段考詳解範圍：數與式（實數與循環小數、乘法公式與根式、絕對值、指數律、算幾不等式）

黎明高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 8 題（32 分）、多選題 5 題（40 分）、填充題 7 題（28 分）

一、單選題（一題 4 分，共 32 分）

黎明農場裡有位農夫想利用

60

公尺的竹籬在圍牆邊圍成一個矩形的菜園，靠圍牆那邊不圍，並在其中一個邊的正中央留下

4

公尺的出入口如圖。請問這位農夫所能圍成的菜園面積最大為多少平方公尺？

(A) $512$
(B) $576$
(C) $625$
(D) $676$
(E) $729$

載入中...

若

3^{a} = 8

，

4^{b} = 27

，則

2 ab =

？

(A) $6$
(B) $7$
(C) $8$
(D) $9$
(E) $10$

設

p = 30 + 30

，則最接近

p

的整數為何？

(A) $9$
(B) $8$
(C) $7$
(D) $6$
(E) $5$

請問滿足絕對值不等式

∣2 x - 15∣ \leq x

的實數

x

所形成的區間，其長度為下列哪一個選項？

(A) $10$
(B) $12$
(C) $13$
(D) $14$
(E) $15$

設

a = 28 - 300

，則

a

的小數部分為何？

(A) $3 - 1$
(B) $5 - 2$
(C) $2 - 3$
(D) $3 - 5$
(E) $23 - 3$

在一個培養細菌的容器中，細菌的數目每隔

1

分鐘就增加為

2

倍。已知開頭放入

1

個細菌，

1

小時後容器內細菌總數達到

N

個。如果開頭放入

64

個細菌，試問最少經過多少時間容器內細菌總數會達到

N

個？

(A) $4$ 分鐘
(B) $16$ 分鐘
(C) $32$ 分鐘
(D) $54$ 分鐘
(E) $57$ 分鐘

設

a = \frac{234}{999}

，

b = \frac{232}{990}

，

c = \frac{211}{900}

，則下列何者正確？

(A) $a > b > c$
(B) $c > b > a$
(C) $a > c > b$
(D) $b > a > c$
(E) $b > c > a$

已知

a = 99

，

b = 199

，則下列選項何者最大？

(A) $\frac{a + 2 b}{3}$
(B) $\frac{2 a + 3 b}{5}$
(C) $\frac{3 a + 4 b}{7}$
(D) $\frac{4 a + 5 b}{9}$
(E) $\frac{5 a + 6 b}{11}$

二、多選題（一題 8 分，共 40 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 2 分，其餘不給分）（本頁第 9～13 題依序為卷面多選第 1～5 題）

已知

a = 3^{0.2}

，

b = 3^{0.3}

，請選出正確的選項。

(A) $a^{- 5} = - 3$
(B) $b^{10} = 27$
(C) $a + b = 3^{0.5}$
(D) $\frac{a ^{2}}{b} = 3^{0.3}$
(E) $ab = 3$

設

x

為實數，則當

x

為下列哪些選項中之值時，可使得方程式

∣ x - 99∣ + ∣ x - 149∣ = 50

成立？

(A) $10$
(B) $100$
(C) $150$
(D) $1002$
(E) $1003$

x

、

y

為實數，已知

∣ x - 1∣ \leq 3

，

∣ y + 2∣ \leq 1

，則下列選項哪些正確？

(A) $- 7 \leq 2 x + y \leq 7$
(B) $0 \leq x - 2 y \leq 10$
(C) $- 4 \leq x y \leq 6$
(D) $- 4 \leq \frac{x}{y} \leq 2$
(E) $1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 25$

設

x > 0

，且

x - \frac{1}{x} = 4

，則下列選項哪些正確？

(A) $x + \frac{1}{x} = 6$
(B) $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 18$
(C) $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = - 85$
(D) $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 345$
(E) $x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = 76$

設

a

、

b

是有理數，下列敘述哪些正確？

(A) $3 a + 2 b$ 為有理數
(B) $a 2 + b 3$ 必為無理數
(C) 若 $a$ 、 $b \neq = 0$ ， $a + b 2$ 必為無理數
(D) $a$ 、 $b$ 之間必存在無理數
(E) $a^{b}$ 為有理數

