御藍教育/段考卷/高一

段考詳解範圍:數與式(實數與根式、絕對值、指數與算幾不等式、常用對數)

屏東女中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題,照原卷順序

選填題 5 題(40 分)、填充題 7 題(28 分)、單選題 5 題(20 分)、多選題 3 題(12 分)

一、選填題(一題 8 分,共 40 分)
1
已知 1.23=99abc​,則 a+b+c 之值為 ____。
2
2​ 是無理數,若 a、b 均為有理數,且 (3+2​)a+(1−2​)b=9−2​,則 a+b 的值為 ____。
3
數線上兩點 A(−3)、B(12),P(x) 為 AB 外一點,且 AP:BP=5:2,則 P 點坐標 x= ____。
4
已知 a>0 且 a1+a−1=8,則 a21​+a−21​ 的值為 ____。
5
已知紅血球直徑為 9×10−6 公尺(9 微米),銫原子的直徑為 3×10−10 公尺(0.3 奈米),紅血球直徑為銫原子直徑的 a×10b 倍,其中 1≤a<10,求 a+b= ____。
二、填充題(一題 4 分,共 28 分)(本頁第 6~12 題依序為卷面填充題 1~7)
6
若 5+2​ 的整數部分為 a,小數部分為 b,若 a+b1​ 之值為 c+2​,則 c 的值為 ____。
7
如圖所示,有位農夫想沿著馬路的一側圍出一塊耕種的田地。如果他只需圍出三邊即可(一長邊及兩短邊,如圖虛線)。已知他手上有一段長度為 20 公尺的繩子。試問:他所能圍成的田地之最大面積為 ____ 平方公尺。
載入中...
8
不等式 ∣3x−2∣≤7 的正整數解有 ____ 個。
9
設 a=log2.65,b=log1.5,計算 10a+100b= ____。
10
設一正數 a 可以寫成 10 的 x1​ 次方,4a 可以寫成 10 的 x2​ 次方,16a 可以寫成 10 的 x3​ 次方,試求 2x2​−x1​−x3​ 的值為 ____。
11
設 x、y 均為實數,若 ∣x−1∣≤2,且 ∣y+1∣≤5,則 xy−y 的最大值為 ____。
12
瘋狂數學家數數發現了一種「愛數學」的超級細菌,當受到該細菌傳播的帶菌者將會因此而熱愛數學。已知「愛數學」經過 t 日,檢驗帶菌人口 P 的人數關係為:P=k×(2​a)t,其中 k、a 為常數。今日(t=t0​)有一城鎮受到「愛數學」的傳播,且已有 114 人帶菌,若經過 3 日(t=t0​+3)檢驗,驗得有 3078 人帶菌,經過 7 日(t=t0​+7)檢驗,驗得有 b 人帶菌,試求 a7b​ 之值為 ____。
三、單選題(一題 4 分,共 20 分)(本頁第 13~17 題依序為卷面單選題 1~5)
13
下列哪個選項的值最大?
  1. (A) 10​+1
  2. (B) 9​+2​
  3. (C) 8​+3​
  4. (D) 7​+4​
  5. (E) 6​+5​
14
介於 2−5​1​ 與 13−43​​11​ 之間的整數共有幾個?(5​≈2.24,3​≈1.73)
  1. (A) 6
  2. (B) 7
  3. (C) 8
  4. (D) 9
  5. (E) 10
15
滿足方程式 ∣x+2∣+∣5−x∣=7 的解 x 有幾個?
  1. (A) 1 個
  2. (B) 2 個
  3. (C) 3 個
  4. (D) 4 個
  5. (E) 無限多個
16
已知 a=21​(34+38),b=32,c=36,試求 b2(a+c)​​ 之值與下列何者相同?
  1. (A) a+1
  2. (B) b+1
  3. (C) c+1
  4. (D) 2b+c​
  5. (E) 2ac
17
已知 a=3x=6y=8z,且 x1​+y1​+z1​=2,則 a 值為下列何者?
  1. (A) 12
  2. (B) 36
  3. (C) 96
  4. (D) 144
  5. (E) 288
四、多選題(一題 4 分,共 12 分,錯一個選項得 2 分,錯兩個選項以上不給分)(本頁第 18~20 題依序為卷面多選題 1~3)
18
已知 x+x1​=4,則下列各式的值哪些必為正確?
  1. (A) x2+x21​=14
  2. (B) x3+x31​=52
  3. (C) x4+x41​=194
  4. (D) x−x1​=23​
  5. (E) x2+x21​−2​=23​
19
設 a>0,b 為任意實數,且 m、n 均為正整數,則下列選項哪些正確?
  1. (A) a2​=a1.414
  2. (B) (a−m)n=amn1​
  3. (C) an1​×bn1​=nab​
  4. (D) a1+3​×a1−3​=a2
  5. (E) 若 xn=a,則可得 x=an1​
20
設 a、b、c 為實數且滿足 loga=1.45,logb=3.45,logc=4.45,選出正確的選項。(參考數據 log2≈0.301,log3≈0.4771)
  1. (A) 10<a<100
  2. (B) 100<b<1000
  3. (C) 20000<c<30000
  4. (D) b−a 為 4 位數
  5. (E) bc+a 為 9 位數
02 · 答案

