段考詳解範圍：數與式、多項式（實數與根式、絕對值、指數律、算幾不等式、多項式的除法原理與恆等式）

瑞祥高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 4 題（28 分）、填充題 12 格（72 分）

一、多選題（一題 7 分，共 28 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 3 分，錯三個以上選項或未作答得 0 分）

設多項式

f (x)

的次數大於

1

，且

f (x)

除以

a (x + 2025)

的商式為

q (x)

，餘式為

r (x)

，其中

a

為非零的實數，試問下列敘述何者為真？

(A) $r (x)$ 必為非零的常數
(B) $f (x)$ 除以 $(x + 2025)$ 的商式為 $a q (x)$
(C) $(x + 2025) f (x)$ 除以 $a (x + 2025)$ 的餘式為 $\frac{r ( x )}{a}$
(D) $a f (x)$ 除以 $(x + 2025)$ 的商式為 $a^{2} q (x)$
(E) $a f (x)$ 除以 $(x + 2025)$ 的餘式為 $a r (x)$

設

f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

為整係數多項式，若

2∣ a ∣ + 3∣ b - 1∣ + ∣ c + 7∣ + 10∣ d - 2∣ + 6∣ e ∣ = 2

，則

de g f (x)

可能為？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$

設

a

為實數且

0 < a < 1

，已知

a + a^{- 1} = 6

，試問下列敘述何者為真？

(A) $a - a^{- 1} = \pm 42$
(B) $a^{2} - a^{- 2} = - 242$
(C) $a^{3} + a^{- 3} = 198$
(D) $a^{4} + a^{- 4} = 1154$
(E) $a^{5} + a^{- 5} = 6732$

數線上有

A

、

B

、

P

三點，坐標分別為

a

、

b

、

x

，已知

a < b

，且

3∣ x - a ∣ = 4∣ x - b ∣

，試問下列敘述何者正確？

(A) $\overline{P A} : \overline{P B} = 4 : 3$
(B) $x$ 可能為 $\frac{4 a + 3 b}{7}$
(C) $x$ 可能為 $4 b - 3 a$
(D) $x > \frac{a + b}{2}$ 必成立
(E) $x$ 必為有理數

二、填充題（一格 6 分，共 72 分，答案須完全正確才給分）（本頁第 5～16 題依序為原卷填充題第 1～12 題）

設

a

為實數且

a > 2

，當

a = x

時

a + \frac{9}{a - 3}

有最小值

m

，試求數對

(x, m)

之值為 ____。

已知

51 2^{x} = 4

，

6 4^{y} = 32

，試求

\frac{5 x - 2 y}{x y}

之值為 ____。

已知

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = - 2

且

a = 2^{x} = 3^{y} = 5^{z}

，試求

a

之值為 ____。

設

f (x) = a (x + 1) (x - 1) + b x (x + 1) + c x (x - 1)

，其中

a

、

b

、

c

為常數，

g (x) = 114 x + 2

，若

f (x) = g (x)

，試求數對

(a, b, c)

之值為 ____。

若

7

之小數部分為

k

，試求

\frac{3 k + 3}{2 - k}

之值為 ____。

設

f (x) = x^{4} + 3 x^{3} - 5 x + 1

，試求

f (\frac{1 + 5}{2})

之值為 ____。

試求不等式

∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣ \leq 7

之解為 ____。

如右圖，已知半圓的直徑

\overline{A B} = 10

，

C

點在半圓弧

A B

上，試求

△ A B C

的面積最大值為 ____。

載入中...

設

a^{2 x} = 2 + 1

，試求

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} - a ^{- x}}

之值為 ____。

設

x

、

y

均為實數，已知

∣ x + 1∣ \leq 3

且

∣ y - 2∣ \leq 1

，若

(x - 1)^{2} - y^{2}

之最小值為

m

，最大值為

M

，試求數對

(M, m)

之值為 ____。

已知不等式

∣ - 3 x + a ∣ \leq b

之解為

- 1 \leq x \leq 5

，試求數對

(a, b)

之值為 ____。

設

f (x) = a (x - 1)^{3} + b (x - 1)^{2} + c (x - 1) + d = (x + 2)^{3} + 3 (x + 2)^{2} - 7 (x + 2) + 2

，試求數對

(a, b, c, d)

之值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(D)(E)

第 2 題(D)(E)

第 3 題(B)(C)(D)

第 4 題(A)(C)(D)

第 5 題

(3 + 3, 6 + 3)

第 6 題

- 3

第 7 題

\frac{30}{30}

第 8 題

(- 2, 58, - 56)

