段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式、絕對值、指數與指數律、算幾不等式、科學記號）

善化高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 善化高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 善化高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 11 題（多選第 1 題）要用 x 介於 0 和 1 之間判斷 x 減 x 分之一是負的，選項 (C)(D) 都錯在這裡；第 18 題（填充第 5 題）絕對值裡的常數項是正 3，所以 a 是負的；第 21 題（填充第 8 題）和牆垂直的圍籬有三段，要把中間那一道算進去；第 22 題（填充第 9 題）要分別用距離和、距離差的範圍列出兩個條件再取交集。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

基礎填充題 9 題共 10 格（40 分）、多選題 3 題（15 分）、填充題 9 題（45 分）

一、基礎填充題（一格 4 分，共 40 分）（本頁第 1～10 題依序為卷面基礎填充題 1、2、3、4、5、6、7、8(1)、8(2)、9）

試化簡雙重根式

14 - 160 =

____。

計算

(\frac{9}{4})^{\frac{3}{2}} \times 3^{- 2} + (π + \frac{9}{4})^{0}

的值為 ____。

試解不等式

∣2 x - 3∣ < 3

，其解為 ____。

試解方程式

∣3 x - 1∣ = 4

，其解

x =

____。

計算

0.1 \overline{5} =

____。

計算

\frac{3 - 1}{3 + 1} + \frac{3}{2 - 3} =

____。

在數線上有

A (- 3)

、

B (7)

、

P

三點，若

P

點在

A

、

B

之外，且

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 3

，試求

P

點坐標為 ____。

基礎填充題 8（第 8～9 題）　設

a \geq 0

，

b \geq 0

且

ab = 48

，試求：

(1)

a + 3 b

的最小值為 ____。

(2) 最小值發生時的

b

值為 ____。

試求

(2.63 \times 1 0^{- 2}) \times (4.5 \times 1 0^{5})

，並取

3

位有效數字的科學記號表示為 ____。

二、多選題（一題 5 分，共 15 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，其餘不給分）（本頁第 11～13 題依序為卷面多選題 1～3）

已知

0 < x < 1

且

x + \frac{1}{x} = 6

，則下列何者正確？

(A) $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 36$
(B) $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 198$
(C) $x - \frac{1}{x} = 32$
(D) $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = 242$
(E) $x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = - 1402$

設

a

、

b

為有理數，

c

、

d

為無理數，則下列何者必定正確？

(A) $a + b$ 必定為有理數
(B) $c + d$ 必定為無理數
(C) $c d$ 不一定是無理數
(D) 若 $ab \neq = 0$ 且 $a c = b d$ ，則 $a = b$ 且 $c = d$
(E) $c d - c + d$ 必定為無理數

下列何者正確？

(A) $2 + 6 > 3 + 7$
(B) $5 - 3 > 6 - 2$
(C) 若 $a$ 、 $b$ 為有理數，且 $a < b$ ，則 $\frac{3 a + 4 b}{7} < \frac{2 a + 3 b}{5}$
(D) $2^{30} + 3^{30} > 6^{15} + 6^{15}$
(E) $0. \overline{5} + 0. \overline{4} < 0. \overline{6} + 0. \overline{3}$

三、填充題（一格 5 分，共 45 分）（本頁第 14～22 題依序為卷面填充題 1～9）

若

9^{x} = 7

，

3^{y} = 6

，則

3^{x + 2 y - 1} =

____。

已知

10 + 46 = a + b

，其中整數部分為

a

，小數部分為

b

，

0 \leq b < 1

，則

\frac{2}{b} =

____。

已知

a > 0

，試計算

3 a^{3} \times a^{15} \times (6 a)^{30} \div (a^{5} \times a^{3})^{2} =

____。（請以

a

的指數形式表示）

試求不等式

∣2 x + 3∣ + ∣ x - 1∣ > 5

的解為 ____。

設

a

、

b

為實數，若

∣ a x + 3∣ < b

的解為

2 < x < 10

，則數對

(a, b)

為 ____。

試求不等式

3 < ∣2 x + 3∣ \leq 5

的解為 ____。

設

a

、

b

皆為有理數，且

a 6 + 42 - b 3 + 22 = 27 + 200

，則數對

(a, b) =

____。

小明想要用圍籬圍出兩個完全相同的菜圃，黑色的部分為牆，虛線為須要使用圍籬的地方，如右圖。已知圍籬總長為

20

公尺，求此兩塊菜圃加在一起最大面積為 ____ 平方公尺。

載入中...