三、填充題（一題 4 分，共 28 分）（本頁第 14～20 題依序為卷面填充第 1～7 題）

已知

a^{2 x} = 7 - 43

，試求

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} + a ^{- x}} =

____。

化簡

\frac{1}{1 + 2} + \frac{2}{2 + 4} + \frac{3}{4 + 7} + \dots + \frac{15}{106 + 121} =

____。

已知

n

為正整數，求

\frac{n + 8}{n - 1}

的最小值為 ____。

已知

a

、

b

為實數，且

a^{2} - 5 ab + b^{2} = 0

，試求

(\frac{a}{b})^{3} + (\frac{b}{a})^{3} =

____。

已知

1 5^{x} = 32

，

6 0^{y} = 8

，則

\frac{3 x - 5 y}{x y} =

____。

新冠病毒傳播速度比一般流感還快，若傳播速度為在同一地區，

t

日後受感染的人口比例是

100 (1 - 0. 9^{k t}) %

。若

10

日後感染的比例為

10%

，試求

30

日後感染的比例為 ____。

已知

a

、

b

為實數，且不等式

∣ a x - 1∣ > b

的解為

x > 19

或

x < - 3

，試求

5 a + b =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(D)

第 3 題(D)

第 4 題(A)

第 5 題(C)

第 6 題(D)

第 7 題(B)

第 8 題(A)

第 9 題(B)(E)

第 10 題(B)(D)

第 11 題(A)(B)(D)(E)

第 12 題(B)(D)(E)

第 13 題(A)(C)(D)

第 14 題

3

第 15 題

10

第 16 題

6

第 17 題

110

第 18 題

2

第 19 題

27.1%

第 20 題

2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：最大面積、指數代換、根式估算、絕對值不等式

第 1 題答案 (A)。設垂直圍牆的兩邊各長

x

公尺，平行圍牆的那一邊長

y

公尺。這一邊留了

4

公尺不用竹籬，所以竹籬用掉

2 x + (y - 4) = 60

，即

2 x + y = 64

。由算幾不等式

\frac{2 x + y}{2} \geq 2 x \cdot y

，得

32 \geq 2 x y

，兩邊平方

1024 \geq 2 x y

，

x y \leq 512

。等號在

2 x = y = 32

，也就是

x = 16

、

y = 32

時成立，面積最大為

512

平方公尺。

也可以配方：面積

x (64 - 2 x) = - 2 (x - 16)^{2} + 512

。出入口不用竹籬，所以三邊的總長是

64

而不是

60

；出入口開在哪一邊，列出來的式子都是

2 x + y = 64

。

第 2 題答案 (D)。把

3^{a} = 8

兩邊同取

b

次方：

3^{ab} = 8^{b} = (2^{3})^{b} = 2^{3 b}

。另一方面

4^{b} = 2^{2 b} = 27

，所以

2^{3 b} = (2^{2 b})^{\frac{3}{2}} = 2 7^{\frac{3}{2}} = (3^{3})^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{9}{2}}

