段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

溪湖高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

填充題 10 題共 18 格（依答對格數給分，全對 100 分）

填充題：答對 10 格以內，每格 6 分，超過 10 格的部分，每格 5 分（本頁第 1～18 題依序為原卷答案格 1(1)、1(2)、2(1)、2(2)、2(3)、2(4)、3、4、5(1)、5(2)、6、7(1)、7(2)、7(3)、7(4)、8、9、10）

原卷第 1 題（第 1～2 題）　將下列各循環小數化為最簡分數。

(1)

0. \overline{9} =

____。

(2)

1.0 \overline{01} =

____。

原卷第 2 題（第 3～6 題）　化簡下列各式。

(1)

4 + 12 - \frac{2}{3 - 1} =

____。

(2)

6 - 25 =

____。

(3)

3^{0} \times 9^{\frac{- 1}{2}} \times 2 7^{\frac{2}{3}} \times (- 3)^{2} \times \frac{\frac{1}{3}}{5 ( - 3 ) ^{10}} =

____。

(4)

lo g 0.1 + lo g 1 + lo g 10 + lo g 10 =

____。

已知

a

，

b

是有理數且

(3 - 52) a + (2 + 2) b = - 1 - 72

，試求

a

，

b

之值 ____。

解方程式

∣ x + 3∣ - 2 x = 0

____。

原卷第 5 題（第 9～10 題）　解下列各不等式。

(1)

∣ x ∣ > 1

____。

(2)

3 < ∣ - 3 x + 2∣ < 7

____。

設

a

，

b

為實數，已知

∣2 x - a ∣ \leq b

的解為

- 2 \leq x \leq 8

，求

a

，

b

之值 ____。

原卷第 7 題（第 12～15 題）　已知

a + a^{- 1} = 5

，試求下列各式之值。

(1)

a^{2} + a^{- 2} =

____。

(2)

a^{3} + a^{- 3} =

____。

(3)

a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{- 1}{2}} =

____。

(4)

2^{2 a} \times 4^{\frac{1}{a} - 2} =

____。

已知

2^{30}

為

n

位數，

3^{- 10}

小數點後第

m

位開始出現不為

0

，試求

m + n =

____。（

lo g 2 = 0.301

，

lo g 3 = 0.4771

）

小溪利用鐵圍籬建造兩間相同的矩形雞舍，並各留有

1

公尺寬的門方便出入，已知鐵圍籬長度合計

34

公尺，門的部分不用鐵圍籬，黑色線的部分需要用鐵圍籬，試問，鐵圍籬所圍兩間雞舍總面積最大為？ ____（下圖僅為示意圖，不代表任何比例）

載入中...