答案一覽,先對再看詳解

第 1 題5
第 2 題5
第 3 題22
第 4 題10​
第 5 題7
第 6 題7
第 7 題50
第 8 題3
第 9 題4.9
第 10 題0
第 11 題12
第 12 題9122​
第 13 題(E)
第 14 題(D)
第 15 題(E)
第 16 題(B)
第 17 題(A)
第 18 題(A)(B)(C)(E)
第 19 題(B)(D)
第 20 題(A)(C)(D)
03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題,錯在哪一步

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01選填 1~5:循環小數、比較係數、外分點、指數求值、科學記號

第 1 題設 t=1.23=1.2323⋯,則 100t=123.2323⋯。兩式相減得 99t=122,t=99122​。分子是三位數 122,所以 a=1、b=2、c=2,a+b+c=5。
這裡的 abc 是三位數(百位 a、十位 b、個位 c),不是三個數相乘。
第 2 題左邊展開整理成 (3a+b)+(a−b)2​。a、b 是有理數,2​ 是無理數,所以有理數部分與 2​ 的係數要分別相等:3a+b=9,a−b=−1。兩式相加得 4a=8,a=2,b=3,所以 a+b=5。
第 3 題AP>BP,所以 P 離 B 比較近,又在 AB 外,因此 P 在 B 的右邊,x>12。這時 AP=x+3、BP=x−12,由 (x+3):(x−12)=5:2 得 2(x+3)=5(x−12),3x=66,x=22。驗算:AP=25、BP=10,比是 5:2。
如果沒有「在 AB 外」這個條件,還會有內分點 x=754​,這題不取。
第 4 題把所求平方:(a21​+a−21​)2=a+2⋅a21​⋅a−21​+a−1=a+a−1+2=8+2=10。因為 a>0,a21​ 和 a−21​ 都是正數,和是正的,所以 a21​+a−21​=10​。
開根號時只取正的,理由是兩項都是正數。
第 5 題3×10−109×10−6​=3×10−6−(−10)=3×104。1≤3<10 符合科學記號的寫法,所以 a=3、b=4,a+b=7。

02填充 1~4(第 6~9 題):小數部分、算幾不等式、絕對值不等式、對數的意義

第 6 題1<2​<2,所以 6<5+2​<7,整數部分 a=6,小數部分 b=(5+2​)−6=2​−1。b1​=2​−11​=(2​−1)(2​+1)2​+1​=2​+1。所以 a+b1​=7+2​,c=7。
第 7 題設兩條短邊各長 x 公尺、與馬路平行的長邊長 y 公尺(x>0,y>0),繩子用完時 2x+y=20,面積是 xy。由算幾不等式 22x+y​≥2x⋅y​,即 10≥2xy​,兩邊平方得 100≥2xy,xy≤50。等號在 2x=y=10,也就是 x=5、y=10 時成立,所以最大面積是 50 平方公尺。
要對 2x 和 y 用算幾不等式,因為和是定值的是 2x+y,不是 x+y。
第 8 題∣3x−2∣≤7 等於 −7≤3x−2≤7,各加 2:−5≤3x≤9,所以 −35​≤x≤3。其中的正整數是 1、2、3,共 3 個。
題目問的是正整數,0 和 −1 雖然在範圍內但不算。
第 9 題a=log2.65 表示 10a=2.65;b=log1.5 表示 10b=1.5。100b=(102)b=(10b)2=1.52=2.25。所以 10a+100b=2.65+2.25=4.9。
logN=t 就是 10t=N;看到 log 的條件先寫回 10 的次方,再用指數律處理。

03填充 5~7(第 10~12 題):10 的次方、乘積的最大值、指數成長

第 10 題由題意 10x1​=a、10x2​=4a、10x3​=16a。(10x2​)2=16a2=a×16a=10x1​×10x3​,也就是 102x2​=10x1​+x3​,所以 2x2​=x1​+x3​,2x2​−x1​−x3​=0。
a、4a、16a 每次乘以 4,所以指數 x1​、x2​、x3​ 每次加上同一個數,x2​ 剛好是 x1​ 和 x3​ 的平均。
第 11 題xy−y=y(x−1)。由 ∣x−1∣≤2 知 −2≤x−1≤2;由 ∣y+1∣≤5 知 −6≤y≤4,所以 ∣y∣≤6。於是 ∣y(x−1)∣=∣y∣∣x−1∣≤6×2=12,y(x−1)≤12。取 y=−6、x−1=−2(即 x=−1)時 y(x−1)=12,確實達到,所以最大值是 12。
最大值出現在兩個因式都取負的端點;如果只代 y=4、x−1=2 會得到 8,不是最大。
第 12 題t=t0​ 時 k(2​a)t0​=114;t=t0​+3 時 k(2​a)t0​+3=3078。兩式相除:(2​a)3=1143078​=27,所以 2​a=3,a=2​3​。b=k(2​a)t0​+7=114×(2​a)7=114×(2​)7×a7,所以 a7b​=114×(2​)7=114×82​=9122​。
不必算出 b 和 a7 的值:把 (2​a)7 拆成 (2​)7×a7,a7 直接約掉。(2​)7=(2​)6×2​=82​。

