段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

平鎮高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題不等式右邊是 x 而不是常數，要拆成兩個不等式；選填 C 的第 (2) 格要用 a 介於 0 和 1 之間判斷正負；選填 D 要先把條件化成 4 的 x 次方再同乘 8 的 x 次方，答案是負的；選填 I 要先用相似形列出長和寬的關係再用算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（25 分）、多選題 5 題（25 分）、選填題 A～I 共 10 格（50 分）

一、單選題：（共 25 分）說明：第 1 至 5 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

下列哪一個數最大？（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $\frac{- 5 lo g 2 + lo g 3}{6}$
(2) $\frac{- 4 lo g 2 + 2 lo g 3}{6}$
(3) $\frac{- 3 lo g 2 + 3 lo g 3}{6}$
(4) $\frac{- 2 lo g 2 + 4 lo g 3}{6}$
(5) $\frac{- lo g 2 + 5 lo g 3}{6}$

在計算機中鍵入正整數

3

，接著連按「

x^{3}

」鍵（取三次方）三次，視窗顯示的答案為幾位數？

(1) $10$
(2) $11$
(3) $12$
(4) $13$
(5) $14$

滿足不等式

∣2 x - k ∣ \leq x

的實數

x

所形成的區間長度為

4

，則

k =

？

(1) $2$
(2) $4$
(3) $6$
(4) $8$
(5) $10$

第 4～5 題（第 4～5 題）　化簡

31 - 815

，並回答第 4 題與第 5 題。

若

31 - 815

的小數部分為

x

，則

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

？

(1) $486$
(2) $488$
(3) $490$
(4) $492$
(5) $494$

已知

a

、

b

為有理數，且

(5 - 215) a + (2 - 15) b = 31 - 815

，則數對

(a, b) =

？

(1) $(2, 3)$
(2) $(- 2, 3)$
(3) $(- 2, - 3)$
(4) $(2, - 3)$
(5) 以上皆非

二、多選題：（共 25 分）說明：第 6 題至第 10 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯 3 個選項以上或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

數線上四點

A (a)

、

B (b)

、

C (c)

和

D (d)

，其中

a = 4

、

b = \frac{14}{3}

、

c = 25

、

d

為有理數，下列選項何者正確？

(1) $a + b + c + d$ 必為無理數
(2) $ab c d$ 可能為有理數
(3) $\overline{C D}$ 不可能等於 $25 + 4$
(4) $A$ 、 $B$ 兩點的中點位在 $C$ 點的右邊
(5) 數線上共有 $11$ 個整數和 $B$ 點距離小於 $6$

下列哪些數滿足不等式

3 < ∣2 x - 1∣ < 7

？

(1) $- π$
(2) $3 + 2$
(3) $- 3 + lo g 2$
(4) $4. \overline{1}$
(5) $- 1$

數線上三點

A (- 5)

、

B (3)

、

P (x)

，若

\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 1

，則

x

可能是下列哪些數？

(1) $- 1$
(2) $5$
(3) $- 7$
(4) $1$
(5) $7$

已知

a

為實數且

(10)^{3 a} = 125

，下列選項何者正確？

(1) $1 0^{a} = 25$
(2) $10 0^{a} = 50$
(3) $0 < a < 1$
(4) $\frac{a}{2} = lo g 5$
(5) $0. 1^{a} = \frac{1}{5}$

下列哪些敘述正確？

(1) $a + b$ 為無理數、 $a - b$ 為無理數，則 $a$ 、 $b$ 皆為無理數
(2) $a$ 為無理數、 $b$ 為無理數，則 $ab$ 必為無理數
(3) $a$ 為有理數、 $b$ 為無理數，則 $a^{2} - b$ 為無理數
(4) $0. \overline{6} + 0. \overline{4} = 1$
(5) $0.12345$ 、 $0.6 \overline{7}$ 、 $\frac{49}{70}$ 都是有理數

三、選填題：（共 50 分）說明：1. 第 A 至 I 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號（11～33）。2. 每題完全答對才給分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。須化簡為最簡分數。（本頁第 11～20 題依序為原卷 A、B、C(1)、C(2)、D、E、F、G、H、I）

已知

∣ a x + 1∣ \geq b

的解為

x \geq \frac{7}{3}

或

x \leq - \frac{5}{3}

，則數對

(a, b) =

____。

已知

t = lo g 4

，求

(10)^{t} + \frac{1}{1 0 ^{t}} =

____。

選填題 C（第 13～14 題）　已知

0 < a < 1

且

a + a^{- 1} = 22

。

求 (1)

a^{2} + a^{- 2} =

____。

求 (2)

a^{1} - a^{- 1} =

____。

已知

(\frac{1}{4})^{x} = 5

，求

\frac{8 ^{x} + 8 ^{- x}}{2 ^{x} - 2 ^{- x}} =

____。

化簡

(\frac{16}{81})^{0.25} \times (\frac{125}{64})^{- \frac{2}{3}} \times 0.2 5^{1.5} =

