段考詳解範圍：數與式（乘法公式、有理數與無理數、雙重根號、絕對值方程式與不等式、指數、常用對數）

安康高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 2 題（10 分）、填充題 12 格（60 分）、非選擇題 1 題（10 分）

一、單選題：每題 5 分，共 20 分。

關於乘法公式，請選出正確的選項：

(A) $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 3 b^{3}$
(B) $(a - b)^{3} = a^{3} - 2 a^{2} b + 2 a b^{2} - b^{3}$
(C) $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(D) $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(E) $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c$

已知

a = 41 - 125

，求

a

在哪兩個整數之間？

(A) $1$ 與 $2$ 之間
(B) $2$ 與 $3$ 之間
(C) $3$ 與 $4$ 之間
(D) $4$ 與 $5$ 之間
(E) $5$ 與 $6$ 之間

已知

a, b

為有理數，且

a - 14 + 180 = b 9 - 80 + 4

，求數對

(a, b) =

？

(A) $(- 4, 3)$
(B) $(8, 7)$
(C) $(3, - 4)$
(D) $(7, 11)$
(E) $(9, - 1)$

lo g 0.01 =

？

(A) $- 2$
(B) $- 1$
(C) $0$
(D) $1$
(E) $2$

二、多選題：每題 5 分，答錯 1 個選項得 3 分，答錯 2 個選項得 1 分，其餘不給分，共 10 分。（本頁第 5～6 題依序為原卷多選第 1～2 題）

已知

9^{a} = 7

，請選出正確選項：

(A) $3^{a} = 7$
(B) $2 7^{a} = 21$
(C) $3^{4 a} = 49$
(D) $9^{- a} = - 7$
(E) $3^{a + 1} - 7 \times 3^{- a} = 27$

請選出正確的選項：

(A) 若 $a, b$ 皆為無理數，則 $a - b$ 必為無理數。
(B) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，則 $ab$ 必為無理數。
(C) 若 $a, b, a + b$ 皆為無理數，則 $a - b$ 必為無理數。
(D) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，則 $a + b$ 必為無理數。
(E) 若 $a, b$ 為有理數， $c$ 為無理數，則 $a + b c$ 必為無理數。

三、填充題：每格 5 分，全對才給分，共 60 分。（本頁第 7～18 題依序為原卷填充第 1～12 題）

請將

0.7 \overline{32}

化為最簡分數

=

____。

已知

a = \frac{3 + 7}{2}

，

b = \frac{2 3 + 7}{3}

，

c = \frac{3 + 5 7}{6}

，則將

a, b, c

三數由小到大排列為 ____。

方程式

∣3 x + 2∣ = 7

的解為

x =

____。（有兩解）

已知

x, y

均為實數，且

2 \leq x \leq 5

，

- 4 \leq y \leq 3

，試求

x - 2 y

的範圍為 ____。

請利用乘法公式，展開：

(a^{2} - 4) (a^{2} + 2 a + 4) (a^{2} - 2 a + 4) =

____。

試求不等式

5 \leq ∣2 x - 3∣ < 9

的解為 ____。

試求方程式

∣ x - 1∣ + ∣ x + 3∣ = 9

之解為 ____。

已知

a

、

b

為實數，且絕對值不等式

∣ a x + 3∣ \geq b

的解為

x \leq - 1

或

x \geq 7

，則數對

(a, b) =

____。

已知

a = lo g 6

，

b = lo g 5

，試求

1 0^{2 a + b - 1} =

____。

已知離地球最近的黑洞是 Gaia BH1，距離地球大約為

1600

光年，且一光年約

9 \times 1 0^{12}

公里。試問該黑洞與地球的距離約為 ____ 公里？（請將答案取

2

位有效數字，並以科學記號表示。）

已知直角三角形的兩股長為

a, b

（

a > 0, b > 0

），斜邊長為

12

，求此直角三角形面積最大值

=

____。

已知

2 \approx 1 0^{0.3010}

，

3 \approx 1 0^{0.4771}

，則

1 2^{20}

乘開後是 ____ 位數。

四、非選擇題：共 10 分。請寫出完整計算過程，否則不給分。（本頁第 19 題為原卷非選擇第 1 題）

已知

a > 0

，且

a + a^{- 1} = 3

，試求下列各式的值：(1)

a^{2} + a^{- 2}

（3 分）(2)

a^{3} + a^{- 3}

（3 分）(3)

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}

（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(E)

第 4 題(A)

第 5 題(A)(C)(E)

第 6 題(D)

