01 · 試題原卷 20 題,照原卷順序
選填題 5 題(40 分)、填充題 7 題(28 分)、單選題 5 題(20 分)、多選題 3 題(12 分)
一、選填題(一題 8 分,共 40 分)
1
已知 1.23=99abc,則 a+b+c 之值為 ____。
2
2 是無理數,若 a、b 均為有理數,且 (3+2)a+(1−2)b=9−2,則 a+b 的值為 ____。 3
數線上兩點 A(−3)、B(12),P(x) 為 AB 外一點,且 AP:BP=5:2,則 P 點坐標 x= ____。
4
已知 a>0 且 a1+a−1=8,則 a21+a−21 的值為 ____。
5
已知紅血球直徑為 9×10−6 公尺(9 微米),銫原子的直徑為 3×10−10 公尺(0.3 奈米),紅血球直徑為銫原子直徑的 a×10b 倍,其中 1≤a<10,求 a+b= ____。
二、填充題(一題 4 分,共 28 分)(本頁第 6~12 題依序為卷面填充題 1~7)
6
若 5+2 的整數部分為 a,小數部分為 b,若 a+b1 之值為 c+2,則 c 的值為 ____。 7
如圖所示,有位農夫想沿著馬路的一側圍出一塊耕種的田地。如果他只需圍出三邊即可(一長邊及兩短邊,如圖虛線)。已知他手上有一段長度為 20 公尺的繩子。試問:他所能圍成的田地之最大面積為 ____ 平方公尺。 8
不等式 ∣3x−2∣≤7 的正整數解有 ____ 個。
9
設 a=log2.65,b=log1.5,計算 10a+100b= ____。
10
設一正數 a 可以寫成 10 的 x1 次方,4a 可以寫成 10 的 x2 次方,16a 可以寫成 10 的 x3 次方,試求 2x2−x1−x3 的值為 ____。
11
設 x、y 均為實數,若 ∣x−1∣≤2,且 ∣y+1∣≤5,則 xy−y 的最大值為 ____。
12
瘋狂數學家數數發現了一種「愛數學」的超級細菌,當受到該細菌傳播的帶菌者將會因此而熱愛數學。已知「愛數學」經過 t 日,檢驗帶菌人口 P 的人數關係為:P=k×(2a)t,其中 k、a 為常數。今日(t=t0)有一城鎮受到「愛數學」的傳播,且已有 114 人帶菌,若經過 3 日(t=t0+3)檢驗,驗得有 3078 人帶菌,經過 7 日(t=t0+7)檢驗,驗得有 b 人帶菌,試求 a7b 之值為 ____。 三、單選題(一題 4 分,共 20 分)(本頁第 13~17 題依序為卷面單選題 1~5)
13
下列哪個選項的值最大?- (A) 10+1
- (B) 9+2
- (C) 8+3
- (D) 7+4
- (E) 6+5
14
介於 2−51 與 13−4311 之間的整數共有幾個?(5≈2.24,3≈1.73)- (A) 6
- (B) 7
- (C) 8
- (D) 9
- (E) 10
15
滿足方程式 ∣x+2∣+∣5−x∣=7 的解 x 有幾個?- (A) 1 個
- (B) 2 個
- (C) 3 個
- (D) 4 個
- (E) 無限多個
16
已知 a=21(34+38),b=32,c=36,試求 b2(a+c) 之值與下列何者相同?- (A) a+1
- (B) b+1
- (C) c+1
- (D) 2b+c
- (E) 2ac
17
已知 a=3x=6y=8z,且 x1+y1+z1=2,則 a 值為下列何者?- (A) 12
- (B) 36
- (C) 96
- (D) 144
- (E) 288
四、多選題(一題 4 分,共 12 分,錯一個選項得 2 分,錯兩個選項以上不給分)(本頁第 18~20 題依序為卷面多選題 1~3)
18
已知 x+x1=4,則下列各式的值哪些必為正確?- (A) x2+x21=14
- (B) x3+x31=52
- (C) x4+x41=194
- (D) x−x1=23
- (E) x2+x21−2=23
19