。因此

3^{ab} = 3^{\frac{9}{2}}

，

ab = \frac{9}{2}

，

2 ab = 9

。

兩個式子的底數是

3

和

2

交錯出現（

8 = 2^{3}

、

4 = 2^{2}

、

27 = 3^{3}

），全部改寫成

2

和

3

的次方再代換。

第 3 題答案 (D)。

5 < 30 < 6

，所以

35 < 30 + 30 < 36

，開根號得

35 < p < 6

。又

5. 5^{2} = 30.25 < 35

，所以

5.5 < p < 6

，最接近的整數是

6

。

要判斷「最接近」哪個整數，除了夾在

5

和

6

之間，還要和

5.5

比。

第 4 題答案 (A)。

∣2 x - 15∣ \leq x

等於

- x \leq 2 x - 15 \leq x

。左半

- x \leq 2 x - 15

得

x \geq 5

；右半

2 x - 15 \leq x

得

x \leq 15

。解是

5 \leq x \leq 15

，區間長度

15 - 5 = 10

。

右邊是

x

不是常數，把絕對值拆成兩個不等式分別解；解出來的

x

都是正的，和右邊必須不小於

0

沒有衝突。

02單選 5～8：雙重根號、指數成長、循環小數、加權平均

第 5 題答案 (C)。

300 = 275

，所以

a = 28 - 275

。找兩數和

28

、積

75

：

25

和

3

，得

a = 25 - 3 = 5 - 3

。因為

1 < 3 < 2

，所以

3 < 5 - 3 < 4

，整數部分是

3

，小數部分是

5 - 3 - 3 = 2 - 3

。

雙重根號要先把裡面的根號整理成「

2

」的樣子，再找和與積。

第 6 題答案 (D)。從

1

個開始，

60

分鐘後有

N = 2^{60}

個。從

64 = 2^{6}

個開始，

t

分鐘後有

2^{6} \times 2^{t} = 2^{6 + t}

個。令

2^{6 + t} = 2^{60}

，得

t = 54

分鐘。

64

個細菌相當於從

1

個開始已經過了

6

分鐘，所以少等

6

分鐘。

第 7 題答案 (B)。分母是

999

、

990

、

900

，化成循環小數：

a = \frac{234}{999} = 0. \overline{234} = 0.234234 \dots

；

b = \frac{232}{990} = \frac{234 - 2}{990} = 0.2 \overline{34} = 0.234343 \dots

；

c = \frac{211}{900} = \frac{234 - 23}{900} = 0.23 \overline{4} = 0.234444 \dots

。三數前三位都是

0.234

，第四位依序是

2

、

3

、

4

，所以

c > b > a

。

分母

990

表示小數點後

1

位不循環、

2

位循環；分母

900

表示

2

位不循環、

1

位循環。

第 8 題答案 (A)。每個選項都可以寫成

a + w (b - a)

的形式，例如

\frac{a + 2 b}{3} = a + \frac{2}{3} (b - a)

。五個選項的

w

依序是

\frac{2}{3}

、

\frac{3}{5}

、

\frac{4}{7}

、

\frac{5}{9}

、

\frac{6}{11}

，約為

0.667

、

0.6

、

0.571

、

0.556

、

0.545

。因為

b > a

，

b - a > 0

，

w

越大值越大，所以 (A) 最大。

在數線上看，五個數都是

a

、

b

之間的分點，

b

的比重越大就越靠近

b

。不需要算

99

、

199

的近似值。

比大小的題目先找共同的形式（同樣的前幾位小數、同樣的

a + w (b - a)

），再比不同的那一部分。

03多選 1～3（第 9～11 題）：指數律、距離和、不等式的範圍

第 9 題答案 (B)(E)。(A) 錯：

a^{- 5} = 3^{0.2 \times (- 5)} = 3^{- 1} = \frac{1}{3}

。(B) 對：

b^{10} = 3^{0.3 \times 10} = 3^{3} = 27

。(C) 錯：指數相加是乘法的規則，

3^{0.2} \times 3^{0.3} = 3^{0.5}

；而

a > 1

、

b > 1

，

a + b > 2 > 3 = 3^{0.5}

。(D) 錯：

\frac{a ^{2}}{b} = 3^{0.4 - 0.3} = 3^{0.1}

。(E) 對：

ab = 3^{0.2 + 0.3} = 3^{0.5} = 3

。

(A) 負指數是取倒數，不會讓數變成負的；

3

的任何次方都是正數。

第 10 題答案 (B)(D)。

∣ x - 99∣ + ∣ x - 149∣

是數線上

x

到

99

與到

149

的距離和。

99

和

149

相距

50

，所以

x

在兩點之間（含端點）時距離和剛好是

50

，在外面時大於

50

。方程式的解是

99 \leq x \leq 149

。(A)

10

不在範圍內。(B)

100

在範圍內。(C)

150 > 149

，不在範圍內。(D)

1002 \approx 141.4

，在範圍內。(E)

1003 \approx 173.2

，不在範圍內。

(D) 不用近似值也能判斷：

9 9^{2} = 9801 < 20000 < 22201 = 14 9^{2}

，所以

99 < 1002 < 149

。

第 11 題答案 (A)(B)(D)(E)。

∣ x - 1∣ \leq 3

即

- 2 \leq x \leq 4

；

∣ y + 2∣ \leq 1

即

- 3 \leq y \leq - 1

。(A) 對：

- 4 \leq 2 x \leq 8

，加上

- 3 \leq y \leq - 1

得

- 7 \leq 2 x + y \leq 7

。(B) 對：

2 \leq - 2 y \leq 6

，加上

- 2 \leq x \leq 4

得

0 \leq x - 2 y \leq 10

。(C) 錯：取

x = 4

、

y = - 3

，

x y = - 12 < - 4

；實際範圍是

- 12 \leq x y \leq 6

。(D) 對：令

u = - \frac{1}{y}

，則

\frac{1}{3} \leq u \leq 1

，

\frac{x}{y} = - xu

。

u

是正數，

xu

最大是

4 \times 1 = 4

、最小是

(- 2) \times 1 = - 2

，所以

- 2 \leq xu \leq 4

，

- 4 \leq \frac{x}{y} \leq 2

。(E) 對：

x

的範圍包含

0

，所以

0 \leq x^{2} \leq 16

；

1 \leq y^{2} \leq 9

；相加得

1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 25

。

(- 2) (- 3)