若

∣ x - a ∣ + ∣ x - 3∣ = 5

必定有解且

∣ x - a ∣ - ∣ x + 1∣ = - 7

必定有解，則

a

的範圍為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

10 - 2

第 2 題

\frac{11}{8}

第 3 題

0 < x < 3

第 4 題

\frac{5}{3}

或

- 1

第 5 題

\frac{7}{45}

第 6 題

5 + 3

第 7 題

- 23

第 8 題

24

第 9 題

4

第 10 題

1.18 \times 1 0^{4}

第 11 題(B)(E)

第 12 題(A)(C)

第 13 題(A)(B)(C)(D)

第 14 題

127

第 15 題

6 + 2

第 16 題

a^{- 7}

第 17 題

x > 1

或

x < - \frac{7}{3}

第 18 題

(- \frac{1}{2}, 2)

第 19 題

0 < x \leq 1

或

- 4 \leq x < - 3

第 20 題

(4, 3)

第 21 題

\frac{100}{3}

第 22 題

6 \leq a \leq 8

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01基礎填充 1～5（第 1～5 題）：雙重根號、指數、絕對值、循環小數

第 1 題先把裡面的根號寫成「

2

」的形式：

160 = 240

，所以原式

= 14 - 240

。找兩數和

14

、積

40

：

10

和

4

。因此

14 - 240 = 10 - 4 = 10 - 2

。驗算：

(10 - 2)^{2} = 14 - 410 = 14 - 160

。

相減時要寫成大的減小的，

10 - 2 > 0

才是根號的值。

第 2 題

(\frac{9}{4})^{\frac{3}{2}} = ((\frac{3}{2})^{2})^{\frac{3}{2}} = (\frac{3}{2})^{3} = \frac{27}{8}

；

3^{- 2} = \frac{1}{9}

；底數不為

0

時零次方是

1

，所以

(π + \frac{9}{4})^{0} = 1

。原式

= \frac{27}{8} \times \frac{1}{9} + 1 = \frac{3}{8} + 1 = \frac{11}{8}

。

第 3 題

∣2 x - 3∣ < 3

等於

- 3 < 2 x - 3 < 3

。各加

3

：

0 < 2 x < 6

，所以

0 < x < 3

。

第 4 題

∣3 x - 1∣ = 4

表示

3 x - 1 = 4

或

3 x - 1 = - 4

。前者

x = \frac{5}{3}

，後者

x = - 1

。

絕對值方程式有兩個解，兩個都要寫。

第 5 題設

t = 0.1 \overline{5} = 0.1555 \dots

。

10 t = 1.555 \dots

，

100 t = 15.555 \dots

，相減得

90 t = 14

，所以

t = \frac{14}{90} = \frac{7}{45}

。

循環節只有

5

這一位，

1

不循環。

02基礎填充 6～9（第 6～10 題）：有理化、分點、算幾不等式、科學記號

第 6 題分別有理化。

\frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )} = \frac{4 - 2 3}{2} = 2 - 3

。

\frac{3}{2 - 3} = \frac{3 ( 2 + 3 )}{4 - 3} = 23 + 3

。相加：

2 - 3 + 23 + 3 = 5 + 3

。

第 7 題

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 3

，

P

離

A

比較近，又在

A

、

B

之外，所以

P

在

A

的左邊。設

P (p)

，

p < - 3

，則

\overline{P A} = - 3 - p

、

\overline{P B} = 7 - p

。由

3 \overline{P A} = 2 \overline{P B}

：

3 (- 3 - p) = 2 (7 - p)