____。（化至最簡）

求

2^{30} + 3^{27}

的位數 ____。（

2 \approx 1 0^{0.3010}

，

3 \approx 1 0^{0.4771}

，

1 0^{0.8817} \approx 7.6155

）

求

lo g (\frac{3 1 0 ^{4} \times 3 1 0 ^{5}}{6 10}) =

____。

已知

lo g x = 2.7

，

lo g y = 5.4

，則

5 x^{2} + y

的整數部分是幾位數？ ____（

2 \approx 1 0^{0.3010}

，

3 \approx 1 0^{0.4771}

）

如下圖，矩形

F B E D

內接於直角三角形

A B C

，

\overline{A B} = 5

，

\overline{B C} = 3

，求矩形

F B E D

面積的最大值 ____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(3)

第 4 題(2)

第 5 題(4)

第 6 題(1)(2)

第 7 題(2)(3)

第 8 題(4)(5)

第 9 題(1)(4)

第 10 題(3)(5)

第 11 題

(- 3, 6)

第 12 題

\frac{9}{4}

第 13 題

6

第 14 題

- 2

第 15 題

- \frac{63}{10}

第 16 題

\frac{4}{75}

第 17 題

13

第 18 題

2

第 19 題

7

第 20 題

\frac{15}{4}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：對數比大小、位數、絕對值與雙重根號

第 1 題答案 (5)。五個選項的分母都是

6

，只要比分子。從 (1) 到 (5)，分子每次多一個

lo g 2

、多一個

lo g 3

，也就是每次加上

lo g 2 + lo g 3 > 0

，所以分子越來越大，(5) 最大。代數值檢查：(5) 的分子是

- 0.3010 + 5 \times 0.4771 = 2.0845

，除以

6

約

0.347

。

先看相鄰兩個選項差多少，就不用五個都代數字。

第 2 題答案 (4)。按三次後依序是

3^{3}

、

(3^{3})^{3} = 3^{9}

、

(3^{9})^{3} = 3^{27}

。

lo g 3^{27} = 27 \times 0.4771 = 12.8817

，所以

1 0^{12} < 3^{27} < 1 0^{13}

，是

13

位數。

每按一次是指數乘以

3

，不是加

3

：

3 \to 3^{3} \to 3^{9} \to 3^{27}

。

lo g 3

的值用第 1 題給的

0.4771

。

第 3 題答案 (3)。

∣2 x - k ∣ \leq x

等於

- x \leq 2 x - k \leq x

（這時

x \geq 0

自動成立）。左半

- x \leq 2 x - k

得

x \geq \frac{k}{3}

；右半

2 x - k \leq x

得

x \leq k

。解是

\frac{k}{3} \leq x \leq k

，要成為長度

4

的區間必須

k > 0

，長度

k - \frac{k}{3} = \frac{2 k}{3} = 4

，

k = 6

。驗算：

k = 6

時解為

2 \leq x \leq 6

，長度

4

。

右邊是

x

不是常數，不能直接套「中心、半徑」，要把絕對值拆成兩個不等式分別解。

第 4 題答案 (2)。

31 - 815 = 31 - 2240

，找兩數和

31

、積

240

：

16

和

15

，所以

31 - 815 = 16 - 15 = 4 - 15

。

3 < 15 < 4

，所以

0 < 4 - 15 < 1

，整數部分是

0

，小數部分

x = 4 - 15

。

\frac{1}{x} = \frac{1}{4 - 15} = 4 + 15

，

x + \frac{1}{x} = 8

。

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 512 - 24 = 488

。

4 - 15

本身就介於

0

和

1

之間，小數部分就是它自己。

第 5 題答案 (4)。右邊是

4 - 15

。左邊整理成

(5 a + 2 b) - (2 a + b) 15

。

a

、

b

是有理數，

15

是無理數，所以兩邊的有理數部分、

15

的係數要分別相等：

5 a + 2 b = 4

，

2 a + b = 1

。由第二式

b = 1 - 2 a

代入第一式：

5 a + 2 - 4 a = 4

，

a = 2

，

b = - 3

。

「

a

、

b

為有理數」這個條件就是用來比較係數的。

02多選 6～10：數線、絕對值不等式、指數與對數互換

第 6 題答案 (1)(2)。(1) 對：

a + b + d

是有理數，加上無理數

25

一定是無理數。(2) 對：取

d = 0

，

ab c d = 0

是有理數。(3) 錯：

\overline{C D} = ∣ d - 25 ∣

，取

d = - 4

時

\overline{C D} = 25 + 4

，

- 4

是有理數，所以可能。(4) 錯：中點是

\frac{4 + \frac{14}{3}}{2} = \frac{13}{3} \approx 4.33

，而

25 \approx 4.47

，中點在

C

的左邊。(5) 錯：

n - \frac{14}{3} < 6

即

- \frac{4}{3} < n < \frac{32}{3}

，整數

n = - 1, 0, 1, \dots, 10

共

12

個。

(2) 只要

d = 0

就成立；(3) 的

D

可以在

C

的左邊，要兩個方向都考慮。

第 7 題答案 (2)(3)。

3 < ∣2 x - 1∣ < 7

分成

3 < 2 x - 1 < 7

或

- 7 < 2 x - 1 < - 3

，也就是

2 < x < 4

或

- 3 < x < - 1

。(1)