、

(- 2) (- 1)

、

4 \times (- 3)

、

4 \times (- 1)

都算出來找最大和最小。(E) 的

x

可以是

0

，

x^{2}

的最小值是

0

不是

4

。

04多選 4～5（第 12～13 題）：乘法公式求值、有理數與無理數

第 12 題答案 (B)(D)(E)。(B) 對：把

x - \frac{1}{x} = 4

平方，

x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 16

，

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 18

。(A) 錯：

(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 20

，又

x > 0

，所以

x + \frac{1}{x} = 25

。(C) 錯：

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}) = 25 \times 4 = 85

，是正的。(D) 對：

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 405 - 65 = 345

。(E) 對：

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x})^{3} + 3 (x - \frac{1}{x}) = 64 + 12 = 76

。

和的立方公式是「減

3

倍」，差的立方公式是「加

3

倍」：

(x - \frac{1}{x})^{3} = x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} - 3 (x - \frac{1}{x})

。

第 13 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：有理數的加法和乘法結果仍是有理數。(B) 錯：取

a = b = 0

，

a 2 + b 3 = 0

是有理數。(C) 對：假設

a + b 2 = r

是有理數，因為

b \neq = 0

，

2 = \frac{r - a}{b}

會是有理數，矛盾。(D) 對：設

a < b

，取

c = a + \frac{2}{2} (b - a)

。

0 < \frac{2}{2} < 1

，所以

a < c < b

；

b - a

是不為

0

的有理數，由 (C) 的道理

c

是無理數。(E) 錯：取

a = 2

、

b = \frac{1}{2}

，

a^{b} = 2

是無理數。

(D) 是把

a

、

b

當作兩個相異的有理數來判斷（任兩個相異實數之間都有無理數），流傳版本的參考答案也把 (D) 列為正確。題幹沒有寫

a \neq = b

；若

a = b

，兩數之間沒有任何數，這個選項就不成立。

已知

x - \frac{1}{x}

的值時，先平方求

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

，再求

x + \frac{1}{x}

（注意正負），其他的式子都由這兩個組合出來。

05填充 1～4（第 14～17 題）：立方和、有理化、算幾不等式

第 14 題令

u = a^{x}

、

v = a^{- x}

，則

uv = 1

。由立方和公式

u^{3} + v^{3} = (u + v) (u^{2} - uv + v^{2})

，所求

= u^{2} - uv + v^{2} = a^{2 x} - 1 + a^{- 2 x}

。

7 - 43 = 7 - 212

，兩數和

7

、積

12

是

4

和

3

，所以

a^{2 x} = 4 - 3 = 2 - 3

，

a^{- 2 x} = \frac{1}{2 - 3} = 2 + 3

。所求

= (2 - 3) - 1 + (2 + 3) = 3

。

先用立方和公式約掉分母，就只需要

a^{2 x}

和它的倒數，不必求

a^{x}

。

第 15 題根號裡的數依序是

1, 2, 4, 7, \dots, 106, 121

，相鄰兩數的差依序是

1, 2, 3, \dots, 15

，剛好等於那一項的分子。第

k

項的分母是

p + q

，其中

q - p = k

，有理化：

\frac{k}{p + q} = \frac{k ( q - p )}{q - p} = q - p

。所以原式

= (2 - 1) + (4 - 2) + (7 - 4) + \dots + (121 - 106)

