段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、指數、常用對數）

羅東高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 羅東高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 羅東高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題選項 (4) 兩個正數相加不會出現負的根號 5、第 3 題循環節不是從小數點後第一位開始、第 19 題三層根號要由內往外化簡再用立方和，以及第 23 題要先因式分解再比較四個端點的乘積。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

單選題 5 題（20 分）、多選題 2 題（16 分）、填充題 16 題（64 分）

一、單選題（占 20 分）說明：第 1 題至第 5 題，每題 4 分。

在

a = 3.14159

，

b = π

，

c = 8^{- \frac{1}{2}}

，

d = 49

，

e = 5 - 23

，

f = 0.3 \overline{6}

，

g = lo g 3

共

7

個數中，共有幾個有理數？

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $5$ 個

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特

(W / m^{2})

來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12} (W / m^{2})

；當測得的聲音強度為

I (W / m^{2})

時，所產生的噪音分貝數

d

為

d (I) = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

。棒球比賽場中，若一支瓦斯汽笛獨鳴，測得的噪音為

50

分貝，則百支瓦斯汽笛同時同地合鳴，被測得的噪音大約為多少分貝？

(1) $60$
(2) $65$
(3) $70$
(4) $100$
(5) $500$

若將

\frac{17}{14}

化成小數，則此數的小數點以下第

2025

位數字是？

(1) $1$
(2) $4$
(3) $5$
(4) $7$
(5) $8$

對某數

N

取一次

lo g

後，其值為

x

，再對此數

x

取一次

lo g

後，其值為

3

，試問

N

是幾位數？

(1) $3$
(2) $9$
(3) $11$
(4) $101$
(5) $1001$

設

a

、

b

均為實數，且

∣ a x + 3∣ \leq b

的解為

- 2 \leq x \leq 5

，求

(a, b) =

？

(1) $(- 2, 7)$
(2) $(2, - 7)$
(3) $(2, 7)$
(4) $(- 2, - 7)$
(5) 以上皆非

二、多選題（占 16 分）說明：第 6 題至第 7 題，每題 8 分。（8－5－2－0）

下列方程式或不等式何者有實數解？

(1) $∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣ = 6$
(2) $∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣ = 4$
(3) $∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣ = 2$
(4) $∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣ < 0$
(5) $∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣ < 2$

設

x^{2} - 3 x + 1 = 0

，則下列哪些結果是正確的？

(1) $x + x^{- 1} = 3$
(2) $x^{2} + x^{- 2} = 11$
(3) $x^{3} + x^{- 3} = 18$
(4) $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \pm 5$
(5) $x - x^{- 1} = \pm 5$

三、填充題（占 64 分）說明：第 8 題至第 23 題，每題 4 分。

滿足等式

3∣ x + 7∣ = 2∣ x - 3∣

之所有實數解

x

的乘積為 ____。

滿足不等式

∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣ \leq 6

的解以區間表示為

[a, b]

，則

a - b =

____。

設

lo g 5 = a

且

lo g 8 = b

，若

1 0^{2 a - b - 1} = \frac{c}{d}

，則

c + d =

____。

設

x

、

y

均為正實數，且

x y = 2

，若

9 x + 2 y

之最小值為

m

，最小值發生時

x = a

與

y = b

，求

m \times a \times b =

____。

設

11 + 72

之整數部分為

a

，小數部分

b

，則

\frac{1 - 2 a}{a + b + 1} - \frac{7}{a - b - 1} =

____。

(lo g 10010) \times (10 0^{l o g 2}) + (0.1)^{- l o g 9} \times lo g 3 0.01 =

____。

設

A (- 4)

，

B (x)

，

P (8)

