- x} \geq 2

去掉

\frac{5}{3}

。

第 10 題(2) 用

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)

，取

p = a^{x}

、

q = a^{- x}

，

pq = 1

：

a^{3 x} + a^{- 3 x} = 4^{3} - 3 \times 1 \times 4 = 64 - 12 = 52

。

第 11 題

lo g 3 \approx 0.4771

表示

3 \approx 1 0^{0.4771}

，所以

3^{- 100} \approx 1 0^{- 47.71} = 1 0^{0.29} \times 1 0^{- 48}

。

1 0^{0} < 1 0^{0.29} < 1 0^{1}

，也就是

1 0^{0.29}

是一個介於

1

和

10

之間的數，所以

3^{- 100}

寫成科學記號是

1. \dots \times 1 0^{- 48}

，小數點後第

48

位開始出現不為

0

的數字。

- 47.71

要拆成

- 48 + 0.29

（小數部分取正的），不是

- 47 - 0.71

。

N = c \times 1 0^{- n}

（

1 \leq c < 10

）時，

N

在小數點後第

n

位開始出現不為

0

的數字。

04填充 6～7（第 12～13 題）：絕對值不等式回推係數、循環小數化分數

第 12 題解是「

x \geq 3

或

x \leq - 5

」，兩個端點的中點是

- 1

，到中點的距離是

4

，所以解等於

∣ x + 1∣ \geq 4

。兩邊乘以

3

：

∣3 x + 3∣ \geq 12

，也就是

∣ - 3 x - 3∣ \geq 12

。和

∣ a x - 3∣ \geq b

對照，常數項要是

- 3

，所以

a = - 3

（這時

b = 12

）。

∣3 x + 3∣

和

∣ - 3 x - 3∣

相等，要配合題目的「

- 3

」選後者，所以

a

是負的。

第 13 題設

y = 0.2 \overline{a 4}

。

10 y = 2. \overline{a 4}

，

1000 y = 2 a 4. \overline{a 4}

（

2 a 4

表示三位數

200 + 10 a + 4

），相減得

990 y = (204 + 10 a) - 2 = 202 + 10 a

，

y = \frac{202 + 10 a}{990}

。又

\frac{21}{90} = \frac{231}{990}

、

\frac{25}{90} = \frac{275}{990}

，所以

231 < 202 + 10 a < 275

，

2.9 < a < 7.3

，

a = 3, 4, 5, 6, 7

。

循環節是

a 4

兩位，不循環的部分是

2

一位，所以分母是

990

。答案有五個，要全部寫出。

05填充 8～9（第 14～16 題）：截距式配算幾不等式、分段討論

第 14 題設

L

的

x

截距是

p

、

y

截距是

q

（在第一象限圍成三角形，所以

p > 0

、

q > 0

），

L

：

\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1

，三角形面積是

\frac{1}{2} pq

。

L

過

(3, 4)

，所以

\frac{3}{p} + \frac{4}{q} = 1

。由算幾不等式

\frac{\frac{3}{p} + \frac{4}{q}}{2} \geq \frac{3}{p} \times \frac{4}{q}

，即

\frac{1}{2} \geq \frac{12}{pq}

，兩邊平方得

\frac{1}{4} \geq \frac{12}{pq}

，

pq \geq 48

。所以面積

\frac{1}{2} pq \geq 24

，最小值是

24

。

算幾不等式用在

\frac{3}{p}

和

\frac{4}{q}

這兩個「和是定值

1

」的正數上，不是用在

p

和

q

上。

第 15 題等號在

\frac{3}{p} = \frac{4}{q} = \frac{1}{2}

時成立，也就是

p = 6

、

q = 8

。這時

L

：

\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1

，兩邊乘以

24

得

4 x + 3 y = 24

。驗算：

(3, 4)

代入

12 + 12 = 24

成立，面積

\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24

。

這時

(3, 4)

剛好是兩個截距點

(6, 0)

、

(0, 8)

