段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值與數線、算幾不等式、複數與一元二次方程式的根）

道明高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 3 題（18 分）、多重選擇題 3 題（30 分）、填充題 12 題（52 分，依答對題數給分）

壹、單選題（佔 18 分）說明：第 1 至 3 題，每題選出最適當的一個選項，每題答對得 6 分，答錯不倒扣。

i^{91} + i^{92} + i^{93} + \dots + i^{98} + i^{99} + i^{100} =

？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $- 1$
(4) $1 + i$
(5) $1 - i$

不等式

3 \leq ∣ x + a ∣ < 5

的解為兩個區間，若其中一個區間為

[- 4, - 2)

，試問另一個區間為何？

(1) $(- 12, - 10]$
(2) $[- 12, 10)$
(3) $(4, 6]$
(4) $[4, 6)$
(5) 條件不足

柏艷上個月特地和班導請假去日本旅行順便買回「iPhone 17 Pro 道明橘」，缺了

a

堂數學課。

a

為介於

0

到

9

之間的整數，若

\frac{6243 a}{72}

可以化為有限小數，則柏艷上個月缺了幾堂數學課？

(1) $2$
(2) $3$
(3) $4$
(4) $5$
(5) $6$

貳、多重選擇題（佔 30 分）說明：第 1 至 3 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。所有選項均答對者，得 10 分；答錯 1 個選項者，得 6 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。（本頁第 4～6 題依序為多選第 1～3 題）

若

α

、

β

為

x^{2} + 3 x + 1 = 0

的兩根，請選出正確的選項。

(1) $α + β = 3$
(2) $α β = 1$
(3) $(α + β)^{2} = 5$
(4) $\frac{α}{β} = - \frac{α}{β}$
(5) 以 $\frac{3}{α ^{2} + 1}$ 與 $\frac{3}{β ^{2} + 1}$ 為兩根的方程式可以是 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$

實數

a

、

b

的變動範圍為

- 1 \leq a \leq 5

，

2 \leq b \leq 3

，則下列哪些選項是正確的？

(1) $1 \leq a + b \leq 8$
(2) $- 3 \leq a - b \leq 2$
(3) $- 2 \leq ab \leq 15$
(4) $\frac{- 1}{2} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{5}{2}$
(5) $5 \leq a^{2} + b^{2} \leq 34$

已知

a

、

b

為複數，其中

\overline{a}

表複數

a

的共軛複數，則下列哪些選項必為正確的？

(1) 若 $a + 3 i = 2 + bi$ ，則 $a = 2$ ， $b = 3$
(2) 若 $a + b > 0$ 且 $b > 0$ ，則 $a > 0$
(3) 若 $a = \overline{a}$ ，則 $a$ 為實數
(4) 若 $a^{2} < 0$ ，則 $a + \overline{a} = 0$
(5) 若 $a^{2} - b^{2} > 0$ ，則 $a^{2} > b^{2}$

參、填充題（佔 52 分）說明：答案請全部乘開及化至最簡，否則不予計分。配分依答對題數：答對 1～12 題依序得 6、12、18、23、28、33、37、41、45、48、50、52 分。（本頁第 7～18 題依序為填充第 1～12 題）

若將複數

\frac{4 + 3 i}{3 - 4 i}

表示成

a + bi

的形式，其中

a

、

b

為實數，則數對

(a, b) =

____。

令

x = 2 + 3

，則

x^{3} + x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{3}} =

____。

已知

a

、

b

為有理數，且

a 3 + 22 + b 11 - 62 = 8 17 - 122

，則數對

(a, b) =

____。

道明中學一位畢業多年的大學長，因懷念學生時代的生活，每天上學時間於學校對面的超商和學校大門口之間游走，但距離大門口太近會被生輔組長關注。為避免被生輔組長關注又希望盡量離大門口近一點，學長最終站在「學長和大門口距離」：「大門口和超商距離」為

5 : 8

的位置，若學校大門口、學長、超商分別在數線上

A (7)

、

B (x)

、

C (33)

三點，則

x =

____。

設

a

、

b

為正實數，

ab = 6

，若

\frac{3}{a} + \frac{2}{b}

的最小值為

m

，且此時

a = h

、

b = k

，則

m + h + k =

____。

數線上有

A (a)