第 9 題

32

第 10 題

8 + 25

第 11 題

- \frac{5}{2} \leq x \leq \frac{9}{2}

第 12 題

25

第 13 題

3 + 2

第 14 題

(24, - 9)

第 15 題

(6, 9)

第 16 題

(1, 12, 38, 35)

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～4：除法原理、次數、對稱式、分點

第 1 題答案 (B)(D)(E)。由除法原理

f (x) = a (x + 2025) q (x) + r (x)

，除式是一次式，所以

r (x)

是常數，記作

r

。(A) 錯：

r

也可能是

0

（整除的情形）。(B) 對：

f (x) = (x + 2025) \cdot a q (x) + r

，除式

(x + 2025)

仍是一次式、

r

是常數，所以商式是

a q (x)

、餘式是

r

。(C) 錯：

(x + 2025) f (x) = a (x + 2025) \cdot (x + 2025) q (x) + r (x + 2025)

，而

r (x + 2025) = a (x + 2025) \cdot \frac{r}{a}

也能被除式整除，所以餘式是

0

，

\frac{r}{a}

是併進商式的那一項。(D)(E) 對：

a f (x) = (x + 2025) \cdot a^{2} q (x) + a r

，商式

a^{2} q (x)

、餘式

a r

。

被除式或除式乘以常數時，一律回到「被除式＝除式×商式＋餘式」重寫，再檢查餘式的次數有沒有比除式低。另一個流傳版本的 (E) 把除式印作

a (x + 2025)

；那樣

a f (x) = a (x + 2025) \cdot a q (x) + a r

，餘式同樣是

a r (x)

，(E) 仍然正確，答案不受影響。

第 2 題答案 (D)(E)。係數都是整數，所以每個絕對值都是非負整數，總和只有

2

。

3∣ b - 1∣

、

10∣ d - 2∣

、

6∣ e ∣

只要不是

0

就超過

2

，所以

b = 1

、

d = 2

、

e = 0

，剩下

2∣ a ∣ + ∣ c + 7∣ = 2

。情形一：

∣ a ∣ = 1

、

c = - 7

，此時

a = \pm 1 \neq = 0

，

de g f (x) = 4

。情形二：

a = 0

、

∣ c + 7∣ = 2

（

c = - 5

或

- 9

），此時最高次項是

b x^{3} = x^{3}

，

de g f (x) = 3

。所以次數可能是

3

或

4

。

b

一定是

1

，三次項永遠存在，次數不可能低於

3

。

第 3 題答案 (B)(C)(D)。(A) 錯：

(a - a^{- 1})^{2} = (a + a^{- 1})^{2} - 4 = 32

，而

0 < a < 1

時

a^{- 1} > 1 > a

，所以

a - a^{- 1}

是負的，只能是

- 42

，不能寫

\pm

。(B) 對：

a^{2} - a^{- 2} = (a + a^{- 1}) (a - a^{- 1}) = 6 \times (- 42) = - 242

。(C) 對：

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1})^{3} - 3 (a + a^{- 1}) = 216 - 18 = 198

。(D) 對：

a^{2} + a^{- 2} = 6^{2} - 2 = 34

，

a^{4} + a^{- 4} = 3 4^{2} - 2 = 1154

。(E) 錯：

(a^{2} + a^{- 2}) (a^{3} + a^{- 3}) = a^{5} + a^{- 5} + a + a^{- 1}

，所以

a^{5} + a^{- 5} = 34 \times 198 - 6 = 6726

。

(E) 的

6732

正好是

34 \times 198

，少減了交叉項

a + a^{- 1} = 6

。

第 4 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：

3 \overline{P A} = 4 \overline{P B}

，所以

\overline{P A} : \overline{P B} = 4 : 3

。去絕對值分兩種：

3 (x - a) = - 4 (x - b)

得

x = \frac{3 a + 4 b}{7}

（

P

在

A

、

B

之間）；

3 (x - a) = 4 (x - b)