- π \approx - 3.14 < - 3

，不滿足。(2)

3 + 2 \approx 4.41 \approx 2.10

，在

2

和

4

之間，滿足。(3)

- 3 + lo g 2 \approx - 2.70

，在

- 3

和

- 1

之間，滿足。(4)

4. \overline{1} > 4

，不滿足。(5)

x = - 1

時

∣2 x - 1∣ = 3

，不等式是嚴格的

3 <

，不滿足。

(2) 不用算近似值也可以：

4 < 3 + 2 < 16

，開根號後介於

2

和

4

之間。

第 8 題答案 (4)(5)。

\overline{P A} = ∣ x + 5∣

，

\overline{P B} = ∣ x - 3∣

，條件是

∣ x + 5∣ = 3∣ x - 3∣

。

x + 5 = 3 (x - 3)

得

x = 7

；

x + 5 = - 3 (x - 3)

得

x = 1

。

x = 1

是

\overline{A B}

的內分點（

\overline{P A} = 6

、

\overline{P B} = 2

），

x = 7

是外分點（

\overline{P A} = 12

、

\overline{P B} = 4

）。

題目沒有說

P

在

A

、

B

之間，內分和外分兩種情形都要算。

第 9 題答案 (1)(4)。

(10)^{3 a} = 1 0^{\frac{3 a}{2}} = 125 = 5^{3}

，兩邊開三次方得

1 0^{\frac{a}{2}} = 5

。(1) 對：兩邊平方，

1 0^{a} = 25

。(2) 錯：

10 0^{a} = (1 0^{a})^{2} = 625

。(3) 錯：

1 0^{1} < 25 < 1 0^{2}

，所以

1 < a < 2

。(4) 對：

1 0^{\frac{a}{2}} = 5

就是

\frac{a}{2} = lo g 5

。(5) 錯：

0. 1^{a} = 1 0^{- a} = \frac{1}{25}

。

第 10 題答案 (3)(5)。(1) 錯：取

a = 0

、

b = 2

，

a + b = 2

、

a - b = - 2

都是無理數，但

a

是有理數。(2) 錯：

2 \times 2 = 2

。(3) 對：若

a^{2} - b = r

是有理數，則

b = a^{2} - r

是有理數，矛盾。(4) 錯：

0. \overline{6} = \frac{6}{9}

、

0. \overline{4} = \frac{4}{9}

，相加是

\frac{10}{9} = 1. \overline{1}

。(5) 對：有限小數、循環小數、分數都是有理數（

0.6 \overline{7} = \frac{61}{90}

）。

(4) 如果寫成

0.666 \dots + 0.444 \dots

逐位相加，每一位都是

10

要進位，結果是

1.111 \dots

，不是

1

。

03選填 A～E（第 11～16 題）：絕對值、指數與對數的求值

第 11 題解是「

x \geq \frac{7}{3}

或

x \leq - \frac{5}{3}

」，兩個端點的中點是

\frac{1}{3}

，到中點的距離是

2

，所以解等於

x - \frac{1}{3} \geq 2

。兩邊乘以

3

：

∣3 x - 1∣ \geq 6

，也就是

∣ - 3 x + 1∣ \geq 6

。和

∣ a x + 1∣ \geq b

對照，常數項要是

+ 1

，所以

a = - 3

、

b = 6

。

∣3 x - 1∣

和

∣ - 3 x + 1∣

相等，要配合題目的「

+ 1

」選後者；答案卡上

a

佔兩格，第一格是負號。

第 12 題

t = lo g 4

表示

1 0^{t} = 4

。

(10)^{t} = (1 0^{t})^{\frac{1}{2}} = 4 = 2

，

\frac{1}{1 0 ^{t}} = \frac{1}{4}

。相加得

2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}

。

第 13 題(1) 把

a + a^{- 1} = 22

兩邊平方：

a^{2} + 2 + a^{- 2} = 8

，所以

a^{2} + a^{- 2} = 6

。

第 14 題(2)

(a - a^{- 1})^{2} = a^{2} - 2 + a^{- 2} = 6 - 2 = 4

，所以

a - a^{- 1} = \pm 2

。因為

0 < a < 1

，

a^{- 1} = \frac{1}{a} > 1 > a

，

a - a^{- 1}

是負的，答案

- 2

。

平方之後有正負兩個可能，要用

0 < a < 1

判斷正負。（實際上

a = 2 - 1

，

a^{- 1} = 2 + 1

。）

第 15 題

(\frac{1}{4})^{x} = 4^{- x} = 5

，所以

4^{x} = \frac{1}{5}

。分子分母同乘以

8^{x}

：分子

8^{x} (8^{x} + 8^{- x}) = 6 4^{x} + 1 = (4^{x})^{3} + 1 = \frac{1}{125} + 1 = \frac{126}{125}

