段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

高雄三民高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

選填充題 16 題（第 1～4 題為選擇、第 5～16 題為填充，每題 5 分，共 80 分）、計算題 2 題共 4 小題（20 分）

一、選填充題（一題 5 分，共 80 分）

試問下列選項哪些是正確的？

(A) $0.4 \overline{56} = \frac{456 - 56}{990}$
(B) $2.1 \overline{7} = \frac{98}{45}$
(C) 設 $a$ 、 $b$ 是有理數，則 $ab$ 也是有理數
(D) 設 $a$ 是有理數， $b$ 是無理數，則 $\frac{a}{b}$ 是無理數
(E) $3125 + \frac{3 + 5}{3 - 5} - \frac{245}{20} = \frac{33 5}{2}$

設

p

、

q

為實數，且

p < q

，令

a = \frac{p + 5 q}{6}

、

b = \frac{p + 2 q}{3}

、

c = \frac{p + q}{2}

，則下列哪個選項是正確的？

(A) $a < b < c$
(B) $c < b < a$
(C) $a < c < b$
(D) $b < c < a$
(E) $b < a < c$

關於指數的敘述，下列哪些選項是正確的？

(A) $(- 2)^{3} \times (- 2)^{5} = 2^{8}$
(B) $[(- 3)^{\frac{4}{3}}]^{3} = 3^{4}$
(C) $(3)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{4}}$
(D) $(3 - 2)^{6} (3 + 2)^{8} = 7 - 43$
(E) $8 1^{\frac{4}{3}} \times (\frac{1}{243})^{\frac{1}{3}} \times (\frac{1}{9})^{- \frac{2}{3}} = 3^{5}$

試問下列哪些選項是正確的？

(A) $1 0^{l o g 3} > 1 0^{l o g 5}$
(B) 每一個正數都可以寫成 $10$ 的某次方
(C) 若 $a > 0$ ，則 $1 0^{l o g a}$ 的值必為正數
(D) 若 $a > 0$ ，則 $a^{2} = 1 0^{2 l o g a}$
(E) 已知 $lo g 2 \approx 0.3010$ ，則 $2^{40}$ 為 $12$ 位數

將

\frac{37}{273}

化成小數後，試問小數點後第

2025

位的數字是 ____。

試問

17 - 10

與

19 - 12

的大小為 ____。

已知

k < 43 + 243 < k + 1

，其中

k

為正整數，則

k =

____。

設

A (4)

、

B (- 8)

、

C (x)

是數線上三點，若

\overline{A C} : \overline{B C} = 5 : 1

，則

x

值為 ____。（有兩解）

一農夫想用

61

公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃，並在其中兩邊分別留著寬

2

公尺及

1

公尺的出入口，如下圖所示。試問這位農夫所能圍成的最大面積是 ____ 平方公尺。

載入中...

郊區一筆直的路段上，有

A

、

B

兩處農舍。今欲在此路段上挖一口井

C

，使得農舍

A

到井

C

的距離與農舍

B

到井

C

的距離之和為

18

，若將此路段視為數線的一部分，且

A (4)

、

B (- 6)

、

C (x)

，則

x =

____。（有兩解）

某實驗室在一項細菌繁殖實驗中，細菌數每經過一天增加為原本的

a

倍，已知從一開始的

2.5

天後細菌數為

24300

隻，從一開始的

4

天後細菌數為

656100

隻，則從一開始的

3

天後的細菌數為 ____ 隻。

設

x

、

y

是實數，且

6 7^{x} = 60 3^{y} = 3

，則

\frac{1}{x} - \frac{1}{y} =

____。

若

lo g 9453000

的值介於正整數

n

與

n + 1

之間，則

n

的值為 ____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，試比較

2^{40}

、

5^{18}

、

6^{16}

的大小關係 ____。

已知

lo g 3 \approx 0.4771

，將

(\frac{1}{3})^{30}

化為小數時，則此數將從小數點後第 ____ 位開始不為

0

。

若溶液中的氫離子濃度為

a

莫耳/公升，規定它的 pH 值是

- lo g a

。若溶液

A

的 pH 值為

2.3

，溶液

B

的 pH 值為

6.3

，則溶液

A

中的氫離子濃度是溶液

B

中氫離子濃度的 ____ 倍。

二、計算題（共 20 分，若無計算過程，則不予計分）（本頁第 17～20 題依序為原卷計算題 1(1)、1(2)、2(1)、2(2)）

計算題 1（第 17～18 題）　試解下列各不等式：

(1)

1 < ∣2 x - 7∣ \leq 3

。

(2)

∣ x - 2∣ + ∣ x + 3∣ < 8

。

計算題 2（第 19～20 題）　設

a

為正實數，若

a + a^{- 1} = 5

，求

(1)

a^{2} + a^{- 2}

。

(2)

a^{3} + a^{- 3}

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)(E)