第 7 題

\frac{145}{198}

第 8 題

b < a < c

第 9 題

\frac{5}{3}

或

- 3

第 10 題

- 4 \leq x - 2 y \leq 13

第 11 題

a^{6} - 64

第 12 題

- 3 < x \leq - 1

或

4 \leq x < 6

第 13 題

x = \frac{7}{2}

或

x = - \frac{11}{2}

第 14 題

(- 1, 4)

第 15 題

18

第 16 題

1.4 \times 1 0^{16}

第 17 題

36

第 18 題

22

第 19 題(1)

7

；(2)

18

；(3)

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

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01單選 1～4：乘法公式、雙重根號、常用對數

第 1 題答案 (D)。逐一與公式比對：(A)

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

，最後一項是

b^{3}

，不是

3 b^{3}

。(B)

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

，中間兩項的係數是

3

，不是

2

。(C)

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

，括號裡中間是

- ab

。(D)

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

，正確。(E)

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a

，少了

2 c a

。

拿不準時代數字檢查：取

a = 2, b = 1

，(C) 左邊

9

、右邊

3 \times 7 = 21

，不相等；(D) 左邊

7

、右邊

1 \times 7 = 7

，相等。

第 2 題答案 (C)。先把裡面的根號前面湊成

2

：

125 = 2 36 \times 5 = 2180

。找兩個數相加為

41

、相乘為

180

：

36

與

5

。所以

41 - 125 = (36 - 5)^{2} = (6 - 5)^{2}

，而

6 > 5

，

a = 6 - 5

。因為

2 < 5 < 3

，所以

3 < 6 - 5 < 4

，

a

在

3

與

4

之間。

5 \approx 2.236

，

a \approx 3.764

。也可以直接估：

125 \approx 26.83

，

41 - 26.83 = 14.17

，介於

3^{2} = 9

與

4^{2} = 16

之間。

第 3 題答案 (E)。化簡兩個雙重根號。

180 = 245

，相加為

14

、相乘為

45

的兩數是

9

與

5

，所以

14 + 180 = 9 + 5 = 3 + 5

。

80 = 220

，相加為

9

、相乘為

20

的兩數是

5

與

4

，所以

9 - 80 = 5 - 4 = 5 - 2

。代回原式：

a - 3 - 5 = b (5 - 2) + 4

，整理成

(a + 2 b - 7) = (b + 1) 5

。左邊是有理數；若

b + 1 \neq = 0

，右邊是無理數，不可能相等。所以

b = - 1

，再由

a + 2 b - 7 = 0

得

a = 9

。

(a, b) = (9, - 1)

。

相減的雙重根號要寫成「大的減小的」：

5 - 2

是正的，不可以寫成

2 - 5

。

第 4 題答案 (A)。

lo g 0.01

是問「

10

的幾次方等於

0.01

」。

0.01 = \frac{1}{100} = 1 0^{- 2}

，所以

lo g 0.01 = - 2

。

雙重根號先把裡面的根號前面湊成 2，再找相加、相乘的兩個數；相減時大的寫前面。

02多選 5～6（原卷多選 1～2）：指數律、有理數與無理數

第 5 題答案 (A)(C)(E)。

9^{a} = (3^{a})^{2} = 7

，而

3^{a} > 0

，所以

3^{a} = 7

。(A) 正確。(B)

2 7^{a} = (3^{a})^{3} = (7)^{3} = 77

，不是

21

。(C)

3^{4 a} = (9^{a})^{2} = 7^{2} = 49

，正確。(D)

9^{- a} = \frac{1}{9 ^{a}} = \frac{1}{7}

，不是

- 7

。(E)

3^{a + 1} = 3 \cdot 3^{a} = 37

，

7 \times 3^{- a} = \frac{7}{7} = 7

，相減得

27

，正確。

(B)