的中點。

第 16 題絕對值裡面變號的地方是

x = - 1

和

x = 2

，分三段。①

x \geq 2

：

(x + 1) + (2 x - 4) > 9

，

3 x > 12

，

x > 4

，和

x \geq 2

取共同部分得

x > 4

。②

- 1 \leq x < 2

：

(x + 1) + (4 - 2 x) > 9

，

5 - x > 9

，

x < - 4

，和這一段沒有共同部分。③

x < - 1

：

- (x + 1) + (4 - 2 x) > 9

，

3 - 3 x > 9

，

x < - 2

，和

x < - 1

取共同部分得

x < - 2

。合起來：

x < - 2

或

x > 4

。

每一段解出來的範圍都要和那一段的前提取共同部分；第 ② 段解出

x < - 4

，但前提是

- 1 \leq x < 2

，所以這一段沒有解。

過定點的直線和兩軸圍成的三角形面積：設截距式，把定點代入得到「兩個正數的和是

1

」，再用算幾不等式。

06填充 10～11（第 17～18 題）：小數部分、立方和公式

第 17 題

b

是小數部分，所以

0 \leq b < 1

，

0 \leq b^{2} < 1

。

a^{2} = 28 - b^{2}

，所以

27 < a^{2} \leq 28

。

5^{2} = 25 < 27

且

28 < 36 = 6^{2}

，所以

5 < a < 6

，

a

的整數部分是

5

，

a = 5 + b

。代入：

(5 + b)^{2} + b^{2} = 28

，

2 b^{2} + 10 b - 3 = 0

，

b = \frac{- 10 \pm 124}{4} = \frac{- 5 \pm 31}{2}

。

b \geq 0

取正的：

b = \frac{- 5 + 31}{2} \approx 0.28

，符合

0 \leq b < 1

。所以

a = 5 + b = \frac{5 + 31}{2}

。

先用

0 \leq b < 1

估出

a^{2}

的範圍，才能確定整數部分是

5

。

第 18 題令

s = m + n

。由

m^{3} + n^{3} = (m + n)^{3} - 3 mn (m + n) = s^{3} - 3 mn s

，原式變成

(s^{3} - 1 3^{3}) - 3 mn (s - 13) = 0

。

s^{3} - 1 3^{3} = (s - 13) (s^{2} + 13 s + 169)

，提出

s - 13

：

(s - 13) (s^{2} + 13 s + 169 - 3 mn) = 0

。因為

m

、

n \geq 0

，由算幾不等式

mn \leq (\frac{m + n}{2})^{2} = \frac{s ^{2}}{4}

，所以

s^{2} + 13 s + 169 - 3 mn \geq \frac{s ^{2}}{4} + 13 s + 169 > 0

，第二個括號不會是

0

。因此

s = 13

，即

m + n = 13

。

m

可以取

0, 1, 2, \dots, 13

，

n = 13 - m

跟著決定，共

14

組。

39 = 3 \times 13

，看到

m^{3} + n^{3}

和

1 3^{3}

就把式子往

m + n

和

13

的方向整理。

m

、

n

可以是

0

，所以

(0, 13)

和

(13, 0)

也要算。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

家齊高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

家齊高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選擇第 5 題的 (B) 只說實數不能比較係數；填充第 4 題解出兩個根後要用算幾不等式去掉小於 2 的那個；填充第 8 題要設截距式再對兩個分數用算幾不等式；填充第 10 題要先估出整數部分是 5；填充第 11 題要把式子整理成 m 加 n 減 13 的倍式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自家齊高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式、直線方程式（實數與根式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數、直線的斜率與方程式）

家齊高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

多重選擇題 5 題（25 分）、填充題 11 題共 13 格（75 分）

一、多重選擇題（一題 5 分，共 25 分，錯一個選項扣 2 分，扣到該題 0 分為止）

下列哪些可以化成有限小數？

(A) $\frac{6733}{125}$
(B) $\frac{235}{128}$
(C) $\frac{91}{35}$
(D) $\frac{49}{256}$
(E) $\frac{36}{102}$

下列選項中的大小關係，哪些是正確的？

(A) $2023 + 2025 \geq 2022 + 2026$
(B) $\frac{5 + 4 7}{9} > \frac{3 + 4 7}{7}$
(C) $0. \overline{67} \geq \frac{4}{9}$
(D) $\frac{2 ^{10} + 3 ^{10}}{2} \geq 6^{5}$
(E) $5^{\frac{2}{5}} \geq 3^{\frac{2}{3}}$