設

x

，

y

為正整數，已知

14 + x

化簡後整數部分為

y

，小數部分為

5 - 2

，試求

x + y =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

1

第 2 題

\frac{991}{990}

第 3 題

1 + 3

第 4 題

5 - 1

第 5 題

\frac{1}{3}

第 6 題

\frac{1}{2}

第 7 題

a = 1

，

b = - 2

第 8 題

x = 3

第 9 題

x > 1

或

x < - 1

第 10 題

- \frac{5}{3} < x < - \frac{1}{3}

或

\frac{5}{3} < x < 3

第 11 題

a = 6

，

b = 10

第 12 題

23

第 13 題

110

第 14 題

7

第 15 題

64

第 16 題

15

第 17 題

54

（平方公尺）

第 18 題

185

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～2 題（原卷第 1 題）：循環小數化分數

第 1 題設

x = 0. \overline{9} = 0.999 \dots

，則

10 x = 9.999 \dots

。兩式相減：

9 x = 9

，

x = 1

。

0. \overline{9}

和

1

是同一個數的兩種寫法，不是「比

1

小一點點」。也可以從

\frac{1}{3} = 0. \overline{3}

兩邊乘以

3

看出來。

第 2 題設

x = 1.0 \overline{01} = 1.0010101 \dots

。循環節有兩位，乘以

100

：

100 x = 100.10101 \dots

。兩式相減，小數第二位以後的

0101 \dots

完全對齊消掉：

99 x = 100.1 - 1.0 = 99.1

，所以

x = \frac{99.1}{99} = \frac{991}{990}

。

991

不被

2

、

3

、

5

、

11

整除，已是最簡分數。

原卷的橫線蓋在小數第

2

、

3

位的「

01

」上，本站讀成

1.0010101 \dots

（小數第

1

位的

0

不循環）；若橫線是蓋住「

001

」三位，則為

1. \overline{001} = \frac{1000}{999}

。以校方答案為準。

循環節有幾位就乘以

10

的幾次方，相減之後循環的部分會消掉。

02第 3～6 題（原卷第 2 題）：根式、指數與對數的化簡

第 3 題

4 = 2

，

12 = 23

。

\frac{2}{3 - 1} = \frac{2 ( 3 + 1 )}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )} = \frac{2 ( 3 + 1 )}{2} = 3 + 1

。所以原式

= 2 + 23 - (3 + 1) = 1 + 3

。

減去

3 + 1

時兩項都要變號。

第 4 題找兩個數，和是

6

、積是

5

：

5

和

1

。

6 - 25 = (5)^{2} - 25 \cdot 1 + 1^{2} = (5 - 1)^{2}

，而

5 - 1 > 0

，所以

6 - 25 = 5 - 1

。

開根號的結果不能是負的，要寫成「大減小」的

5 - 1

，不能寫

1 - 5

。

第 5 題逐項算：

3^{0} = 1

；

9^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{9} = \frac{1}{3}

；

2 7^{\frac{2}{3}} = (3^{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{2} = 9