；分母

8^{x} (2^{x} - 2^{- x}) = 1 6^{x} - 4^{x} = \frac{1}{25} - \frac{1}{5} = - \frac{4}{25}

。相除：

\frac{126}{125} \times (- \frac{25}{4}) = - \frac{63}{10}

。

4^{x} = \frac{1}{5} < 1

表示

x < 0

，

2^{x} < 2^{- x}

，分母是負的，所以答案是負數。

第 16 題

(\frac{16}{81})^{0.25} = (\frac{2 ^{4}}{3 ^{4}})^{\frac{1}{4}} = \frac{2}{3}

；

(\frac{125}{64})^{- \frac{2}{3}} = (\frac{64}{125})^{\frac{2}{3}} = (\frac{4}{5})^{2} = \frac{16}{25}

；

0.2 5^{1.5} = (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}} = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

。相乘：

\frac{2}{3} \times \frac{16}{25} \times \frac{1}{8} = \frac{4}{75}

。

指數求值題先把已知條件化成「某個底數的次方等於多少」（

1 0^{t} = 4

、

4^{x} = \frac{1}{5}

），再把所求的每一項都改寫成它的次方。

04選填 F～I（第 17～20 題）：位數與算幾不等式

第 17 題

3^{27} = 1 0^{0.4771 \times 27} = 1 0^{12.8817} = 1 0^{0.8817} \times 1 0^{12} \approx 7.6155 \times 1 0^{12}

，是

13

位數。

2^{30} = 1 0^{0.3010 \times 30} = 1 0^{9.03}

，是

10

位數，大約

1.07 \times 1 0^{9} \approx 0.001 \times 1 0^{12}

。相加約

7.617 \times 1 0^{12}

，首位數沒有進位，仍是

13

位數。

兩數相加時位數由大的那個決定，但要確認加上小的那個之後不會進位。題目給

1 0^{0.8817} \approx 7.6155

就是用來確認首位是

7

。

第 18 題全部化成

10

的次方：

3 1 0^{4} = 1 0^{\frac{4}{3}}

；

3 1 0^{5} = (1 0^{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{2}} = 1 0^{\frac{5}{6}}

；

610 = 1 0^{\frac{1}{6}}

。所以真數是

1 0^{\frac{4}{3} + \frac{5}{6} - \frac{1}{6}} = 1 0^{2}

，

lo g 1 0^{2} = 2

。

第 19 題

x = 1 0^{2.7}

，所以

x^{2} = 1 0^{5.4}

，而

y = 1 0^{5.4}

，兩者相等。

5 x^{2} + y = 6 \times 1 0^{5.4}

。

6 = 2 \times 3 \approx 1 0^{0.3010 + 0.4771} = 1 0^{0.7781}

，所以

5 x^{2} + y \approx 1 0^{0.7781 + 5.4} = 1 0^{6.1781}

，介於

1 0^{6}

和

1 0^{7}

之間，整數部分是

7

位數。

x^{2}

和

y

剛好相等，可以合併成

6 \times 1 0^{5.4}

；題目給

2

、

3

的次方表示法就是為了算

6

。

第 20 題設

\overline{B E} = x

、

\overline{D E} = y

（

x > 0

，

y > 0

）。

△ D E C

和

△ A B C

相似：

\frac{y}{3 - x} = \frac{5}{3}

，整理得

5 x + 3 y = 15

。由算幾不等式

\frac{5 x + 3 y}{2} \geq 5 x \cdot 3 y

，即

\frac{15}{2} \geq 15 x y

，兩邊平方得

\frac{225}{4} \geq 15 x y

，

x y \leq \frac{15}{4}

。等號在

5 x = 3 y = \frac{15}{2}

，也就是

x = \frac{3}{2}

、

y = \frac{5}{2}

時成立，所以面積最大值是

\frac{15}{4}

。

這時

D

是斜邊

\overline{A C}

的中點，矩形面積剛好是三角形面積

\frac{15}{2}

的一半。

判斷位數就是把數寫成

10

的次方，看指數的整數部分：

1 0^{n} \leq N < 1 0^{n + 1}

時

N

的整數部分是

n + 1

位數。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題不等式右邊是 x 而不是常數，要拆成兩個不等式；選填 C 的第 (2) 格要用 a 介於 0 和 1 之間判斷正負；選填 D 要先把條件化成 4 的 x 次方再同乘 8 的 x 次方，答案是負的；選填 I 要先用相似形列出長和寬的關係再用算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

平鎮高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（25 分）、多選題 5 題（25 分）、選填題 A～I 共 10 格（50 分）