得

x = 4 b - 3 a

（

P

在

B

的右邊）。(B) 錯：

\frac{4 a + 3 b}{7}

是

\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 4

的分點，它要等於上面兩個值都得

a = b

，不合。(C) 對。(D) 對：

\frac{3 a + 4 b}{7} - \frac{a + b}{2} = \frac{b - a}{14} > 0

，且

4 b - 3 a - \frac{a + b}{2} = \frac{7 ( b - a )}{2} > 0

，兩個可能的

x

都比中點大。(E) 錯：例如

a = 0

、

b = 2

時

x = \frac{4 2}{7}

或

42

，都是無理數。

P

離

B

比較近，所以不管內分或外分都在中點的右邊；內分點的係數是「離誰近，誰的係數大」。

多選題的每個選項都回到定義重寫一次：除法原理寫成等式、絕對值拆成兩種情形、對稱式用乘法公式展開。

02填充 1～6（第 5～10 題）：算幾不等式、指數律、恆等式、根式

第 5 題把式子湊成兩項相乘為定值：

a + \frac{9}{a - 3} = (a - 3) + \frac{9}{a - 3} + 3

。因為

a > 2 > 3

，

a - 3 > 0

，由算幾不等式

(a - 3) + \frac{9}{a - 3} \geq 29 = 6

，所以原式

\geq 6 + 3

。等號成立在

a - 3 = \frac{9}{a - 3}

，即

a - 3 = 3

，

a = 3 + 3

（符合

a > 2

）。答

(x, m) = (3 + 3, 6 + 3)

。

湊項時多減的

3

要加回來；等號成立的

a

要檢查在範圍內。

第 6 題化成以

2

為底：

51 2^{x} = 2^{9 x} = 2^{2}

，

x = \frac{2}{9}

；

6 4^{y} = 2^{6 y} = 2^{5}

，

y = \frac{5}{6}

。所求

\frac{5 x - 2 y}{x y} = \frac{5}{y} - \frac{2}{x} = 5 \times \frac{6}{5} - 2 \times \frac{9}{2} = 6 - 9 = - 3

。

先把分式拆成

\frac{5}{y} - \frac{2}{x}

，代入倒數比較快。

第 7 題

a = 2^{x}

，兩邊取

\frac{1}{x}

次方得

2 = a^{\frac{1}{x}}

；同理

3 = a^{\frac{1}{y}}

、

5 = a^{\frac{1}{z}}

。三式相乘：

30 = a^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = a^{- 2}

，所以

a^{2} = \frac{1}{30}

。

a = 2^{x} > 0

，故

a = \frac{1}{30} = \frac{30}{30}

。

流傳版本的簡答寫

\frac{1}{30}

，與

\frac{30}{30}

是同一個數。

第 8 題

f (x) = g (x)

是恆等式，

x

代任何數兩邊都相等。代

x = 1

：

2 b = 114 + 2 = 116

，

b = 58

。代

x = - 1

：

2 c = - 114 + 2 = - 112

，

c = - 56

。代

x = 0

：

- a = 2

，

a = - 2

。答

(a, b, c) = (- 2, 58, - 56)

。檢查

x^{2}

的係數：

a + b + c = 0

，與

g (x)

沒有二次項相符。

三個代入值正好各讓兩項變成

0

，不必展開比較係數。

第 9 題

2 < 7 < 3

，所以整數部分是

2

，

k = 7 - 2

。分子

3 k + 3 = 37 - 3 = 3 (7 - 1)

。分母

2 - k = 4 - 7 = \frac{8 - 2 7}{2} = \frac{7 - 1}{2}

（因為

8 - 27 = (7 - 1)^{2}

）。相除得

3 (7 - 1) \times \frac{2}{7 - 1} = 32

。

4 - 7

裡的根號前面沒有

2

，先把分子分母同乘以

2

再配成完全平方。

第 10 題令

t = \frac{1 + 5}{2}

，則

2 t - 1 = 5

，平方得

4 t^{2} - 4 t + 1 = 5

，即

t^{2} - t - 1 = 0

。用

x^{2} - x - 1

去除

f (x)

：

f (x) = (x^{2} - x - 1) (x^{2} + 4 x + 5) + (4 x + 6)