第 2 題(B)

第 3 題(A)(C)(E)

第 4 題(B)(C)(D)

第 5 題

5

第 6 題

17 - 10 > 19 - 12

第 7 題

9

第 8 題

- 6

或

- 11

第 9 題

256

第 10 題

8

或

- 10

第 11 題

72900

第 12 題

- 2

第 13 題

6

第 14 題

5^{18} > 6^{16} > 2^{40}

第 15 題

15

第 16 題

10000

第 17 題

2 \leq x < 3

或

4 < x \leq 5

第 18 題

- \frac{9}{2} < x < \frac{7}{2}

第 19 題

3

第 20 題

25

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～4 題（選擇）：有理數與根式、分點、指數律、log 的意義

第 1 題答案 (B)(C)(E)。(A) 錯：

0.4 \overline{56}

不循環的部分只有

4

，應為

\frac{456 - 4}{990} = \frac{452}{990}

，不是

\frac{456 - 56}{990}

。(B) 對：

2.1 \overline{7} = \frac{217 - 21}{90} = \frac{196}{90} = \frac{98}{45}

。(C) 對：有理數相乘仍是有理數。(D) 錯：取

a = 0

，

\frac{a}{b} = 0

是有理數。(E) 對：

3125 = 155

；

\frac{3 + 5}{3 - 5} = \frac{( 3 + 5 ) ^{2}}{9 - 5} = \frac{14 + 6 5}{4} = \frac{7 + 3 5}{2}

；

\frac{245}{20} = \frac{49}{4} = \frac{7}{2}

。三項合起來是

155 + \frac{7}{2} + \frac{3 5}{2} - \frac{7}{2} = \frac{33 5}{2}

。

循環小數化分數時，分子要減掉的是「不循環的那一段」；(D) 要記得

a

可以是

0

。

第 2 題答案 (B)。把三個數都看成數線上

P (p)

、

Q (q)

之間的分點：

c = \frac{p + q}{2}

是中點；

b = \frac{p + 2 q}{3}

是

\overline{P Q}

上離

P

占

\frac{2}{3}

的點；

a = \frac{p + 5 q}{6}

是離

P

占

\frac{5}{6}

的點。因為

p < q

且

\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{5}{6}

，所以

c < b < a

。也可以直接相減：

b - c = \frac{q - p}{6} > 0

，

a - b = \frac{q - p}{6} > 0

。

q

的係數占的比例越大，點就越靠近

q

（右邊）。

第 3 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：

(- 2)^{3} \times (- 2)^{5} = (- 2)^{8} = 2^{8}

。(B) 錯：指數是分數時，底數必須是正數，

(- 3)^{\frac{4}{3}}

沒有定義，不能套指數律。(C) 對：

(3)^{\frac{1}{2}} = (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{4}}

。(D) 錯：

(3 - 2)^{6} (3 + 2)^{8} = [(3 - 2) (3 + 2)]^{6} (3 + 2)^{2} = (3 - 4)^{6} (7 + 43) = 7 + 43