一、單選題：（共 25 分）說明：第 1 至 5 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

下列哪一個數最大？（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $\frac{- 5 lo g 2 + lo g 3}{6}$
(2) $\frac{- 4 lo g 2 + 2 lo g 3}{6}$
(3) $\frac{- 3 lo g 2 + 3 lo g 3}{6}$
(4) $\frac{- 2 lo g 2 + 4 lo g 3}{6}$
(5) $\frac{- lo g 2 + 5 lo g 3}{6}$

在計算機中鍵入正整數

3

，接著連按「

x^{3}

」鍵（取三次方）三次，視窗顯示的答案為幾位數？

(1) $10$
(2) $11$
(3) $12$
(4) $13$
(5) $14$

滿足不等式

∣2 x - k ∣ \leq x

的實數

x

所形成的區間長度為

4

，則

k =

？

(1) $2$
(2) $4$
(3) $6$
(4) $8$
(5) $10$

第 4～5 題（第 4～5 題）　化簡

31 - 815

，並回答第 4 題與第 5 題。

若

31 - 815

的小數部分為

x

，則

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

？

(1) $486$
(2) $488$
(3) $490$
(4) $492$
(5) $494$

已知

a

、

b

為有理數，且

(5 - 215) a + (2 - 15) b = 31 - 815

，則數對

(a, b) =

？

(1) $(2, 3)$
(2) $(- 2, 3)$
(3) $(- 2, - 3)$
(4) $(2, - 3)$
(5) 以上皆非

數線上四點

A (a)

、

B (b)

、

C (c)

和

D (d)

，其中

a = 4

、

b = \frac{14}{3}

、

c = 25

、

d

為有理數，下列選項何者正確？

(1) $a + b + c + d$ 必為無理數
(2) $ab c d$ 可能為有理數
(3) $\overline{C D}$ 不可能等於 $25 + 4$
(4) $A$ 、 $B$ 兩點的中點位在 $C$ 點的右邊
(5) 數線上共有 $11$ 個整數和 $B$ 點距離小於 $6$

下列哪些數滿足不等式

3 < ∣2 x - 1∣ < 7

？

(1) $- π$
(2) $3 + 2$
(3) $- 3 + lo g 2$
(4) $4. \overline{1}$
(5) $- 1$

數線上三點

A (- 5)

、

B (3)

、

P (x)

，若

\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 1

，則

x

可能是下列哪些數？

(1) $- 1$
(2) $5$
(3) $- 7$
(4) $1$
(5) $7$

已知

a

為實數且

(10)^{3 a} = 125

，下列選項何者正確？

(1) $1 0^{a} = 25$
(2) $10 0^{a} = 50$
(3) $0 < a < 1$
(4) $\frac{a}{2} = lo g 5$
(5) $0. 1^{a} = \frac{1}{5}$

下列哪些敘述正確？

(1) $a + b$ 為無理數、 $a - b$ 為無理數，則 $a$ 、 $b$ 皆為無理數
(2) $a$ 為無理數、 $b$ 為無理數，則 $ab$ 必為無理數
(3) $a$ 為有理數、 $b$ 為無理數，則 $a^{2} - b$ 為無理數
(4) $0. \overline{6} + 0. \overline{4} = 1$
(5) $0.12345$ 、 $0.6 \overline{7}$ 、 $\frac{49}{70}$ 都是有理數

已知

∣ a x + 1∣ \geq b

的解為

x \geq \frac{7}{3}

或

x \leq - \frac{5}{3}

，則數對

(a, b) =

____。

已知

t = lo g 4

，求

(10)^{t} + \frac{1}{1 0 ^{t}} =

____。

選填題 C（第 13～14 題）　已知

0 < a < 1

且

a + a^{- 1} = 22

。

求 (1)

a^{2} + a^{- 2} =

____。

求 (2)

a^{1} - a^{- 1} =

____。

已知

(\frac{1}{4})^{x} = 5

，求

\frac{8 ^{x} + 8 ^{- x}}{2 ^{x} - 2 ^{- x}} =

____。

化簡

(\frac{16}{81})^{0.25} \times (\frac{125}{64})^{- \frac{2}{3}} \times 0.2 5^{1.5} =

____。（化至最簡）

求

2^{30} + 3^{27}

的位數 ____。（

2 \approx 1 0^{0.3010}

，

3 \approx 1 0^{0.4771}

，

1 0^{0.8817} \approx 7.6155

）

求

lo g (\frac{3 1 0 ^{4} \times 3 1 0 ^{5}}{6 10}) =

____。

已知

lo g x = 2.7

，

lo g y = 5.4

，則

5 x^{2} + y

的整數部分是幾位數？ ____（

2 \approx 1 0^{0.3010}

，

3 \approx 1 0^{0.4771}

）

如下圖，矩形

F B E D

內接於直角三角形

A B C

，

\overline{A B} = 5

，

\overline{B C} = 3

，求矩形

F B E D

面積的最大值 ____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(3)