是數線上三點，若

P

點在

\overline{A B}

上，且

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 2

，則

x

之值為 ____。

化簡：

\frac{2 ^{0.2} \times 8 ^{0.4}}{5 4} + (0.25)^{- 1.5} + (π + 5)^{0} =

____。

設

x

、

y

均是實數，且

6 7^{x} = 9

，

60 3^{y} = 81

，求

\frac{1}{x} - \frac{2}{y} =

____。

已知

7^{x} = 3^{6}

，

7^{y} = 3^{4}

，則

4^{\frac{x}{y}} =

____。

已知

a > 0

，且

a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = - 5

，則

a - a^{- 1}

的值最簡根式為

α β

，則

α - β =

____。

設

a > 0

且

a^{4 x} = 29 - 12 3 + 22

，則

\frac{a ^{6 x} + a ^{- 6 x}}{a ^{2 x} + a ^{- 2 x}}

的值 ____。

已知

x

、

y

為有理數，且

7 + 48 x + 12 - 63 y = 1 + 33

，則

x \cdot y =

____。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，

6^{100}

為 ____ 位數。

已知莫耳濃度的計算公式為

\frac{溶質莫耳數}{溶液體積 ( 公升 )}

，所以科學上

P H

值為

3

表示這瓶溶液的氫離子濃度為

1 0^{- 3}

莫耳/公升。現在取氫離子濃度不同而體積為

1

公升

P H

值為

4

的液體與體積若干公升

P H

值為

6

的相同液體可混合出

P H

值為

5

的溶液，試問

P H

值為

6

的液體需要取 ____ 公升。

已知

- 4 \leq x \leq 3

，

1 \leq y \leq 6

，若

6 x + y - 2 x y - 3

的最大值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(5)

第 5 題(1)

第 6 題(1)(2)(3)

第 7 題(1)(3)(5)

第 8 題

81

第 9 題

- 6

第 10 題

21

第 11 題

24

第 12 題

- 4

第 13 題

- 1

第 14 題

16

第 15 題

11

第 16 題

- 1

第 17 題

8

第 18 題

- 8

第 19 題

5

第 20 題

- 2

第 21 題

78

第 22 題

10

第 23 題

27

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：實數、常用對數、絕對值不等式

第 1 題答案 (3)。有理數有

a

、

d

、

f

三個：

a = 3.14159

是有限小數；

d = 49 = 7

；

f = 0.3 \overline{6} = \frac{36 - 3}{90} = \frac{11}{30}

。其餘四個是無理數：

π

；

c = 8^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}

；

e = 5 - 23

（有理數減無理數）；

g = lo g 3

（若

lo g 3 = \frac{p}{q}

，則

1 0^{p} = 3^{q}

，左邊是偶數、右邊是奇數，不可能）。

3.14159

只是

π

的近似值，本身是有限小數，所以是有理數。

第 2 題答案 (3)。一支汽笛：

50 = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

，所以

lo g \frac{I}{I _{0}} = 5

，即

\frac{I}{I _{0}} = 1 0^{5}

。一百支的強度是

100 I

，

\frac{100 I}{I _{0}} = 1 0^{2} \times 1 0^{5} = 1 0^{7}

，分貝數為

10 lo g 1 0^{7} = 70

。

強度變成

100

倍，分貝數是「加

20

」，不是「乘

100

」。

第 3 題答案 (2)。

\frac{17}{14} = 1.2 \overline{142857}

：小數點後第

1

位是

2

，從第

2

位起「

142857

」六位一循環。第

2025

位是循環部分的第

2024

個數字，

2024 = 6 \times 337 + 2

，所以是循環節的第

2

個數字

4

。

循環節不是從第

1

位開始，要先扣掉不循環的那一位再除以

6

。

第 4 題答案 (5)。

lo g x = 3

得

x = 1 0^{3} = 1000

；

lo g N = 1000

得

N = 1 0^{1000}

。

1 0^{1000}

是

1

後面接

1000

個

0

，共

1001

位數。

第 5 題答案 (1)。

∣ a x + 3∣ \leq b

即

- b \leq a x + 3 \leq b

。解的兩個端點

x = - 2

、

x = 5

都使

∣ a x + 3∣ = b

：

∣ - 2 a + 3∣ = b

且

∣5 a + 3∣ = b

。兩式相等：

- 2 a + 3 = 5 a + 3

得

a = 0

（不合，此時解不會是一段有限區間）；或

- 2 a + 3 = - (5 a + 3)