。代入

x = t

，前一項是

0

，所以

f (t) = 4 t + 6 = 2 (1 + 5) + 6 = 8 + 25

。

也可以用

t^{2} = t + 1

逐次降次：

t^{3} = 2 t + 1

、

t^{4} = 3 t + 2

，代入得

(3 t + 2) + 3 (2 t + 1) - 5 t + 1 = 4 t + 6

。

帶根號的數要代入高次式時，先找出它滿足的二次方程式，再用除法或降次，只剩一次式要算。

03填充 7～12（第 11～16 題）：絕對值不等式、極值、指數式、恆等式

第 11 題分三段。

x \geq 3

時：

(x + 1) + (x - 3) = 2 x - 2 \leq 7

，

x \leq \frac{9}{2}

，得

3 \leq x \leq \frac{9}{2}

。

- 1 \leq x < 3

時：

(x + 1) - (x - 3) = 4 \leq 7

恆成立。

x < - 1

時：

- (x + 1) - (x - 3) = - 2 x + 2 \leq 7

，

x \geq - \frac{5}{2}

，得

- \frac{5}{2} \leq x < - 1

。三段合起來是

- \frac{5}{2} \leq x \leq \frac{9}{2}

。

幾何看法：到

- 1

和

3

的距離和不超過

7

；兩點相距

4

，往兩邊各可再走

\frac{7 - 4}{2} = \frac{3}{2}

。另一個流傳版本的簡答印作

\frac{5}{2} \leq x \leq \frac{9}{2}

，少了負號；

x = 0

代入得

4 \leq 7

成立，可知左端點應為

- \frac{5}{2}

。

第 12 題以

\overline{A B}

為底，設

C

到

\overline{A B}

的距離為

h

，面積是

\frac{1}{2} \times 10 \times h = 5 h

。

C

在半圓上，

\overline{O C} = 5

，而

h \leq \overline{O C} = 5

，等號在

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

（

C

是弧的中點）時成立。所以面積最大值是

5 \times 5 = 25

。

用算幾不等式也可以：

∠ A C B = 9 0^{\circ}

，設

\overline{A C} = p

、

\overline{B C} = q

，

p^{2} + q^{2} = 100

，

\frac{p ^{2} + q ^{2}}{2} \geq p^{2} q^{2} = pq

，所以

pq \leq 50

，面積

\frac{1}{2} pq \leq 25

，等號在

p = q = 52

時成立。

第 13 題分子分母同乘以

a^{x}

：

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} - a ^{- x}} = \frac{a ^{4 x} + a ^{- 2 x}}{a ^{2 x} - 1}

。

a^{2 x} = 2 + 1

，所以

a^{4 x} = (2 + 1)^{2} = 3 + 22

，

a^{- 2 x} = \frac{1}{2 + 1} = 2 - 1

。分子

= 3 + 22 + 2 - 1 = 2 + 32

，分母

= 2

。所求

= \frac{2 + 3 2}{2} = 2 + 3

。

分子是相加、分母是相減，不能直接用立方和公式約分；同乘

a^{x}

把每一項都化成

a^{2 x}

的次方。

第 14 題

∣ x + 1∣ \leq 3

即

- 4 \leq x \leq 2

，所以

- 5 \leq x - 1 \leq 1

，

0 \leq (x - 1)^{2} \leq 25

（

x = 1

時為

0

，

x = - 4

時為

25

）。

∣ y - 2∣ \leq 1

即

1 \leq y \leq 3

，所以

1 \leq y^{2} \leq 9

。

x

、

y

各自獨立，最大值

M = 25 - 1 = 24

（

x = - 4

、

y = 1

），最小值

m = 0 - 9 = - 9

（

x = 1

、

y = 3

）。答

(M, m) = (24, - 9)

。

x - 1

的範圍跨過

0

，平方的最小值是

0

，不是

1

。答案的順序是

(M, m)

，先寫最大值。

第 15 題解

- 1 \leq x \leq 5

的中點是

2

、到中點的距離是

3

，所以它等於

∣ x - 2∣ \leq 3

。兩邊乘以

3

：

∣3 x - 6∣ \leq 9

，也就是

∣ - 3 x + 6∣ \leq 9

。和

∣ - 3 x + a ∣ \leq b

對照，得

a = 6

、

b = 9

。

直接解也可以：

- b \leq - 3 x + a \leq b

得

\frac{a - b}{3} \leq x \leq \frac{a + b}{3}

，令

\frac{a - b}{3} = - 1

、

\frac{a + b}{3} = 5

。

第 16 題令

t = x - 1

，則

x + 2 = t + 3

。右邊

= (t + 3)^{3} + 3 (t + 3)^{2} - 7 (t + 3) + 2 = (t^{3} + 9 t^{2} + 27 t + 27) + (3 t^{2} + 18 t + 27) - (7 t + 21) + 2 = t^{3} + 12 t^{2} + 38 t + 35

。和左邊

a t^{3} + b t^{2} + c t + d

比較係數，

(a, b, c, d) = (1, 12, 38, 35)

。檢查：

x = 1

代入右邊得

27 + 27 - 21 + 2 = 35 = d

。

也可以把右邊展開成

x^{3} + 9 x^{2} + 17 x + 8

後，用綜合除法連續除以

x - 1

三次，餘數依序是

d

、

c

、

b

。

絕對值不等式先翻成區間再做；要求極值時，先確認每個變數各自的範圍，以及平方後的範圍有沒有跨過零。

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瑞祥高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題的選項 C，餘式要再被除式除一次，結果是零；多選第 3 題的選項 A 要用 a 介於 0 和 1 之間判斷正負，選項 E 少減了交叉項；填充第 5 題（本頁第 9 題）的雙重根號要先同乘 2 才能配方；填充第 10 題（本頁第 14 題）平方的最小值是零而不是端點的值。

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題目取自瑞祥高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式、多項式（實數與根式、絕對值、指數律、算幾不等式、多項式的除法原理與恆等式）