；

(- 3)^{2} = 9 = 3

；

(- 3)^{10} = 3^{10}

，所以

5 (- 3)^{10} = 3^{2} = 9

，最後一個因式是

\frac{1}{3} \div 9 = \frac{1}{27}

。相乘：

1 \times \frac{1}{3} \times 9 \times 3 \times \frac{1}{27} = \frac{1}{3}

。

(- 3)^{2}

是

3

不是

- 3

。原卷最後一個因式本站讀成「分子

\frac{1}{3}

、分母

5 (- 3)^{10}

」，第二個因式的指數印作

\frac{- 1}{2}

；以校方答案為準。

第 6 題把每個真數寫成

10

的次方：

0.1 = 1 0^{- 1}

，

1 = 1 0^{0}

，

10 = 1 0^{\frac{1}{2}}

，

10 = 1 0^{1}

。所以四項依序是

- 1

、

0

、

\frac{1}{2}

、

1

，和為

\frac{1}{2}

。

03第 7～11 題（原卷第 3～6 題）：比較係數與絕對值

第 7 題左邊展開，把有理數部分和

2

的部分分開：

(3 a + 2 b) + (- 5 a + b) 2 = - 1 - 72

。

a

、

b

是有理數，

2

是無理數，所以

3 a + 2 b = - 1

且

- 5 a + b = - 7

。由第二式

b = 5 a - 7

，代入第一式：

3 a + 10 a - 14 = - 1

，

a = 1

，

b = - 2

。驗算：

(3 - 52) - 2 (2 + 2) = - 1 - 72

。

「

a

、

b

是有理數」這個條件就是用來比較係數的；沒有這個條件，解不會只有一組。

第 8 題移項得

∣ x + 3∣ = 2 x

。左邊不是負的，所以

2 x \geq 0

，也就是

x \geq 0

。去掉絕對值：

x + 3 = 2 x

得

x = 3

；

x + 3 = - 2 x

得

x = - 1

。

x = - 1

不合

x \geq 0

（代回去左邊是

2

、右邊是

- 2

），所以只有

x = 3

。

右邊含有

x

的絕對值方程式，解出來一定要代回去檢查。

第 9 題

∣ x ∣

是數線上

x

到原點的距離。距離大於

1

的點在

1

的右邊或

- 1

的左邊，所以

x > 1

或

x < - 1

。

兩段之間是「或」，不能寫成

1 < x < - 1

。

第 10 題

∣ - 3 x + 2∣ = ∣3 x - 2∣

，所以原式就是

3 < ∣3 x - 2∣ < 7

，分成兩種情形。

3 < 3 x - 2 < 7

：各加

2

得

5 < 3 x < 9

，

\frac{5}{3} < x < 3

。

- 7 < 3 x - 2 < - 3

：各加

2

得

- 5 < 3 x < - 1

，

- \frac{5}{3} < x < - \frac{1}{3}

。所以解是

- \frac{5}{3} < x < - \frac{1}{3}

或

\frac{5}{3} < x < 3

。

先用

∣ - A ∣ = ∣ A ∣

把

x

的係數變成正的，後面除以

3

時就不必改變不等號方向。

第 11 題

∣2 x - a ∣ \leq b

就是

- b \leq 2 x - a \leq b

，各加

a

再除以

2

：

\frac{a - b}{2} \leq x \leq \frac{a + b}{2}

。和

- 2 \leq x \leq 8

對照：

\frac{a - b}{2} = - 2

，

\frac{a + b}{2} = 8

，即

a - b = - 4

，

a + b = 16

，解得

a = 6

，

b = 10

。驗算：

∣2 x - 6∣ \leq 10

即

∣ x - 3∣ \leq 5

，解為

- 2 \leq x \leq 8

。

也可以從數線看：解的中點是

3

、半徑是

5

，即

∣ x - 3∣ \leq 5

，兩邊乘以

2

得

∣2 x - 6∣ \leq 10

。

絕對值不等式

∣ x - c ∣ \leq r

的解是以

c

為中心、

r

為半徑的區間；

∣ x - c ∣ \geq r

則是區間外面的兩段。

04第 12～15 題（原卷第 7 題）：由 a＋a⁻¹ 求各式的值

第 12 題把

a + a^{- 1} = 5

兩邊平方：

a^{2} + 2 \cdot a \cdot a^{- 1} + a^{- 2} = 25

，中間那一項是

2

，所以

a^{2} + a^{- 2} = 25 - 2 = 23

。

第 13 題用乘法公式

x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)

，取

x = a

、

y = a^{- 1}

，

x y = 1

：

a^{3} + a^{- 3} = 5^{3} - 3 \times 1 \times 5 = 125 - 15 = 110

。

也可以用

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1}) (a^{2} - 1 + a^{- 2}) = 5 \times (23 - 1) = 110

。

第 14 題

(a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a + 2 + a^{- 1} = 5 + 2 = 7

。

a^{\frac{1}{2}}

和

a^{- \frac{1}{2}}

都是正數，和也是正的，所以

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 7

。

平方之後開根號有正負兩個可能，這裡因為兩項都是正數，只取正的。

第 15 題把底數統一成

2

：

4^{\frac{1}{a} - 2} = 2^{2 (\frac{1}{a} - 2)} = 2^{\frac{2}{a} - 4}

。原式

= 2^{2 a + \frac{2}{a} - 4} = 2^{2 (a + \frac{1}{a}) - 4} = 2^{2 \times 5 - 4} = 2^{6} = 64

。

原卷

4

的指數本站讀成

\frac{1}{a} - 2

（整個在指數上）；以校方答案為準。

已知

a + a^{- 1}

時，平方可以得到二次的和，立方公式可以得到三次的和；

a

與

a^{- 1}

相乘是

1

，交叉項都會變成常數。

05第 16～18 題（原卷第 8～10 題）：位數、算幾不等式與雙重根號

第 16 題

lo g 2^{30} = 30 \times 0.301 = 9.03

，所以

1 0^{9} < 2^{30} < 1 0^{10}

，

2^{30}

是

10

位數，

n = 10

。

lo g 3^{- 10} = - 10 \times 0.4771 = - 4.771 = - 5 + 0.229

，所以

1 0^{- 5} < 3^{- 10} < 1 0^{- 4}

，

3^{- 10}

在小數點後第

5

位開始出現不為

0

的數字，

m = 5

。

m + n = 15

。

負的對數值要寫成「負整數＋介於

0

和

1

之間的小數」：

- 4.771 = - 5 + 0.229

，不是

- 4 + (- 0.771)