得

a = - 2

，此時

b = ∣4 + 3∣ = 7

。驗算：

∣ - 2 x + 3∣ \leq 7

即

- 7 \leq - 2 x + 3 \leq 7

，解得

- 2 \leq x \leq 5

，符合。所以

(a, b) = (- 2, 7)

。

也可以用中點：解的中點

x = \frac{3}{2}

要使

a x + 3 = 0

，得

a = - 2

。

02多選 6～7：距離和、x 與倒數的對稱式

第 6 題答案 (1)(2)(3)。

∣ x - 1∣ + ∣ x - 3∣

是數線上

x

到

1

與到

3

的距離和：

x

在

1

和

3

之間時等於

2

，在外側時大於

2

，而且離得越遠越大。所以距離和可以是任何不小於

2

的數，但不會小於

2

。(1)

= 6

有解（

x = - 1

或

5

）。(2)

= 4

有解（

x = 0

或

4

）。(3)

= 2

有解（

1 \leq x \leq 3

）。(4)

< 0

無解。(5)

< 2

無解。

(3) 的解是一整段

1 \leq x \leq 3

，不是只有一兩個點。

第 7 題答案 (1)(3)(5)。

x = 0

不是根，兩邊同除以

x

得

x + x^{- 1} = 3

，(1) 對。(2) 錯：

x^{2} + x^{- 2} = (x + x^{- 1})^{2} - 2 = 7

。(3) 對：

x^{3} + x^{- 3} = (x + x^{- 1})^{3} - 3 (x + x^{- 1}) = 27 - 9 = 18

。(4) 錯：兩根

x = \frac{3 \pm 5}{2}

都是正數，

(x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}})^{2} = x + 2 + x^{- 1} = 5

，而

x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} > 0

，所以只能是

5

，不會是

- 5

。(5) 對：

(x - x^{- 1})^{2} = x^{2} - 2 + x^{- 2} = 5

，

x = \frac{3 + 5}{2}

時

x - x^{- 1} = 5

，

x = \frac{3 - 5}{2}

時

x - x^{- 1} = - 5

，兩個值都會出現。

(4) 和 (5) 平方後都是

5

，差別在 (4) 是兩個正數相加，不可能為負。

看到

x + x^{- 1}

已知，其他對稱式都用平方、立方公式往上推；開根號回來時要先判斷正負。

03填充 8～12：絕對值、log 的意義、算幾不等式、雙重根號

第 8 題

3∣ x + 7∣ = 2∣ x - 3∣

表示

3 (x + 7) = 2 (x - 3)

或

3 (x + 7) = - 2 (x - 3)

。前者

3 x + 21 = 2 x - 6

，

x = - 27

；後者

3 x + 21 = - 2 x + 6

，

x = - 3

。乘積

(- 27) \times (- 3) = 81

。

第 9 題

∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣

是

x

到

- 1

與到

3

的距離和，兩點相距

4

。

x

在

- 1

和

3

之間時距離和是

4 \leq 6

，成立；

x > 3

時距離和為

(x + 1) + (x - 3) = 2 x - 2 \leq 6

，得

x \leq 4

；

x < - 1

時距離和為

- 2 x + 2 \leq 6

，得

x \geq - 2

。解為

[- 2, 4]

，

a - b = - 2 - 4 = - 6

。

距離和比兩點的距離多

2

，所以區間往左右各多出

1

。

第 10 題

lo g 5 = a

表示

1 0^{a} = 5

，

lo g 8 = b

表示

1 0^{b} = 8

。

1 0^{2 a - b - 1} = \frac{( 1 0 ^{a} ) ^{2}}{1 0 ^{b} \times 10} = \frac{25}{80} = \frac{5}{16}

