段考詳解範圍：數與式（實數與循環小數、乘法公式與根式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數）

左營高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 26 題，照原卷順序

是非題 10 題（每題 2 分，共 20 分）、填充與單選題 16 題共 20 格（依配分表給分，共 80 分）

一、是非題（一題 2 分，共 20 分，正確請畫 ○，錯誤請畫 ×）

是非題共同前提（第 1～10 題）　

a

、

b

為非零的實數。

若

a > b

，則

\frac{a}{b} > 1

。

若

\frac{a}{b} > 1

，則

∣ a ∣ > ∣ b ∣

。

若

a - b > 0

，則

\frac{a}{b} > 1

。

\frac{0. 12}{0. 23}

為有理數。

\frac{1}{17}

化為小數，是一個無限循環小數。

0. \overline{23} = \frac{23}{99}

。

若

a + b

為有理數，則

a - b

也是有理數。

1 0^{l o g 114} = 114

。

2^{- 3} = - 8

。

5^{0} = 0

。

二、填充、單選題（依配分表給分，共 80 分）——本頁第 11～26 題為原卷本大題第 1～16 題，共 20 格。配分表（答對格數→得分）：1 格 5、2 格 10、3 格 15、4 格 20、5 格 25、6 格 30、7 格 34、8 格 38、9 格 42、10 格 46、11 格 50、12 格 54、13 格 58、14 格 62、15 格 66、16 格 70、17 格 74、18 格 76、19 格 78、20 格 80。

(2 x + y)^{3} = 8 x^{3} + a x^{2} y + b x y^{2} + y^{3}

，數對

(a, b) =

____。

若

∣ x - 3∣ = 2

，則

x =

____。（有兩解）

設

A (- 2)

、

B (7)

為數線上兩點，若

P

點介於

A

、

B

兩點之間，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 5

，則

P

點的坐標為 ____。

3 \times 27 = 3^{x}

，則

x =

____。

lo g (1 0^{a}) = 3

，則

a =

____。

(lo g \frac{1}{1000}) \times (lo g 10000) =

____。

已知

x + \frac{1}{x} = 4

，求：(1)

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} =

____。(2)

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

____。

解下列絕對值不等式：(1)

∣ x - 3∣ \geq 5

，則

x

的範圍為 ____。(2)

∣ x - 3∣ < ∣ x - 2∣

，則

x

的範圍為 ____。

14 - 224 + 11 - 224

可化簡為

□ + 2

，則

□ =

____。

放射性物質其重量衰變為原本的一半所需時間稱為「半衰期」，某放射性物質的半衰期為

10

年，現在此放射性物質為

320

克，如果再經過

50

年，此放射性物質會剩下 ____ 克。

(1)

a = lo g 3

、

b = lo g 2

，則

1 0^{a - b + 1} =

____。(2)

lo g c = 5.1

、

lo g d = - 1.4

，則

c \times d

的整數部分為 ____ 位數。

已知

a

為有理數，且

\frac{a + 4 2}{1 + a 2}

也是有理數，則

a =

____。（有兩解）

已知

a

、

b

為正實數且

ab = \frac{25}{2}

，求：(1)

a + 2 b

的最小值

=

____。(2) 承上，此時數對

(a, b) =

____。

已知

a

為整數，且

3 \leq lo g a \leq 13

，滿足此條件的

a

的數量最接近幾個？（單選）

(A) $10$ 個
(B) $13$ 個
(C) $1 0^{10}$ 個
(D) $1 0^{13}$ 個

某實驗中，原始數據為

E

，所求數據

T

以

T = 3 + \frac{1}{2} lo g E

來計算，試問

T

每增加

1

時，原始數據

E

變為 ____ 倍。

若

x

為實數，試求滿足

4 < ∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ \leq 6

的

x

範圍為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

102

第 11 題

(12, 6)

第 12 題

5

或

1

第 13 題

\frac{11}{8}

第 14 題

\frac{5}{4}

第 15 題

3

第 16 題

- 12

第 17 題(1)

14

；(2)

52

第 18 題(1)

x \leq - 2

或

x \geq 8

；(2)

x > \frac{5}{2}

第 19 題

3

第 20 題

10

第 21 題(1)