已知

a > 0

，

a^{x} + a^{- x}

不可能為下列哪些數值？

(A) $1$
(B) $3$
(C) $2$
(D) $\frac{21}{5}$
(E) $3.14$

若

x

為實數且

∣ x + 3∣ + ∣ x - 17∣ = k

解有

3

個以上，

k

可能為下列哪一個選項？

(A) $3$
(B) $17$
(C) $20$
(D) $23$
(E) 無解

下列哪些敘述是正確的？

(A) 若 $a$ 是正的有理數，且 $b$ 是無理數，則 $ab$ 是無理數
(B) 若 $a$ 、 $b$ 為實數， $a + b 5 = 3 - 25$ ，則 $a + b = 1$
(C) 若 $a \neq = 0$ 且 $a^{4}$ 、 $a^{7}$ 是有理數，則 $a^{5}$ 是有理數
(D) 若 $3 a + 2 b$ 是無理數，且 $3 a + b$ 是無理數，則 $b$ 是無理數
(E) 若 $3 a + 2 b$ 是有理數，且 $a - b$ 是有理數，則 $b$ 是有理數

二、填充題（一格 6 分，最後 1 格 3 分，共 75 分）（本頁第 6～18 題依序為填充第 1、2、3、4(1)、4(2)、5、6、7、8 第一格、8 第二格、9、10、11 題）

求通過定點

(3, - 4)

且斜率為

- 3

的直線方程式＝ ____。

求出

11 - 72

的小數部分＝ ____。

將分數

\frac{12}{7}

化成小數之後，設小數點後第

n

位的數字記為

f (n)

，求

f (2025) =

____。

填充第 4 題（第 9～10 題）　已知

a > 0

，

3 (a^{x} + a^{- x})^{2} - 17 (a^{x} + a^{- x}) + 20 = 0

，求下列各式的值。

(1)

a^{x} + a^{- x} =

____。

(2)

a^{3 x} + a^{- 3 x} =

____。

試估算

3^{- 100}

小數點後第 ____ 位開始出現不為

0

的數字。（

lo g 3 \approx 0.4771

）

不等式

∣ a x - 3∣ \geq b

的解為

x \geq 3

或

x \leq - 5

，則

a =

____。

設

a

為

0 \sim 9

的整數，且

\frac{21}{90} < 0.2 \overline{a 4} < \frac{25}{90}

，求

a =

____。

填充第 8 題（第 14～15 題）　已知一直線

L

通過定點

(3, 4)

且與坐標軸在第一象限圍成一個三角形。

試求三角形面積最小值＝ ____。

此時直線

L

的方程式＝ ____。

解不等式

∣ x + 1∣ + ∣2 x - 4∣ > 9

，

x

的範圍＝ ____。

設

a

是正實數，

a

的小數部分是

b

，且

a^{2} + b^{2} = 28

，則

a =

____。

已知

m

、

n \geq 0

且

m

、

n

皆為整數，試求滿足

m^{3} + n^{3} + 39 mn - 1 3^{3} = 0

的數對

(m, n)

有 ____ 組。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(D)

第 2 題(A)(C)(D)

第 3 題(A)(B)

第 4 題(C)

第 5 題(A)(C)(E)

第 6 題

3 x + y = 5

第 7 題

2 - 2

第 8 題

4

第 9 題

4

第 10 題

52

第 11 題

48

第 12 題

- 3

第 13 題

3

、

4

、

5

、

6

、

7

第 14 題

24

第 15 題

4 x + 3 y = 24

第 16 題

x < - 2

或

x > 4

第 17 題

\frac{5 + 31}{2}

第 18 題

14

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇 1～5：有限小數、比大小、算幾不等式、絕對值、有理數與無理數

第 1 題答案 (A)(B)(C)(D)。分數約到最簡後，分母的質因數只有

2

或

5

才能化成有限小數。(A) 分母

125 = 5^{3}

，可以。(B) 分母

128 = 2^{7}

，可以。(C)

\frac{91}{35} = \frac{13}{5}

，可以。(D)

\frac{49}{256} = \frac{7}{16}

，分母

16 = 2^{4}

，可以。(E)

