段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

師大附中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 3 題（21 分）、填充題 10 題（50 分）、混合題 1 題組 2 小題（9 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 91 分）　一、單選題（占 20 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題 5 分。

已知

a = 29

，

b = 7 + 8

，

c = 2 + 13

，關於三數

a, b, c

的大小關係為何？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $c > a > b$

絕對值不等式

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ > 7

的解區間為何？

(1) $(- \infty, - 3)$
(2) $(- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$
(3) $(- \infty, - 4] \cup [3, \infty)$
(4) $(- \infty, - 3) \cup (4, \infty)$
(5) $(- \infty, - 3] \cup [4, \infty)$

若

a^{- 3} = 4

，則

a

的多少次方為

0.125

？

(1) $- \frac{9}{2}$
(2) $- \frac{3}{2}$
(3) $\frac{1}{2}$
(4) $\frac{3}{2}$
(5) $\frac{9}{2}$

若

a, b

為正數，已知

lo g a = - 1.2

，

lo g b = 4.7

，則

a^{2} b

的整數部分為幾位數？

(1) $3$
(2) $4$
(3) $5$
(4) $6$
(5) $7$

二、多選題（占 21 分）說明：第 5 題至第 7 題，每題 7 分。（7－4－1－0）

設

a, b, c

都是實數，請選出正確的選項。

(1) 若 $a > b$ ，則 $a c > b c$
(2) $\frac{a + b}{2} \geq ab$
(3) 若 $a + b$ 為有理數，則 $ab$ 有理數
(4) 若 $∣ a ∣ > b$ ，則 $a^{2} > b^{2}$
(5) 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，則 $a + b \geq ab$

已知

a > 0

，請選出正確的選項。

(1) 每一個數 $a$ 都可以寫成 $10$ 的 $lo g a$ 次方
(2) 將 $a$ 寫成 $10$ 的次方時，其指數必為正數
(3) $lo g 1 0^{l o g a} = lo g a$
(4) $1 0^{- l o g a} = \frac{1}{a}$
(5) $1 0^{2 l o g a} = a^{2}$

已知

a = 2^{3} + 2^{- 3}

，請選出正確的選項。

(1) $4^{3} + 4^{- 3} = a^{2} + 2$
(2) $8^{3} + 8^{- 3} = a^{3} - 3 a$
(3) $(\frac{1}{2})^{3} + (\frac{1}{2})^{- 3} = a$
(4) $(\frac{1}{4})^{3} + (\frac{1}{4})^{- 3} = a^{2} - 2$
(5) $2^{3} - 2^{- 3} = a^{2} - 4$

三、填充題（占 50 分）說明：第 8 題至第 17 題，每題 5 分。

如圖，

△ A C Q

中，

\overline{P B} ∥ \overline{Q A}

，且

\overline{C Q} : \overline{P Q} = 5 : 3

。已知

A (x)

，

B (- 2)

，

C (4)

落在數線上三點，則

x =

____。

載入中...

實數

14 + 65

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，則

(a - b)^{2} =

____。

已知

\frac{1}{13} = 0. \overline{076923}

，

\frac{2}{13} = 0. \overline{153846}

。若

n

為一個介於

1

至

10

的整數，

\frac{n}{13}

之值的小數點後第

22

位數字為

3

，且第

32

位數字為

1

，則

n

之值為 ____。

已知

a, b

均為正實數，且

a b^{3} = 1 0^{5}

，

a^{3} b = 1 0^{3}

，則

a =

。

某放射性物質的重量為

100

克，已知

4

年後剩下

25

克，則此放射性物質從一開始起經過

n

年後的重量會小於

1

克，最小整數

n =

____。

已知某數的常用對數值是

56.66

，將此數表示為科學記號且係數部分取三位有效數字時為

a .57 \times 1 0^{b}

，則

\frac{b}{a} =

____。（參考數值：

1 0^{0.3010} \approx 2

，

1 0^{0.4771} \approx 3

）

已知黃金比例

φ = \frac{1 + 5}{2}

，且有理數

a, b

滿足

φ^{6} = a φ + b

，則數對

(a, b) =

____。

小林想在三角形

A B C

的土地上圍出一塊矩形區域來，如圖。已知

△ A B C

中，

\overline{A B} = 12

，

\overline{B C} = 16

，

\overline{A C} = 20

，矩形

D E F G

區域的四個頂點中，

D

、

G

在

\overline{A C}

上，

E

、

F

分別在

\overline{A B}

、

\overline{B C}

上，則所圍出的矩形

D E F G

區域的最大面積為 ____。

載入中...