設 a>0,b 為任意實數,且 m、n 均為正整數,則下列選項哪些正確?- (A) a2=a1.414
- (B) (a−m)n=amn1
- (C) an1×bn1=nab
- (D) a1+3×a1−3=a2
- (E) 若 xn=a,則可得 x=an1
20
設 a、b、c 為實數且滿足 loga=1.45,logb=3.45,logc=4.45,選出正確的選項。(參考數據 log2≈0.301,log3≈0.4771)- (A) 10<a<100
- (B) 100<b<1000
- (C) 20000<c<30000
- (D) b−a 為 4 位數
- (E) bc+a 為 9 位數
第 1 題5
第 2 題5
第 3 題22
第 5 題7
第 6 題7
第 7 題50
第 8 題3
第 9 題4.9
第 10 題0
第 11 題12
第 13 題(E)
第 14 題(D)
第 15 題(E)
第 16 題(B)
第 17 題(A)
第 18 題(A)(B)(C)(E)
第 19 題(B)(D)
第 20 題(A)(C)(D)
03 · 勾錯題號勾出錯的題號,看錯在哪幾章
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01選填 1~5:循環小數、比較係數、外分點、指數求值、科學記號
第 1 題設 t=1.23=1.2323⋯,則 100t=123.2323⋯。兩式相減得 99t=122,t=99122。分子是三位數 122,所以 a=1、b=2、c=2,a+b+c=5。
這裡的 abc 是三位數(百位 a、十位 b、個位 c),不是三個數相乘。
第 2 題左邊展開整理成 (3a+b)+(a−b)2。a、b 是有理數,2 是無理數,所以有理數部分與 2 的係數要分別相等:3a+b=9,a−b=−1。兩式相加得 4a=8,a=2,b=3,所以 a+b=5。 第 3 題AP>BP,所以 P 離 B 比較近,又在 AB 外,因此 P 在 B 的右邊,x>12。這時 AP=x+3、BP=x−12,由 (x+3):(x−12)=5:2 得 2(x+3)=5(x−12),3x=66,x=22。驗算:AP=25、BP=10,比是 5:2。
如果沒有「在 AB 外」這個條件,還會有內分點 x=754,這題不取。
第 4 題把所求平方:(a21+a−21)2=a+2⋅a21⋅a−21+a−1=a+a−1+2=8+2=10。因為 a>0,a21 和 a−21 都是正數,和是正的,所以 a21+a−21=10。 開根號時只取正的,理由是兩項都是正數。
第 5 題3×10−109×10−6=3×10−6−(−10)=3×104。1≤3<10 符合科學記號的寫法,所以 a=3、b=4,a+b=7。
02填充 1~4(第 6~9 題):小數部分、算幾不等式、絕對值不等式、對數的意義
第 6 題1<2<2,所以 6<5+2<7,整數部分 a=6,小數部分 b=(5+2)−6=2−1。b1=2−11=(2−1)(2+1)2+1=2+1。所以 a+b1=7+2,c=7。 第 7 題設兩條短邊各長 x 公尺、與馬路平行的長邊長 y 公尺(x>0,y>0),繩子用完時 2x+y=20,面積是 xy。由算幾不等式 22x+y≥2x⋅y,即 10≥2xy,兩邊平方得 100≥2xy,xy≤50。等號在 2x=y=10,也就是 x=5、y=10 時成立,所以最大面積是 50 平方公尺。 要對 2x 和 y 用算幾不等式,因為和是定值的是 2x+y,不是 x+y。
第 8 題∣3x−2∣≤7 等於 −7≤3x−2≤7,各加 2:−5≤3x≤9,所以 −35≤x≤3。其中的正整數是 1、2、3,共 3 個。
題目問的是正整數,0 和 −1 雖然在範圍內但不算。
第 9 題a=log2.65 表示 10a=2.65;b=log1.5 表示 10b=1.5。100b=(102)b=(10b)2=1.52=2.25。所以 10a+100b=2.65+2.25=4.9。