，

- 9 - 3 p = 14 - 2 p

，

p = - 23

。驗算：

\overline{P A} = 20

、

\overline{P B} = 30

，比是

2 : 3

。

先由比值判斷

P

在哪一側，再列式；若放到

B

的右邊，

\overline{P A}

會比

\overline{P B}

長，不合。

第 8 題(1)

a

、

3 b

都不是負數，由算幾不等式

\frac{a + 3 b}{2} \geq a \cdot 3 b = 3 \times 48 = 144 = 12

，所以

a + 3 b \geq 24

，最小值是

24

（等號成立的情形見下一格）。

第 9 題(2) 等號在

a = 3 b

時成立。代入

ab = 48

：

3 b^{2} = 48

，

b^{2} = 16

，

b \geq 0

所以

b = 4

（這時

a = 12

，

a + 3 b = 24

）。

等號成立的條件是相加的兩項

a

和

3 b

相等，不是

a = b

。

第 10 題數字部分相乘：

2.63 \times 4.5 = 11.835

；

10

的次方相乘：

1 0^{- 2} \times 1 0^{5} = 1 0^{3}

。乘積是

11.835 \times 1 0^{3} = 1.1835 \times 1 0^{4}

。取

3

位有效數字，看第四位

3

，捨去，得

1.18 \times 1 0^{4}

。

科學記號的數字部分要介於

1

和

10

之間，所以

11.835 \times 1 0^{3}

要再改寫成

1.1835 \times 1 0^{4}

。

算幾不等式求極值：先確認兩項都不是負數、乘積是定值，最小值是

2 乘積

，並且要寫出等號成立時兩項相等。

03多選 1～3（第 11～13 題）：乘法公式、有理數與無理數、比大小

第 11 題答案 (B)(E)。(A) 錯：

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 36 - 2 = 34

。(B) 對：

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 216 - 18 = 198

。(C) 錯：

(x - \frac{1}{x})^{2} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 4 = 32

，而

0 < x < 1

時

\frac{1}{x} > 1 > x

，所以

x - \frac{1}{x} = - 32 = - 42

。(D) 錯：

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}) = 6 \times (- 42) = - 242

。(E) 對：

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}) = - 42 \times 35 = - 1402

。

0 < x < 1

這個條件是用來決定

x - \frac{1}{x}

的正負；(C) 的

32

是它的平方，(D) 差在正負號。

第 12 題答案 (A)(C)。(A) 對：兩個有理數相加還是有理數。(B) 錯：取

c = 2

、

d = - 2

，

c + d = 0

。(C) 對：

2 \times 2 = 2

是有理數，

2 \times 3 = 6

是無理數，兩種都可能。(D) 錯：取

a = 1

、

b = 2

、

c = 22

、

d = 2

，

a c = b d = 22

，但

a \neq = b

、

c \neq = d

。(E) 錯：取

c = d = 2

，

c d - c + d = 2 - 2 + 2 = 2

是有理數。

「必定」的敘述只要舉出一個反例就是錯的。(D) 的反例做法：讓

c

是

d

的有理數倍（

c = 2 d

），再取

b = 2 a

。

第 13 題答案 (A)(B)(C)(D)。(A) 對：兩邊都是正數，比平方。

(2 + 6)^{2} = 10 + 46 = 10 + 96

，

(3 + 7)^{2} = 10 + 221 = 10 + 84

，前者大。(B) 對：移項後等於比較

5 + 2

和

6 + 3

；

(5 + 2)^{2} = 9 + 80

，

(6 + 3)^{2} = 9 + 72

，前者大。(C) 對：兩邊同乘

35

，

15 a + 20 b < 14 a + 21 b

等於

a < b

。(D) 對：右邊是

2 \times 6^{15} = 2 \times 2^{15} \times 3^{15}

，左邊減右邊

= (2^{15})^{2} - 2 \times 2^{15} \times 3^{15} + (3^{15})^{2} = (3^{15} - 2^{15})^{2} > 0