。實際上

2^{30} = 1073741824

，

3^{- 10} = \frac{1}{59049} \approx 0.0000169

。

第 17 題設每間雞舍有門的那一邊長

x

公尺、另一邊長

y

公尺（

x \geq 1

，

y > 0

）。依圖，圍籬有：上面一整條

2 x

；下面一整條扣掉兩個門

2 x - 2

；左、右兩邊和中間的隔牆共

3 y

。所以

2 x + (2 x - 2) + 3 y = 34

，即

4 x + 3 y = 36

。總面積是

2 x y

。由算幾不等式

\frac{4 x + 3 y}{2} \geq 4 x \cdot 3 y

，即

18 \geq 12 x y

，兩邊平方得

324 \geq 12 x y

，

x y \leq 27

，總面積

2 x y \leq 54

。等號在

4 x = 3 y = 18

，也就是

x = \frac{9}{2}

、

y = 6

時成立（這時

x \geq 1

，放得下門），所以總面積最大是

54

平方公尺。

中間的隔牆是兩間共用的，只算一道；兩個門合計少用

2

公尺圍籬。本站依原卷附圖的畫法列式（兩個門開在同一側、隔牆共用），以校方答案為準。

第 18 題整數部分是

y

、小數部分是

5 - 2

，所以

14 + x = y + 5 - 2 = (y - 2) + 5

。兩邊平方：

14 + x = (y - 2)^{2} + 5 + 2 (y - 2) 5

。右邊的

2 (y - 2) 5 = 20 (y - 2)^{2}

要和左邊的

x

對應，其餘的整數要相等：

(y - 2)^{2} + 5 = 14

，

(y - 2)^{2} = 9

，

y

是正整數所以

y = 5

。這時

x = 65 = 180

，

x = 180

。驗算：

14 + 180 = 14 + 245 = 9 + 5 = 3 + 5 \approx 5.236

，整數部分

5

、小數部分

5 - 2

，符合。

x + y = 185

。

2 < 5 < 3

，所以

5 - 2

介於

0

和

1

之間，可以當小數部分。為什麼整數部分一定要相等：把式子寫成

x = k + m 5

（

k = (y - 2)^{2} - 9

、

m = 2 (y - 2)

都是整數），兩邊平方得

x = k^{2} + 5 m^{2} + 2 k m 5

，

x

是整數所以

k m = 0

；

m = 0

時

y = 2

，

x = - 9

不可能，所以

k = 0

。

判斷位數就是把數寫成

10

的次方：

1 0^{k} \leq N < 1 0^{k + 1}

時

N

是

k + 1

位數；

1 0^{- k} \leq N < 1 0^{- k + 1}

時

N

在小數點後第

k

位開始不為

0

。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

原卷第 4 題（本頁第 8 題）的絕對值方程式右邊含有 x，解出兩個值後要代回去檢查，負一不合。原卷第 8 題（本頁第 16 題）三的負十次方的對數是負的，要改寫成負五加零點二二九才能判斷是小數點後第五位。原卷第 9 題（本頁第 17 題）要照圖數清楚圍籬有幾段：中間隔牆只算一道，兩個門各扣一公尺，再用算幾不等式。原卷第 10 題（本頁第 18 題）要先把整數部分加小數部分寫成根號十四加根號 x 的值，平方後比較。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自溪湖高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

溪湖高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

填充題 10 題共 18 格（依答對格數給分，全對 100 分）

原卷第 1 題（第 1～2 題）　將下列各循環小數化為最簡分數。

(1)

0. \overline{9} =

____。

(2)

1.0 \overline{01} =

____。

原卷第 2 題（第 3～6 題）　化簡下列各式。

(1)

4 + 12 - \frac{2}{3 - 1} =

____。

(2)