、

B (b)

、

C (c)

、

D (d)

四點，其中

a < b < c < d

，

\overline{A B} : \overline{B D} = 1 : 2

，

\overline{A C} : \overline{C D} = 3 : 2

，若

\overline{B C} = 7

，則

\overline{A D} =

____。

若

∣ a x + 1∣ \leq b

之解為

- 1 \leq x \leq 5

，試求數對

(a, b) =

____。

設

41 - 125

的小數部分為

x

，則

x =

____。

設

0 < x < 1

，若

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 + x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 = 8

，則

x =

____。

影印店中常用的最大影印紙是 A3，將長邊對折裁成兩半後，就是家中印表機的 A4 影印紙。用相同方法把 A4 再裁一半就是 A5，以此類推。已知 A3、A4、…這類型號的影印紙，長邊與短邊的比值在對半裁切後依然維持相同，則長邊與短邊的比值必須為 ____。

若

x > 20

，求

\frac{( x - 10 ) ^{2}}{x - 20}

的最小值為 ____。

郊區一筆直的路段從左到右分別設有水廠與電廠各一座，其坐標如圖。為了回饋沿路居民，水電的基本費計算方式為：「住戶到電廠距離的

2

倍加上住戶到水廠的距離為該用戶的水電基本費。」試求該路段基本費不超過

15

元的區域範圍為 ____。（請以區間符號表示）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(1)

第 3 題(2)

第 4 題(2)(5)

第 5 題(1)(4)

第 6 題(3)(4)

第 7 題

(0, 1)

第 8 題

71

第 9 題

(- 6, 10)

第 10 題

\frac{93}{4}

第 11 題

7

第 12 題

\frac{105}{4}

第 13 題

(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})

第 14 題

3 - 5

第 15 題

\frac{1}{4}

第 16 題

2

第 17 題

40

第 18 題

[- 3, 7]

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：i 的次方、絕對值不等式、有限小數

第 1 題答案 (5)。

i

的次方每四個一循環：

i, - 1, - i, 1

，連續四項的和是

0

。

91 = 4 \times 22 + 3

，所以

i^{91} = i^{3} = - i

，從

i^{91}

到

i^{94}

四項和為

0

，

i^{95}

到

i^{98}

四項和也為

0

。剩下

i^{99} + i^{100} = i^{3} + i^{4} = - i + 1

，答案是

1 - i

。

共

10

項，先把能湊成四項一組的消掉，只算剩下的兩項。

第 2 題答案 (1)。

3 \leq ∣ x + a ∣ < 5

分成

3 \leq x + a < 5

或

- 5 < x + a \leq - 3

，也就是

3 - a \leq x < 5 - a

或

- 5 - a < x \leq - 3 - a

，寫成區間是

[3 - a, 5 - a)

與

(- 5 - a, - 3 - a]

。已知的區間

[- 4, - 2)

是左邊有等號、右邊沒有，對應的是第一個：

3 - a = - 4

，

a = 7

（

5 - a = - 2

也吻合）。另一個區間是

(- 5 - 7, - 3 - 7] = (- 12, - 10]

。

用端點有沒有等號來判斷

[- 4, - 2)

是哪一段。若誤配成第二段，會得到

[4, 6)