15

；(2)

4

第 22 題

2

或

- 2

第 23 題(1)

10

；(2)

(5, \frac{5}{2})

第 24 題(D)

第 25 題

100

第 26 題

- \frac{7}{2} \leq x < - \frac{5}{2}

或

\frac{3}{2} < x \leq \frac{5}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～3、7：不等式的正負號與反例

第 1 題2反例

a = 1, b = - 1

：

a > b

，但

\frac{a}{b} = - 1 < 1

。

不等式兩邊同除以

b

，

b

是負數時不等號要反向，所以不能直接除。

第 2 題1

\frac{a}{b} > 1

表示

\frac{a}{b}

是比 1 大的正數，所以

\frac{a}{b} = \frac{a}{b} > 1

，也就是

\frac{∣ a ∣}{∣ b ∣} > 1

。

∣ b ∣ > 0

，兩邊同乘

∣ b ∣

得

∣ a ∣ > ∣ b ∣

。

第 3 題2

a - b > 0

就是

a > b

，和第 1 題相同。反例

a = 1, b = - 1

：

a - b = 2 > 0

，但

\frac{a}{b} = - 1

。

第 7 題2反例

a = 2, b = - 2

（都不是零）：

a + b = 0

是有理數，但

a - b = 22

是無理數。

「若…則…」的敘述只要找到一組反例就是錯的；題目說

a, b

是非零實數，負數和無理數都要試。

02是非 4～6：循環小數與有理數

第 4 題1

0. \overline{12} = \frac{12}{99}

，

0. \overline{23} = \frac{23}{99}

，相除得

\frac{12}{23}

，是整數相除（分母不為零），所以是有理數。

第 5 題1有理數化成小數，不是有限小數就是循環小數。最簡分數的分母只含質因數 2、5 時才是有限小數；

17

是 2、5 以外的質數，所以

\frac{1}{17}

是無限循環小數。

第 6 題1設

x = 0. \overline{23}

，則

100 x = 23. \overline{23}

，相減得

99 x = 23

，

x = \frac{23}{99}

。

流傳版本題幹印作

0.23 = \frac{23}{99}

（23 上方沒有循環節的橫線），依參考答案（○）應為

0. \overline{23}

；另一個流傳版本印的也是

0. \overline{23}

。若照字面

0.23 = \frac{23}{100}

，就不等於

\frac{23}{99}

。

03是非 8～10：log 的意義、零次方與負次方

第 8 題1

lo g 114

的意思是「10 的幾次方等於 114」，所以

1 0^{l o g 114} = 114

。

第 9 題2

2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}

。負的次方是取倒數，結果仍是正數。

第 10 題2不是零的數，零次方都等於 1：

5^{0} = 1

。

04第 11、13、17、19、22 題：乘法公式、分點與根式

第 11 題

(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}

，代

A = 2 x, B = y

：

(2 x + y)^{3} = 8 x^{3} + 3 \cdot 4 x^{2} \cdot y + 3 \cdot 2 x \cdot y^{2} + y^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}

。

答案

(a, b) = (12, 6)

。

第 13 題

\overline{A B} = 7 - (- 2) = 9

。

P

在

A

、

B

之間且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 5

，所以

\overline{A P} = 9 \times \frac{3}{8} = \frac{27}{8}

，

P

的坐標是

- 2 + \frac{27}{8} = \frac{11}{8}

。

用分點公式也一樣：

\frac{5 \times ( - 2 ) + 3 \times 7}{3 + 5} = \frac{11}{8}

。

第 17 題(1)

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 16 - 2 = 14

。(2)