，中間各項前後相消，剩下

121 - 1 = 10

。

檢查最後一項：差依序加到

15

，

1 + (1 + 2 + \dots + 15) = 1 + 120 = 121

，前一個數是

121 - 15 = 106

，和題目一致。

第 16 題分母不能為

0

，所以

n \geq 2

。令

t = n - 1 > 0

，則

n = t^{2} + 1

，原式

= \frac{t ^{2} + 9}{t} = t + \frac{9}{t}

。由算幾不等式

\frac{t + \frac{9}{t}}{2} \geq t \cdot \frac{9}{t} = 3

，得

t + \frac{9}{t} \geq 6

。等號在

t = \frac{9}{t}

，即

t = 3

、

n = 10

時成立，

n = 10

是正整數，所以最小值是

6

。

n

限定為正整數，用算幾不等式之後要確認等號成立時的

n

真的是正整數。代

n = 10

驗算：

\frac{18}{9} = 6

。

第 17 題式子裡有

\frac{a}{b}

和

\frac{b}{a}

，所以

a

、

b

都不是

0

。把

a^{2} + b^{2} = 5 ab

兩邊同除以

ab

：

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 5

。令

s = \frac{a}{b}

、

t = \frac{b}{a}

，則

s + t = 5

、

s t = 1

。

s^{3} + t^{3} = (s + t)^{3} - 3 s t (s + t) = 125 - 15 = 110

。

\frac{a}{b}

和

\frac{b}{a}

互為倒數，乘積是

1

，這和「已知

x + \frac{1}{x}

求

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

」是同一種題目。

06填充 5～7（第 18～20 題）：指數式化同底、指數模型、絕對值不等式

第 18 題

1 5^{x} = 32 = 2^{5}

，兩邊同取

\frac{1}{x}

次方得

15 = 2^{\frac{5}{x}}

。

6 0^{y} = 8 = 2^{3}

，同理

60 = 2^{\frac{3}{y}}

。兩式相除：

\frac{60}{15} = 4 = 2^{\frac{3}{y} - \frac{5}{x}}

，而

4 = 2^{2}

，所以

\frac{3}{y} - \frac{5}{x} = 2

。通分後

\frac{3}{y} - \frac{5}{x} = \frac{3 x - 5 y}{x y}

，答案是

2

。

所求先拆成

\frac{3}{y} - \frac{5}{x}

，就知道要把兩個已知式化成

2

的

\frac{5}{x}

次方與

\frac{3}{y}

次方。

第 19 題

t = 10

時比例是

10%

：

100 (1 - 0. 9^{10 k}) = 10

，得

0. 9^{10 k} = 0.9

，所以

10 k = 1

，

k = \frac{1}{10}

。

t = 30

時

0. 9^{k t} = 0. 9^{3} = 0.729

，比例是

100 (1 - 0.729) % = 27.1%

。

不必真的解出

k

也可以：

0. 9^{30 k} = (0. 9^{10 k})^{3} = 0. 9^{3}

。

30

日是

10

日的

3

倍，但感染比例不是

10%

的

3

倍。

第 20 題解是「

x > 19

或

x < - 3

」，兩個端點的中點是

\frac{19 + ( - 3 )}{2} = 8

，到中點的距離是

11

，所以解等於

∣ x - 8∣ > 11

。兩邊同除以

8

：

\frac{1}{8} x - 1 > \frac{11}{8}

。和

∣ a x - 1∣ > b

對照，

a = \frac{1}{8}

、

b = \frac{11}{8}

，

5 a + b = \frac{5}{8} + \frac{11}{8} = 2

。

要讓絕對值裡的常數項變成

- 1

，所以是除以

8

。驗算：

x = 19

時

\frac{19}{8} - 1 = \frac{11}{8}

，

x = - 3

時

- \frac{3}{8} - 1 = \frac{11}{8}

。

由絕對值不等式的解回推係數：先用兩個端點的中點和半徑寫成

∣ x - 中點 ∣ > 半徑

，再乘或除一個數，把它變成題目給的樣子。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

黎明高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

黎明高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題的出入口不用竹籬，三邊總長要用 64 公尺來列式；多選第 3 題（第 11 題）兩個範圍相乘或相除要把四組端點都算過，平方的範圍要注意 x 可以是 0；多選第 4 題（第 12 題）立方和與立方差公式的正負號不同；填充第 5 題（第 18 題）要先把所求拆成兩個分數相減，再把已知化成 2 的次方。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自黎明高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

黎明高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～4：最大面積、指數代換、根式估算、絕對值不等式

02單選 5～8：雙重根號、指數成長、循環小數、加權平均

03多選 1～3（第 9～11 題）：指數律、距離和、不等式的範圍

04多選 4～5（第 12～13 題）：乘法公式求值、有理數與無理數

05填充 1～4（第 14～17 題）：立方和、有理化、算幾不等式

06填充 5～7（第 18～20 題）：指數式化同底、指數模型、絕對值不等式

同一次段考的其他學校

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常見問題

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黎明高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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