6 - 25 =

____。

(3)

3^{0} \times 9^{\frac{- 1}{2}} \times 2 7^{\frac{2}{3}} \times (- 3)^{2} \times \frac{\frac{1}{3}}{5 ( - 3 ) ^{10}} =

____。

(4)

lo g 0.1 + lo g 1 + lo g 10 + lo g 10 =

____。

已知

a

，

b

是有理數且

(3 - 52) a + (2 + 2) b = - 1 - 72

，試求

a

，

b

之值 ____。

解方程式

∣ x + 3∣ - 2 x = 0

____。

原卷第 5 題（第 9～10 題）　解下列各不等式。

(1)

∣ x ∣ > 1

____。

(2)

3 < ∣ - 3 x + 2∣ < 7

____。

設

a

，

b

為實數，已知

∣2 x - a ∣ \leq b

的解為

- 2 \leq x \leq 8

，求

a

，

b

之值 ____。

原卷第 7 題（第 12～15 題）　已知

a + a^{- 1} = 5

，試求下列各式之值。

(1)

a^{2} + a^{- 2} =

____。

(2)

a^{3} + a^{- 3} =

____。

(3)

a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{- 1}{2}} =

____。

(4)

2^{2 a} \times 4^{\frac{1}{a} - 2} =

____。

已知

2^{30}

為

n

位數，

3^{- 10}

小數點後第

m

位開始出現不為

0

，試求

m + n =

____。（

lo g 2 = 0.301

，

lo g 3 = 0.4771

）

小溪利用鐵圍籬建造兩間相同的矩形雞舍，並各留有

1

公尺寬的門方便出入，已知鐵圍籬長度合計

34

公尺，門的部分不用鐵圍籬，黑色線的部分需要用鐵圍籬，試問，鐵圍籬所圍兩間雞舍總面積最大為？ ____（下圖僅為示意圖，不代表任何比例）

載入中...

設

x

，

y

為正整數，已知

14 + x

化簡後整數部分為

y

，小數部分為

5 - 2

，試求

x + y =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題

1

第 2 題

\frac{991}{990}

第 3 題

1 + 3

第 4 題

5 - 1

第 5 題

\frac{1}{3}

第 6 題

\frac{1}{2}

第 7 題

a = 1

，

b = - 2

第 8 題

x = 3

第 9 題

x > 1

或

x < - 1

第 10 題

- \frac{5}{3} < x < - \frac{1}{3}

或

\frac{5}{3} < x < 3

第 11 題

a = 6

，

b = 10

第 12 題

23

第 13 題

110

第 14 題

7

第 15 題

64

第 16 題

15

第 17 題

54

（平方公尺）

第 18 題

185

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1～2 題（原卷第 1 題）：循環小數化分數

第 1 題設

x = 0. \overline{9} = 0.999 \dots

，則

10 x = 9.999 \dots

。兩式相減：

9 x = 9

，

x = 1

。

0. \overline{9}

和

1

是同一個數的兩種寫法，不是「比

1

小一點點」。也可以從

\frac{1}{3} = 0. \overline{3}

兩邊乘以

3

看出來。

第 2 題設

x = 1.0 \overline{01} = 1.0010101 \dots

。循環節有兩位，乘以

100

：

100 x = 100.10101 \dots

。兩式相減，小數第二位以後的

0101 \dots

完全對齊消掉：

99 x = 100.1 - 1.0 = 99.1

，所以

x = \frac{99.1}{99} = \frac{991}{990}

。

991

不被

2

、

3

、

5

、

11

整除，已是最簡分數。

原卷的橫線蓋在小數第

2

、

3

位的「

01

」上，本站讀成

1.0010101 \dots

（小數第

1

位的

0

不循環）；若橫線是蓋住「

001

」三位，則為

1. \overline{001} = \frac{1000}{999}

。以校方答案為準。

循環節有幾位就乘以

10

的幾次方，相減之後循環的部分會消掉。

02第 3～6 題（原卷第 2 題）：根式、指數與對數的化簡

第 3 題

4 = 2

，

12 = 23

。

\frac{2}{3 - 1} = \frac{2 ( 3 + 1 )}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )} = \frac{2 ( 3 + 1 )}{2} = 3 + 1