。(E) 錯：

0. \overline{5} + 0. \overline{4} = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1

，

0. \overline{6} + 0. \overline{3} = \frac{6}{9} + \frac{3}{9} = 1

，兩邊相等。

(B) 兩邊都是相減，先移項成兩邊都是相加的正數再平方比較。(D) 也可以看成算幾不等式：

2^{30}

和

3^{30}

不相等，所以

2^{30} + 3^{30} > 2 2^{30} \times 3^{30} = 2 \times 6^{15}

。

04填充 1～3（第 14～16 題）：指數律與雙重根號

第 14 題

9^{x} = (3^{x})^{2} = 7

，

3^{x} > 0

，所以

3^{x} = 7

。

3^{2 y} = (3^{y})^{2} = 36

。

3^{x + 2 y - 1} = 3^{x} \times 3^{2 y} \div 3 = 7 \times 36 \div 3 = 127

。

第 15 題

10 + 46 = 10 + 224

，找兩數和

10

、積

24

：

6

和

4

，所以等於

6 + 2

。

2 < 6 < 3

，所以

4 < 6 + 2 < 5

，整數部分

a = 4

，小數部分

b = 6 + 2 - 4 = 6 - 2

。

\frac{2}{b} = \frac{2}{6 - 2} = \frac{2 ( 6 + 2 )}{6 - 4} = 6 + 2

。

小數部分＝原數減去整數部分，要先估出

6

介於

2

和

3

之間。

第 16 題全部化成

a

的次方。第一項：

a^{15} = a^{\frac{15}{2}}

，

a^{3} \times a^{\frac{15}{2}} = a^{\frac{21}{2}}

，開三次方得

a^{\frac{7}{2}}

。第二項：

(6 a)^{30} = a^{5}

，開平方得

a^{\frac{5}{2}}

。第三項：

a^{5} \times a^{3} = a^{5 + \frac{3}{2}} = a^{\frac{13}{2}}

，平方得

a^{13}

。原式

= a^{\frac{7}{2} + \frac{5}{2} - 13} = a^{- 7}

。

最後一項是除，指數要用減的。

根式一律先改寫成分數指數（

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

），再用指數律把指數加減乘。

05填充 4～7（第 17～20 題）：絕對值不等式與比較係數

第 17 題兩個絕對值分別在

x = - \frac{3}{2}

、

x = 1

變號，分三段。①

x \geq 1

：

(2 x + 3) + (x - 1) > 5

，

3 x > 3

，

x > 1

。②

- \frac{3}{2} \leq x < 1

：

(2 x + 3) - (x - 1) > 5

，

x > 1

，和這一段的範圍沒有交集。③

x < - \frac{3}{2}

：

- (2 x + 3) - (x - 1) > 5

，

- 3 x > 7

，

x < - \frac{7}{3}

。合起來是

x > 1

或

x < - \frac{7}{3}

。

每一段解出來的範圍要和那一段的前提取交集。

第 18 題解

2 < x < 10

的中點是

6

、到中點的距離是

4

，所以解等於

∣ x - 6∣ < 4

。兩邊乘以

\frac{1}{2}

：

\frac{1}{2} x - 3 < 2

，也就是

- \frac{1}{2} x + 3 < 2

。和

∣ a x + 3∣ < b

對照，常數項要是

+ 3

，所以

a = - \frac{1}{2}

、

b = 2

。

\frac{1}{2} x - 3

和

- \frac{1}{2} x + 3

相等，要配合題目的「

+ 3

」選後者。

第 19 題分成

3 < 2 x + 3 \leq 5

或

- 5 \leq 2 x + 3 < - 3

。前者各減

3

再除以

2

：

0 < x \leq 1

。後者：

- 8 \leq 2 x < - 6

，

- 4 \leq x < - 3

。所以解是

0 < x \leq 1

或

- 4 \leq x < - 3

。

哪一邊有等號要照原式對應：

∣2 x + 3∣ = 5

的

x = 1

、

x = - 4

包含，

∣2 x + 3∣ = 3

的

x = 0

、

x = - 3

不包含。

第 20 題三個雙重根號分別化簡：

6 + 42 = 6 + 28 = 4 + 2 = 2 + 2

；

3 + 22 = 2 + 1

；

27 + 200 = 27 + 250 = 25 + 2 = 5 + 2

。原式變成

a (2 + 2) - b (1 + 2) = 5 + 2