第 4 題(2)

第 5 題(4)

第 6 題(1)(2)

第 7 題(2)(3)

第 8 題(4)(5)

第 9 題(1)(4)

第 10 題(3)(5)

第 11 題

(- 3, 6)

第 12 題

\frac{9}{4}

第 13 題

6

第 14 題

- 2

第 15 題

- \frac{63}{10}

第 16 題

\frac{4}{75}

第 17 題

13

第 18 題

2

第 19 題

7

第 20 題

\frac{15}{4}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：對數比大小、位數、絕對值與雙重根號

第 1 題答案 (5)。五個選項的分母都是

6

，只要比分子。從 (1) 到 (5)，分子每次多一個

lo g 2

、多一個

lo g 3

，也就是每次加上

lo g 2 + lo g 3 > 0

，所以分子越來越大，(5) 最大。代數值檢查：(5) 的分子是

- 0.3010 + 5 \times 0.4771 = 2.0845

，除以

6

約

0.347

。

先看相鄰兩個選項差多少，就不用五個都代數字。

第 2 題答案 (4)。按三次後依序是

3^{3}

、

(3^{3})^{3} = 3^{9}

、

(3^{9})^{3} = 3^{27}

。

lo g 3^{27} = 27 \times 0.4771 = 12.8817

，所以

1 0^{12} < 3^{27} < 1 0^{13}

，是

13

位數。

每按一次是指數乘以

3

，不是加

3

：

3 \to 3^{3} \to 3^{9} \to 3^{27}

。

lo g 3

的值用第 1 題給的

0.4771

。

第 3 題答案 (3)。

∣2 x - k ∣ \leq x

等於

- x \leq 2 x - k \leq x

（這時

x \geq 0

自動成立）。左半

- x \leq 2 x - k

得

x \geq \frac{k}{3}

；右半

2 x - k \leq x

得

x \leq k

。解是

\frac{k}{3} \leq x \leq k

，要成為長度

4

的區間必須

k > 0

，長度

k - \frac{k}{3} = \frac{2 k}{3} = 4

，

k = 6

。驗算：

k = 6

時解為

2 \leq x \leq 6

，長度

4

。

右邊是

x

不是常數，不能直接套「中心、半徑」，要把絕對值拆成兩個不等式分別解。

第 4 題答案 (2)。

31 - 815 = 31 - 2240

，找兩數和

31

、積

240

：

16

和

15

，所以

31 - 815 = 16 - 15 = 4 - 15

。

3 < 15 < 4

，所以

0 < 4 - 15 < 1

，整數部分是

0

，小數部分

x = 4 - 15

。

\frac{1}{x} = \frac{1}{4 - 15} = 4 + 15

，

x + \frac{1}{x} = 8

。

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 512 - 24 = 488

。

4 - 15

本身就介於

0

和

1

之間，小數部分就是它自己。

第 5 題答案 (4)。右邊是

4 - 15

。左邊整理成

(5 a + 2 b) - (2 a + b) 15

。

a

、

b

是有理數，

15

是無理數，所以兩邊的有理數部分、

15

的係數要分別相等：

5 a + 2 b = 4

，

2 a + b = 1

。由第二式

b = 1 - 2 a

代入第一式：

5 a + 2 - 4 a = 4

，

a = 2

，

b = - 3

。

「

a

、

b

為有理數」這個條件就是用來比較係數的。

02多選 6～10：數線、絕對值不等式、指數與對數互換

第 6 題答案 (1)(2)。(1) 對：

a + b + d

是有理數，加上無理數

25

一定是無理數。(2) 對：取

d = 0

，

ab c d = 0

是有理數。(3) 錯：

\overline{C D} = ∣ d - 25 ∣

，取

d = - 4

時

\overline{C D} = 25 + 4

，

- 4

是有理數，所以可能。(4) 錯：中點是

\frac{4 + \frac{14}{3}}{2} = \frac{13}{3} \approx 4.33

，而

25 \approx 4.47

，中點在

C

的左邊。(5) 錯：

n - \frac{14}{3} < 6

即

- \frac{4}{3} < n < \frac{32}{3}

，整數

n = - 1, 0, 1, \dots, 10

共

12

個。

(2) 只要

d = 0

就成立；(3) 的

D

可以在

C

的左邊，要兩個方向都考慮。

第 7 題答案 (2)(3)。

3 < ∣2 x - 1∣ < 7

分成

3 < 2 x - 1 < 7

或

- 7 < 2 x - 1 < - 3

，也就是

2 < x < 4

或

- 3 < x < - 1

。(1)

- π \approx - 3.14 < - 3

，不滿足。(2)

3 + 2 \approx 4.41 \approx 2.10

，在

2

和

4

之間，滿足。(3)

- 3 + lo g 2 \approx - 2.70

，在

- 3

和

- 1

之間，滿足。(4)