，不是

7 - 43

。(E) 對：

8 1^{\frac{4}{3}} = 3^{\frac{16}{3}}

，

(\frac{1}{243})^{\frac{1}{3}} = 3^{- \frac{5}{3}}

，

(\frac{1}{9})^{- \frac{2}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}

，指數相加

\frac{16 - 5 + 4}{3} = 5

，得

3^{5}

。

選項 (D) 兩個流傳版本印得不一樣：一個版本等號右邊印作

7 + 43

，另一個版本印作

7 - 43

，兩個版本的參考答案都是 (A)(C)(E)。左式的值是

7 + 43

，等號右邊是

7 - 43

才與參考答案相符，本頁採用

7 - 43

。若照

7 + 43

的版本作答，(D) 也是正確的。

第 4 題答案 (B)(C)(D)。

lo g a

的意義是「

10

的幾次方等於

a

」，所以

a > 0

時

1 0^{l o g a} = a

。(A) 錯：

1 0^{l o g 3} = 3

，

1 0^{l o g 5} = 5

，

3 < 5

。(B) 對：正數

a

可寫成

1 0^{l o g a}

。(C) 對：

1 0^{l o g a} = a > 0

。(D) 對：

1 0^{2 l o g a} = (1 0^{l o g a})^{2} = a^{2}

。(E) 錯：

2^{40} \approx 1 0^{0.3010 \times 40} = 1 0^{12.04}

，介於

1 0^{12}

和

1 0^{13}

之間，是

13

位數。

1 0^{n} \leq N < 1 0^{n + 1}

時

N

是

n + 1

位數，位數要比指數的整數部分多

1

。

02第 5～7 題：循環節、根式比大小、雙重根號

第 5 題直接做長除法：

37 \div 273 = 0.135531 135531 \dots

，除到第

6

位時餘數又回到

37

，所以

\frac{37}{273} = 0. \overline{135531}

，循環節有

6

位。

2025 = 6 \times 337 + 3

，第

2025

位和第

3

位相同，是

5

。

餘數一回到最初的被除數就開始循環，不必再除下去。

第 6 題兩式都做分子有理化：

17 - 10 = \frac{17 - 10}{17 + 10} = \frac{7}{17 + 10}

，

19 - 12 = \frac{7}{19 + 12}

。分子相同，分母

17 + 10 < 19 + 12

，分母小的分數比較大，所以

17 - 10 > 19 - 12

。（近似值約為

0.961

與

0.895

。）

兩組根號內的差都是

7

，這是分子有理化後能直接比較的原因。

第 7 題

43 + 243 = 43 + 2432

，找兩數和

43

、積

432

：

27

和

16

。所以

43 + 243 = 27 + 16 = 33 + 4

。

33 = 27

，而

5 < 27 < 6

，所以

9 < 33 + 4 < 10

，

k = 9

。

要先把根號內化成

2

的形式：

243 = 2 \times 123 = 2432

。

03第 8～10 題：數線上的距離與算幾不等式

第 8 題

\overline{A C} = ∣ x - 4∣

，

\overline{B C} = ∣ x + 8∣

，條件是

∣ x - 4∣ = 5∣ x + 8∣

。

x - 4 = 5 (x + 8)

得

x = - 11

；

x - 4 = - 5 (x + 8)

得

x = - 6

。驗算：

x = - 6

時

\overline{A C} = 10

、

\overline{B C} = 2

（

C

在

A

、

B

之間）；

x = - 11

時

\overline{A C} = 15

、

\overline{B C} = 3

（

C

在

B

的左邊）。

題目沒有說

C

在

A

、

B

之間，內分和外分兩種情形都要算。

第 9 題竹籬長

61

公尺，加上兩個出入口

2 + 1 = 3

公尺，長方形的周長是

64

公尺。設長、寬為

x

、

y

公尺，則

2 (x + y) = 64

，

x + y = 32

。由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y

，得

16 \geq x y

，

x y \leq 256

。等號在

x = y = 16

時成立，所以最大面積是

256

平方公尺。

出入口不用竹籬，所以周長是竹籬長加上兩個出入口的寬，不是

61

。

第 10 題條件是

∣ x - 4∣ + ∣ x + 6∣ = 18

。

A

、

B

相距

10

，

C

若在

A

、

B

之間，距離和恰為

10

，不合，所以

C

在

\overline{A B}

之外。

C

在

A

的右邊時：

(x - 4) + (x + 6) = 18

，

x = 8

。

C

在

B

的左邊時：

(4 - x) + (- 6 - x) = 18

，

x = - 10

。

距離和比

\overline{A B}

多出

8

，往兩端各走

4

就是答案：

4 + 4 = 8

、

- 6 - 4 = - 10

。

∣ x - a ∣

就是數線上

x

到

a

的距離；把絕對值式子翻成距離，內分、外分或「在線段之外」的情形就容易看出來。

04第 11～12 題：指數成長與指數式求值

第 11 題設一開始有

N

隻，

t

天後有

N \cdot a^{t}

隻。

N \cdot a^{2.5} = 24300

，

N \cdot a^{4} = 656100

，兩式相除得

a^{1.5} = 27

，也就是

a^{\frac{3}{2}} = 3^{3}

，所以

a^{\frac{1}{2}} = 3

（

a = 9

）。

3

天後的細菌數是

N \cdot a^{3} = N \cdot a^{2.5} \times a^{0.5} = 24300 \times 3 = 72900

隻。

不必求出一開始的數量，只要知道再過

0.5

天會變成幾倍。

第 12 題

6 7^{x} = 3

，兩邊取

\frac{1}{x}

次方得

67 = 3^{\frac{1}{x}}

；同理

603 = 3^{\frac{1}{y}}

。相除：

3^{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{67}{603} = \frac{1}{9} = 3^{- 2}