，所以

c + d = 5 + 16 = 21

。

題目沒有寫「最簡分數」，參考答案

21

是把

\frac{c}{d}

當作最簡分數

\frac{5}{16}

。

第 11 題

9 x

、

2 y

都是正數，由算幾不等式

\frac{9 x + 2 y}{2} \geq 9 x \cdot 2 y = 18 \times 2 = 6

，所以

9 x + 2 y \geq 12

，

m = 12

。等號在

9 x = 2 y = 6

時成立，即

a = \frac{2}{3}

、

b = 3

（確實

ab = 2

）。

m \times a \times b = 12 \times 2 = 24

。

a \times b

就是

x y = 2

，其實不必把

a

、

b

分別求出來。

第 12 題

11 + 72 = 11 + 218 = 9 + 2 = 3 + 2 \approx 4.41

，所以

a = 4

，

b = (3 + 2) - 4 = 2 - 1

。代入：

a + b + 1 = 4 + 2

，

a - b - 1 = 4 - 2

，

1 - 2 a = - 7

。原式

= \frac{- 7}{4 + 2} - \frac{7}{4 - 2} = - 7 \times \frac{( 4 - 2 ) + ( 4 + 2 )}{16 - 2} = - 7 \times \frac{8}{14} = - 4

。

72

要先寫成

218

，再找相加

11

、相乘

18

的兩數

9

和

2

。

04填充 13～18：10 的 log 次方、分點、指數律

第 13 題逐項算：

lo g 10010 = lo g 1 0^{2.5} = \frac{5}{2}

；

10 0^{l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{2} = (2)^{2} = 2

；

(0.1)^{- l o g 9} = (1 0^{- 1})^{- l o g 9} = 1 0^{l o g 9} = 9

；

lo g 3 0.01 = lo g 1 0^{- \frac{2}{3}} = - \frac{2}{3}

。原式

= \frac{5}{2} \times 2 + 9 \times (- \frac{2}{3}) = 5 - 6 = - 1

。

關鍵是

1 0^{l o g a} = a

：把底數

100

、

0.1

都改寫成

10

的次方。

第 14 題

P

在

\overline{A B}

上，

\overline{A P} = 8 - (- 4) = 12

，由

\overline{A P} : \overline{B P} = 3 : 2

得

\overline{B P} = 8

。

A

在

P

的左邊，

P

在

A

、

B

之間，所以

B

在

P

的右邊，

x = 8 + 8 = 16

。

用分點公式也可以：

8 = \frac{2 \times ( - 4 ) + 3 x}{5}

，解得

x = 16

。

第 15 題全部化成

2

的次方：

8^{0.4} = 2^{1.2}

，

54 = 2^{0.4}

，所以第一項

= 2^{0.2 + 1.2 - 0.4} = 2^{1} = 2

。第二項

(0.25)^{- 1.5} = (2^{- 2})^{- 1.5} = 2^{3} = 8

。第三項任何非零數的

0

次方是

1

。合計

2 + 8 + 1 = 11

。

第 16 題

6 7^{x} = 9

兩邊取

\frac{1}{x}

次方得

67 = 9^{\frac{1}{x}}

；

60 3^{y} = 81 = 9^{2}

兩邊取

\frac{1}{y}

次方得

603 = 9^{\frac{2}{y}}

。相除：

9^{\frac{1}{x} - \frac{2}{y}} = \frac{67}{603} = \frac{1}{9} = 9^{- 1}

，所以

\frac{1}{x} - \frac{2}{y} = - 1

。

603 = 67 \times 9

是這題的設計；把兩式都改成「底數

9

」才能相除。

第 17 題把

7^{y} = 3^{4}

兩邊取

\frac{3}{2}

次方：

7^{\frac{3}{2} y} = 3^{6} = 7^{x}

，所以

x = \frac{3}{2} y

，即

\frac{x}{y} = \frac{3}{2}

。

4^{\frac{3}{2}} = (2^{2})^{\frac{3}{2}} = 2^{3} = 8

。

第 18 題把已知式平方：

a - 2 + a^{- 1} = 5

，得

a + a^{- 1} = 7

。再算

(a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}})^{2} = a + 2 + a^{- 1} = 9

，兩個正數相加為正，所以

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3

。由平方差

a - a^{- 1} = (a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}}) (a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}) = - 5 \times 3 = - 35