。所以原式

= 2 + 23 - (3 + 1) = 1 + 3

。

減去

3 + 1

時兩項都要變號。

第 4 題找兩個數，和是

6

、積是

5

：

5

和

1

。

6 - 25 = (5)^{2} - 25 \cdot 1 + 1^{2} = (5 - 1)^{2}

，而

5 - 1 > 0

，所以

6 - 25 = 5 - 1

。

開根號的結果不能是負的，要寫成「大減小」的

5 - 1

，不能寫

1 - 5

。

第 5 題逐項算：

3^{0} = 1

；

9^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{9} = \frac{1}{3}

；

2 7^{\frac{2}{3}} = (3^{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{2} = 9

；

(- 3)^{2} = 9 = 3

；

(- 3)^{10} = 3^{10}

，所以

5 (- 3)^{10} = 3^{2} = 9

，最後一個因式是

\frac{1}{3} \div 9 = \frac{1}{27}

。相乘：

1 \times \frac{1}{3} \times 9 \times 3 \times \frac{1}{27} = \frac{1}{3}

。

(- 3)^{2}

是

3

不是

- 3

。原卷最後一個因式本站讀成「分子

\frac{1}{3}

、分母

5 (- 3)^{10}

」，第二個因式的指數印作

\frac{- 1}{2}

；以校方答案為準。

第 6 題把每個真數寫成

10

的次方：

0.1 = 1 0^{- 1}

，

1 = 1 0^{0}

，

10 = 1 0^{\frac{1}{2}}

，

10 = 1 0^{1}

。所以四項依序是

- 1

、

0

、

\frac{1}{2}

、

1

，和為

\frac{1}{2}

。

03第 7～11 題（原卷第 3～6 題）：比較係數與絕對值

第 7 題左邊展開，把有理數部分和

2

的部分分開：

(3 a + 2 b) + (- 5 a + b) 2 = - 1 - 72

。

a

、

b

是有理數，

2

是無理數，所以

3 a + 2 b = - 1

且

- 5 a + b = - 7

。由第二式

b = 5 a - 7

，代入第一式：

3 a + 10 a - 14 = - 1

，

a = 1

，

b = - 2

。驗算：

(3 - 52) - 2 (2 + 2) = - 1 - 72

。

「

a

、

b

是有理數」這個條件就是用來比較係數的；沒有這個條件，解不會只有一組。

第 8 題移項得

∣ x + 3∣ = 2 x

。左邊不是負的，所以

2 x \geq 0

，也就是

x \geq 0

。去掉絕對值：

x + 3 = 2 x

得

x = 3

；

x + 3 = - 2 x

得

x = - 1

。

x = - 1

不合

x \geq 0

（代回去左邊是

2

、右邊是

- 2

），所以只有

x = 3

。

右邊含有

x

的絕對值方程式，解出來一定要代回去檢查。

第 9 題

∣ x ∣

是數線上

x

到原點的距離。距離大於

1

的點在

1

的右邊或

- 1

的左邊，所以

x > 1

或

x < - 1

。

兩段之間是「或」，不能寫成

1 < x < - 1

。

第 10 題

∣ - 3 x + 2∣ = ∣3 x - 2∣

，所以原式就是

3 < ∣3 x - 2∣ < 7

，分成兩種情形。

3 < 3 x - 2 < 7

：各加

2

得

5 < 3 x < 9

，

\frac{5}{3} < x < 3

。

- 7 < 3 x - 2 < - 3

：各加

2

得

- 5 < 3 x < - 1

，

- \frac{5}{3} < x < - \frac{1}{3}

。所以解是

- \frac{5}{3} < x < - \frac{1}{3}

或

\frac{5}{3} < x < 3

。

先用

∣ - A ∣ = ∣ A ∣

把

x

的係數變成正的，後面除以

3

