御藍教育／段考卷

台中一中 114 學年度上學期 高一第一次段考 數學：試題、答案與詳解

範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）｜單選題 7 題（42 分）、多選題 2 題（16 分）、填充題 7 題（42 分）

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解。不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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試題

一、單選題（占 42 分；第 1 題至第 7 題，每題 6 分）
1
若 a=321.2。試選出正確的選項。
  1. (1) 45<a≤55
  2. (2) 55<a≤65
  3. (3) 65<a≤75
  4. (4) 75<a≤85
  5. (5) 85<a≤95
2
若 b=log(103100​)。試選出正確的選項。
  1. (1) 1.5<b≤1.55
  2. (2) 1.55<b≤1.6
  3. (3) 1.6<b≤1.65
  4. (4) 1.65<b≤1.7
  5. (5) 1.7<b≤1.75
3
若 −3≤x≤5，則 c≤x2≤d。試問上述中 d−c 的最小值為何？
  1. (1) 2
  2. (2) 8
  3. (3) 9
  4. (4) 16
  5. (5) 25
4
若 33−202​​=e−f​，其中 e、f 均為整數。試選出正確的選項。
  1. (1) e>f>6
  2. (2) f>e>6
  3. (3) e>6>f
  4. (4) f>6>e
  5. (5) 6>e>f
5
若 1≤g≤100，g 為整數，g​−6 為大於 0 的有理數。符合上述要求的 g 值有幾個？
  1. (1) 0 個
  2. (2) 2 個
  3. (3) 4 個
  4. (4) 6 個
  5. (5) 7 個
6
若 10log10x=3.1×104。試選出正確的選項。
  1. (1) x 為整數且為 4 位數
  2. (2) x 為整數且為 5 位數
  3. (3) x 不為整數且 1000<x≤10000
  4. (4) x 不為整數且 10000<x≤100000
  5. (5) x 不為整數且 100000<x≤1000000
7
已知 log2≈0.3010、log3≈0.4771，若 100y=125。試選出正確的選項。
  1. (1) 1<y≤1.02
  2. (2) 1.02<y≤1.04
  3. (3) 1.04<y≤1.06
  4. (4) 1.06<y≤1.08
  5. (5) 1.08<y≤1.1
二、多選題（占 16 分；第 8 題至第 9 題，每題 8 分，錯 0、1、2、3、4 個選項依序得 8、6、4、2、0 分）
8
試選出正確的選項。
  1. (1) 61​ 化為小數後，其小數點後第 114 位數字為 6
  2. (2) 0.6+0.5=0.8+0.3
  3. (3) 若 A(a)、B(b)，則 P(m+nna+mb​) 必在 AB 內部
  4. (4) 若實數 a、b 滿足 0<a<1，0<b<1，則 −a<b−a<1
  5. (5) 若 abc>0，a+b+c<0，a>b>c，則 a+c<0
9
試選出正確的選項。
  1. (1) 若 x+1 是無理數，則 (x+1)(x−1) 是有理數
  2. (2) 若 10a 為有理數，則 a10 亦為有理數
  3. (3) 若 2a+2−a 為有理數，則 2a−2−a 亦為有理數
  4. (4) 98​+75​>1406​−1​
  5. (5) 若 2a 為 t 位數（t∈N），則 4a 為 2t 位數或是 2t+1 位數
三、填充題（占 42 分；第 10 題至第 16 題，每題 6 分）
10
已知 a>0，a4x=3+8​，試求 ax+a−xa3x−a−3x​= ____ − □ ​。
11
x 為實數，解不等式 x2+4x+4​+x2−2x+1​≤3，得 ____ ≤x≤ ____。
12
求滿足不等式 3∣x+1∣−x−2≤∣2x−3∣ 的實數所形成的區間長度為 ____。
13
11​, 21​, 31​, 41​, ⋯, 1141​ 共 114 個分數中，可化為有限小數的共有 ____ 個。
14
若 ∣2x−5∣≤3，∣y+2∣≤5，則 a≤xy−2xy+3​≤b，其中 a、b∈R。求 b−a 的最小值為 ____。（化為最簡分數）
15
若 (9+45​)100=a+b5​，(5​−2)201=c+d5​，其中 a、b、c、d 均為整數。則 ad+bc= ____。
16
已知 a∈R，a2 的小數部分是 b，b=0，a+b=6，則 a 的最大值為 ____。（化為最簡根式）