logN=t 就是 10t=N;看到 log 的條件先寫回 10 的次方,再用指數律處理。
03填充 5~7(第 10~12 題):10 的次方、乘積的最大值、指數成長
第 10 題由題意 10x1=a、10x2=4a、10x3=16a。(10x2)2=16a2=a×16a=10x1×10x3,也就是 102x2=10x1+x3,所以 2x2=x1+x3,2x2−x1−x3=0。
a、4a、16a 每次乘以 4,所以指數 x1、x2、x3 每次加上同一個數,x2 剛好是 x1 和 x3 的平均。
第 11 題xy−y=y(x−1)。由 ∣x−1∣≤2 知 −2≤x−1≤2;由 ∣y+1∣≤5 知 −6≤y≤4,所以 ∣y∣≤6。於是 ∣y(x−1)∣=∣y∣∣x−1∣≤6×2=12,y(x−1)≤12。取 y=−6、x−1=−2(即 x=−1)時 y(x−1)=12,確實達到,所以最大值是 12。
最大值出現在兩個因式都取負的端點;如果只代 y=4、x−1=2 會得到 8,不是最大。
第 12 題t=t0 時 k(2a)t0=114;t=t0+3 時 k(2a)t0+3=3078。兩式相除:(2a)3=1143078=27,所以 2a=3,a=23。b=k(2a)t0+7=114×(2a)7=114×(2)7×a7,所以 a7b=114×(2)7=114×82=9122。 不必算出
b 和
a7 的值:把
(2a)7 拆成
(2)7×a7,
a7 直接約掉。
(2)7=(2)6×2=82。
04單選 1~5(第 13~17 題):根式比大小、有理化、絕對值的幾何意義、完全平方、指數律
第 13 題答案 (E)。五個選項都是正數,比平方就可以。每個選項兩個根號裡的數相加都是 11,所以平方依序是 11+210、11+218、11+224、11+228、11+230。30 最大,所以 6+5 最大。 (A) 的
1 看成
1、(D) 的
4 照樣處理,五個選項就是同一個形式。
第 14 題答案 (D)。2−51=(2−5)(2+5)2+5=−12+5=−2−5≈−4.24。13−43=13−212,找兩數和 13、積 12:12 和 1,所以 13−43=12−1=23−1;23−111=12−111(23+1)=23+1≈4.46。介於 −4.24 和 4.46 之間的整數是 −4,−3,⋯,4,共 9 個。 第 15 題答案 (E)。∣5−x∣=∣x−5∣,所以方程式是 ∣x+2∣+∣x−5∣=7,左邊是數線上 x 到 −2 的距離加上 x 到 5 的距離。−2 和 5 相距 7:當 x 在 −2 和 5 之間(含端點)時,兩段距離的和剛好是 7;x 在這一段之外時,和大於 7。所以解是 −2≤x≤5 的所有實數,有無限多個。
也可以分 x<−2、−2≤x≤5、x>5 三段去絕對值:中間那段化成 7=7 恆成立,兩邊各解出端點但不在該段內。
第 16 題答案 (B)。2(a+c)=34+38+2×36=(32)2+2×32×34+(34)2=(32+34)2,所以 2(a+c)=32+34=90,除以 b=9 得 10。b+1=9+1=10,選 (B)。其餘選項 a+1、c+1=730、2b+c=369、2ac 都遠大於 10。 關鍵是看出 2c=2×36=2×32×34 正好是完全平方式的中間項。
第 17 題答案 (A)。a 是正數;條件式裡有 x1,所以 x=0。由 a=3x 兩邊取 x1 次方得 3=ax1;同理 6=ay1、8=az1。三式相乘:3×6×8=ax1+y1+z1=a2,所以 a2=144,a=12(a>0)。
把三個式子都改寫成「a 的幾次方」,指數相加才用得上 x1+y1+z1=2。
05多選 1~3(第 18~20 題):對稱式求值、指數律的成立條件、由 log 值判斷位數