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 64 - 12 = 52

。

(2) 也可以用立方和：

(x + \frac{1}{x}) (x^{2} - 1 + \frac{1}{x ^{2}}) = 4 \times 13 = 52

。

第 19 題

14 - 224

：找兩數相加 14、相乘 24，是 12 和 2，所以

14 - 224 = 12 - 2 = 23 - 2

。

11 - 224

：相加 11、相乘 24，是 8 和 3，所以

11 - 224 = 8 - 3 = 22 - 3

。兩式相加得

3 + 2

，所以

□ = 3

。

化雙重根號要寫成大減小，結果才是正的。

第 22 題設

\frac{a + 4 2}{1 + a 2} = r

（

r

是有理數），則

a + 42 = r + r a 2

，整理成

a - r = (r a - 4) 2

。若

r a - 4 \neq = 0

，則

2 = \frac{a - r}{r a - 4}

會是有理數，矛盾；所以

r a - 4 = 0

且

a - r = 0

，得

a^{2} = 4

，

a = \pm 2

。

驗算：

a = 2

時

\frac{2 + 4 2}{1 + 2 2} = 2

；

a = - 2

時

\frac{- 2 + 4 2}{1 - 2 2} = - 2

，都是有理數。

有理數

p, q

滿足

p = q 2

時，只能

p = q = 0

；遇到「含

2

的式子是有理數」就把有理部分和

2

的係數分開比較。

05第 12、18、26 題：絕對值看成數線上的距離

第 12 題

∣ x - 3∣ = 2

表示

x

到

3

的距離是 2：

x - 3 = 2

或

x - 3 = - 2

，得

x = 5

或

x = 1

。

第 18 題(1)

∣ x - 3∣ \geq 5

：

x - 3 \geq 5

或

x - 3 \leq - 5

，得

x \geq 8

或

x \leq - 2

。(2)

∣ x - 3∣ < ∣ x - 2∣

表示

x

到

3

的距離比到

2

的距離小。

2

和

3

的中點是

\frac{5}{2}

，在中點右邊的點才離

3

比較近，所以

x > \frac{5}{2}

。

(2) 流傳版本的簡答寫

x < \frac{5}{2}

，但代

x = 3

：

∣3 - 3∣ = 0 < ∣3 - 2∣ = 1

成立；代

x = 2

：

1 < 0

不成立，所以應為

x > \frac{5}{2}

。另一個附詳解的流傳版本答案也是

x > \frac{5}{2}

。兩邊平方也可得：

x^{2} - 6 x + 9 < x^{2} - 4 x + 4

，即

2 x > 5

。

第 26 題

∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣

是

x

到

- 2

與到

1

的距離和。

- 2 \leq x \leq 1

時距離和恆為

3

，不大於 4，不合。

x > 1

時距離和是

(x + 2) + (x - 1) = 2 x + 1

，由

4 < 2 x + 1 \leq 6

得

\frac{3}{2} < x \leq \frac{5}{2}

。

x < - 2

時距離和是

- (x + 2) - (x - 1) = - 2 x - 1

，由

4 < - 2 x - 1 \leq 6

得

- \frac{7}{2} \leq x < - \frac{5}{2}

。

答案

- \frac{7}{2} \leq x < - \frac{5}{2}

或

\frac{3}{2} < x \leq \frac{5}{2}

。兩段都符合各自的前提（

x < - 2

、

x > 1

）。

∣ x - a ∣

就是

x

到

a

的距離；兩個絕對值相加時，以兩個分界點把數線分成三段討論。

06第 14、20、23 題：指數律、半衰期與算幾不等式

第 14 題

3 = 3^{\frac{1}{2}}

；

27 = 3^{\frac{3}{2}}

，再開一次根號是

3^{\frac{3}{4}}

。相乘：

3^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}} = 3^{\frac{5}{4}}

，所以

x = \frac{5}{4}

。

第 20 題

50

年是

5

個半衰期，重量變成原來的

(\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}

：

320 \times \frac{1}{32} = 10

克。

第 23 題

a

、

2 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{a + 2 b}{2} \geq a \cdot 2 b = 2 ab = 25 = 5

，所以

a + 2 b \geq 10

。等號成立在

a = 2 b

：代入

ab = \frac{25}{2}

得

2 b^{2} = \frac{25}{2}

，

b = \frac{5}{2}

，

a = 5

。

答案 (1)

10

；(2)

(a, b) = (5, \frac{5}{2})