\frac{36}{102} = \frac{6}{17}

，分母有質因數

17

，是循環小數。

要先約到最簡再看分母：(C) 的

35

有因數

7

，但和分子約掉了。

第 2 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：兩邊都是正數，比平方。左邊平方是

4048 + 2 2023 \times 2025 = 4048 + 2 202 4^{2} - 1

，右邊平方是

4048 + 2 2022 \times 2026 = 4048 + 2 202 4^{2} - 4

，左邊較大。(B) 錯：兩邊同乘以

63

，左邊是

7 (5 + 47) = 35 + 287

，右邊是

9 (3 + 47) = 27 + 367

，左減右是

8 - 87 < 0

，所以左邊較小。(C) 對：

0. \overline{67} = \frac{67}{99}

，

\frac{4}{9} = \frac{2}{3} = \frac{66}{99}

。(D) 對：由算幾不等式

\frac{2 ^{10} + 3 ^{10}}{2} \geq 2^{10} \times 3^{10} = 6^{5}

。(E) 錯：兩邊同取

15

次方，

(5^{\frac{2}{5}})^{15} = 5^{6} = 15625

，

(3^{\frac{2}{3}})^{15} = 3^{10} = 59049

，左邊較小。

(A) 用到

(n - 1) (n + 1) = n^{2} - 1

、

(n - 2) (n + 2) = n^{2} - 4

；(E) 的

15

是兩個指數分母

5

和

3

的最小公倍數。

第 3 題答案 (A)(B)。

a > 0

時

a^{x} > 0

、

a^{- x} > 0

，而且

a^{x} \times a^{- x} = 1

。由算幾不等式

\frac{a ^{x} + a ^{- x}}{2} \geq a^{x} \times a^{- x} = 1

，所以

a^{x} + a^{- x} \geq 2

。(A)

1 < 2

、(B)

3 \approx 1.73 < 2

，都不可能。(C)

x = 0

時就等於

2

。(D)

\frac{21}{5} = 4.2 > 2

、(E)

3.14 > 2

，都可能。

題目問的是「不可能」的數值，選的是小於

2

的選項。

第 4 題答案 (C)。

∣ x + 3∣ + ∣ x - 17∣

是數線上

x

到

- 3

的距離加上

x

到

17

的距離。

x

在

- 3

和

17

之間（含端點）時，距離和固定是

20

；

x

在這段之外時，距離和大於

20

。所以

k < 20

時無解，

k = 20

時

- 3 \leq x \leq 17

都是解（無限多個），

k > 20

時左右各一個、恰有

2

個解。解有

3

個以上只能是

k = 20

。

k = 23

時解是

x = - 4.5

和

x = 18.5

，只有

2

個。

第 5 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：如果

ab = r

是有理數，因為

a \neq = 0

，

b = \frac{r}{a}

是有理數，矛盾。(B) 錯：

a

、

b

只說是實數，不能比較係數；例如

a = 3 + 5

、

b = - 3

時

a + b 5 = 3 - 25

，但

a + b = 5

。(C) 對：

a^{3} = \frac{a ^{7}}{a ^{4}}

是有理數，

a = \frac{a ^{4}}{a ^{3}}

是有理數，所以

a^{5}

是有理數。(D) 錯：取

a = 2

、

b = 0

，

3 a + 2 b

和

3 a + b

都是

32

，但

b

是有理數。(E) 對：

(3 a + 2 b) - 3 (a - b) = 5 b

是有理數，所以

b

是有理數。

(B) 要有「

a

、

b

為有理數」才能得到

a = 3

、

b = - 2

。

02填充 1～3（第 6～8 題）：點斜式、雙重根號、循環小數

第 6 題由點斜式，

y - (- 4) = - 3 (x - 3)

，即

y + 4 = - 3 x + 9

，整理得

3 x + y = 5

。

寫成

3 x + y - 5 = 0

或

y = - 3 x + 5

是同一條直線。

第 7 題

72 = 218

，所以

11 - 72 = 11 - 218

。找兩數和

11

、積

18

：

9

和

2

，所以

11 - 72 = 9 - 2 = 3 - 2

。

1 < 2 < 2

，所以

1 < 3 - 2 < 2

，整數部分是

1

，小數部分是

(3 - 2) - 1 = 2 - 2

。

要先把

72

改寫成

218

，根號前面是

2

才能套「和、積」的做法。

第 8 題直式除法得

\frac{12}{7} = 1. \overline{714285}

，小數點後每

6

位循環一次，依序是

7, 1, 4, 2, 8, 5

。

2025 = 6 \times 337 + 3

，所以第

2025

位和第

3

位相同，

f (2025) = 4

。

03填充 4～5（第 9～11 題）：指數式求值與常用對數

第 9 題(1) 令

t = a^{x} + a^{- x}

，原式是

3 t^{2} - 17 t + 20 = 0

，分解成

(3 t - 5) (t - 4) = 0

，

t = \frac{5}{3}

或

t = 4

。由算幾不等式

t = a^{x} + a^{- x} \geq 2 a^{x} \times a^{- x} = 2

，

\frac{5}{3} < 2

不合，所以

a^{x} + a^{- x} = 4

。

兩個根不能都留，要用

a^{x} + a^{- x} \geq 2

去掉

\frac{5}{3}

。

第 10 題(2) 用

p^{3} + q^{3} = (p + q)^{3} - 3 pq (p + q)