瑞祥高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

多選題 4 題（28 分）、填充題 12 格（72 分）

一、多選題（一題 7 分，共 28 分，錯一個選項得 5 分，錯兩個選項得 3 分，錯三個以上選項或未作答得 0 分）

設多項式

f (x)

的次數大於

1

，且

f (x)

除以

a (x + 2025)

的商式為

q (x)

，餘式為

r (x)

，其中

a

為非零的實數，試問下列敘述何者為真？

(A) $r (x)$ 必為非零的常數
(B) $f (x)$ 除以 $(x + 2025)$ 的商式為 $a q (x)$
(C) $(x + 2025) f (x)$ 除以 $a (x + 2025)$ 的餘式為 $\frac{r ( x )}{a}$
(D) $a f (x)$ 除以 $(x + 2025)$ 的商式為 $a^{2} q (x)$
(E) $a f (x)$ 除以 $(x + 2025)$ 的餘式為 $a r (x)$

設

f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

為整係數多項式，若

2∣ a ∣ + 3∣ b - 1∣ + ∣ c + 7∣ + 10∣ d - 2∣ + 6∣ e ∣ = 2

，則

de g f (x)

可能為？

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$

設

a

為實數且

0 < a < 1

，已知

a + a^{- 1} = 6

，試問下列敘述何者為真？

(A) $a - a^{- 1} = \pm 42$
(B) $a^{2} - a^{- 2} = - 242$
(C) $a^{3} + a^{- 3} = 198$
(D) $a^{4} + a^{- 4} = 1154$
(E) $a^{5} + a^{- 5} = 6732$

數線上有

A

、

B

、

P

三點，坐標分別為

a

、

b

、

x

，已知

a < b

，且

3∣ x - a ∣ = 4∣ x - b ∣

，試問下列敘述何者正確？

(A) $\overline{P A} : \overline{P B} = 4 : 3$
(B) $x$ 可能為 $\frac{4 a + 3 b}{7}$
(C) $x$ 可能為 $4 b - 3 a$
(D) $x > \frac{a + b}{2}$ 必成立
(E) $x$ 必為有理數

二、填充題（一格 6 分，共 72 分，答案須完全正確才給分）（本頁第 5～16 題依序為原卷填充題第 1～12 題）

設

a

為實數且

a > 2

，當

a = x

時

a + \frac{9}{a - 3}

有最小值

m

，試求數對

(x, m)

之值為 ____。

已知

51 2^{x} = 4

，

6 4^{y} = 32

，試求

\frac{5 x - 2 y}{x y}

之值為 ____。

已知

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = - 2

且

a = 2^{x} = 3^{y} = 5^{z}

，試求

a

之值為 ____。

設

f (x) = a (x + 1) (x - 1) + b x (x + 1) + c x (x - 1)

，其中

a

、

b

、

c

為常數，

g (x) = 114 x + 2

，若

f (x) = g (x)

，試求數對

(a, b, c)

之值為 ____。

若

7

之小數部分為

k

，試求

\frac{3 k + 3}{2 - k}

之值為 ____。

設

f (x) = x^{4} + 3 x^{3} - 5 x + 1

，試求

f (\frac{1 + 5}{2})

之值為 ____。

試求不等式

∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣ \leq 7

之解為 ____。

如右圖，已知半圓的直徑

\overline{A B} = 10

，

C

點在半圓弧

A B

上，試求

△ A B C

的面積最大值為 ____。

載入中...

設

a^{2 x} = 2 + 1

，試求

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} - a ^{- x}}

之值為 ____。

設

x

、

y

均為實數，已知

∣ x + 1∣ \leq 3

且

∣ y - 2∣ \leq 1

，若

(x - 1)^{2} - y^{2}

之最小值為

m

，最大值為

M

，試求數對

(M, m)

之值為 ____。

已知不等式

∣ - 3 x + a ∣ \leq b

之解為

- 1 \leq x \leq 5

，試求數對

(a, b)

之值為 ____。

設

f (x) = a (x - 1)^{3} + b (x - 1)^{2} + c (x - 1) + d = (x + 2)^{3} + 3 (x + 2)^{2} - 7 (x + 2) + 2

，試求數對

(a, b, c, d)

之值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(D)(E)

第 2 題(D)(E)

第 3 題(B)(C)(D)

第 4 題(A)(C)(D)

第 5 題

(3 + 3, 6 + 3)

第 6 題

- 3

第 7 題

\frac{30}{30}

第 8 題

(- 2, 58, - 56)