型的錯誤選項。

第 3 題答案 (2)。這裡

6243 a

是個位數字為

a

的五位數。

72 = 2^{3} \times 3^{2}

，分數要能化為有限小數，約分後分母只能有質因數

2

或

5

，所以分母的

3^{2} = 9

必須被分子約掉，即五位數

6243 a

是

9

的倍數。數字和

6 + 2 + 4 + 3 + a = 15 + a

要是

9

的倍數，而

0 \leq a \leq 9

，所以

a = 3

。驗算：

\frac{62433}{72} = \frac{6937}{8} = 867.125

。

若把

6243 a

讀成

6243 \times a

，則

6243 = 3 \times 2081

，

a = 3

和

a = 6

都能使它化為有限小數，選項不唯一；所以依題意

6243 a

是五位數。

02多選 1～3（第 4～6 題）：根與係數、範圍運算、複數的性質

第 4 題答案 (2)(5)。由根與係數的關係，

α + β = - 3

，

α β = 1

，所以 (1) 錯、(2) 對。判別式

9 - 4 = 5 > 0

，兩根是實數；和為負、積為正，所以

α

、

β

都是負數，

α = - α i

，

β = - β i

。(3) 錯：

(α + β)^{2} = i^{2} (- α + - β)^{2} = - (- α - β + 2 α β) = - (3 + 2) = - 5

。(4) 錯：

\frac{α}{β} = \frac{- α i}{- β i} = \frac{α}{β}

，是正數，不等於

- \frac{α}{β}

。(5) 對：

α^{2} + 3 α + 1 = 0

得

α^{2} + 1 = - 3 α

，所以

\frac{3}{α ^{2} + 1} = - \frac{1}{α} = - β

（因為

α β = 1

）；同理

\frac{3}{β ^{2} + 1} = - α

。新的兩根和為

- (α + β) = 3

、積為

α β = 1

，方程式可以是

x^{2} - 3 x + 1 = 0

。

兩根都是負數，

α \cdot β = - α β

，根號不能直接合併。相除時兩個

i

約掉，結果沒有負號；會多出負號的是「分子為正、分母為負」的情形。

第 5 題答案 (1)(4)。(1) 對：兩式相加，

- 1 + 2 \leq a + b \leq 5 + 3

。(2) 錯：

- 3 \leq - b \leq - 2

，與

a

的範圍相加得

- 4 \leq a - b \leq 3

；例如

a = 5

、

b = 2

時

a - b = 3

。(3) 錯：

a

可以是負的，

a = - 1

、

b = 3

時

ab = - 3

，正確範圍是

- 3 \leq ab \leq 15

。(4) 對：

\frac{1}{3} \leq \frac{1}{b} \leq \frac{1}{2}

；

a \geq 0

時

0 \leq \frac{a}{b} \leq \frac{5}{2}

，

a < 0

時

- \frac{1}{2} \leq \frac{a}{b} < 0

，合起來是

- \frac{1}{2} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{5}{2}

。(5) 錯：

a

的範圍包含

0

，所以

0 \leq a^{2} \leq 25

，又

4 \leq b^{2} \leq 9

，得

4 \leq a^{2} + b^{2} \leq 34

；

a = 0

、

b = 2

時

a^{2} + b^{2} = 4

。

a

的範圍跨過

0

：相乘、相除要分正負看，平方的最小值是

0

不是

(- 1)^{2} = 1

。

第 6 題答案 (3)(4)。(1) 錯：

a

、

b

是複數，不能直接比較實部虛部；例如

b = 0

、

a = 2 - 3 i

也成立。(2) 錯：

a = - 1

、

b = 2

時

a + b = 1 > 0

、

b > 0

，但

a < 0

。(3) 對：設

a = p + q i

（

p

、

q

為實數），

a = \overline{a}

即

p + q i = p - q i

，得

q = 0

，

a

是實數。(4) 對：

a^{2} = (p^{2} - q^{2}) + 2 pq i < 0

表示

a^{2}

是負實數，所以

pq = 0

且

p^{2} - q^{2} < 0

，只能

p = 0

、

q \neq = 0

，

a = q i

，

a + \overline{a} = q i - q i = 0

。(5) 錯：

a^{2} - b^{2}

是正實數時，

a^{2}

、

b^{2}

本身可能是虛數，虛數之間不能比大小；例如

a = \frac{3 - i}{2}

、

b = \frac{1 - 3 i}{2}

時

a^{2} = 2 - \frac{3}{2} i

、

b^{2} = - 2 - \frac{3}{2} i

，

a^{2} - b^{2} = 4 > 0

，但「

a^{2} > b^{2}

」沒有意義。

題目寫出「

> 0

」「

< 0

」時，表示那個數是實數；但不代表式子裡的每一項都是實數。

複數的題目先分清楚哪些量已知是實數；只有實數才能比大小，只有實部、虛部都是實數時才能比較係數。

03填充 1～6（第 7～12 題）：複數除法、根式求值、數線分點、算幾不等式

第 7 題分子分母同乘以分母的共軛複數

3 + 4 i

：

\frac{4 + 3 i}{3 - 4 i} = \frac{( 4 + 3 i ) ( 3 + 4 i )}{( 3 - 4 i ) ( 3 + 4 i )} = \frac{12 + 16 i + 9 i + 12 i ^{2}}{9 + 16} = \frac{25 i}{25} = i