77 \approx 18.52

。(D) 正數的任何次方都是正的，不可能等於

- 7

；負指數是取倒數，不是加負號。

第 6 題答案 (D)。(A) 反例：

a = b = 2

，

a - b = 0

是有理數。(B) 反例：

a = 0

，

ab = 0

是有理數。(C) 反例：

a = 2

，

b = 1 + 2

，

a + b = 1 + 22

是無理數，但

a - b = - 1

是有理數。(D) 正確：若

a + b

是有理數，則

b = (a + b) - a

是兩個有理數相減，也是有理數，與

b

是無理數矛盾，所以

a + b

必為無理數。(E) 反例：

b = 0

，

a + b c = a

是有理數。

(B) 與 (E) 只差在有理數能不能是

0

：加上「不為

0

的有理數」的條件後，乘以無理數才必為無理數。

「必為無理數」的敘述先試 0 與兩個相同的無理數；有理數加無理數一定是無理數。

03填充 7～12（原卷填充 1～6）：循環小數、比大小、絕對值、乘法公式

第 7 題設

x = 0.7 \overline{32} = 0.7323232 \dots

。

10 x = 7.323232 \dots

，

1000 x = 732.323232 \dots

，兩式相減：

990 x = 725

，

x = \frac{725}{990} = \frac{145}{198}

。

145 = 5 \times 29

，

198 = 2 \times 3^{2} \times 11

，沒有公因數，已是最簡分數。

原卷的循環線只蓋住

3

與

2

，

7

不循環，所以循環節是

32

。驗算：

145 \div 198 = 0.7323232 \dots

。

第 8 題通分成分母

6

：

a = \frac{3 3 + 3 7}{6}

，

b = \frac{4 3 + 2 7}{6}

，

c = \frac{3 + 5 7}{6}

。

a - b = \frac{7 - 3}{6} > 0

，所以

b < a

；

c - a = \frac{2 7 - 2 3}{6} > 0

，所以

a < c

。由小到大為

b < a < c

。

三個數的分子係數和都等於分母，可以看成數線上

3

與

7

之間的分點：

7

所占的比例依序是

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{3}

、

\frac{5}{6}

，比例愈大愈靠近

7

，所以

b < a < c

。數值約為

b \approx 2.037

、

a \approx 2.189

、

c \approx 2.493

。

第 9 題

∣3 x + 2∣ = 7

表示

3 x + 2 = 7

或

3 x + 2 = - 7

。前者

x = \frac{5}{3}

；後者

3 x = - 9

，

x = - 3

。

第 10 題先求

- 2 y

的範圍：

- 4 \leq y \leq 3

各邊乘以

- 2

，不等號方向要反過來，得

- 6 \leq - 2 y \leq 8

。再與

2 \leq x \leq 5

同向相加：

2 + (- 6) \leq x - 2 y \leq 5 + 8

，即

- 4 \leq x - 2 y \leq 13

。

兩端都取得到：

x = 2, y = 3

時為

- 4

；

x = 5, y = - 4

時為

13

。不等式只能同向相加，不能直接相減，所以先把

- 2 y

的範圍算出來。

第 11 題

a^{2} - 4 = (a - 2) (a + 2)

。重新配對：

(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) = a^{3} - 8

（立方差），

(a + 2) (a^{2} - 2 a + 4) = a^{3} + 8

（立方和）。所以原式

= (a^{3} - 8) (a^{3} + 8) = (a^{3})^{2} - 8^{2} = a^{6} - 64

。

代

a = 1

檢查：原式

= (- 3) (7) (3) = - 63

，

a^{6} - 64 = - 63

，相符。

第 12 題分成兩種情形。

2 x - 3 \geq 0

時：

5 \leq 2 x - 3 < 9

，

8 \leq 2 x < 12

，

4 \leq x < 6

。

2 x - 3 < 0

時：

5 \leq - (2 x - 3) < 9

，即

- 9 < 2 x - 3 \leq - 5

，

- 6 < 2 x \leq - 2

，

- 3 < x \leq - 1

。所以解為

- 3 < x \leq - 1

或

4 \leq x < 6

。

也可以看成距離：

∣2 x - 3∣ = 2 x - \frac{3}{2}

，條件是

x

到

\frac{3}{2}

的距離大於或等於

\frac{5}{2}

、小於

\frac{9}{2}

。等號在靠近

\frac{3}{2}

的那一端（

- 1

與

4

），遠的那一端（

- 3

與

6

）不含。

不等式乘以負數要變號；絕對值不等式的等號要跟著哪一端一起帶到最後。

04填充 13～18（原卷填充 7～12）：絕對值、對數、科學記號、算幾不等式

第 13 題

∣ x - 1∣ + ∣ x + 3∣

是數線上

x

到

1

與到

- 3

的距離和。

x

在

- 3

與

1

之間時距離和固定是

4

，不可能是

9

，所以

x

在外側。

x > 1

時：

(x - 1) + (x + 3) = 9

，

2 x = 7

，

x = \frac{7}{2}

。

x < - 3

時：

- (x - 1) - (x + 3) = 9

，

- 2 x = 11

，

x = - \frac{11}{2}

。

兩個解到中點

- 1

的距離都是

\frac{9}{2}

，左右對稱：多出來的

9 - 4 = 5

平分到兩側，各往外

\frac{5}{2}

。

第 14 題解的形式「

x \leq - 1

或

x \geq 7

」是到某一點的距離大於或等於某個正數：中點為

\frac{- 1 + 7}{2} = 3

，半徑為

4

，即

∣ x - 3∣ \geq 4

。另一方面，

a \neq = 0

時

∣ a x + 3∣ = ∣ a ∣ x + \frac{3}{a}

，原不等式是

x + \frac{3}{a} \geq \frac{b}{∣ a ∣}

。比較得

- \frac{3}{a} = 3

，

a = - 1

；

\frac{b}{∣ a ∣} = 4

，

b = 4

。

(a, b) = (- 1, 4)