時就不必改變不等號方向。

第 11 題

∣2 x - a ∣ \leq b

就是

- b \leq 2 x - a \leq b

，各加

a

再除以

2

：

\frac{a - b}{2} \leq x \leq \frac{a + b}{2}

。和

- 2 \leq x \leq 8

對照：

\frac{a - b}{2} = - 2

，

\frac{a + b}{2} = 8

，即

a - b = - 4

，

a + b = 16

，解得

a = 6

，

b = 10

。驗算：

∣2 x - 6∣ \leq 10

即

∣ x - 3∣ \leq 5

，解為

- 2 \leq x \leq 8

。

也可以從數線看：解的中點是

3

、半徑是

5

，即

∣ x - 3∣ \leq 5

，兩邊乘以

2

得

∣2 x - 6∣ \leq 10

。

絕對值不等式

∣ x - c ∣ \leq r

的解是以

c

為中心、

r

為半徑的區間；

∣ x - c ∣ \geq r

則是區間外面的兩段。

04第 12～15 題（原卷第 7 題）：由 a＋a⁻¹ 求各式的值

第 12 題把

a + a^{- 1} = 5

兩邊平方：

a^{2} + 2 \cdot a \cdot a^{- 1} + a^{- 2} = 25

，中間那一項是

2

，所以

a^{2} + a^{- 2} = 25 - 2 = 23

。

第 13 題用乘法公式

x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)

，取

x = a

、

y = a^{- 1}

，

x y = 1

：

a^{3} + a^{- 3} = 5^{3} - 3 \times 1 \times 5 = 125 - 15 = 110

。

也可以用

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1}) (a^{2} - 1 + a^{- 2}) = 5 \times (23 - 1) = 110

。

第 14 題

(a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a + 2 + a^{- 1} = 5 + 2 = 7

。

a^{\frac{1}{2}}

和

a^{- \frac{1}{2}}

都是正數，和也是正的，所以

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 7

。

平方之後開根號有正負兩個可能，這裡因為兩項都是正數，只取正的。

第 15 題把底數統一成

2

：

4^{\frac{1}{a} - 2} = 2^{2 (\frac{1}{a} - 2)} = 2^{\frac{2}{a} - 4}

。原式

= 2^{2 a + \frac{2}{a} - 4} = 2^{2 (a + \frac{1}{a}) - 4} = 2^{2 \times 5 - 4} = 2^{6} = 64

。

原卷

4

的指數本站讀成

\frac{1}{a} - 2

（整個在指數上）；以校方答案為準。

已知

a + a^{- 1}

時，平方可以得到二次的和，立方公式可以得到三次的和；

a

與

a^{- 1}

相乘是

1

，交叉項都會變成常數。

05第 16～18 題（原卷第 8～10 題）：位數、算幾不等式與雙重根號

第 16 題

lo g 2^{30} = 30 \times 0.301 = 9.03

，所以

1 0^{9} < 2^{30} < 1 0^{10}

，

2^{30}

是

10

位數，

n = 10

。

lo g 3^{- 10} = - 10 \times 0.4771 = - 4.771 = - 5 + 0.229

，所以

1 0^{- 5} < 3^{- 10} < 1 0^{- 4}

，

3^{- 10}

在小數點後第

5

位開始出現不為

0

的數字，

m = 5

。

m + n = 15

。

負的對數值要寫成「負整數＋介於

0

和

1

之間的小數」：

- 4.771 = - 5 + 0.229

，不是

- 4 + (- 0.771)

