板橋高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學：試題、答案與詳解

Q: 板橋高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 板橋高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要看出兩個根號內是和的完全立方與完全平方、第 6 題第 5 個選項要依 a 的正負討論、第 7 題星等公式的係數要變成次方，以及第 14 題要先求梯形的高再用面積換成算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）｜單選題 4 題（24 分）、多選題 3 題（27 分）、填充題 7 題（49 分）

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解。不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

試題

一、單選題（占 24 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題 6 分。

若實數

a, b

為

∣ x - 4∣ + ∣ x - 17∣ = 23

的解且

a < b

，則滿足

a \leq N \leq b

的整數

N

總共有幾個？

(1) $13$
(2) $15$
(3) $23$
(4) $24$
(5) $47$

試問數線上多少整數點與

3999

的距離小於

9

，但與

1 0^{0.3}

的距離大於

2

？

(1) $14$
(2) $15$
(3) $16$
(4) $17$
(5) $18$

方程式

2 x - ∣ x - 1∣ = 5

的所有根之和為？

(1) $- 4$
(2) $- \frac{4}{3}$
(3) $\frac{8}{3}$
(4) $\frac{14}{3}$
(5) $8$

已知

a = 0. \overline{3} + 0. \overline{7}

，

b = (0.3)^{3} + 3 \times (0.3)^{2} (0.7) + 3 \times (0.3) (0.7)^{2} + (0.7)^{3}

，

c = (0.3)^{2} + 0.42 + (0.7)^{2}

，

d = 999 \times (0.2 \overline{3} + 0. \overline{23})

，則

a

、

b

、

c

、

d

四數大小次序為？

(1) $a > d > b = c$
(2) $a > b = c = d$
(3) $d > a > b = c$
(4) $a = b = c = d$
(5) $a > d > b > c$

二、多選題（占 27 分）說明：第 5 題至第 7 題，每題 9 分。（9−6−3−0）

下列關於指數和常用對數的敘述，請選出正確的選項。

(1) 若 $3^{a} = 7$ ， $3^{b} = 8$ ，則 $3^{a + b} = 15$
(2) 若 $1 0^{a} = 18$ ， $1 0^{b} = 0.6$ ，則 $a - 2 b = lo g 50$
(3) 若 $a^{27}$ 、 $a^{58}$ 皆為有理數，則 $a$ 必為有理數
(4) 若 $a^{48}$ 、 $a^{69}$ 皆為有理數，則 $a$ 必為有理數
(5) 若 $lo g b = a$ ，則 $a^{2} = a$ 且 $b^{2} = b$

根據下列甲、乙兩個算式，請選出正確的選項。甲：

∣ x + 1∣ < 100

；乙：

lo g (lo g x)

存在　且　

∣ x ∣ \leq ∣ x - 2^{10} ∣

。

(1) 滿足甲的 $x$ 範圍可用 $(- 101, 99)$ 表示
(2) 滿足乙的 $x$ 範圍可用 $(0, 2^{9}]$ 表示
(3) 同時滿足甲、乙的 $x$ 範圍長度為奇數
(4) 同時滿足甲、乙的 $x$ 範圍和滿足 $∣ a x + 1∣ < b$ 的 $x$ 範圍完全相同，則 $- b - 1 < a x < b - 1$
(5) 同時滿足甲、乙的 $x$ 範圍和滿足 $∣ a x + 1∣ < b$ 的 $x$ 範圍完全相同，則 $a = - 0.02$

「視星等」是依據肉眼所見明亮程度而定出的星等，除了星體本身發光強度之外，還會受到觀測距離的影響。如果能將星體移到某個與地球等距離的位置才能客觀比較星體的亮度，天文學家將這個距離設為

32.6

光年，星體在此距離所呈現的亮度就稱為「絕對星等」。已知視星等

(m)

、絕對星等

(M)

與距離

(d)

之間的關係為：

m - M = 5 lo g d - 5

，距離的單位是秒差距

(p c)

，

1

秒差距等於

3.26

光年。根據以上敘述，試選出正確的選項。

(1) 根據表達式可得 $5 \times 1 0^{d} = \frac{1 0 ^{m} \times 1 0 ^{5}}{1 0 ^{M}}$
(2) 根據表達式可得 $5 \times d = \frac{1 0 ^{m} \times 1 0 ^{5}}{1 0 ^{M}}$
(3) 若一顆恆星距離地球 $2 p c$ ，視星等 $m = 4.7$ ，則此恆星的絕對星等 $M \approx 6.2$ （四捨五入至小數點後第一位）
(4) 已知甲星的視星等為 $9$ ，乙星的視星等為 $14$ ，且兩星發光強度相同，則乙星與地球的距離 $d_{1}$ 是甲星與地球距離 $d_{2}$ 的 $10$ 倍
(5) 已知甲星的視星等為 $9$ ，乙星的視星等為 $14$ ，且兩星發光強度相同，則乙星與地球的距離 $d_{1}$ 是甲星與地球距離 $d_{2}$ 的 $10000$ 倍