，取

p = a^{x}

、

q = a^{- x}

，

pq = 1

：

a^{3 x} + a^{- 3 x} = 4^{3} - 3 \times 1 \times 4 = 64 - 12 = 52

。

第 11 題

lo g 3 \approx 0.4771

表示

3 \approx 1 0^{0.4771}

，所以

3^{- 100} \approx 1 0^{- 47.71} = 1 0^{0.29} \times 1 0^{- 48}

。

1 0^{0} < 1 0^{0.29} < 1 0^{1}

，也就是

1 0^{0.29}

是一個介於

1

和

10

之間的數，所以

3^{- 100}

寫成科學記號是

1. \dots \times 1 0^{- 48}

，小數點後第

48

位開始出現不為

0

的數字。

- 47.71

要拆成

- 48 + 0.29

（小數部分取正的），不是

- 47 - 0.71

。

N = c \times 1 0^{- n}

（

1 \leq c < 10

）時，

N

在小數點後第

n

位開始出現不為

0

的數字。

04填充 6～7（第 12～13 題）：絕對值不等式回推係數、循環小數化分數

第 12 題解是「

x \geq 3

或

x \leq - 5

」，兩個端點的中點是

- 1

，到中點的距離是

4

，所以解等於

∣ x + 1∣ \geq 4

。兩邊乘以

3

：

∣3 x + 3∣ \geq 12

，也就是

∣ - 3 x - 3∣ \geq 12

。和

∣ a x - 3∣ \geq b

對照，常數項要是

- 3

，所以

a = - 3

（這時

b = 12

）。

∣3 x + 3∣

和

∣ - 3 x - 3∣

相等，要配合題目的「

- 3

」選後者，所以

a

是負的。

第 13 題設

y = 0.2 \overline{a 4}

。

10 y = 2. \overline{a 4}

，

1000 y = 2 a 4. \overline{a 4}

（

2 a 4

表示三位數

200 + 10 a + 4

），相減得

990 y = (204 + 10 a) - 2 = 202 + 10 a

，

y = \frac{202 + 10 a}{990}

。又

\frac{21}{90} = \frac{231}{990}

、

\frac{25}{90} = \frac{275}{990}

，所以

231 < 202 + 10 a < 275

，

2.9 < a < 7.3

，

a = 3, 4, 5, 6, 7

。

循環節是

a 4

兩位，不循環的部分是

2

一位，所以分母是

990

。答案有五個，要全部寫出。

05填充 8～9（第 14～16 題）：截距式配算幾不等式、分段討論

第 14 題設

L

的

x

截距是

p

、

y

截距是

q

（在第一象限圍成三角形，所以

p > 0

、

q > 0

），

L

：

\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1

，三角形面積是

\frac{1}{2} pq

。

L

過

(3, 4)

，所以

\frac{3}{p} + \frac{4}{q} = 1

。由算幾不等式

\frac{\frac{3}{p} + \frac{4}{q}}{2} \geq \frac{3}{p} \times \frac{4}{q}

，即

\frac{1}{2} \geq \frac{12}{pq}

，兩邊平方得

\frac{1}{4} \geq \frac{12}{pq}

，

pq \geq 48

。所以面積

\frac{1}{2} pq \geq 24

，最小值是

24

。

算幾不等式用在

\frac{3}{p}

和

\frac{4}{q}

這兩個「和是定值

1

」的正數上，不是用在

p

和

q

上。

第 15 題等號在

\frac{3}{p} = \frac{4}{q} = \frac{1}{2}

時成立，也就是

p = 6

、

q = 8

。這時

L

：

\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1

，兩邊乘以

24

得

4 x + 3 y = 24

。驗算：

(3, 4)

代入

12 + 12 = 24

成立，面積

\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24

。

這時

(3, 4)

剛好是兩個截距點

(6, 0)

、

(0, 8)