。

驗算：

∣ - x + 3∣ \geq 4

就是

∣ x - 3∣ \geq 4

，解為

x \leq - 1

或

x \geq 7

。也可以把兩個端點代入等號：

∣ - a + 3∣ = b

且

∣7 a + 3∣ = b

，解出

a = - 1

（

a = 0

時左邊是常數，解不會是這個形式）。

第 15 題

a = lo g 6

表示

1 0^{a} = 6

，

b = lo g 5

表示

1 0^{b} = 5

。由指數律，

1 0^{2 a + b - 1} = \frac{( 1 0 ^{a} ) ^{2} \times 1 0 ^{b}}{1 0 ^{1}} = \frac{36 \times 5}{10} = 18

。

第 16 題距離

= 1600 \times 9 \times 1 0^{12} = 14400 \times 1 0^{12} = 1.44 \times 1 0^{4} \times 1 0^{12} = 1.44 \times 1 0^{16}

公里。取

2

位有效數字，第三位

4

捨去，約為

1.4 \times 1 0^{16}

公里。

科學記號的寫法是

a \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq a < 10

，所以不寫成

14 \times 1 0^{15}

。

第 17 題由畢氏定理，

a^{2} + b^{2} = 1 2^{2} = 144

；面積為

\frac{1}{2} ab

。對正數

a^{2}

、

b^{2}

用算幾不等式：

\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq a^{2} b^{2} = ab

，所以

ab \leq 72

，面積

\frac{1}{2} ab \leq 36

。等號在

a^{2} = b^{2}

，即

a = b = 62

時成立，所以面積最大值為

36

。

不用算幾不等式也可以：

(a - b)^{2} \geq 0

展開得

2 ab \leq a^{2} + b^{2} = 144

，結果相同。求極值時要檢查等號取得到，這裡是等腰直角三角形。

第 18 題

12 = 2^{2} \times 3 \approx 1 0^{0.3010 \times 2 + 0.4771} = 1 0^{1.0791}

，所以

1 2^{20} \approx 1 0^{1.0791 \times 20} = 1 0^{21.582}

。因為

1 0^{21} \leq 1 2^{20} < 1 0^{22}

，而

1 0^{21}

是最小的

22

位數，所以

1 2^{20}

是

22

位數。

指數的整數部分是

21

，位數要加

1

。實際上

1 2^{20} = 3833759992447475122176

，共

22

位。

兩個絕對值相加看成數線上的距離和；10 的 n 點多次方是 n 加 1 位數。

05非選擇 19（原卷非選擇 1）：指數的對稱式求值

第 19 題(1) 把

a + a^{- 1} = 3

兩邊平方：

a^{2} + 2 \cdot a \cdot a^{- 1} + a^{- 2} = 9

，其中

a \cdot a^{- 1} = 1

，所以

a^{2} + a^{- 2} = 9 - 2 = 7

。(2) 用立方和公式：

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1}) (a^{2} - a \cdot a^{- 1} + a^{- 2}) = 3 \times (7 - 1) = 18

。(3) 設

t = a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}

，平方得

t^{2} = a + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{- \frac{1}{2}} + a^{- 1} = 3 + 2 = 5

。因為

a > 0

，

a^{\frac{1}{2}}

與

a^{- \frac{1}{2}}

都是正數，

t > 0

，所以

t = 5

。

(2) 也可以用

(a + a^{- 1})^{3} = a^{3} + a^{- 3} + 3 (a + a^{- 1})

：

27 = a^{3} + a^{- 3} + 9

，同樣得

18

。(3) 開根號後要說明取正的理由，答案不寫

\pm 5

。

a 與它的倒數相乘是 1，所以平方、立方之後中間項都是常數；開根號前先判斷正負。

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安康高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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安康高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 8 題（本頁第 14 題）：要先把解寫成到 3 的距離大於或等於 4，再比對出 a 是負 1，容易把 a 的正負號寫反。單選第 3 題：兩個雙重根號都要先湊出 2，相減的那一個要寫成根號 5 減 2，再用有理數與無理數分開比較。多選第 2 題：只有一個選項正確，有理數取 0 就是好幾個選項的反例。填充第 6 題（本頁第 12 題）：兩層的絕對值不等式，兩段解各有一端含等號、一端不含。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自安康高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（乘法公式、有理數與無理數、雙重根號、絕對值方程式與不等式、指數、常用對數）