三、填充題（占 49 分）說明：第 8 題至第 14 題，每題 7 分。

{[(2^{- 0.5} + 2^{- 1.5}) \times 3^{- 0.5}] \times 6128}^{6} \times 6^{- 1} =

____。

若

x, y

為實數，且滿足

2 x + 3 y = lo g 36

，則

10 0^{x} + 100 0^{y}

的最小值為 ____。

數線上有

A

、

B

兩點，坐標分別為

18 - 245

、

27 + 445

，若數線上相異兩點

P

、

Q

滿足

\overline{A P} = 2 \overline{B P}

、

\overline{A Q} = 2 \overline{B Q}

，則

\overline{P Q} =

____。

若

x, y

為實數，且均不為

0

，若

9^{x} = 1 6^{y} = 1 2^{x y}

，則

x + y =

____。

已知

π \approx 3.14159265

，今一數據為

y = 100 0^{100 π}

。安安在估算

y

值時使用

π

的有效數字

3

位代入，估算出

H

；輝輝在估算

y

值時使用

π

的有效數字

5

位代入，估算出

W

。則

\frac{W}{H}

最接近的整數為 ____。

已知

x = 1.0001

，則

\frac{2 ( x - 1 )}{3 x ^{2} - 1}

最接近的整數為 ____。

四邊形

A B C D

為一梯形，其中

\overline{A B}

和

\overline{C D}

平行，

\overline{A B} = \overline{A D} = 30

，

\overline{B C} = 25

，

\overline{C D} = 55

。點

P

在

\overline{C D}

上，點

E

在

\overline{A D}

上，點

F

在

\overline{B C}

上，使得

\overline{P E} ⊥ \overline{A D}

，

\overline{P F} ⊥ \overline{B C}

。則當

\overline{P E} \times \overline{P F}

有最大值時，

\overline{P E} =

____。

答案一覽

第 1 題　(4)

第 2 題　(2)

第 3 題　(3)

第 4 題　(3)

第 5 題　(2)(3)

第 6 題　(1)(4)(5)

第 7 題　(4)

第 8 題　 $\frac{9}{8}$

第 9 題　 $12$

第 10 題　 $43$

第 11 題　 $2$

第 12 題　 $3$

第 13 題　 $3$

第 14 題　 $22$

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

逐題詳解

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

單選 1～3：絕對值與數線上的距離

第 1 題答案 (4)。

∣ x - 4∣ + ∣ x - 17∣

是

x

到

4

與到

17

的距離和。

4

與

17

相距

13

，

x

在兩點之間時距離和恆為

13

，所以解在兩點之外。

x < 4

時

21 - 2 x = 23

，

x = - 1

；

x > 17

時

2 x - 21 = 23

，

x = 22

。

a = - 1

、

b = 22

，整數

N

有

22 - (- 1) + 1 = 24

個。

幾何看法：距離和多出

23 - 13 = 10

，兩端各往外延伸

5

，得

- 1

與

22

。

第 2 題答案 (2)。

9^{3} = 729 < 999 < 1000 = 1 0^{3}

，所以

9 < 3999 < 10

；與它距離小於

9

的整數

n

滿足

3999 - 9 < n < 3999 + 9

，左端在

0

與

1

之間、右端在

18

與

19

之間，得

n = 1, 2, \dots, 18

。又

lo g 2 \approx 0.3010 > 0.3

，所以

1 < 1 0^{0.3} < 2

；與它距離大於

2

的整數要

n < 1 0^{0.3} - 2

（小於

0

）或

n > 1 0^{0.3} + 2

（介於

3

與

4

之間），在

1

～

18

中只剩

n = 4, 5, \dots, 18

，共

15

個。

第 3 題答案 (3)。依

x - 1

的正負分段。

x \geq 1

時

2 x - (x - 1) = x + 1

，

∣ x + 1∣ = 5

得

x = 4

或

x = - 6

，只有

x = 4

在範圍內。

x < 1

時

2 x + (x - 1) = 3 x - 1

，

∣3 x - 1∣ = 5

得

x = 2

或

x = - \frac{4}{3}

，只有

x = - \frac{4}{3}

在範圍內。根之和

4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

。

每一段解出來的根都要回頭檢查是否落在該段範圍，

x = - 6

、

x = 2

都要捨去。代回驗算：

x = - \frac{4}{3}

時

∣ - \frac{8}{3} - \frac{7}{3} ∣ = 5

。

單選 4：循環小數與乘法公式

第 4 題答案 (3)。

a = \frac{3}{9} + \frac{7}{9} = \frac{10}{9}

。

b

的根號內是立方和展開

(0.3 + 0.7)^{3} = 1

，

b = 1

。

c

的根號內

0.42 = 2 (0.3) (0.7)