4. \overline{1} > 4

，不滿足。(5)

x = - 1

時

∣2 x - 1∣ = 3

，不等式是嚴格的

3 <

，不滿足。

(2) 不用算近似值也可以：

4 < 3 + 2 < 16

，開根號後介於

2

和

4

之間。

第 8 題答案 (4)(5)。

\overline{P A} = ∣ x + 5∣

，

\overline{P B} = ∣ x - 3∣

，條件是

∣ x + 5∣ = 3∣ x - 3∣

。

x + 5 = 3 (x - 3)

得

x = 7

；

x + 5 = - 3 (x - 3)

得

x = 1

。

x = 1

是

\overline{A B}

的內分點（

\overline{P A} = 6

、

\overline{P B} = 2

），

x = 7

是外分點（

\overline{P A} = 12

、

\overline{P B} = 4

）。

題目沒有說

P

在

A

、

B

之間，內分和外分兩種情形都要算。

第 9 題答案 (1)(4)。

(10)^{3 a} = 1 0^{\frac{3 a}{2}} = 125 = 5^{3}

，兩邊開三次方得

1 0^{\frac{a}{2}} = 5

。(1) 對：兩邊平方，

1 0^{a} = 25

。(2) 錯：

10 0^{a} = (1 0^{a})^{2} = 625

。(3) 錯：

1 0^{1} < 25 < 1 0^{2}

，所以

1 < a < 2

。(4) 對：

1 0^{\frac{a}{2}} = 5

就是

\frac{a}{2} = lo g 5

。(5) 錯：

0. 1^{a} = 1 0^{- a} = \frac{1}{25}

。

第 10 題答案 (3)(5)。(1) 錯：取

a = 0

、

b = 2

，

a + b = 2

、

a - b = - 2

都是無理數，但

a

是有理數。(2) 錯：

2 \times 2 = 2

。(3) 對：若

a^{2} - b = r

是有理數，則

b = a^{2} - r

是有理數，矛盾。(4) 錯：

0. \overline{6} = \frac{6}{9}

、

0. \overline{4} = \frac{4}{9}

，相加是

\frac{10}{9} = 1. \overline{1}

。(5) 對：有限小數、循環小數、分數都是有理數（

0.6 \overline{7} = \frac{61}{90}

）。

(4) 如果寫成

0.666 \dots + 0.444 \dots

逐位相加，每一位都是

10

要進位，結果是

1.111 \dots

，不是

1

。

03選填 A～E（第 11～16 題）：絕對值、指數與對數的求值

第 11 題解是「

x \geq \frac{7}{3}

或

x \leq - \frac{5}{3}

」，兩個端點的中點是

\frac{1}{3}

，到中點的距離是

2

，所以解等於

x - \frac{1}{3} \geq 2

。兩邊乘以

3

：

∣3 x - 1∣ \geq 6

，也就是

∣ - 3 x + 1∣ \geq 6

。和

∣ a x + 1∣ \geq b

對照，常數項要是

+ 1

，所以

a = - 3

、

b = 6

。

∣3 x - 1∣

和

∣ - 3 x + 1∣

相等，要配合題目的「

+ 1

」選後者；答案卡上

a

佔兩格，第一格是負號。

第 12 題

t = lo g 4

表示

1 0^{t} = 4

。

(10)^{t} = (1 0^{t})^{\frac{1}{2}} = 4 = 2

，

\frac{1}{1 0 ^{t}} = \frac{1}{4}

。相加得

2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}

。

第 13 題(1) 把

a + a^{- 1} = 22

兩邊平方：

a^{2} + 2 + a^{- 2} = 8

，所以

a^{2} + a^{- 2} = 6

。

第 14 題(2)

(a - a^{- 1})^{2} = a^{2} - 2 + a^{- 2} = 6 - 2 = 4

，所以

a - a^{- 1} = \pm 2

。因為

0 < a < 1

，

a^{- 1} = \frac{1}{a} > 1 > a

，

a - a^{- 1}

是負的，答案

- 2

。

平方之後有正負兩個可能，要用

0 < a < 1

判斷正負。（實際上

a = 2 - 1

，

a^{- 1} = 2 + 1

。）

第 15 題

(\frac{1}{4})^{x} = 4^{- x} = 5

，所以

4^{x} = \frac{1}{5}

。分子分母同乘以

8^{x}

：分子

8^{x} (8^{x} + 8^{- x}) = 6 4^{x} + 1 = (4^{x})^{3} + 1 = \frac{1}{125} + 1 = \frac{126}{125}

；分母

8^{x} (2^{x} - 2^{- x}) = 1 6^{x} - 4^{x} = \frac{1}{25} - \frac{1}{5} = - \frac{4}{25}