安康高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 2 題（10 分）、填充題 12 格（60 分）、非選擇題 1 題（10 分）

一、單選題：每題 5 分，共 20 分。

關於乘法公式，請選出正確的選項：

(A) $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 3 b^{3}$
(B) $(a - b)^{3} = a^{3} - 2 a^{2} b + 2 a b^{2} - b^{3}$
(C) $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(D) $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
(E) $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c$

已知

a = 41 - 125

，求

a

在哪兩個整數之間？

(A) $1$ 與 $2$ 之間
(B) $2$ 與 $3$ 之間
(C) $3$ 與 $4$ 之間
(D) $4$ 與 $5$ 之間
(E) $5$ 與 $6$ 之間

已知

a, b

為有理數，且

a - 14 + 180 = b 9 - 80 + 4

，求數對

(a, b) =

？

(A) $(- 4, 3)$
(B) $(8, 7)$
(C) $(3, - 4)$
(D) $(7, 11)$
(E) $(9, - 1)$

lo g 0.01 =

？

(A) $- 2$
(B) $- 1$
(C) $0$
(D) $1$
(E) $2$

二、多選題：每題 5 分，答錯 1 個選項得 3 分，答錯 2 個選項得 1 分，其餘不給分，共 10 分。（本頁第 5～6 題依序為原卷多選第 1～2 題）

已知

9^{a} = 7

，請選出正確選項：

(A) $3^{a} = 7$
(B) $2 7^{a} = 21$
(C) $3^{4 a} = 49$
(D) $9^{- a} = - 7$
(E) $3^{a + 1} - 7 \times 3^{- a} = 27$

請選出正確的選項：

(A) 若 $a, b$ 皆為無理數，則 $a - b$ 必為無理數。
(B) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，則 $ab$ 必為無理數。
(C) 若 $a, b, a + b$ 皆為無理數，則 $a - b$ 必為無理數。
(D) 若 $a$ 為有理數， $b$ 為無理數，則 $a + b$ 必為無理數。
(E) 若 $a, b$ 為有理數， $c$ 為無理數，則 $a + b c$ 必為無理數。

三、填充題：每格 5 分，全對才給分，共 60 分。（本頁第 7～18 題依序為原卷填充第 1～12 題）

請將

0.7 \overline{32}

化為最簡分數

=

____。

已知

a = \frac{3 + 7}{2}

，

b = \frac{2 3 + 7}{3}

，

c = \frac{3 + 5 7}{6}

，則將

a, b, c

三數由小到大排列為 ____。

方程式

∣3 x + 2∣ = 7

的解為

x =

____。（有兩解）

已知

x, y

均為實數，且

2 \leq x \leq 5

，

- 4 \leq y \leq 3

，試求

x - 2 y

的範圍為 ____。

請利用乘法公式，展開：

(a^{2} - 4) (a^{2} + 2 a + 4) (a^{2} - 2 a + 4) =

____。

試求不等式

5 \leq ∣2 x - 3∣ < 9

的解為 ____。

試求方程式

∣ x - 1∣ + ∣ x + 3∣ = 9

之解為 ____。

已知

a

、

b

為實數，且絕對值不等式

∣ a x + 3∣ \geq b

的解為

x \leq - 1

或

x \geq 7

，則數對

(a, b) =

____。

已知

a = lo g 6

，

b = lo g 5

，試求

1 0^{2 a + b - 1} =

____。

已知離地球最近的黑洞是 Gaia BH1，距離地球大約為

1600

光年，且一光年約

9 \times 1 0^{12}

公里。試問該黑洞與地球的距離約為 ____ 公里？（請將答案取

2

位有效數字，並以科學記號表示。）

已知直角三角形的兩股長為

a, b

（

a > 0, b > 0

），斜邊長為

12

，求此直角三角形面積最大值

=

____。

已知

2 \approx 1 0^{0.3010}

，

3 \approx 1 0^{0.4771}

，則

1 2^{20}

乘開後是 ____ 位數。

四、非選擇題：共 10 分。請寫出完整計算過程，否則不給分。（本頁第 19 題為原卷非選擇第 1 題）

已知

a > 0

，且

a + a^{- 1} = 3

，試求下列各式的值：(1)

a^{2} + a^{- 2}

（3 分）(2)

a^{3} + a^{- 3}

（3 分）(3)

a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}

（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(E)

第 4 題(A)

第 5 題(A)(C)(E)

第 6 題(D)