。所以

a = 0

、

b = 1

，

(a, b) = (0, 1)

。

也可以看出

4 + 3 i = i (3 - 4 i)

，直接約分得

i

。

第 8 題

\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3

，所以

x + \frac{1}{x} = 4

。

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 14

；

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 64 - 12 = 52

。所求

= 52 + 14 + 4 + 1 = 71

。

把七項依「

x^{k}

與

\frac{1}{x ^{k}}

」配對，中間的

1

不要漏掉。

第 9 題先化簡三個雙重根號：

3 + 22 = 2 + 1

；

11 - 62 = 11 - 218 = 9 - 2 = 3 - 2

；

17 - 122 = 17 - 272 = 9 - 8 = 3 - 22

。原式成為

a (2 + 1) + b (3 - 2) = 24 - 162

，即

(a + 3 b) + (a - b) 2 = 24 - 162

。

a

、

b

是有理數，所以

a + 3 b = 24

、

a - b = - 16

，相減得

4 b = 40

，

b = 10

，

a = - 6

。

根號外的係數要先放進去變成

2

的形式：

62 = 218

，

122 = 272

。開出來要取「大減小」使結果為正。

第 10 題大門口和超商的距離是

\overline{A C} = 33 - 7 = 26

。學長和大門口的距離

\overline{A B}

與

\overline{A C}

的比是

5 : 8

，所以

\overline{A B} = 26 \times \frac{5}{8} = \frac{65}{4}

。學長在大門口和超商之間，所以

x = 7 + \frac{65}{4} = \frac{93}{4}

。

比的後項是「大門口和超商距離」

\overline{A C}

，不是

\overline{B C}

；若誤當成

\overline{A B} : \overline{B C} = 5 : 8

會算出

17

。

第 11 題

\frac{3}{a}

、

\frac{2}{b}

都是正數，由算幾不等式

\frac{3}{a} + \frac{2}{b} \geq 2 \frac{3}{a} \cdot \frac{2}{b} = 2 \frac{6}{ab} = 2 \frac{6}{6} = 2

，所以

m = 2

。等號在

\frac{3}{a} = \frac{2}{b} = 1

時成立，即

a = 3

、

b = 2

（確實

ab = 6

），

h = 3

、

k = 2

。

m + h + k = 2 + 3 + 2 = 7

。

第 12 題四點由左到右是

A

、

B

、

C

、

D

。

\overline{A B} : \overline{B D} = 1 : 2

表示

\overline{A B} = \frac{1}{3} \overline{A D}

；

\overline{A C} : \overline{C D} = 3 : 2

表示

\overline{A C} = \frac{3}{5} \overline{A D}

。所以

\overline{B C} = \overline{A C} - \overline{A B} = (\frac{3}{5} - \frac{1}{3}) \overline{A D} = \frac{4}{15} \overline{A D} = 7