的中點。

第 16 題絕對值裡面變號的地方是

x = - 1

和

x = 2

，分三段。①

x \geq 2

：

(x + 1) + (2 x - 4) > 9

，

3 x > 12

，

x > 4

，和

x \geq 2

取共同部分得

x > 4

。②

- 1 \leq x < 2

：

(x + 1) + (4 - 2 x) > 9

，

5 - x > 9

，

x < - 4

，和這一段沒有共同部分。③

x < - 1

：

- (x + 1) + (4 - 2 x) > 9

，

3 - 3 x > 9

，

x < - 2

，和

x < - 1

取共同部分得

x < - 2

。合起來：

x < - 2

或

x > 4

。

每一段解出來的範圍都要和那一段的前提取共同部分；第 ② 段解出

x < - 4

，但前提是

- 1 \leq x < 2

，所以這一段沒有解。

過定點的直線和兩軸圍成的三角形面積：設截距式，把定點代入得到「兩個正數的和是

1

」，再用算幾不等式。

06填充 10～11（第 17～18 題）：小數部分、立方和公式

第 17 題

b

是小數部分，所以

0 \leq b < 1

，

0 \leq b^{2} < 1

。

a^{2} = 28 - b^{2}

，所以

27 < a^{2} \leq 28

。

5^{2} = 25 < 27

且

28 < 36 = 6^{2}

，所以

5 < a < 6

，

a

的整數部分是

5

，

a = 5 + b

。代入：

(5 + b)^{2} + b^{2} = 28

，

2 b^{2} + 10 b - 3 = 0

，

b = \frac{- 10 \pm 124}{4} = \frac{- 5 \pm 31}{2}

。

b \geq 0

取正的：

b = \frac{- 5 + 31}{2} \approx 0.28

，符合

0 \leq b < 1

。所以

a = 5 + b = \frac{5 + 31}{2}

。

先用

0 \leq b < 1

估出

a^{2}

的範圍，才能確定整數部分是

5

。

第 18 題令

s = m + n

。由

m^{3} + n^{3} = (m + n)^{3} - 3 mn (m + n) = s^{3} - 3 mn s

，原式變成

(s^{3} - 1 3^{3}) - 3 mn (s - 13) = 0

。

s^{3} - 1 3^{3} = (s - 13) (s^{2} + 13 s + 169)

，提出

s - 13

：

(s - 13) (s^{2} + 13 s + 169 - 3 mn) = 0

。因為

m

、

n \geq 0

，由算幾不等式

mn \leq (\frac{m + n}{2})^{2} = \frac{s ^{2}}{4}

，所以

s^{2} + 13 s + 169 - 3 mn \geq \frac{s ^{2}}{4} + 13 s + 169 > 0

，第二個括號不會是

0

。因此

s = 13

，即

m + n = 13

。

m

可以取

0, 1, 2, \dots, 13

，

n = 13 - m

跟著決定，共

14

組。

39 = 3 \times 13

，看到

m^{3} + n^{3}

和

1 3^{3}

就把式子往

m + n

和

13

的方向整理。

m

、

n

可以是

0

，所以

(0, 13)

和

(13, 0)

也要算。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

家齊高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

家齊高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自家齊高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

家齊高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多重選擇 1～5：有限小數、比大小、算幾不等式、絕對值、有理數與無理數

02填充 1～3（第 6～8 題）：點斜式、雙重根號、循環小數

03填充 4～5（第 9～11 題）：指數式求值與常用對數

04填充 6～7（第 12～13 題）：絕對值不等式回推係數、循環小數化分數

05填充 8～9（第 14～16 題）：截距式配算幾不等式、分段討論

06填充 10～11（第 17～18 題）：小數部分、立方和公式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

家齊高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

家齊高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

家齊高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多重選擇 1～5：有限小數、比大小、算幾不等式、絕對值、有理數與無理數

02填充 1～3（第 6～8 題）：點斜式、雙重根號、循環小數

03填充 4～5（第 9～11 題）：指數式求值與常用對數

04填充 6～7（第 12～13 題）：絕對值不等式回推係數、循環小數化分數

05填充 8～9（第 14～16 題）：截距式配算幾不等式、分段討論

06填充 10～11（第 17～18 題）：小數部分、立方和公式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

家齊高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

家齊高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

家齊高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

家齊高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

家齊高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

家齊高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

家齊高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

家齊高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？