。等號成立的是

a = 2 b

，不是

a = b

。

用算幾不等式求極值：要相加的兩項（這裡是

a

和

2 b

）乘積要是定值，最後檢查等號做不做得到。

07第 15、16、21、24、25 題：常用對數

第 15 題

lo g (1 0^{a})

是「10 的幾次方等於

1 0^{a}

」，就是

a

，所以

a = 3

。

第 16 題

\frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}

，

lo g \frac{1}{1000} = - 3

；

10000 = 1 0^{4}

，

lo g 10000 = 4

。相乘得

- 12

。

第 21 題(1)

a = lo g 3

表示

1 0^{a} = 3

，同理

1 0^{b} = 2

。

1 0^{a - b + 1} = \frac{1 0 ^{a}}{1 0 ^{b}} \times 10 = \frac{3}{2} \times 10 = 15

。(2)

c = 1 0^{5.1}

，

d = 1 0^{- 1.4}

，

c \times d = 1 0^{3.7} = 1 0^{0.7} \times 1 0^{3}

。因為

1 < 1 0^{0.7} < 10

，所以

1000 < c \times d < 10000

，整數部分是

4

位數。

第 24 題

3 \leq lo g a \leq 13

就是

1 0^{3} \leq a \leq 1 0^{13}

。這個範圍內的整數有

1 0^{13} - 1 0^{3} + 1

個；

1 0^{3}

和

1 0^{13}

相比非常小，所以最接近

1 0^{13}

個，選 (D)。

lo g a

從 3 到 13 只差 10，但

a

本身是從一千到十兆。

第 25 題設原來是

T = 3 + \frac{1}{2} lo g E

，增加後是

T + 1 = 3 + \frac{1}{2} lo g E^{'}

。兩式相減：

1 = \frac{1}{2} (lo g E^{'} - lo g E)

，所以

lo g E^{'} = lo g E + 2

，

E^{'} = 1 0^{l o g E + 2} = 1 0^{l o g E} \times 1 0^{2} = 100 E

。

E

變為

100

倍。

lo g x = k

和

x = 1 0^{k}

是同一件事；看到 log 的加減，就換回 10 的次方用指數律處理。

同一次段考的其他學校

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兩個絕對值相加的不等式要分三段討論（第 26 題，原卷第二大題第 16 題）、比較到兩點距離的絕對值不等式方向容易寫反（第 18 題第 2 小題）、含根號二的分式為有理數的條件（第 22 題），以及算幾不等式等號成立的條件是兩項相等而不是兩數相等（第 23 題）。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高一

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一、是非題（一題 2 分，共 20 分，正確請畫 ○，錯誤請畫 ×）

是非題共同前提（第 1～10 題）　

a

、

b

為非零的實數。

若

a > b

，則

\frac{a}{b} > 1

。

若

\frac{a}{b} > 1

，則

∣ a ∣ > ∣ b ∣

。

若

a - b > 0

，則

\frac{a}{b} > 1

。

\frac{0. 12}{0. 23}

為有理數。

\frac{1}{17}

化為小數，是一個無限循環小數。

0. \overline{23} = \frac{23}{99}

。

若

a + b

為有理數，則

a - b

也是有理數。

1 0^{l o g 114} = 114

。

2^{- 3} = - 8

。

5^{0} = 0

。

(2 x + y)^{3} = 8 x^{3} + a x^{2} y + b x y^{2} + y^{3}

，數對

(a, b) =

____。

若

∣ x - 3∣ = 2

，則

x =

____。（有兩解）

設

A (- 2)

、

B (7)

為數線上兩點，若

P

點介於

A

、

B

兩點之間，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 5

，則

P

點的坐標為 ____。

3 \times 27 = 3^{x}

，則

x =

____。

lo g (1 0^{a}) = 3

，則

a =

____。

(lo g \frac{1}{1000}) \times (lo g 10000) =

____。

已知

x + \frac{1}{x} = 4

，求：(1)

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} =

____。(2)

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

____。

解下列絕對值不等式：(1)

∣ x - 3∣ \geq 5

，則

x

的範圍為 ____。(2)