，

\overline{A D} = \frac{105}{4}

。

兩個比都換成「佔

\overline{A D}

的幾分之幾」，就能直接相減。

04填充 7～12（第 13～18 題）：絕對值不等式、小數部分、根式化簡、算幾不等式

第 13 題解

- 1 \leq x \leq 5

的中點是

2

、到中點的距離是

3

，所以它等於

∣ x - 2∣ \leq 3

。兩邊同乘以

\frac{1}{2}

：

\frac{1}{2} x - 1 \leq \frac{3}{2}

，也就是

- \frac{1}{2} x + 1 \leq \frac{3}{2}

。和

∣ a x + 1∣ \leq b

對照，常數項要是

+ 1

，所以

a = - \frac{1}{2}

、

b = \frac{3}{2}

。

\frac{1}{2} x - 1

和

- \frac{1}{2} x + 1

相等，要配合題目的「

+ 1

」選後者，所以

a

是負的。

第 14 題

41 - 125 = 41 - 2180

，找兩數和

41

、積

180

：

36

和

5

，所以

41 - 125 = 36 - 5 = 6 - 5

。

2 < 5 < 3

，所以

3 < 6 - 5 < 4

，整數部分是

3

，小數部分

x = (6 - 5) - 3 = 3 - 5

。

小數部分＝原數減去整數部分。

3 - 5 \approx 0.764

，介於

0

和

1

之間。

第 15 題

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = (x + \frac{1}{x})^{2}

，

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 = (x - \frac{1}{x})^{2}

，所以原式是

x + \frac{1}{x} + x - \frac{1}{x} = 8

。因為

0 < x < 1

，

\frac{1}{x} > 1 > x

，所以

x + \frac{1}{x} > 0

、

x - \frac{1}{x} < 0

，原式成為

(x + \frac{1}{x}) + (\frac{1}{x} - x) = \frac{2}{x} = 8

，

x = \frac{1}{4}

。

A^{2} = ∣ A ∣

，要用

0 < x < 1

判斷

x - \frac{1}{x}

是負的再去掉絕對值。

第 16 題設長邊為

p

、短邊為

q

（

p > q > 0

）。把長邊對折裁開後，新的紙兩邊是

q

和

\frac{p}{2}

，其中

q

是長邊、

\frac{p}{2}

是短邊。比值維持相同：

\frac{p}{q} = \frac{q}{\frac{p}{2}} = \frac{2 q}{p}

，所以

p^{2} = 2 q^{2}

，

\frac{p}{q} = 2

（取正）。

裁切後原來的短邊變成新的長邊。

2 > 1

，也確認了

q > \frac{p}{2}

。

第 17 題令

t = x - 20

，則

t > 0

且

x - 10 = t + 10

。

\frac{( x - 10 ) ^{2}}{x - 20} = \frac{( t + 10 ) ^{2}}{t} = \frac{t ^{2} + 20 t + 100}{t} = t + \frac{100}{t} + 20

。由算幾不等式

t + \frac{100}{t} \geq 2 t \cdot \frac{100}{t} = 20

，所以原式

\geq 40

。等號在

t = \frac{100}{t}

，即

t = 10

、

x = 30

時成立，最小值是

40

。

把分母整個換成

t

，分子展開後逐項除以

t

，就出現「乘積為定值」的兩項。

第 18 題設住戶的坐標為

x

，水廠在

- 2

、電廠在

4

。基本費是

2∣ x - 4∣ + ∣ x + 2∣

，條件是

2∣ x - 4∣ + ∣ x + 2∣ \leq 15

。分三段：①

x \geq 4

：

2 (x - 4) + (x + 2) = 3 x - 6 \leq 15

，得

x \leq 7

，這段是

4 \leq x \leq 7

。②

- 2 \leq x < 4

：

2 (4 - x) + (x + 2) = 10 - x \leq 15

，得

x \geq - 5

，整段

- 2 \leq x < 4

都成立。③

x < - 2

：

2 (4 - x) - (x + 2) = 6 - 3 x \leq 15

，得

x \geq - 3

，這段是

- 3 \leq x < - 2

。三段合起來是

- 3 \leq x \leq 7

，區間

[- 3, 7]

。

係數

2

是乘在「到電廠的距離」

∣ x - 4∣

上。驗算端點：

x = - 3

時

2 \times 7 + 1 = 15

，

x = 7

時

2 \times 3 + 9 = 15

。

算幾不等式求極值時，先把式子整理成兩個正數相加且乘積為定值，最後一定要檢查等號成立的條件是否做得到。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

道明高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

道明高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題兩根都是負數，根號要先寫成虛數再運算，不能直接合併；多選第 3 題的 a、b 是複數，不能直接比較實部虛部，虛數也不能比大小；填充第 4 題比的後項是大門口到超商的全長；填充第 12 題係數 2 乘在到電廠的距離上，要分三段討論。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自道明高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

道明高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01單選 1～3：i 的次方、絕對值不等式、有限小數

02多選 1～3（第 4～6 題）：根與係數、範圍運算、複數的性質

03填充 1～6（第 7～12 題）：複數除法、根式求值、數線分點、算幾不等式

04填充 7～12（第 13～18 題）：絕對值不等式、小數部分、根式化簡、算幾不等式

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常見問題

道明高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

道明高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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道明高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

道明高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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