。實際上

2^{30} = 1073741824

，

3^{- 10} = \frac{1}{59049} \approx 0.0000169

。

第 17 題設每間雞舍有門的那一邊長

x

公尺、另一邊長

y

公尺（

x \geq 1

，

y > 0

）。依圖，圍籬有：上面一整條

2 x

；下面一整條扣掉兩個門

2 x - 2

；左、右兩邊和中間的隔牆共

3 y

。所以

2 x + (2 x - 2) + 3 y = 34

，即

4 x + 3 y = 36

。總面積是

2 x y

。由算幾不等式

\frac{4 x + 3 y}{2} \geq 4 x \cdot 3 y

，即

18 \geq 12 x y

，兩邊平方得

324 \geq 12 x y

，

x y \leq 27

，總面積

2 x y \leq 54

。等號在

4 x = 3 y = 18

，也就是

x = \frac{9}{2}

、

y = 6

時成立（這時

x \geq 1

，放得下門），所以總面積最大是

54

平方公尺。

中間的隔牆是兩間共用的，只算一道；兩個門合計少用

2

公尺圍籬。本站依原卷附圖的畫法列式（兩個門開在同一側、隔牆共用），以校方答案為準。

第 18 題整數部分是

y

、小數部分是

5 - 2

，所以

14 + x = y + 5 - 2 = (y - 2) + 5

。兩邊平方：

14 + x = (y - 2)^{2} + 5 + 2 (y - 2) 5

。右邊的

2 (y - 2) 5 = 20 (y - 2)^{2}

要和左邊的

x

對應，其餘的整數要相等：

(y - 2)^{2} + 5 = 14

，

(y - 2)^{2} = 9

，

y

是正整數所以

y = 5

。這時

x = 65 = 180

，

x = 180

。驗算：

14 + 180 = 14 + 245 = 9 + 5 = 3 + 5 \approx 5.236

，整數部分

5

、小數部分

5 - 2

，符合。

x + y = 185

。

2 < 5 < 3

，所以

5 - 2

介於

0

和

1

之間，可以當小數部分。為什麼整數部分一定要相等：把式子寫成

x = k + m 5

（

k = (y - 2)^{2} - 9

、

m = 2 (y - 2)

都是整數），兩邊平方得

x = k^{2} + 5 m^{2} + 2 k m 5

，

x

是整數所以

k m = 0

；

m = 0

時

y = 2

，

x = - 9

不可能，所以

k = 0

。

判斷位數就是把數寫成

10

的次方：

1 0^{k} \leq N < 1 0^{k + 1}

時

N

是

k + 1

位數；

1 0^{- k} \leq N < 1 0^{- k + 1}

時

N

在小數點後第

k

位開始不為

0

。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自溪湖高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

溪湖高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1～2 題（原卷第 1 題）：循環小數化分數

02第 3～6 題（原卷第 2 題）：根式、指數與對數的化簡

03第 7～11 題（原卷第 3～6 題）：比較係數與絕對值

04第 12～15 題（原卷第 7 題）：由 a＋a⁻¹ 求各式的值

05第 16～18 題（原卷第 8～10 題）：位數、算幾不等式與雙重根號

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

溪湖高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1～2 題（原卷第 1 題）：循環小數化分數

02第 3～6 題（原卷第 2 題）：根式、指數與對數的化簡

03第 7～11 題（原卷第 3～6 題）：比較係數與絕對值

04第 12～15 題（原卷第 7 題）：由 a＋a⁻¹ 求各式的值

05第 16～18 題（原卷第 8～10 題）：位數、算幾不等式與雙重根號

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1～2 題（原卷第 1 題）：循環小數化分數

02第 3～6 題（原卷第 2 題）：根式、指數與對數的化簡

03第 7～11 題（原卷第 3～6 題）：比較係數與絕對值

04第 12～15 題（原卷第 7 題）：由 a＋a⁻¹ 求各式的值

05第 16～18 題（原卷第 8～10 題）：位數、算幾不等式與雙重根號

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

溪湖高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01第 1～2 題（原卷第 1 題）：循環小數化分數

02第 3～6 題（原卷第 2 題）：根式、指數與對數的化簡

03第 7～11 題（原卷第 3～6 題）：比較係數與絕對值

04第 12～15 題（原卷第 7 題）：由 a＋a⁻¹ 求各式的值

05第 16～18 題（原卷第 8～10 題）：位數、算幾不等式與雙重根號

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

溪湖高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

溪湖高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

溪湖高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

溪湖高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？