∣ x - 3∣ < ∣ x - 2∣

，則

x

的範圍為 ____。

14 - 224 + 11 - 224

可化簡為

□ + 2

，則

□ =

____。

放射性物質其重量衰變為原本的一半所需時間稱為「半衰期」，某放射性物質的半衰期為

10

年，現在此放射性物質為

320

克，如果再經過

50

年，此放射性物質會剩下 ____ 克。

(1)

a = lo g 3

、

b = lo g 2

，則

1 0^{a - b + 1} =

____。(2)

lo g c = 5.1

、

lo g d = - 1.4

，則

c \times d

的整數部分為 ____ 位數。

已知

a

為有理數，且

\frac{a + 4 2}{1 + a 2}

也是有理數，則

a =

____。（有兩解）

已知

a

、

b

為正實數且

ab = \frac{25}{2}

，求：(1)

a + 2 b

的最小值

=

____。(2) 承上，此時數對

(a, b) =

____。

已知

a

為整數，且

3 \leq lo g a \leq 13

，滿足此條件的

a

的數量最接近幾個？（單選）

(A) $10$ 個
(B) $13$ 個
(C) $1 0^{10}$ 個
(D) $1 0^{13}$ 個

某實驗中，原始數據為

E

，所求數據

T

以

T = 3 + \frac{1}{2} lo g E

來計算，試問

T

每增加

1

時，原始數據

E

變為 ____ 倍。

若

x

為實數，試求滿足

4 < ∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ \leq 6

的

x

範圍為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

102

第 11 題

(12, 6)

第 12 題

5

或

1

第 13 題

\frac{11}{8}

第 14 題

\frac{5}{4}

第 15 題

3

第 16 題

- 12

第 17 題(1)

14

；(2)

52

第 18 題(1)

x \leq - 2

或

x \geq 8

；(2)

x > \frac{5}{2}

第 19 題

3

第 20 題

10

第 21 題(1)

15

；(2)

4

第 22 題

2

或

- 2

第 23 題(1)

10

；(2)

(5, \frac{5}{2})

第 24 題(D)

第 25 題

100

第 26 題

- \frac{7}{2} \leq x < - \frac{5}{2}

或

\frac{3}{2} < x \leq \frac{5}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～3、7：不等式的正負號與反例