，是

(0.3 + 0.7)^{2} = 1

，

c = 1

。

0.2 \overline{3} = \frac{23 - 2}{90} = \frac{7}{30}

、

0. \overline{23} = \frac{23}{99}

，所以

d = 999 (\frac{7}{30} + \frac{23}{99}) \approx 999 \times 0.4657 \approx 465

。故

d > a > b = c

。

流傳版本題幹印作

b = (0.3)^{3} + 3 \times (0.3)^{2} (0.7) + 3 \times (0.3) (0.7)^{2} + 0.42 + (0.7)^{3}

，多了一項

+ 0.42

；照印的數字

b = 1.42 \approx 1.19

，得

d > b > a > c

，五個選項都不成立。依參考答案 (3)，應為上面這個沒有

0.42

的立方和。

多選 5～7：指數、對數與絕對值不等式

第 5 題答案 (2)(3)。(1) 錯：

3^{a + b} = 3^{a} \cdot 3^{b} = 56

。(2) 對：

1 0^{a - 2 b} = \frac{18}{0. 6 ^{2}} = \frac{18}{0.36} = 50

，所以

a - 2 b = lo g 50

。(3) 對：

a = 0

時顯然有理；

a \neq = 0

時

58 \times 7 - 27 \times 15 = 406 - 405 = 1

，

a = \frac{( a ^{58} ) ^{7}}{( a ^{27} ) ^{15}}

是有理數相乘除，仍是有理數。(4) 錯：

48

與

69

的最大公因數是

3

，取

a = 32

，

a^{48} = 2^{16}

、

a^{69} = 2^{23}

都是有理數，但

a

是無理數。(5) 錯：

b > 0

所以

b^{2} = b

成立，但

a = lo g b

可以是負數（例如

b = 0.1

，

a = - 1

），此時

a^{2} = ∣ a ∣ \neq = a

。

(3)(4) 的關鍵是兩個指數是否互質：互質才能湊出指數

1

。

第 6 題答案 (1)(4)(5)。(1) 對：

- 100 < x + 1 < 100

，即

- 101 < x < 99

。(2) 錯：

lo g (lo g x)

存在要

lo g x > 0

，即

x > 1

；

∣ x ∣ \leq ∣ x - 1024∣

表示

x

離

0

不比離

1024

遠，即

x \leq 512

。乙的範圍是

(1, 2^{9}]

，不是

(0, 2^{9}]

。(3) 錯：甲、乙交集為

(1, 99)

，長度

98

是偶數。(4) 對：

∣ a x + 1∣ < b

等價於

- b < a x + 1 < b

，也就是

- b - 1 < a x < b - 1

。(5) 對：若

a > 0

，解為

\frac{- b - 1}{a} < x < \frac{b - 1}{a}

，要等於

(1, 99)