第 9 題

32

第 10 題

8 + 25

第 11 題

- \frac{5}{2} \leq x \leq \frac{9}{2}

第 12 題

25

第 13 題

3 + 2

第 14 題

(24, - 9)

第 15 題

(6, 9)

第 16 題

(1, 12, 38, 35)

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多選 1～4：除法原理、次數、對稱式、分點

第 1 題答案 (B)(D)(E)。由除法原理

f (x) = a (x + 2025) q (x) + r (x)

，除式是一次式，所以

r (x)

是常數，記作

r

。(A) 錯：

r

也可能是

0

（整除的情形）。(B) 對：

f (x) = (x + 2025) \cdot a q (x) + r

，除式

(x + 2025)

仍是一次式、

r

是常數，所以商式是

a q (x)

、餘式是

r

。(C) 錯：

(x + 2025) f (x) = a (x + 2025) \cdot (x + 2025) q (x) + r (x + 2025)

，而

r (x + 2025) = a (x + 2025) \cdot \frac{r}{a}

也能被除式整除，所以餘式是

0

，

\frac{r}{a}

是併進商式的那一項。(D)(E) 對：

a f (x) = (x + 2025) \cdot a^{2} q (x) + a r

，商式

a^{2} q (x)

、餘式

a r

。

被除式或除式乘以常數時，一律回到「被除式＝除式×商式＋餘式」重寫，再檢查餘式的次數有沒有比除式低。另一個流傳版本的 (E) 把除式印作

a (x + 2025)

；那樣

a f (x) = a (x + 2025) \cdot a q (x) + a r

，餘式同樣是

a r (x)

，(E) 仍然正確，答案不受影響。

第 2 題答案 (D)(E)。係數都是整數，所以每個絕對值都是非負整數，總和只有

2

。

3∣ b - 1∣

、

10∣ d - 2∣

、

6∣ e ∣

只要不是

0

就超過

2

，所以

b = 1

、

d = 2

、

e = 0

，剩下

2∣ a ∣ + ∣ c + 7∣ = 2

。情形一：

∣ a ∣ = 1

、

c = - 7

，此時

a = \pm 1 \neq = 0

，

de g f (x) = 4

。情形二：

a = 0

、

∣ c + 7∣ = 2

（

c = - 5

或

- 9

），此時最高次項是

b x^{3} = x^{3}

，

de g f (x) = 3

。所以次數可能是

3

或

4

。

b

一定是

1

，三次項永遠存在，次數不可能低於

3

。

第 3 題答案 (B)(C)(D)。(A) 錯：

(a - a^{- 1})^{2} = (a + a^{- 1})^{2} - 4 = 32

，而

0 < a < 1

時

a^{- 1} > 1 > a

，所以

a - a^{- 1}

是負的，只能是

- 42

，不能寫

\pm

。(B) 對：

a^{2} - a^{- 2} = (a + a^{- 1}) (a - a^{- 1}) = 6 \times (- 42) = - 242

。(C) 對：

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1})^{3} - 3 (a + a^{- 1}) = 216 - 18 = 198

。(D) 對：

a^{2} + a^{- 2} = 6^{2} - 2 = 34

，

a^{4} + a^{- 4} = 3 4^{2} - 2 = 1154

。(E) 錯：

(a^{2} + a^{- 2}) (a^{3} + a^{- 3}) = a^{5} + a^{- 5} + a + a^{- 1}

，所以

a^{5} + a^{- 5} = 34 \times 198 - 6 = 6726

。

(E) 的

6732

正好是

34 \times 198

，少減了交叉項

a + a^{- 1} = 6

。

第 4 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：

3 \overline{P A} = 4 \overline{P B}

，所以

\overline{P A} : \overline{P B} = 4 : 3

。去絕對值分兩種：

3 (x - a) = - 4 (x - b)

得

x = \frac{3 a + 4 b}{7}

（

P

在

A

、

B

之間）；

3 (x - a) = 4 (x - b)