04單選 1~5(第 13~17 題):根式比大小、有理化、絕對值的幾何意義、完全平方、指數律

第 13 題答案 (E)。五個選項都是正數,比平方就可以。每個選項兩個根號裡的數相加都是 11,所以平方依序是 11+210​、11+218​、11+224​、11+228​、11+230​。30​ 最大,所以 6​+5​ 最大。
(A) 的 1 看成 1​、(D) 的 4​ 照樣處理,五個選項就是同一個形式。
第 14 題答案 (D)。2−5​1​=(2−5​)(2+5​)2+5​​=−12+5​​=−2−5​≈−4.24。13−43​=13−212​,找兩數和 13、積 12:12 和 1,所以 13−43​​=12​−1=23​−1;23​−111​=12−111(23​+1)​=23​+1≈4.46。介於 −4.24 和 4.46 之間的整數是 −4,−3,⋯,4,共 9 個。
第一個數是負的:分母 2−5​<0。
第 15 題答案 (E)。∣5−x∣=∣x−5∣,所以方程式是 ∣x+2∣+∣x−5∣=7,左邊是數線上 x 到 −2 的距離加上 x 到 5 的距離。−2 和 5 相距 7:當 x 在 −2 和 5 之間(含端點)時,兩段距離的和剛好是 7;x 在這一段之外時,和大於 7。所以解是 −2≤x≤5 的所有實數,有無限多個。
也可以分 x<−2、−2≤x≤5、x>5 三段去絕對值:中間那段化成 7=7 恆成立,兩邊各解出端點但不在該段內。
第 16 題答案 (B)。2(a+c)=34+38+2×36=(32)2+2×32×34+(34)2=(32+34)2,所以 2(a+c)​=32+34=90,除以 b=9 得 10。b+1=9+1=10,選 (B)。其餘選項 a+1、c+1=730、2b+c​=369、2ac 都遠大於 10。
關鍵是看出 2c=2×36=2×32×34 正好是完全平方式的中間項。
第 17 題答案 (A)。a 是正數;條件式裡有 x1​,所以 x=0。由 a=3x 兩邊取 x1​ 次方得 3=ax1​;同理 6=ay1​、8=az1​。三式相乘:3×6×8=ax1​+y1​+z1​=a2,所以 a2=144,a=12(a>0)。
把三個式子都改寫成「a 的幾次方」,指數相加才用得上 x1​+y1​+z1​=2。

05多選 1~3(第 18~20 題):對稱式求值、指數律的成立條件、由 log 值判斷位數

第 18 題答案 (A)(B)(C)(E)。(A) 對:x2+x21​=(x+x1​)2−2=16−2=14。(B) 對:x3+x31​=(x+x1​)3−3(x+x1​)=64−12=52。(C) 對:x4+x41​=(x2+x21​)2−2=196−2=194。(D) 錯:(x−x1​)2=x2+x21​−2=12,所以 x−x1​=±23​;x=2−3​ 時也滿足 x+x1​=4,但 x−x1​=−23​,不一定是正的。(E) 對:x2+x21​−2​=12​=23​,根號的值不會是負的。
滿足條件的 x 有 2+3​ 和 2−3​ 兩個(互為倒數)。(D) 和 (E) 的差別在於 (E) 是 ​x−x1​​。
第 19 題答案 (B)(D)。(A) 錯:2​=1.41421⋯ 是無理數,不等於 1.414,例如 a=2 時 22​=21.414。(B) 對:(a−m)n=a−mn=amn1​。(C) 錯:b 可以是負數,這時 bn1​ 沒有定義(分數指數的底數要是正數),等式不成立。(D) 對:a1+3​×a1−3​=a(1+3​)+(1−3​)=a2。(E) 錯:n 是偶數時 x 可以是負的,例如 n=2、a=4,x=−2 滿足 x2=4,但 a21​=2。
(C) 和 (E) 都是在考「分數指數只對正的底數定義,而且 an1​ 是正數」。
第 20 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對:1<1.45<2,所以 10<a<100。(B) 錯:3<3.45<4,所以 1000<b<10000。(C) 對:log20000=4+log2≈4.301、log30000=4+log3≈4.4771,而 4.301<4.45<4.4771,所以 20000<c<30000。(D) 對:b=103.45=102×101.45=100a,b−a=99a;log20≈1.301<1.45<1.4771≈log30,所以 20<a<30,1980<99a<2970,是 4 位數。(E) 錯:bc=103.45+4.45=107.9,而 log8=3log2≈0.903>0.9,所以 107<bc<8×107;再加上 a<100 仍小於 108,bc+a 是 8 位數。
(D) 的重點是 logb−loga=2,所以 b 剛好是 a 的 100 倍。(E) 加上很小的 a 時要確認不會進位。
logN 的整數部分是 n(n≥0)時,N 的整數部分是 n+1 位數;兩個數的 log 相差整數 k,就是相差 10k 倍。

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