第 1 題2反例

a = 1, b = - 1

：

a > b

，但

\frac{a}{b} = - 1 < 1

。

不等式兩邊同除以

b

，

b

是負數時不等號要反向，所以不能直接除。

第 2 題1

\frac{a}{b} > 1

表示

\frac{a}{b}

是比 1 大的正數，所以

\frac{a}{b} = \frac{a}{b} > 1

，也就是

\frac{∣ a ∣}{∣ b ∣} > 1

。

∣ b ∣ > 0

，兩邊同乘

∣ b ∣

得

∣ a ∣ > ∣ b ∣

。

第 3 題2

a - b > 0

就是

a > b

，和第 1 題相同。反例

a = 1, b = - 1

：

a - b = 2 > 0

，但

\frac{a}{b} = - 1

。

第 7 題2反例

a = 2, b = - 2

（都不是零）：

a + b = 0

是有理數，但

a - b = 22

是無理數。

「若…則…」的敘述只要找到一組反例就是錯的；題目說

a, b

是非零實數，負數和無理數都要試。

02是非 4～6：循環小數與有理數

第 4 題1

0. \overline{12} = \frac{12}{99}

，

0. \overline{23} = \frac{23}{99}

，相除得

\frac{12}{23}

，是整數相除（分母不為零），所以是有理數。

第 5 題1有理數化成小數，不是有限小數就是循環小數。最簡分數的分母只含質因數 2、5 時才是有限小數；

17

是 2、5 以外的質數，所以

\frac{1}{17}

是無限循環小數。

第 6 題1設

x = 0. \overline{23}

，則

100 x = 23. \overline{23}

，相減得

99 x = 23

，

x = \frac{23}{99}

。

流傳版本題幹印作

0.23 = \frac{23}{99}

（23 上方沒有循環節的橫線），依參考答案（○）應為

0. \overline{23}

；另一個流傳版本印的也是

0. \overline{23}

。若照字面

0.23 = \frac{23}{100}

，就不等於

\frac{23}{99}

。

03是非 8～10：log 的意義、零次方與負次方

第 8 題1

lo g 114

的意思是「10 的幾次方等於 114」，所以

1 0^{l o g 114} = 114

。

第 9 題2

2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}

。負的次方是取倒數，結果仍是正數。

第 10 題2不是零的數，零次方都等於 1：

5^{0} = 1

。

04第 11、13、17、19、22 題：乘法公式、分點與根式

第 11 題

(A + B)^{3} = A^{3} + 3 A^{2} B + 3 A B^{2} + B^{3}

，代

A = 2 x, B = y

：

(2 x + y)^{3} = 8 x^{3} + 3 \cdot 4 x^{2} \cdot y + 3 \cdot 2 x \cdot y^{2} + y^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}

。

答案

(a, b) = (12, 6)

。

第 13 題

\overline{A B} = 7 - (- 2) = 9

。

P

在

A

、

B

之間且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 5

，所以

\overline{A P} = 9 \times \frac{3}{8} = \frac{27}{8}

，

P

的坐標是

- 2 + \frac{27}{8} = \frac{11}{8}

。

用分點公式也一樣：

\frac{5 \times ( - 2 ) + 3 \times 7}{3 + 5} = \frac{11}{8}

。

第 17 題(1)

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 16 - 2 = 14

。(2)

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 64 - 12 = 52

。

(2) 也可以用立方和：

(x + \frac{1}{x}) (x^{2} - 1 + \frac{1}{x ^{2}}) = 4 \times 13 = 52

。

第 19 題

14 - 224

：找兩數相加 14、相乘 24，是 12 和 2，所以

14 - 224 = 12 - 2 = 23 - 2

。

11 - 224

：相加 11、相乘 24，是 8 和 3，所以

11 - 224 = 8 - 3 = 22 - 3

。兩式相加得

3 + 2

，所以

□ = 3

。

化雙重根號要寫成大減小，結果才是正的。

第 22 題設

\frac{a + 4 2}{1 + a 2} = r

（

r

是有理數），則

a + 42 = r + r a 2

，整理成

a - r = (r a - 4) 2

。若

r a - 4 \neq = 0

，則

2 = \frac{a - r}{r a - 4}

會是有理數，矛盾；所以

r a - 4 = 0

且

a - r = 0

，得

a^{2} = 4

，

a = \pm 2

。

驗算：

a = 2

時

\frac{2 + 4 2}{1 + 2 2} = 2

；

a = - 2

時

\frac{- 2 + 4 2}{1 - 2 2} = - 2

，都是有理數。

有理數

p, q

滿足

p = q 2

時，只能

p = q = 0

；遇到「含

2

的式子是有理數」就把有理部分和

2

的係數分開比較。

05第 12、18、26 題：絕對值看成數線上的距離

第 12 題

∣ x - 3∣ = 2

表示

x

到

3

的距離是 2：

x - 3 = 2

或

x - 3 = - 2

，得

x = 5

或

x = 1

。

第 18 題(1)

∣ x - 3∣ \geq 5

：

x - 3 \geq 5

或

x - 3 \leq - 5

，得

x \geq 8

或

x \leq - 2

。(2)