。相除：

\frac{126}{125} \times (- \frac{25}{4}) = - \frac{63}{10}

。

4^{x} = \frac{1}{5} < 1

表示

x < 0

，

2^{x} < 2^{- x}

，分母是負的，所以答案是負數。

第 16 題

(\frac{16}{81})^{0.25} = (\frac{2 ^{4}}{3 ^{4}})^{\frac{1}{4}} = \frac{2}{3}

；

(\frac{125}{64})^{- \frac{2}{3}} = (\frac{64}{125})^{\frac{2}{3}} = (\frac{4}{5})^{2} = \frac{16}{25}

；

0.2 5^{1.5} = (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}} = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

。相乘：

\frac{2}{3} \times \frac{16}{25} \times \frac{1}{8} = \frac{4}{75}

。

指數求值題先把已知條件化成「某個底數的次方等於多少」（

1 0^{t} = 4

、

4^{x} = \frac{1}{5}

），再把所求的每一項都改寫成它的次方。

04選填 F～I（第 17～20 題）：位數與算幾不等式

第 17 題

3^{27} = 1 0^{0.4771 \times 27} = 1 0^{12.8817} = 1 0^{0.8817} \times 1 0^{12} \approx 7.6155 \times 1 0^{12}

，是

13

位數。

2^{30} = 1 0^{0.3010 \times 30} = 1 0^{9.03}

，是

10

位數，大約

1.07 \times 1 0^{9} \approx 0.001 \times 1 0^{12}

。相加約

7.617 \times 1 0^{12}

，首位數沒有進位，仍是

13

位數。

兩數相加時位數由大的那個決定，但要確認加上小的那個之後不會進位。題目給

1 0^{0.8817} \approx 7.6155

就是用來確認首位是

7

。

第 18 題全部化成

10

的次方：

3 1 0^{4} = 1 0^{\frac{4}{3}}

；

3 1 0^{5} = (1 0^{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{2}} = 1 0^{\frac{5}{6}}

；

610 = 1 0^{\frac{1}{6}}

。所以真數是

1 0^{\frac{4}{3} + \frac{5}{6} - \frac{1}{6}} = 1 0^{2}

，

lo g 1 0^{2} = 2

。

第 19 題

x = 1 0^{2.7}

，所以

x^{2} = 1 0^{5.4}

，而

y = 1 0^{5.4}

，兩者相等。

5 x^{2} + y = 6 \times 1 0^{5.4}

。

6 = 2 \times 3 \approx 1 0^{0.3010 + 0.4771} = 1 0^{0.7781}

，所以

5 x^{2} + y \approx 1 0^{0.7781 + 5.4} = 1 0^{6.1781}

，介於

1 0^{6}

和

1 0^{7}

之間，整數部分是

7

位數。

x^{2}

和

y

剛好相等，可以合併成

6 \times 1 0^{5.4}

；題目給

2

、

3

的次方表示法就是為了算

6

。

第 20 題設

\overline{B E} = x

、

\overline{D E} = y

（

x > 0

，

y > 0

）。

△ D E C

和

△ A B C

相似：

\frac{y}{3 - x} = \frac{5}{3}

，整理得

5 x + 3 y = 15

。由算幾不等式

\frac{5 x + 3 y}{2} \geq 5 x \cdot 3 y

，即

\frac{15}{2} \geq 15 x y

，兩邊平方得

\frac{225}{4} \geq 15 x y

，

x y \leq \frac{15}{4}

。等號在

5 x = 3 y = \frac{15}{2}

，也就是

x = \frac{3}{2}

、

y = \frac{5}{2}

時成立，所以面積最大值是

\frac{15}{4}

。

這時

D

是斜邊

\overline{A C}

的中點，矩形面積剛好是三角形面積

\frac{15}{2}

的一半。

判斷位數就是把數寫成

10

的次方，看指數的整數部分：

1 0^{n} \leq N < 1 0^{n + 1}

時

N

的整數部分是

n + 1

位數。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～5：對數比大小、位數、絕對值與雙重根號

02多選 6～10：數線、絕對值不等式、指數與對數互換

03選填 A～E（第 11～16 題）：絕對值、指數與對數的求值

04選填 F～I（第 17～20 題）：位數與算幾不等式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

平鎮高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～5：對數比大小、位數、絕對值與雙重根號

02多選 6～10：數線、絕對值不等式、指數與對數互換

03選填 A～E（第 11～16 題）：絕對值、指數與對數的求值

04選填 F～I（第 17～20 題）：位數與算幾不等式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～5：對數比大小、位數、絕對值與雙重根號

02多選 6～10：數線、絕對值不等式、指數與對數互換

03選填 A～E（第 11～16 題）：絕對值、指數與對數的求值

04選填 F～I（第 17～20 題）：位數與算幾不等式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

平鎮高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～5：對數比大小、位數、絕對值與雙重根號

02多選 6～10：數線、絕對值不等式、指數與對數互換

03選填 A～E（第 11～16 題）：絕對值、指數與對數的求值

04選填 F～I（第 17～20 題）：位數與算幾不等式

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

平鎮高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

平鎮高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

平鎮高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？