，即

(2 a - b) + (a - b) 2 = 5 + 2

。

a

、

b

是有理數，

2

是無理數，所以

2 a - b = 5

、

a - b = 1

，相減得

a = 4

，

b = 3

。

「

a

、

b

皆為有理數」這個條件就是用來比較有理數部分和

2

的係數。

06填充 8～9（第 21～22 題）：算幾不等式的應用、用距離看絕對值

第 21 題設和牆垂直的每一段圍籬長

x

公尺（共

3

段），和牆平行的那一段長

y

公尺，靠牆的一邊不用圍籬，所以

3 x + y = 20

（

x > 0

，

y > 0

），兩塊菜圃合起來的面積是

x y

。由算幾不等式

\frac{3 x + y}{2} \geq 3 x \cdot y

，即

10 \geq 3 x y

，兩邊平方得

100 \geq 3 x y

，

x y \leq \frac{100}{3}

。等號在

3 x = y = 10

，也就是

x = \frac{10}{3}

、

y = 10

時成立，所以最大面積是

\frac{100}{3}

平方公尺。

中間那一道隔開兩塊菜圃的圍籬也要算，和牆垂直的圍籬是

3

段不是

2

段。

第 22 題第一式：

∣ x - a ∣ + ∣ x - 3∣

是數線上

x

到

a

與到

3

的距離和，

x

在兩點之間時最小，最小值是兩點的距離

∣ a - 3∣

，往外走可以任意大。所以

= 5

有解的條件是

∣ a - 3∣ \leq 5

，即

- 2 \leq a \leq 8

。第二式：

∣ x - a ∣ - ∣ x + 1∣

是

x

到

a

的距離減去到

- 1

的距離，它的值介於

- ∣ a + 1∣

和

∣ a + 1∣

之間（

x

在兩點外側時取到兩端，在兩點之間時由一端連續變到另一端）。所以

= - 7

有解的條件是

∣ a + 1∣ \geq 7

，即

a \geq 6

或

a \leq - 8

。兩個條件同時成立：

6 \leq a \leq 8

。

距離和有最小值、沒有最大值；距離差則夾在正負「兩點距離」之間。兩式的另一個定點不同，一個是

3

、一個是

- 1

。

∣ x - p ∣ + ∣ x - q ∣

的最小值是

∣ p - q ∣

；

∣ x - p ∣ - ∣ x - q ∣

的範圍是

- ∣ p - q ∣

到

∣ p - q ∣

。判斷方程式有沒有解，就看右邊的數有沒有落在這個範圍裡。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

善化高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

善化高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 11 題（多選第 1 題）要用 x 介於 0 和 1 之間判斷 x 減 x 分之一是負的，選項 (C)(D) 都錯在這裡；第 18 題（填充第 5 題）絕對值裡的常數項是正 3，所以 a 是負的；第 21 題（填充第 8 題）和牆垂直的圍籬有三段，要把中間那一道算進去；第 22 題（填充第 9 題）要分別用距離和、距離差的範圍列出兩個條件再取交集。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自善化高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

善化高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 22 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01基礎填充 1～5（第 1～5 題）：雙重根號、指數、絕對值、循環小數

02基礎填充 6～9（第 6～10 題）：有理化、分點、算幾不等式、科學記號

03多選 1～3（第 11～13 題）：乘法公式、有理數與無理數、比大小

04填充 1～3（第 14～16 題）：指數律與雙重根號

05填充 4～7（第 17～20 題）：絕對值不等式與比較係數

06填充 8～9（第 21～22 題）：算幾不等式的應用、用距離看絕對值

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

善化高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

善化高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

善化高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

善化高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

善化高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？