第 7 題

\frac{145}{198}

第 8 題

b < a < c

第 9 題

\frac{5}{3}

或

- 3

第 10 題

- 4 \leq x - 2 y \leq 13

第 11 題

a^{6} - 64

第 12 題

- 3 < x \leq - 1

或

4 \leq x < 6

第 13 題

x = \frac{7}{2}

或

x = - \frac{11}{2}

第 14 題

(- 1, 4)

第 15 題

18

第 16 題

1.4 \times 1 0^{16}

第 17 題

36

第 18 題

22

第 19 題(1)

7

；(2)

18

；(3)

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：乘法公式、雙重根號、常用對數

第 1 題答案 (D)。逐一與公式比對：(A)

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

，最後一項是

b^{3}

，不是

3 b^{3}

。(B)

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

，中間兩項的係數是

3

，不是

2

。(C)

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

，括號裡中間是

- ab

。(D)

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

，正確。(E)

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a

，少了

2 c a

。

拿不準時代數字檢查：取

a = 2, b = 1

，(C) 左邊

9

、右邊

3 \times 7 = 21

，不相等；(D) 左邊

7

、右邊

1 \times 7 = 7

，相等。

第 2 題答案 (C)。先把裡面的根號前面湊成

2

：

125 = 2 36 \times 5 = 2180

。找兩個數相加為

41

、相乘為

180

：

36

與

5

。所以

41 - 125 = (36 - 5)^{2} = (6 - 5)^{2}

，而

6 > 5

，

a = 6 - 5

。因為

2 < 5 < 3

，所以

3 < 6 - 5 < 4

，

a

在

3

與

4

之間。

5 \approx 2.236

，

a \approx 3.764

。也可以直接估：

125 \approx 26.83

，

41 - 26.83 = 14.17

，介於

3^{2} = 9

與

4^{2} = 16

之間。

第 3 題答案 (E)。化簡兩個雙重根號。

180 = 245

，相加為

14

、相乘為

45

的兩數是

9

與

5

，所以

14 + 180 = 9 + 5 = 3 + 5

。

80 = 220

，相加為

9

、相乘為

20

的兩數是

5

與

4

，所以

9 - 80 = 5 - 4 = 5 - 2

。代回原式：

a - 3 - 5 = b (5 - 2) + 4

，整理成

(a + 2 b - 7) = (b + 1) 5

。左邊是有理數；若

b + 1 \neq = 0

，右邊是無理數，不可能相等。所以

b = - 1

，再由

a + 2 b - 7 = 0

得

a = 9

。

(a, b) = (9, - 1)

。

相減的雙重根號要寫成「大的減小的」：

5 - 2

是正的，不可以寫成

2 - 5

。

第 4 題答案 (A)。

lo g 0.01

是問「

10

的幾次方等於

0.01

」。

0.01 = \frac{1}{100} = 1 0^{- 2}

，所以

lo g 0.01 = - 2

。

雙重根號先把裡面的根號前面湊成 2，再找相加、相乘的兩個數；相減時大的寫前面。

02多選 5～6（原卷多選 1～2）：指數律、有理數與無理數

第 5 題答案 (A)(C)(E)。

9^{a} = (3^{a})^{2} = 7

，而

3^{a} > 0

，所以

3^{a} = 7

。(A) 正確。(B)

2 7^{a} = (3^{a})^{3} = (7)^{3} = 77

，不是

21

。(C)

3^{4 a} = (9^{a})^{2} = 7^{2} = 49

，正確。(D)

9^{- a} = \frac{1}{9 ^{a}} = \frac{1}{7}

，不是

- 7

。(E)

3^{a + 1} = 3 \cdot 3^{a} = 37

，

7 \times 3^{- a} = \frac{7}{7} = 7

，相減得

27

，正確。

(B)