第 18 題答案 (A)(B)(C)(E)。(A) 對:x2+x21=(x+x1)2−2=16−2=14。(B) 對:x3+x31=(x+x1)3−3(x+x1)=64−12=52。(C) 對:x4+x41=(x2+x21)2−2=196−2=194。(D) 錯:(x−x1)2=x2+x21−2=12,所以 x−x1=±23;x=2−3 時也滿足 x+x1=4,但 x−x1=−23,不一定是正的。(E) 對:x2+x21−2=12=23,根號的值不會是負的。 滿足條件的
x 有
2+3 和
2−3 兩個(互為倒數)。(D) 和 (E) 的差別在於 (E) 是
x−x1。
第 19 題答案 (B)(D)。(A) 錯:2=1.41421⋯ 是無理數,不等於 1.414,例如 a=2 時 22=21.414。(B) 對:(a−m)n=a−mn=amn1。(C) 錯:b 可以是負數,這時 bn1 沒有定義(分數指數的底數要是正數),等式不成立。(D) 對:a1+3×a1−3=a(1+3)+(1−3)=a2。(E) 錯:n 是偶數時 x 可以是負的,例如 n=2、a=4,x=−2 滿足 x2=4,但 a21=2。 (C) 和 (E) 都是在考「分數指數只對正的底數定義,而且 an1 是正數」。
第 20 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對:1<1.45<2,所以 10<a<100。(B) 錯:3<3.45<4,所以 1000<b<10000。(C) 對:log20000=4+log2≈4.301、log30000=4+log3≈4.4771,而 4.301<4.45<4.4771,所以 20000<c<30000。(D) 對:b=103.45=102×101.45=100a,b−a=99a;log20≈1.301<1.45<1.4771≈log30,所以 20<a<30,1980<99a<2970,是 4 位數。(E) 錯:bc=103.45+4.45=107.9,而 log8=3log2≈0.903>0.9,所以 107<bc<8×107;再加上 a<100 仍小於 108,bc+a 是 8 位數。
(D) 的重點是 logb−loga=2,所以 b 剛好是 a 的 100 倍。(E) 加上很小的 a 時要確認不會進位。
logN 的整數部分是 n(n≥0)時,N 的整數部分是 n+1 位數;兩個數的 log 相差整數 k,就是相差 10k 倍。
同一次段考的其他學校
同樣是高一第一次段考,範圍相近,可以拿來限時再寫一份。
你們學校的段考卷也想要詳解?
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上傳考卷常見問題
屏東女中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡?
本頁列出全部 20 題的答案;答案由御藍教育逐題重新計算。
屏東女中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯?
填充第 6 題(第 11 題)乘積的最大值出現在兩個因式都取負的端點;填充第 7 題(第 12 題)要先把兩個時間點的人數相除求出底數,再把七次方拆開約掉;單選第 3 題(第 15 題)解是一整段區間所以有無限多個;多選第 2 題(第 19 題)要注意底數是負數或次數是偶數時指數律不成立。詳解逐題寫在本頁。
我們學校的段考卷也可以做詳解嗎?
可以。考完把題目頁拍照或掃描,從本頁「上傳考卷」傳給我們,收到後會盡快做好放上來,一樣免費。
這份段考卷可以下載列印嗎?
可以,免註冊。PDF 是 A4 考卷格式,填充與計算題留了作答空間,最後幾頁是答案與逐題詳解。
題目取自屏東女中 114 學年度上學期 高一第一次段考 數學,由御藍教育重新打字排版;答案逐題重新計算,詳解為御藍教育撰寫。