時兩式相加得

- \frac{2}{a} = 100

，

a < 0

矛盾；若

a < 0

，解為

\frac{b - 1}{a} < x < \frac{- b - 1}{a}

，令

\frac{b - 1}{a} = 1

、

\frac{- b - 1}{a} = 99

，相加得

- \frac{2}{a} = 100

，

a = - 0.02

，

b = 0.98

。

驗算 (5)：

∣ - 0.02 x + 1∣ < 0.98

即

0.02 < 0.02 x < 1.98

，得

1 < x < 99

，與交集相同。

第 7 題答案 (4)。由

m - M = 5 lo g d - 5

得

lo g d^{5} = m - M + 5

，所以

d^{5} = \frac{1 0 ^{m} \times 1 0 ^{5}}{1 0 ^{M}}

；(1) 的

5 \times 1 0^{d}

、(2) 的

5 \times d

都不對。(3) 錯：

M = m - 5 lo g 2 + 5 \approx 4.7 - 1.505 + 5 \approx 8.2

，不是

6.2

。(4) 對、(5) 錯：發光強度相同表示絕對星等

M

相同，兩式相減

14 - 9 = 5 lo g d_{1} - 5 lo g d_{2} = 5 lo g \frac{d _{1}}{d _{2}}

，得

lo g \frac{d _{1}}{d _{2}} = 1

，

d_{1} = 10 d_{2}

。

(1)(2) 是把係數

5

誤當成乘在外面；

5 lo g d = lo g d^{5}

，

5

應該變成次方。

填充 8～11：指數律、算幾不等式、雙重根號與取對數

第 8 題

2^{- 0.5} + 2^{- 1.5} = 2^{- 1.5} (2 + 1) = 3 \times 2^{- \frac{3}{2}}

，乘以

3^{- \frac{1}{2}}

得

3^{\frac{1}{2}} \times 2^{- \frac{3}{2}}

；

6128 = 2^{\frac{7}{6}}

，相乘得

3^{\frac{1}{2}} \times 2^{- \frac{1}{3}}

。六次方為

3^{3} \times 2^{- 2} = \frac{27}{4}

，再乘

6^{- 1}

得

\frac{27}{24} = \frac{9}{8}

。

第 9 題

10 0^{x} + 100 0^{y} = 1 0^{2 x} + 1 0^{3 y}

，兩項皆正，由算幾不等式

1 0^{2 x} + 1 0^{3 y} \geq 2 1 0^{2 x + 3 y} = 2 1 0^{l o g 36} = 236 = 12

。等號在

1 0^{2 x} = 1 0^{3 y} = 6

時成立（

x = \frac{l o g 6}{2}

、

y = \frac{l o g 6}{3}

符合條件），最小值

12

。

兩項乘積

1 0^{2 x + 3 y} = 36

是定值，而且等號做得到，兩件事都要確認。

第 10 題

18 - 245

：找兩數和

18

、積

45

，是

15

與

3

，所以

A = 15 - 3

。

27 + 445 = 27 + 2180

：和

27

、積

180

，是

15

與

12

，所以

B = 15 + 23

。

\overline{A B} = 33

。滿足

\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 1

的點有兩個：內分點

P

在

A, B

之間且

\overline{P B} = \frac{1}{3} \overline{A B} = 3

；外分點

Q

在

B

的外側且

\overline{B Q} = \overline{A B} = 33

。所以

\overline{P Q} = 3 + 33 = 43

。

用坐標驗算：

P = \frac{A + 2 B}{3}

、

Q = 2 B - A

，

Q - P = \frac{4 ( B - A )}{3} = \frac{4}{3} \times 33 = 43

。

第 11 題取對數：

x lo g 9 = y lo g 16 = x y lo g 12

。由

x lo g 9 = x y lo g 12

且

x \neq = 0

，得

y = \frac{lo g 9}{lo g 12}

；由

y lo g 16 = x y lo g 12

且

y \neq = 0

，得

x = \frac{lo g 16}{lo g 12}

。相加

x + y = \frac{lo g 16 + lo g 9}{lo g 12} = \frac{lo g 144}{lo g 12} = 2

。

另解：設三式都等於

k

，則

9 = k^{\frac{1}{x}}

、

16 = k^{\frac{1}{y}}

，相乘

144 = k^{\frac{x + y}{x y}}

；又

12 = k^{\frac{1}{x y}}

，

144 = 1 2^{2} = k^{\frac{2}{x y}}

，比較得

x + y = 2

。

填充 12～14：估算與幾何極值

第 12 題

y = 100 0^{100 π} = 1 0^{300 π}

。有效數字

3

位

π \approx 3.14

，有效數字

5

位

π \approx 3.1416

。

\frac{W}{H} = 1 0^{300 (3.1416 - 3.14)} = 1 0^{0.48}

。

lo g 3 \approx 0.4771 < 0.48

，

lo g 3.5 = lo g 7 - lo g 2 \approx 0.5441 > 0.48

，所以

3 < \frac{W}{H} < 3.5

，最接近的整數是

3

。

第 13 題令

t = 3 x

，則

x - 1 = t^{3} - 1 = (t - 1) (t^{2} + t + 1)

，

3 x^{2} - 1 = t^{2} - 1 = (t - 1) (t + 1)

。約去

t - 1

（

t \neq = 1

）得原式

= \frac{2 ( t ^{2} + t + 1 )}{t + 1} = 2 (t + \frac{1}{t + 1})

。

x = 1.0001

時

t

非常接近

1

（

1 < t < 1.0001

），原式非常接近

2 (1 + \frac{1}{2}) = 3

。

直接代入分子分母都接近

0

，要先用立方差把

t - 1

約掉。

第 14 題先求梯形的高

h

：從

A

、

B

向

\overline{C D}

作垂線，兩側水平段長

p

、

q

滿足

p + q = 55 - 30 = 25

且

3 0^{2} - p^{2} = 2 5^{2} - q^{2}

，得

p^{2} - q^{2} = 275

，

p - q = 11

，

p = 18

、

q = 7

，

h = 900 - 324 = 24

。令

\overline{P D} = s

，則

\overline{P C} = 55 - s

。

△ A P D

面積

= \frac{1}{2} \cdot s \cdot 24 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \overline{P E}

，得

\overline{P E} = \frac{4 s}{5}

；同理

△ B P C

得

\overline{P F} = \frac{24 ( 55 - s )}{25}

。乘積

= \frac{96}{125} s (55 - s)

，由算幾不等式

s (55 - s) \leq (\frac{55}{2})^{2}

，等號在

s = 27.5

。此時

\overline{P E} = \frac{4}{5} \times 27.5 = 22

。

用面積把兩條垂線段換成

\overline{P D}

、

\overline{P C}

，兩者和是定值

55

，就能用算幾不等式。此時垂足

E

、

F

都落在兩腰上（

\overline{D E} = 16.5 < 30

、

\overline{C F} = 7.7 < 25

）。

絕對值先想成距離、次方先化成同底、兩數和或積是定值就想到算幾不等式，每一步都回頭檢查範圍與等號條件。

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常見問題

板橋高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

板橋高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要看出兩個根號內是和的完全立方與完全平方、第 6 題第 5 個選項要依 a 的正負討論、第 7 題星等公式的係數要變成次方，以及第 14 題要先求梯形的高再用面積換成算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自板橋高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷

板橋高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學：試題、答案與詳解

範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）｜單選題 4 題（24 分）、多選題 3 題（27 分）、填充題 7 題（49 分）

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解。不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

試題

一、單選題（占 24 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題 6 分。

若實數

a, b

為

∣ x - 4∣ + ∣ x - 17∣ = 23

的解且

a < b

，則滿足

a \leq N \leq b

的整數

N

總共有幾個？

(1) $13$
(2) $15$
(3) $23$
(4) $24$
(5) $47$

試問數線上多少整數點與

3999

的距離小於

9

，但與

1 0^{0.3}

的距離大於

2

？

(1) $14$
(2) $15$
(3) $16$
(4) $17$
(5) $18$

方程式

2 x - ∣ x - 1∣ = 5

的所有根之和為？

(1) $- 4$
(2) $- \frac{4}{3}$
(3) $\frac{8}{3}$
(4) $\frac{14}{3}$
(5) $8$

已知

a = 0. \overline{3} + 0. \overline{7}

，

b = (0.3)^{3} + 3 \times (0.3)^{2} (0.7) + 3 \times (0.3) (0.7)^{2} + (0.7)^{3}

，

c = (0.3)^{2} + 0.42 + (0.7)^{2}

，

d = 999 \times (0.2 \overline{3} + 0. \overline{23})

，則

a

、

b

、

c

、

d

四數大小次序為？

(1) $a > d > b = c$
(2) $a > b = c = d$
(3) $d > a > b = c$
(4) $a = b = c = d$
(5) $a > d > b > c$

二、多選題（占 27 分）說明：第 5 題至第 7 題，每題 9 分。（9−6−3−0）

下列關於指數和常用對數的敘述，請選出正確的選項。

(1) 若 $3^{a} = 7$ ， $3^{b} = 8$ ，則 $3^{a + b} = 15$
(2) 若 $1 0^{a} = 18$ ， $1 0^{b} = 0.6$ ，則 $a - 2 b = lo g 50$
(3) 若 $a^{27}$ 、 $a^{58}$ 皆為有理數，則 $a$ 必為有理數
(4) 若 $a^{48}$ 、 $a^{69}$ 皆為有理數，則 $a$ 必為有理數
(5) 若 $lo g b = a$ ，則 $a^{2} = a$ 且 $b^{2} = b$

根據下列甲、乙兩個算式，請選出正確的選項。甲：

∣ x + 1∣ < 100

；乙：

lo g (lo g x)

存在　且　

∣ x ∣ \leq ∣ x - 2^{10} ∣

。

(1) 滿足甲的 $x$ 範圍可用 $(- 101, 99)$ 表示
(2) 滿足乙的 $x$ 範圍可用 $(0, 2^{9}]$ 表示
(3) 同時滿足甲、乙的 $x$ 範圍長度為奇數
(4) 同時滿足甲、乙的 $x$ 範圍和滿足 $∣ a x + 1∣ < b$ 的 $x$ 範圍完全相同，則 $- b - 1 < a x < b - 1$
(5) 同時滿足甲、乙的 $x$ 範圍和滿足 $∣ a x + 1∣ < b$ 的 $x$ 範圍完全相同，則 $a = - 0.02$

32.6

光年，星體在此距離所呈現的亮度就稱為「絕對星等」。已知視星等

(m)

、絕對星等

(M)

與距離

(d)

之間的關係為：

m - M = 5 lo g d - 5

，距離的單位是秒差距

(p c)

，

1

秒差距等於

3.26

光年。根據以上敘述，試選出正確的選項。

(1) 根據表達式可得 $5 \times 1 0^{d} = \frac{1 0 ^{m} \times 1 0 ^{5}}{1 0 ^{M}}$
(2) 根據表達式可得 $5 \times d = \frac{1 0 ^{m} \times 1 0 ^{5}}{1 0 ^{M}}$
(3) 若一顆恆星距離地球 $2 p c$ ，視星等 $m = 4.7$ ，則此恆星的絕對星等 $M \approx 6.2$ （四捨五入至小數點後第一位）
(4) 已知甲星的視星等為 $9$ ，乙星的視星等為 $14$ ，且兩星發光強度相同，則乙星與地球的距離 $d_{1}$ 是甲星與地球距離 $d_{2}$ 的 $10$ 倍
(5) 已知甲星的視星等為 $9$ ，乙星的視星等為 $14$ ，且兩星發光強度相同，則乙星與地球的距離 $d_{1}$ 是甲星與地球距離 $d_{2}$ 的 $10000$ 倍