答案一覽

第 1 題　(2)

第 2 題　(4)

第 3 題　(5)

第 4 題　(4)

第 5 題　(3)

第 6 題　(1)

第 7 題　(3)

第 8 題　(1)(2)(4)

第 9 題　(4)

第 10 題　3−2​

第 11 題　−2≤x≤1

第 12 題　29​

第 13 題　15

第 14 題　235​

第 15 題　1

第 16 題　2−1+165​​

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逐題詳解

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單選題：指數、對數與根式

第 1 題32=25，所以 a=25×1.2=26=64，落在 55<a≤65。答案 (2)。
第 2 題103100​=101⋅1032​=1035​，所以 b=35​≈1.667，落在 1.65<b≤1.7。答案 (4)。
第 3 題−3≤x≤5 時，x2 最小是 0（x=0），最大是 25（x=5），所以 0≤x2≤25。要對所有這樣的 x 都成立，必須 c≤0、d≥25，d−c≥25，取 c=0, d=25 時等號成立。答案 (5)。
x2 的範圍不是把兩端平方，x=0 在範圍內，最小值是 0 不是 9。
第 4 題設 (e−f​)2=e2+f−2ef​，要和 □−202​ 對上，需要 ef​=102​=58​。取 e=5, f=8：(5−8​)2=33−202​，而且 5>8​，開根號後確實是 5−8​。此時 f=8>6>e=5，答案 (4)。
流傳版本的題幹印作 30−202​​，照這個數字找不到整數 e,f（ef​=102​ 的整數解代入 e2+f 只有 201,54,33,102）；參考答案 (4) 對應的是 33，本頁題幹寫 33。
第 5 題g​−6 是有理數，g​ 就是有理數；g 是正整數，所以 g 必須是完全平方數。再要 g​>6，即 g>36：g=49,64,81,100，共 4 個。答案 (3)。
第 6 題10logN=N，所以 10x=3.1×104=31000，x=3100，是整數且為 4 位數。答案 (1)。
第 7 題兩邊取 log：2y=log125=3log5=3(1−log2)≈3×0.6990=2.097，所以 y≈1.0485，落在 1.04<y≤1.06。答案 (3)。
log5 用 log210​=1−log2 算。
把數字化成同一個底數（2 或 10），指數律和 log 的題目就只剩加減乘除。

多選題：逐項判斷，錯的要找反例

第 8 題答案 (1)(2)(4)。(1) 對：61​=0.16，小數點後第 2 位起都是 6，第 114 位是 6。(2) 對：0.6+0.5=96+5​=911​，0.8+0.3=98+3​=911​，兩邊相等。(3) 錯：沒說 m,n 都是正數。取 m=2, n=−1，P=2b−a，a=b 時是 AB 延長線上的外分點。(4) 對：b−a>0−a=−a，且 b−a<1−a<1。(5) 錯：a+b+c<0 而 a 最大，所以最小的 c<0；abc>0 且 c<0 得 ab<0，又 a>b，所以 a>0>b。反例 a=3, b=−1, c=−2.5：三個條件都成立，但 a+c=0.5>0。
分點公式 m+nna+mb​ 要在 m,n>0 時才是內分點。
第 9 題答案 (4)。(1) 錯：取 x=2​−1，x+1=2​ 是無理數，但 (x+1)(x−1)=x2−1=2−22​ 是無理數。(2) 錯：取 a=log2，10a=2 是有理數，但 a10=(log2)10 不是有理數。(3) 錯：設 t=2a，取 t+t1​=3，則 (t−t1​)2=(t+t1​)2−4=5，2a−2−a=±5​ 是無理數。(4) 對：兩邊都正，比平方。左邊 (72​+53​)2=98+75+706​=173+706​，右邊 1406​−1；相減得 174−706​，而 1742=30276>29400=(706​)2，差是正的，所以左邊大。(5) 錯：10t−1≤2a<10t，平方得 102t−2≤4a<102t，所以 4a 是 2t−1 位數或 2t 位數，不會是 2t+1 位數。例如 21=2 是 1 位數，41=4 也是 1 位數。
比較兩個根式的大小，先確定兩邊都是正的，再平方比較。
多選題判「錯」一定要找到一個具體的反例，判「對」要能寫出理由。