得

x = 4 b - 3 a

（

P

在

B

的右邊）。(B) 錯：

\frac{4 a + 3 b}{7}

是

\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 4

的分點，它要等於上面兩個值都得

a = b

，不合。(C) 對。(D) 對：

\frac{3 a + 4 b}{7} - \frac{a + b}{2} = \frac{b - a}{14} > 0

，且

4 b - 3 a - \frac{a + b}{2} = \frac{7 ( b - a )}{2} > 0

，兩個可能的

x

都比中點大。(E) 錯：例如

a = 0

、

b = 2

時

x = \frac{4 2}{7}

或

42

，都是無理數。

P

離

B

比較近，所以不管內分或外分都在中點的右邊；內分點的係數是「離誰近，誰的係數大」。

多選題的每個選項都回到定義重寫一次：除法原理寫成等式、絕對值拆成兩種情形、對稱式用乘法公式展開。

02填充 1～6（第 5～10 題）：算幾不等式、指數律、恆等式、根式

第 5 題把式子湊成兩項相乘為定值：

a + \frac{9}{a - 3} = (a - 3) + \frac{9}{a - 3} + 3

。因為

a > 2 > 3

，

a - 3 > 0

，由算幾不等式

(a - 3) + \frac{9}{a - 3} \geq 29 = 6

，所以原式

\geq 6 + 3

。等號成立在

a - 3 = \frac{9}{a - 3}

，即

a - 3 = 3

，

a = 3 + 3

（符合

a > 2

）。答

(x, m) = (3 + 3, 6 + 3)

。

湊項時多減的

3

要加回來；等號成立的

a

要檢查在範圍內。

第 6 題化成以

2

為底：

51 2^{x} = 2^{9 x} = 2^{2}

，

x = \frac{2}{9}

；

6 4^{y} = 2^{6 y} = 2^{5}

，

y = \frac{5}{6}

。所求

\frac{5 x - 2 y}{x y} = \frac{5}{y} - \frac{2}{x} = 5 \times \frac{6}{5} - 2 \times \frac{9}{2} = 6 - 9 = - 3

。

先把分式拆成

\frac{5}{y} - \frac{2}{x}

，代入倒數比較快。

第 7 題

a = 2^{x}

，兩邊取

\frac{1}{x}

次方得

2 = a^{\frac{1}{x}}

；同理

3 = a^{\frac{1}{y}}

、

5 = a^{\frac{1}{z}}

。三式相乘：

30 = a^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = a^{- 2}

，所以

a^{2} = \frac{1}{30}

。

a = 2^{x} > 0

，故

a = \frac{1}{30} = \frac{30}{30}

。

流傳版本的簡答寫

\frac{1}{30}

，與

\frac{30}{30}

是同一個數。

第 8 題

f (x) = g (x)

是恆等式，

x

代任何數兩邊都相等。代

x = 1

：

2 b = 114 + 2 = 116

，

b = 58

。代

x = - 1

：

2 c = - 114 + 2 = - 112

，

c = - 56

。代

x = 0

：

- a = 2

，

a = - 2

。答

(a, b, c) = (- 2, 58, - 56)

。檢查

x^{2}

的係數：

a + b + c = 0

，與

g (x)

沒有二次項相符。

三個代入值正好各讓兩項變成

0

，不必展開比較係數。

第 9 題

2 < 7 < 3

，所以整數部分是

2

，

k = 7 - 2

。分子

3 k + 3 = 37 - 3 = 3 (7 - 1)

。分母

2 - k = 4 - 7 = \frac{8 - 2 7}{2} = \frac{7 - 1}{2}

（因為

8 - 27 = (7 - 1)^{2}

）。相除得

3 (7 - 1) \times \frac{2}{7 - 1} = 32

。

4 - 7

裡的根號前面沒有

2

，先把分子分母同乘以

2

再配成完全平方。

第 10 題令

t = \frac{1 + 5}{2}

，則

2 t - 1 = 5

，平方得

4 t^{2} - 4 t + 1 = 5

，即

t^{2} - t - 1 = 0

。用

x^{2} - x - 1

去除

f (x)

：

f (x) = (x^{2} - x - 1) (x^{2} + 4 x + 5) + (4 x + 6)