。所以

α = - 3

、

β = 5

，

α - β = - 8

。

a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}}

是負的，表示

0 < a < 1

，所以

a - a^{- 1}

也是負的，

α

要帶負號。

底數不同的指數式，先全部改寫成同一個底數的次方，再用指數律合併。

05填充 19～23：多層根號、位數、情境題與範圍

第 19 題由內往外化簡：

3 + 22 = 2 + 1

；

29 - 12 (2 + 1) = 17 - 122 = 17 - 272

，相加

17

、相乘

72

的兩數是

9

和

8

，所以

17 - 272 = 3 - 22

。即

a^{4 x} = 3 - 22

，

a^{- 4 x} = \frac{1}{3 - 2 2} = 3 + 22

。令

t = a^{2 x}

，由立方和

t^{3} + t^{- 3} = (t + t^{- 1}) (t^{2} - 1 + t^{- 2})

，所求

= t^{2} - 1 + t^{- 2} = a^{4 x} + a^{- 4 x} - 1 = 6 - 1 = 5

。

不必求出

a^{2 x}

；分子用立方和公式分解後，分母直接約掉。

第 20 題

7 + 48 = 7 + 212 = 4 + 3 = 2 + 3

；

12 - 63 = 12 - 227 = 9 - 3 = 3 - 3

。原式成為

(2 + 3) x + (3 - 3) y = 1 + 33

，即

(2 x + 3 y) + (x - y) 3 = 1 + 33

。

x

、

y

是有理數，比較兩邊得

2 x + 3 y = 1

、

x - y = 3

，解出

x = 2

、

y = - 1

，

x \cdot y = - 2

。

63

要先改成

227

才能套雙重根號；「有理數」的條件是用來比較係數的。

第 21 題

2 \approx 1 0^{0.3010}

、

3 \approx 1 0^{0.4771}

，所以

6 = 2 \times 3 \approx 1 0^{0.7781}

，

6^{100} \approx 1 0^{77.81}

。

1 0^{77} < 6^{100} < 1 0^{78}

，而

1 0^{77}

是

78

位數、

1 0^{78}

是

79

位數，所以

6^{100}

是

78

位數。

10

的指數的整數部分是

77

，位數要再加

1

。

第 22 題照題意，

P H

值為

n

表示氫離子濃度為

1 0^{- n}

莫耳/公升。設

P H

值

6

的液體取

V

公升。氫離子莫耳數：

P H

值

4

的

1

公升有

1 0^{- 4}

，

P H

值

6

的

V

公升有

1 0^{- 6} V

；混合後體積

1 + V

公升、濃度

1 0^{- 5}

：

1 0^{- 4} + 1 0^{- 6} V = 1 0^{- 5} (1 + V)

。兩邊同乘

1 0^{6}

：

100 + V = 10 + 10 V

，

V = 10

。

P H

值不能直接取平均；要先換回濃度，用「莫耳數相加」列式。

第 23 題分組分解：

6 x + y - 2 x y - 3 = - (2 x y - 6 x - y + 3) = - (2 x - 1) (y - 3)

。由範圍得

- 9 \leq 2 x - 1 \leq 5

、

- 2 \leq y - 3 \leq 3

。要讓

- (2 x - 1) (y - 3)

最大，就要

(2 x - 1) (y - 3)

負得最多，也就是一正一負且絕對值都取最大：

(- 9) \times 3 = - 27

或

5 \times (- 2) = - 10

，最小是

- 27

。所以最大值為

27

，發生在

x = - 4

、

y = 6

（代回：

- 24 + 6 + 48 - 3 = 27

）。

兩個因式的範圍都跨過

0

，四個端點組合

18

、

- 27

、

- 10

、

15

都要比過。

雙重根號先湊成「

2

」的形式；位數題把數寫成

10

的次方，看指數的整數部分。

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羅東高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 7 題選項 (4) 兩個正數相加不會出現負的根號 5、第 3 題循環節不是從小數點後第一位開始、第 19 題三層根號要由內往外化簡再用立方和，以及第 23 題要先因式分解再比較四個端點的乘積。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自羅東高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

羅東高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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04填充 13～18：10 的 log 次方、分點、指數律

05填充 19～23：多層根號、位數、情境題與範圍

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高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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