∣ x - 3∣ < ∣ x - 2∣

表示

x

到

3

的距離比到

2

的距離小。

2

和

3

的中點是

\frac{5}{2}

，在中點右邊的點才離

3

比較近，所以

x > \frac{5}{2}

。

(2) 流傳版本的簡答寫

x < \frac{5}{2}

，但代

x = 3

：

∣3 - 3∣ = 0 < ∣3 - 2∣ = 1

成立；代

x = 2

：

1 < 0

不成立，所以應為

x > \frac{5}{2}

。另一個附詳解的流傳版本答案也是

x > \frac{5}{2}

。兩邊平方也可得：

x^{2} - 6 x + 9 < x^{2} - 4 x + 4

，即

2 x > 5

。

第 26 題

∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣

是

x

到

- 2

與到

1

的距離和。

- 2 \leq x \leq 1

時距離和恆為

3

，不大於 4，不合。

x > 1

時距離和是

(x + 2) + (x - 1) = 2 x + 1

，由

4 < 2 x + 1 \leq 6

得

\frac{3}{2} < x \leq \frac{5}{2}

。

x < - 2

時距離和是

- (x + 2) - (x - 1) = - 2 x - 1

，由

4 < - 2 x - 1 \leq 6

得

- \frac{7}{2} \leq x < - \frac{5}{2}

。

答案

- \frac{7}{2} \leq x < - \frac{5}{2}

或

\frac{3}{2} < x \leq \frac{5}{2}

。兩段都符合各自的前提（

x < - 2

、

x > 1

）。

∣ x - a ∣

就是

x

到

a

的距離；兩個絕對值相加時，以兩個分界點把數線分成三段討論。

06第 14、20、23 題：指數律、半衰期與算幾不等式

第 14 題

3 = 3^{\frac{1}{2}}

；

27 = 3^{\frac{3}{2}}

，再開一次根號是

3^{\frac{3}{4}}

。相乘：

3^{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}} = 3^{\frac{5}{4}}

，所以

x = \frac{5}{4}

。

第 20 題

50

年是

5

個半衰期，重量變成原來的

(\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}

：

320 \times \frac{1}{32} = 10

克。

第 23 題

a

、

2 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{a + 2 b}{2} \geq a \cdot 2 b = 2 ab = 25 = 5

，所以

a + 2 b \geq 10

。等號成立在

a = 2 b

：代入

ab = \frac{25}{2}

得

2 b^{2} = \frac{25}{2}

，

b = \frac{5}{2}

，

a = 5

。

答案 (1)

10

；(2)

(a, b) = (5, \frac{5}{2})

。等號成立的是

a = 2 b

，不是

a = b

。

用算幾不等式求極值：要相加的兩項（這裡是

a

和

2 b

）乘積要是定值，最後檢查等號做不做得到。

07第 15、16、21、24、25 題：常用對數

第 15 題

lo g (1 0^{a})

是「10 的幾次方等於

1 0^{a}

」，就是

a

，所以

a = 3

。

第 16 題

\frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}

，

lo g \frac{1}{1000} = - 3

；

10000 = 1 0^{4}

，

lo g 10000 = 4

。相乘得

- 12

。

第 21 題(1)

a = lo g 3

表示

1 0^{a} = 3

，同理

1 0^{b} = 2

。

1 0^{a - b + 1} = \frac{1 0 ^{a}}{1 0 ^{b}} \times 10 = \frac{3}{2} \times 10 = 15

。(2)

c = 1 0^{5.1}

，

d = 1 0^{- 1.4}

，

c \times d = 1 0^{3.7} = 1 0^{0.7} \times 1 0^{3}

。因為

1 < 1 0^{0.7} < 10

，所以

1000 < c \times d < 10000

，整數部分是

4

位數。

第 24 題

3 \leq lo g a \leq 13

就是

1 0^{3} \leq a \leq 1 0^{13}

。這個範圍內的整數有

1 0^{13} - 1 0^{3} + 1

個；

1 0^{3}

和

1 0^{13}

相比非常小，所以最接近

1 0^{13}

個，選 (D)。

lo g a

從 3 到 13 只差 10，但

a

本身是從一千到十兆。

第 25 題設原來是

T = 3 + \frac{1}{2} lo g E

，增加後是

T + 1 = 3 + \frac{1}{2} lo g E^{'}

。兩式相減：

1 = \frac{1}{2} (lo g E^{'} - lo g E)

，所以

lo g E^{'} = lo g E + 2

，

E^{'} = 1 0^{l o g E + 2} = 1 0^{l o g E} \times 1 0^{2} = 100 E

。

E

變為

100

倍。

lo g x = k

和

x = 1 0^{k}

是同一件事；看到 log 的加減，就換回 10 的次方用指數律處理。

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左營高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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04第 11、13、17、19、22 題：乘法公式、分點與根式

05第 12、18、26 題：絕對值看成數線上的距離

06第 14、20、23 題：指數律、半衰期與算幾不等式

07第 15、16、21、24、25 題：常用對數

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