填充 10～13：代換、距離和與分段討論

第 10 題3+8​=3+22​=(1+2​)2，所以 a2x=1+2​，記 s=a2x。分子分母同乘 a3x：a4x+a2xa6x−1​=s2+ss3−1​=s2+s(s−1)(s2+s+1)​。s−1=2​，s2+s=4+32​，s2+s+1=5+32​，得 4+32​2​(5+32​)​=4+32​6+52​​。分母有理化：16−18(6+52​)(4−32​)​=−2−6+22​​=3−2​。
先把 3+8​ 看成完全平方，後面全部用 s 算，不必求出 x。
第 11 題x2+4x+4​=∣x+2∣，x2−2x+1​=∣x−1∣。∣x+2∣+∣x−1∣ 是數線上 x 到 −2 與到 1 的距離和，最小值就是兩點距離 3，只在 x 位於兩點之間時取到。所以 −2≤x≤1。
A2​=∣A∣，不能直接寫成 A。
第 12 題以 x=−1、x=23​ 分三段。x<−1：−3(x+1)−x−2≤3−2x，化成 x≥−4，得 −4≤x<−1。−1≤x<23​：3(x+1)−x−2≤3−2x，化成 x≤21​，得 −1≤x≤21​。x≥23​：2x+1≤2x−3 不成立。合起來 −4≤x≤21​，區間長度 21​−(−4)=29​。
第 13 題最簡分數 n1​ 可化為有限小數，恰好是分母 n 只含質因數 2、5。在 1∼114 中：只含 2 的 1,2,4,8,16,32,64 共 7 個；含一個 5 的 5,10,20,40,80 共 5 個；含 52 的 25,50,100 共 3 個；125>114。共 15 個。
11​=1 也算在內（參考答案 15 已含它）；分母依 5 的次方分組數，不容易漏。

填充 14～16：範圍、共軛與小數部分

第 14 題∣2x−5∣≤3 得 1≤x≤4；∣y+2∣≤5 得 −7≤y≤3。令 t=x1​，41​≤t≤1，式子 =xy(1−2x)+3​=y(t−2)+3t。t−2<0，固定 t 時 y 越小值越大：最大在 y=−7，得 14−4t；最小在 y=3，得 6t−6。再看 t：14−4t 在 t=41​ 最大，為 13；6t−6 在 t=41​ 最小，為 −29​。所以式子的範圍是 [−29​,13]，b−a 最小為 13+29​=235​。
兩個變數要一次固定一個；y 的係數 t−2 恆負，決定 y 取哪一端。
第 15 題(9+45​)(9−45​)=1，所以 (9−45​)100=a−b5​，且 a2−5b2=1。又 (5​−2)2=9−45​，故 (5​−2)201=(a−b5​)(5​−2)=(−2a−5b)+(a+2b)5​，即 c=−2a−5b，d=a+2b。代入：ad+bc=a(a+2b)+b(−2a−5b)=a2−5b2=1。
201=2×100+1，把奇數次方拆成「平方的 100 次方」乘一次，就接回第一個式子。
第 16 題0<b<1 且 a=6−b，所以 5<a<6。設 a2 的整數部分為 n，則 b=a2−n，代入 a+b=6：a2+a−(6+n)=0，取正根 a=2−1+25+4n​​。由 5<a<6 得 30<a2+a<42，即 24<n<36，n 可取 25∼35。n 越大 a 越大，取 n=35：a=2−1+165​​≈5.92，此時 a2≈35.08，整數部分確實是 35。
用 b∈(0,1) 先把 a 夾在 5 與 6 之間，才能定出 n 的範圍。
看到「整數部分、小數部分」就設整數部分為 n，把小數部分寫成「原數減 n」，再用 0≤ 小數部分 <1 夾範圍。

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台中一中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 8 題分點公式沒注意比值可能是負數與第 5 選項的反例、第 9 題五個選項都要找反例或比大小、第 14 題兩個變數的範圍要一次固定一個，以及第 16 題要先用小數部分的範圍夾出整數部分。詳解逐題寫在本頁。

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