三、填充題（占 49 分）說明：第 8 題至第 14 題，每題 7 分。

{[(2^{- 0.5} + 2^{- 1.5}) \times 3^{- 0.5}] \times 6128}^{6} \times 6^{- 1} =

____。

若

x, y

為實數，且滿足

2 x + 3 y = lo g 36

，則

10 0^{x} + 100 0^{y}

的最小值為 ____。

數線上有

A

、

B

兩點，坐標分別為

18 - 245

、

27 + 445

，若數線上相異兩點

P

、

Q

滿足

\overline{A P} = 2 \overline{B P}

、

\overline{A Q} = 2 \overline{B Q}

，則

\overline{P Q} =

____。

若

x, y

為實數，且均不為

0

，若

9^{x} = 1 6^{y} = 1 2^{x y}

，則

x + y =

____。

已知

π \approx 3.14159265

，今一數據為

y = 100 0^{100 π}

。安安在估算

y

值時使用

π

的有效數字

3

位代入，估算出

H

；輝輝在估算

y

值時使用

π

的有效數字

5

位代入，估算出

W

。則

\frac{W}{H}

最接近的整數為 ____。

已知

x = 1.0001

，則

\frac{2 ( x - 1 )}{3 x ^{2} - 1}

最接近的整數為 ____。

四邊形

A B C D

為一梯形，其中

\overline{A B}

和

\overline{C D}

平行，

\overline{A B} = \overline{A D} = 30

，

\overline{B C} = 25

，

\overline{C D} = 55

。點

P

在

\overline{C D}

上，點

E

在

\overline{A D}

上，點

F

在

\overline{B C}

上，使得

\overline{P E} ⊥ \overline{A D}

，

\overline{P F} ⊥ \overline{B C}

。則當

\overline{P E} \times \overline{P F}

有最大值時，

\overline{P E} =

____。

答案一覽

第 1 題　(4)

第 2 題　(2)

第 3 題　(3)

第 4 題　(3)

第 5 題　(2)(3)

第 6 題　(1)(4)(5)

第 7 題　(4)

第 8 題　 $\frac{9}{8}$

第 9 題　 $12$

第 10 題　 $43$

第 11 題　 $2$

第 12 題　 $3$

第 13 題　 $3$

第 14 題　 $22$

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逐題詳解

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

單選 1～3：絕對值與數線上的距離

第 1 題答案 (4)。

∣ x - 4∣ + ∣ x - 17∣

是

x

到

4

與到

17

的距離和。

4

與

17

相距

13

，

x

在兩點之間時距離和恆為

13

，所以解在兩點之外。

x < 4

時

21 - 2 x = 23

，

x = - 1

；

x > 17

時

2 x - 21 = 23

，

x = 22

。

a = - 1

、

b = 22

，整數

N

有

22 - (- 1) + 1 = 24

個。

幾何看法：距離和多出

23 - 13 = 10

，兩端各往外延伸

5

，得

- 1

與

22

。

第 2 題答案 (2)。

9^{3} = 729 < 999 < 1000 = 1 0^{3}

，所以

9 < 3999 < 10

；與它距離小於

9

的整數

n

滿足

3999 - 9 < n < 3999 + 9

，左端在

0

與

1

之間、右端在

18

與

19

之間，得

n = 1, 2, \dots, 18

。又

lo g 2 \approx 0.3010 > 0.3

，所以

1 < 1 0^{0.3} < 2

；與它距離大於

2

的整數要

n < 1 0^{0.3} - 2

（小於

0

）或

n > 1 0^{0.3} + 2

（介於

3

與

4

之間），在

1

～

18

中只剩

n = 4, 5, \dots, 18

，共

15

個。

第 3 題答案 (3)。依

x - 1

的正負分段。

x \geq 1

時

2 x - (x - 1) = x + 1

，

∣ x + 1∣ = 5

得

x = 4

或

x = - 6

，只有

x = 4

在範圍內。

x < 1

時

2 x + (x - 1) = 3 x - 1

，

∣3 x - 1∣ = 5

得

x = 2

或

x = - \frac{4}{3}

，只有

x = - \frac{4}{3}

在範圍內。根之和

4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

。

每一段解出來的根都要回頭檢查是否落在該段範圍，

x = - 6

、

x = 2

都要捨去。代回驗算：

x = - \frac{4}{3}

時

∣ - \frac{8}{3} - \frac{7}{3} ∣ = 5

。

單選 4：循環小數與乘法公式

第 4 題答案 (3)。

a = \frac{3}{9} + \frac{7}{9} = \frac{10}{9}

。

b

的根號內是立方和展開

(0.3 + 0.7)^{3} = 1

，

b = 1

。

c

的根號內

0.42 = 2 (0.3) (0.7)

，是

(0.3 + 0.7)^{2} = 1

，

c = 1

。

0.2 \overline{3} = \frac{23 - 2}{90} = \frac{7}{30}

、

0. \overline{23} = \frac{23}{99}

，所以

d = 999 (\frac{7}{30} + \frac{23}{99}) \approx 999 \times 0.4657 \approx 465

。故

d > a > b = c

。

流傳版本題幹印作

b = (0.3)^{3} + 3 \times (0.3)^{2} (0.7) + 3 \times (0.3) (0.7)^{2} + 0.42 + (0.7)^{3}