77 \approx 18.52

。(D) 正數的任何次方都是正的，不可能等於

- 7

；負指數是取倒數，不是加負號。

第 6 題答案 (D)。(A) 反例：

a = b = 2

，

a - b = 0

是有理數。(B) 反例：

a = 0

，

ab = 0

是有理數。(C) 反例：

a = 2

，

b = 1 + 2

，

a + b = 1 + 22

是無理數，但

a - b = - 1

是有理數。(D) 正確：若

a + b

是有理數，則

b = (a + b) - a

是兩個有理數相減，也是有理數，與

b

是無理數矛盾，所以

a + b

必為無理數。(E) 反例：

b = 0

，

a + b c = a

是有理數。

(B) 與 (E) 只差在有理數能不能是

0

：加上「不為

0

的有理數」的條件後，乘以無理數才必為無理數。

「必為無理數」的敘述先試 0 與兩個相同的無理數；有理數加無理數一定是無理數。

03填充 7～12（原卷填充 1～6）：循環小數、比大小、絕對值、乘法公式

第 7 題設

x = 0.7 \overline{32} = 0.7323232 \dots

。

10 x = 7.323232 \dots

，

1000 x = 732.323232 \dots

，兩式相減：

990 x = 725

，

x = \frac{725}{990} = \frac{145}{198}

。

145 = 5 \times 29

，

198 = 2 \times 3^{2} \times 11

，沒有公因數，已是最簡分數。

原卷的循環線只蓋住

3

與

2

，

7

不循環，所以循環節是

32

。驗算：

145 \div 198 = 0.7323232 \dots

。

第 8 題通分成分母

6

：

a = \frac{3 3 + 3 7}{6}

，

b = \frac{4 3 + 2 7}{6}

，

c = \frac{3 + 5 7}{6}

。

a - b = \frac{7 - 3}{6} > 0

，所以

b < a

；

c - a = \frac{2 7 - 2 3}{6} > 0

，所以

a < c

。由小到大為

b < a < c

。

三個數的分子係數和都等於分母，可以看成數線上

3

與

7

之間的分點：

7

所占的比例依序是

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{3}

、

\frac{5}{6}

，比例愈大愈靠近

7

，所以

b < a < c

。數值約為

b \approx 2.037

、

a \approx 2.189

、

c \approx 2.493

。

第 9 題

∣3 x + 2∣ = 7

表示

3 x + 2 = 7

或

3 x + 2 = - 7

。前者

x = \frac{5}{3}

；後者

3 x = - 9

，

x = - 3

。

第 10 題先求

- 2 y

的範圍：

- 4 \leq y \leq 3

各邊乘以

- 2

，不等號方向要反過來，得

- 6 \leq - 2 y \leq 8

。再與

2 \leq x \leq 5

同向相加：

2 + (- 6) \leq x - 2 y \leq 5 + 8

，即

- 4 \leq x - 2 y \leq 13

。

兩端都取得到：

x = 2, y = 3

時為

- 4

；

x = 5, y = - 4

時為

13

。不等式只能同向相加，不能直接相減，所以先把

- 2 y

的範圍算出來。

第 11 題

a^{2} - 4 = (a - 2) (a + 2)

。重新配對：

(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) = a^{3} - 8

（立方差），

(a + 2) (a^{2} - 2 a + 4) = a^{3} + 8

（立方和）。所以原式

= (a^{3} - 8) (a^{3} + 8) = (a^{3})^{2} - 8^{2} = a^{6} - 64

。

代

a = 1

檢查：原式

= (- 3) (7) (3) = - 63

，

a^{6} - 64 = - 63

，相符。

第 12 題分成兩種情形。

2 x - 3 \geq 0

時：

5 \leq 2 x - 3 < 9

，

8 \leq 2 x < 12

，

4 \leq x < 6

。

2 x - 3 < 0

時：

5 \leq - (2 x - 3) < 9

，即

- 9 < 2 x - 3 \leq - 5

，

- 6 < 2 x \leq - 2

，

- 3 < x \leq - 1

。所以解為

- 3 < x \leq - 1

或

4 \leq x < 6

。

也可以看成距離：

∣2 x - 3∣ = 2 x - \frac{3}{2}

，條件是

x

到

\frac{3}{2}

的距離大於或等於

\frac{5}{2}

、小於

\frac{9}{2}

。等號在靠近

\frac{3}{2}

的那一端（

- 1

與

4

），遠的那一端（

- 3

與

6

）不含。

不等式乘以負數要變號；絕對值不等式的等號要跟著哪一端一起帶到最後。

04填充 13～18（原卷填充 7～12）：絕對值、對數、科學記號、算幾不等式

第 13 題

∣ x - 1∣ + ∣ x + 3∣

是數線上

x

到

1

與到

- 3

的距離和。

x

在

- 3

與

1

之間時距離和固定是

4

，不可能是

9

，所以

x

在外側。

x > 1

時：

(x - 1) + (x + 3) = 9

，

2 x = 7

，

x = \frac{7}{2}

。

x < - 3

時：

- (x - 1) - (x + 3) = 9

，

- 2 x = 11

，

x = - \frac{11}{2}

。

兩個解到中點

- 1

的距離都是

\frac{9}{2}

，左右對稱：多出來的

9 - 4 = 5

平分到兩側，各往外

\frac{5}{2}

。

第 14 題解的形式「

x \leq - 1

或

x \geq 7

」是到某一點的距離大於或等於某個正數：中點為

\frac{- 1 + 7}{2} = 3

，半徑為

4

，即

∣ x - 3∣ \geq 4

。另一方面，

a \neq = 0

時

∣ a x + 3∣ = ∣ a ∣ x + \frac{3}{a}

，原不等式是

x + \frac{3}{a} \geq \frac{b}{∣ a ∣}

。比較得

- \frac{3}{a} = 3

，

a = - 1

；

\frac{b}{∣ a ∣} = 4

，

b = 4

。

(a, b) = (- 1, 4)