，所以

\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = - 2

。

603 = 67 \times 9

。把條件改寫成「以

3

為底」，所求的式子就會出現在指數上。

05第 13～16 題：常用對數與位數

第 13 題

9453000

是

7

位數，

1 0^{6} < 9453000 < 1 0^{7}

，所以

6 < lo g 9453000 < 7

，

n = 6

。

第 14 題把三個數都寫成

10

的次方。

2^{40} \approx 1 0^{0.3010 \times 40} = 1 0^{12.04}

。

5 = \frac{10}{2} \approx 1 0^{1 - 0.3010} = 1 0^{0.6990}

，所以

5^{18} \approx 1 0^{0.6990 \times 18} = 1 0^{12.582}

。

6 = 2 \times 3 \approx 1 0^{0.3010 + 0.4771} = 1 0^{0.7781}

，所以

6^{16} \approx 1 0^{0.7781 \times 16} = 1 0^{12.4496}

。比較指數

12.582 > 12.4496 > 12.04

，得

5^{18} > 6^{16} > 2^{40}

。

lo g 5

沒有給，用

5 = 10 \div 2

得

lo g 5 \approx 1 - 0.3010 = 0.6990

。

第 15 題

3 \approx 1 0^{0.4771}

，所以

(\frac{1}{3})^{30} = 3^{- 30} \approx 1 0^{- 0.4771 \times 30} = 1 0^{- 14.313} = 1 0^{0.687} \times 1 0^{- 15}

。

1 < 1 0^{0.687} < 10

，所以這個數是「一位數的整數部分」乘以

1 0^{- 15}

，從小數點後第

15

位開始不為

0

。

把指數拆成「

0

到

1

之間的小數」加上「負整數」：

- 14.313 = 0.687 + (- 15)

，不是

- 0.313 + (- 14)

。

第 16 題設溶液

A

、

B

的氫離子濃度分別為

a

、

b

。

- lo g a = 2.3

即

lo g a = - 2.3

，

a = 1 0^{- 2.3}

；同理

b = 1 0^{- 6.3}

。

\frac{a}{b} = \frac{1 0 ^{- 2.3}}{1 0 ^{- 6.3}} = 1 0^{- 2.3 + 6.3} = 1 0^{4} = 10000

，所以是

10000

倍。

pH 值每少

1

，氫離子濃度變成

10

倍；少

4

就是

1 0^{4}

倍。

位數和「小數點後第幾位開始不為 0」都是把數寫成

10

的次方，再把指數拆成整數加上一個

0

到

1

之間的小數。

06計算題 1（第 17～18 題）：絕對值不等式

第 17 題(1)

1 < ∣2 x - 7∣ \leq 3

分成兩種情形。

2 x - 7

為正：

1 < 2 x - 7 \leq 3

，

8 < 2 x \leq 10

，

4 < x \leq 5

。

2 x - 7

為負：

- 3 \leq 2 x - 7 < - 1

，

4 \leq 2 x < 6

，

2 \leq x < 3

。所以解為

2 \leq x < 3

或

4 < x \leq 5

。

也可以先除以

2

：

\frac{1}{2} < x - \frac{7}{2} \leq \frac{3}{2}

，表示

x

到

\frac{7}{2}

的距離大於

\frac{1}{2}

、不超過

\frac{3}{2}

。等號只出現在外側的兩個端點

2

和

5

。

第 18 題(2) 依

x

的位置分三段。

x \geq 2

時：

(x - 2) + (x + 3) < 8

，

x < \frac{7}{2}

，得

2 \leq x < \frac{7}{2}

。

- 3 \leq x < 2

時：

(2 - x) + (x + 3) = 5 < 8

恆成立，得

- 3 \leq x < 2

。

x < - 3

時：

(2 - x) + (- x - 3) < 8

，

x > - \frac{9}{2}

，得

- \frac{9}{2} < x < - 3

。三段合起來，解為

- \frac{9}{2} < x < \frac{7}{2}

。

用距離看：

x

到

2

與到

- 3

的距離和小於

8

。兩點相距

5

，還多

3

，往兩端各延伸

\frac{3}{2}

：

2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}

、

- 3 - \frac{3}{2} = - \frac{9}{2}

。

07計算題 2（第 19～20 題）：對稱式求值

第 19 題(1) 把

a + a^{- 1} = 5

兩邊平方：

a^{2} + 2 \cdot a \cdot a^{- 1} + a^{- 2} = 5

，即

a^{2} + 2 + a^{- 2} = 5

，所以

a^{2} + a^{- 2} = 3

。

第 20 題(2) 由乘法公式

x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

，取

x = a

、

y = a^{- 1}

（

x y = 1

）：

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1}) (a^{2} - 1 + a^{- 2}) = 5 \times (3 - 1) = 25

。

也可以用

(a + a^{- 1})^{3} - 3 (a + a^{- 1}) = 55 - 35 = 25

，結果相同。

a \cdot a^{- 1} = 1

，所以

a + a^{- 1}

平方或立方之後，交叉項都會變成常數或

a + a^{- 1}

本身。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

高雄三民高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄三民高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要注意底數是負數時不能用分數指數，選項 (D) 兩個流傳版本印得不同；第 9 題的周長要把兩個出入口的寬加回去；第 15 題要把負的指數拆成零到一之間的小數加上負整數；計算題 1 第 (2) 小題要分三段討論或用距離來看。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄三民高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄三民高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解