，多了一項

+ 0.42

；照印的數字

b = 1.42 \approx 1.19

，得

d > b > a > c

，五個選項都不成立。依參考答案 (3)，應為上面這個沒有

0.42

的立方和。

多選 5～7：指數、對數與絕對值不等式

第 5 題答案 (2)(3)。(1) 錯：

3^{a + b} = 3^{a} \cdot 3^{b} = 56

。(2) 對：

1 0^{a - 2 b} = \frac{18}{0. 6 ^{2}} = \frac{18}{0.36} = 50

，所以

a - 2 b = lo g 50

。(3) 對：

a = 0

時顯然有理；

a \neq = 0

時

58 \times 7 - 27 \times 15 = 406 - 405 = 1

，

a = \frac{( a ^{58} ) ^{7}}{( a ^{27} ) ^{15}}

是有理數相乘除，仍是有理數。(4) 錯：

48

與

69

的最大公因數是

3

，取

a = 32

，

a^{48} = 2^{16}

、

a^{69} = 2^{23}

都是有理數，但

a

是無理數。(5) 錯：

b > 0

所以

b^{2} = b

成立，但

a = lo g b

可以是負數（例如

b = 0.1

，

a = - 1

），此時

a^{2} = ∣ a ∣ \neq = a

。

(3)(4) 的關鍵是兩個指數是否互質：互質才能湊出指數

1

。

第 6 題答案 (1)(4)(5)。(1) 對：

- 100 < x + 1 < 100

，即

- 101 < x < 99

。(2) 錯：

lo g (lo g x)

存在要

lo g x > 0

，即

x > 1

；

∣ x ∣ \leq ∣ x - 1024∣

表示

x

離

0

不比離

1024

遠，即

x \leq 512

。乙的範圍是

(1, 2^{9}]

，不是

(0, 2^{9}]

。(3) 錯：甲、乙交集為

(1, 99)

，長度

98

是偶數。(4) 對：

∣ a x + 1∣ < b

等價於

- b < a x + 1 < b

，也就是

- b - 1 < a x < b - 1

。(5) 對：若

a > 0

，解為

\frac{- b - 1}{a} < x < \frac{b - 1}{a}

，要等於

(1, 99)