。代入

x = t

，前一項是

0

，所以

f (t) = 4 t + 6 = 2 (1 + 5) + 6 = 8 + 25

。

也可以用

t^{2} = t + 1

逐次降次：

t^{3} = 2 t + 1

、

t^{4} = 3 t + 2

，代入得

(3 t + 2) + 3 (2 t + 1) - 5 t + 1 = 4 t + 6

。

帶根號的數要代入高次式時，先找出它滿足的二次方程式，再用除法或降次，只剩一次式要算。

03填充 7～12（第 11～16 題）：絕對值不等式、極值、指數式、恆等式

第 11 題分三段。

x \geq 3

時：

(x + 1) + (x - 3) = 2 x - 2 \leq 7

，

x \leq \frac{9}{2}

，得

3 \leq x \leq \frac{9}{2}

。

- 1 \leq x < 3

時：

(x + 1) - (x - 3) = 4 \leq 7

恆成立。

x < - 1

時：

- (x + 1) - (x - 3) = - 2 x + 2 \leq 7

，

x \geq - \frac{5}{2}

，得

- \frac{5}{2} \leq x < - 1

。三段合起來是

- \frac{5}{2} \leq x \leq \frac{9}{2}

。

幾何看法：到

- 1

和

3

的距離和不超過

7

；兩點相距

4

，往兩邊各可再走

\frac{7 - 4}{2} = \frac{3}{2}

。另一個流傳版本的簡答印作

\frac{5}{2} \leq x \leq \frac{9}{2}

，少了負號；

x = 0

代入得

4 \leq 7

成立，可知左端點應為

- \frac{5}{2}

。

第 12 題以

\overline{A B}

為底，設

C

到

\overline{A B}

的距離為

h

，面積是

\frac{1}{2} \times 10 \times h = 5 h

。

C

在半圓上，

\overline{O C} = 5

，而

h \leq \overline{O C} = 5

，等號在

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

（

C

是弧的中點）時成立。所以面積最大值是

5 \times 5 = 25

。

用算幾不等式也可以：

∠ A C B = 9 0^{\circ}

，設

\overline{A C} = p

、

\overline{B C} = q

，

p^{2} + q^{2} = 100

，

\frac{p ^{2} + q ^{2}}{2} \geq p^{2} q^{2} = pq

，所以

pq \leq 50

，面積

\frac{1}{2} pq \leq 25

，等號在

p = q = 52

時成立。

第 13 題分子分母同乘以

a^{x}

：

\frac{a ^{3 x} + a ^{- 3 x}}{a ^{x} - a ^{- x}} = \frac{a ^{4 x} + a ^{- 2 x}}{a ^{2 x} - 1}

。

a^{2 x} = 2 + 1

，所以

a^{4 x} = (2 + 1)^{2} = 3 + 22

，

a^{- 2 x} = \frac{1}{2 + 1} = 2 - 1

。分子

= 3 + 22 + 2 - 1 = 2 + 32

，分母

= 2

。所求

= \frac{2 + 3 2}{2} = 2 + 3

。

分子是相加、分母是相減，不能直接用立方和公式約分；同乘

a^{x}

把每一項都化成

a^{2 x}

的次方。

第 14 題

∣ x + 1∣ \leq 3

即

- 4 \leq x \leq 2

，所以

- 5 \leq x - 1 \leq 1

，

0 \leq (x - 1)^{2} \leq 25

（

x = 1

時為

0

，

x = - 4

時為

25

）。

∣ y - 2∣ \leq 1

即

1 \leq y \leq 3

，所以

1 \leq y^{2} \leq 9

。

x

、

y

各自獨立，最大值

M = 25 - 1 = 24

（

x = - 4

、

y = 1

），最小值

m = 0 - 9 = - 9

（

x = 1

、

y = 3

）。答

(M, m) = (24, - 9)

。

x - 1

的範圍跨過

0

，平方的最小值是

0

，不是

1

。答案的順序是

(M, m)

，先寫最大值。

第 15 題解

- 1 \leq x \leq 5

的中點是

2

、到中點的距離是

3

，所以它等於

∣ x - 2∣ \leq 3

。兩邊乘以

3

：

∣3 x - 6∣ \leq 9

，也就是

∣ - 3 x + 6∣ \leq 9

。和

∣ - 3 x + a ∣ \leq b

對照，得

a = 6

、

b = 9

。

直接解也可以：

- b \leq - 3 x + a \leq b

得

\frac{a - b}{3} \leq x \leq \frac{a + b}{3}

，令

\frac{a - b}{3} = - 1

、

\frac{a + b}{3} = 5

。

第 16 題令

t = x - 1

，則

x + 2 = t + 3

。右邊

= (t + 3)^{3} + 3 (t + 3)^{2} - 7 (t + 3) + 2 = (t^{3} + 9 t^{2} + 27 t + 27) + (3 t^{2} + 18 t + 27) - (7 t + 21) + 2 = t^{3} + 12 t^{2} + 38 t + 35

。和左邊

a t^{3} + b t^{2} + c t + d

比較係數，

(a, b, c, d) = (1, 12, 38, 35)

。檢查：

x = 1

代入右邊得

27 + 27 - 21 + 2 = 35 = d

。

也可以把右邊展開成

x^{3} + 9 x^{2} + 17 x + 8

後，用綜合除法連續除以

x - 1

三次，餘數依序是

d

、

c

、

b

。

絕對值不等式先翻成區間再做；要求極值時，先確認每個變數各自的範圍，以及平方後的範圍有沒有跨過零。

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題目取自瑞祥高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

瑞祥高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01多選 1～4：除法原理、次數、對稱式、分點

02填充 1～6（第 5～10 題）：算幾不等式、指數律、恆等式、根式

03填充 7～12（第 11～16 題）：絕對值不等式、極值、指數式、恆等式

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瑞祥高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

瑞祥高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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瑞祥高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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高一第一次段考
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