。

驗算：

∣ - x + 3∣ \geq 4

就是

∣ x - 3∣ \geq 4

，解為

x \leq - 1

或

x \geq 7

。也可以把兩個端點代入等號：

∣ - a + 3∣ = b

且

∣7 a + 3∣ = b

，解出

a = - 1

（

a = 0

時左邊是常數，解不會是這個形式）。

第 15 題

a = lo g 6

表示

1 0^{a} = 6

，

b = lo g 5

表示

1 0^{b} = 5

。由指數律，

1 0^{2 a + b - 1} = \frac{( 1 0 ^{a} ) ^{2} \times 1 0 ^{b}}{1 0 ^{1}} = \frac{36 \times 5}{10} = 18

。

第 16 題距離

= 1600 \times 9 \times 1 0^{12} = 14400 \times 1 0^{12} = 1.44 \times 1 0^{4} \times 1 0^{12} = 1.44 \times 1 0^{16}

公里。取

2

位有效數字，第三位

4

捨去，約為

1.4 \times 1 0^{16}

公里。

科學記號的寫法是

a \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq a < 10

，所以不寫成

14 \times 1 0^{15}

。

第 17 題由畢氏定理，

a^{2} + b^{2} = 1 2^{2} = 144

；面積為

\frac{1}{2} ab

。對正數

a^{2}

、

b^{2}

用算幾不等式：

\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq a^{2} b^{2} = ab

，所以

ab \leq 72

，面積

\frac{1}{2} ab \leq 36

。等號在

a^{2} = b^{2}

，即

a = b = 62

時成立，所以面積最大值為

36

。

不用算幾不等式也可以：

(a - b)^{2} \geq 0

展開得

2 ab \leq a^{2} + b^{2} = 144

，結果相同。求極值時要檢查等號取得到，這裡是等腰直角三角形。

第 18 題

12 = 2^{2} \times 3 \approx 1 0^{0.3010 \times 2 + 0.4771} = 1 0^{1.0791}

，所以

1 2^{20} \approx 1 0^{1.0791 \times 20} = 1 0^{21.582}

。因為

1 0^{21} \leq 1 2^{20} < 1 0^{22}

，而

1 0^{21}

是最小的

22

位數，所以

1 2^{20}

是

22

位數。

指數的整數部分是

21

，位數要加

1

。實際上

1 2^{20} = 3833759992447475122176

，共

22

位。

兩個絕對值相加看成數線上的距離和；10 的 n 點多次方是 n 加 1 位數。

05非選擇 19（原卷非選擇 1）：指數的對稱式求值

第 19 題(1) 把

a + a^{- 1} = 3

兩邊平方：

a^{2} + 2 \cdot a \cdot a^{- 1} + a^{- 2} = 9

，其中

a \cdot a^{- 1} = 1

，所以

a^{2} + a^{- 2} = 9 - 2 = 7

。(2) 用立方和公式：

a^{3} + a^{- 3} = (a + a^{- 1}) (a^{2} - a \cdot a^{- 1} + a^{- 2}) = 3 \times (7 - 1) = 18

。(3) 設

t = a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}

，平方得

t^{2} = a + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{- \frac{1}{2}} + a^{- 1} = 3 + 2 = 5

。因為

a > 0

，

a^{\frac{1}{2}}

與

a^{- \frac{1}{2}}

都是正數，

t > 0

，所以

t = 5

。

(2) 也可以用

(a + a^{- 1})^{3} = a^{3} + a^{- 3} + 3 (a + a^{- 1})

：

27 = a^{3} + a^{- 3} + 9

，同樣得

18

。(3) 開根號後要說明取正的理由，答案不寫

\pm 5

。

a 與它的倒數相乘是 1，所以平方、立方之後中間項都是常數；開根號前先判斷正負。

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常見問題

安康高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自安康高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

安康高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：乘法公式、雙重根號、常用對數

02多選 5～6（原卷多選 1～2）：指數律、有理數與無理數

03填充 7～12（原卷填充 1～6）：循環小數、比大小、絕對值、乘法公式

04填充 13～18（原卷填充 7～12）：絕對值、對數、科學記號、算幾不等式

05非選擇 19（原卷非選擇 1）：指數的對稱式求值

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