時兩式相加得

- \frac{2}{a} = 100

，

a < 0

矛盾；若

a < 0

，解為

\frac{b - 1}{a} < x < \frac{- b - 1}{a}

，令

\frac{b - 1}{a} = 1

、

\frac{- b - 1}{a} = 99

，相加得

- \frac{2}{a} = 100

，

a = - 0.02

，

b = 0.98

。

驗算 (5)：

∣ - 0.02 x + 1∣ < 0.98

即

0.02 < 0.02 x < 1.98

，得

1 < x < 99

，與交集相同。

第 7 題答案 (4)。由

m - M = 5 lo g d - 5

得

lo g d^{5} = m - M + 5

，所以

d^{5} = \frac{1 0 ^{m} \times 1 0 ^{5}}{1 0 ^{M}}

；(1) 的

5 \times 1 0^{d}

、(2) 的

5 \times d

都不對。(3) 錯：

M = m - 5 lo g 2 + 5 \approx 4.7 - 1.505 + 5 \approx 8.2

，不是

6.2

。(4) 對、(5) 錯：發光強度相同表示絕對星等

M

相同，兩式相減

14 - 9 = 5 lo g d_{1} - 5 lo g d_{2} = 5 lo g \frac{d _{1}}{d _{2}}

，得

lo g \frac{d _{1}}{d _{2}} = 1

，

d_{1} = 10 d_{2}

。

(1)(2) 是把係數

5

誤當成乘在外面；

5 lo g d = lo g d^{5}

，

5

應該變成次方。

填充 8～11：指數律、算幾不等式、雙重根號與取對數

第 8 題

2^{- 0.5} + 2^{- 1.5} = 2^{- 1.5} (2 + 1) = 3 \times 2^{- \frac{3}{2}}

，乘以

3^{- \frac{1}{2}}

得

3^{\frac{1}{2}} \times 2^{- \frac{3}{2}}

；

6128 = 2^{\frac{7}{6}}

，相乘得

3^{\frac{1}{2}} \times 2^{- \frac{1}{3}}

。六次方為

3^{3} \times 2^{- 2} = \frac{27}{4}

，再乘

6^{- 1}

得

\frac{27}{24} = \frac{9}{8}

。

第 9 題

10 0^{x} + 100 0^{y} = 1 0^{2 x} + 1 0^{3 y}

，兩項皆正，由算幾不等式

1 0^{2 x} + 1 0^{3 y} \geq 2 1 0^{2 x + 3 y} = 2 1 0^{l o g 36} = 236 = 12

。等號在

1 0^{2 x} = 1 0^{3 y} = 6

時成立（

x = \frac{l o g 6}{2}

、

y = \frac{l o g 6}{3}

符合條件），最小值

12

。

兩項乘積

1 0^{2 x + 3 y} = 36

是定值，而且等號做得到，兩件事都要確認。

第 10 題

18 - 245

：找兩數和

18

、積

45

，是

15

與

3

，所以

A = 15 - 3

。

27 + 445 = 27 + 2180

：和

27

、積

180

，是

15

與

12

，所以

B = 15 + 23

。

\overline{A B} = 33

。滿足

\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 1

的點有兩個：內分點

P

在

A, B

之間且

\overline{P B} = \frac{1}{3} \overline{A B} = 3

；外分點

Q

在

B

的外側且

\overline{B Q} = \overline{A B} = 33

。所以

\overline{P Q} = 3 + 33 = 43

。

用坐標驗算：

P = \frac{A + 2 B}{3}

、

Q = 2 B - A

，

Q - P = \frac{4 ( B - A )}{3} = \frac{4}{3} \times 33 = 43

。

第 11 題取對數：

x lo g 9 = y lo g 16 = x y lo g 12

。由

x lo g 9 = x y lo g 12

且

x \neq = 0

，得

y = \frac{lo g 9}{lo g 12}

；由

y lo g 16 = x y lo g 12

且

y \neq = 0

，得

x = \frac{lo g 16}{lo g 12}

。相加

x + y = \frac{lo g 16 + lo g 9}{lo g 12} = \frac{lo g 144}{lo g 12} = 2

。

另解：設三式都等於

k

，則

9 = k^{\frac{1}{x}}

、

16 = k^{\frac{1}{y}}

，相乘

144 = k^{\frac{x + y}{x y}}

；又

12 = k^{\frac{1}{x y}}

，

144 = 1 2^{2} = k^{\frac{2}{x y}}

，比較得

x + y = 2

。

填充 12～14：估算與幾何極值

第 12 題

y = 100 0^{100 π} = 1 0^{300 π}

。有效數字

3

位

π \approx 3.14

，有效數字

5

位

π \approx 3.1416

。

\frac{W}{H} = 1 0^{300 (3.1416 - 3.14)} = 1 0^{0.48}

。

lo g 3 \approx 0.4771 < 0.48

，

lo g 3.5 = lo g 7 - lo g 2 \approx 0.5441 > 0.48

，所以

3 < \frac{W}{H} < 3.5

，最接近的整數是

3

。

第 13 題令

t = 3 x

，則

x - 1 = t^{3} - 1 = (t - 1) (t^{2} + t + 1)

，

3 x^{2} - 1 = t^{2} - 1 = (t - 1) (t + 1)

。約去

t - 1

（

t \neq = 1

）得原式

= \frac{2 ( t ^{2} + t + 1 )}{t + 1} = 2 (t + \frac{1}{t + 1})

。

x = 1.0001

時

t

非常接近

1

（

1 < t < 1.0001

），原式非常接近

2 (1 + \frac{1}{2}) = 3

。

直接代入分子分母都接近

0

，要先用立方差把

t - 1

約掉。

第 14 題先求梯形的高

h

：從

A

、

B

向

\overline{C D}

作垂線，兩側水平段長

p

、

q

滿足

p + q = 55 - 30 = 25

且

3 0^{2} - p^{2} = 2 5^{2} - q^{2}

，得

p^{2} - q^{2} = 275

，

p - q = 11

，

p = 18

、

q = 7

，

h = 900 - 324 = 24

。令

\overline{P D} = s

，則

\overline{P C} = 55 - s

。

△ A P D

面積

= \frac{1}{2} \cdot s \cdot 24 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \overline{P E}

，得

\overline{P E} = \frac{4 s}{5}

；同理

△ B P C

得

\overline{P F} = \frac{24 ( 55 - s )}{25}

。乘積

= \frac{96}{125} s (55 - s)

，由算幾不等式

s (55 - s) \leq (\frac{55}{2})^{2}

，等號在

s = 27.5

。此時

\overline{P E} = \frac{4}{5} \times 27.5 = 22

。

用面積把兩條垂線段換成

\overline{P D}

、

\overline{P C}

，兩者和是定值

55

，就能用算幾不等式。此時垂足

E

、

F

都落在兩腰上（

\overline{D E} = 16.5 < 30

、

\overline{C F} = 7.7 < 25

）。

絕對值先想成距離、次方先化成同底、兩數和或積是定值就想到算幾不等式，每一步都回頭檢查範圍與等號條件。

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考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

板橋高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

板橋高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自板橋高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

試題

答案一覽

對完答案了？勾你錯的題號

逐題詳解

單選 1～3：絕對值與數線上的距離

單選 4：循環小數與乘法公式

多選 5～7：指數、對數與絕對值不等式

填充 8～11：指數律、算幾不等式、雙重根號與取對數

填充 12～14：估算與幾何極值

下一次段考，考前先拿一份自己的考前藍圖

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板橋高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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單選 1～3：絕對值與數線上的距離

單選 4：循環小數與乘法公式

多選 5～7：指數、對數與絕對值不等式

填充 8～11：指數律、算幾不等式、雙重根號與取對數

填充 12～14：估算與幾何極值

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