設

a

為整數，且滿足絕對值不等式

{∣ x - 6∣ \leq a ∣ x + 2∣ > 3

的整數

x

16

個，則

a =

____。

已知

a, b, c, d

為實數，利用乘法公式

(1 + \frac{b}{a})^{3} = 1 + \frac{3 b}{a} + \frac{3 b ^{2}}{a ^{2}} + \frac{b ^{3}}{a ^{3}}

與

c^{3} - d^{3} = (c - d) (c^{2} + c d + d^{2})

的結果，進行式子求值運算。若

k = 325 + 35 + 1

，則

\frac{12}{k} + \frac{48}{k ^{2}} + \frac{64}{k ^{3}} =

____。

第貳部分：混合題（占 9 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。非選擇題由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

18－19 題組（第 18～19 題）　聲波在空氣中傳播時，空氣粒子的疏密程度會隨聲波而改變，因此，該處壓強也會隨之改變，此改變量稱為聲壓，單位是巴斯卡（

P a

）。音強有較大聲壓，音弱則較小聲壓。人類耳朵可以聽見聲壓範圍很廣，以微巴斯卡（

μ P a

）為單位，

1 μ P a = 1 0^{- 6} P a

，以下是不同聲響的強度：發射時的太空梭引擎

2000000000 μ P a

；兩人正常交談

20000 μ P a

；人類耳朵能聽到最微弱的聲音

20 μ P a

。我們利用常用對數引進分貝（

d B

），規定基本聲壓為

20 μ P a

時，以

0

分貝表示，其他聲音的分貝的計算公式為

20 lo g (\frac{量到的聲壓}{基本聲壓})

。

「兩人正常交談」發出的聲音是多少分貝？（單選題，3 分）

(1) $30$
(2) $40$
(3) $50$
(4) $60$
(5) $70$

已知在圖書館裡，「兩人講悄悄話」可以發出

40

分貝的聲音，則同時有

10

組「兩人講悄悄話」可以發出多少分貝的聲音？（非選擇題，6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(4)

第 3 題(5)

第 4 題(1)

第 5 題(5)

第 6 題(1)(3)(4)(5)

第 7 題(2)(3)(4)

第 8 題

- 11

第 9 題

4

第 10 題

8

第 11 題

10

第 12 題

14

第 13 題

14

第 14 題

(8, 5)

第 15 題

48

第 16 題

11

第 17 題

4

第 18 題(4)

第 19 題

60

分貝

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：根式比大小、絕對值、指數律、位數

第 1 題答案 (3)。三個數都是正的，比平方就好：

a^{2} = 29

；

b^{2} = 15 + 256

，而

7 < 56 < 8

，所以

29 < b^{2} < 31

；

c^{2} = 15 + 226

，而

5 < 26 < 6

，所以

25 < c^{2} < 27

。得

b^{2} > a^{2} > c^{2}

，即

b > a > c

。

b

和

c

平方後的整數部分都是

15

，差別只在

256

和

226

，和

29 - 15 = 14

比就知道誰在

a

的哪一邊。

第 2 題答案 (4)。

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣

是數線上

x

到

- 2

和到

3

的距離和。

x

在

- 2

和

3

之間時距離和是

5

，不合；

x > 3

時距離和是

2 x - 1 > 7

，得

x > 4

；

x < - 2

時距離和是

- 2 x + 1 > 7

，得

x < - 3

。解為

(- \infty, - 3) \cup (4, \infty)

。

也可以這樣想：距離和要從

5

多出

2

，就是從兩端各往外走

1

；不等式是「大於」，端點不含。

第 3 題答案 (5)。

a^{- 3} = 4 = 2^{2}

，所以

a = 2^{- \frac{2}{3}}

。設

a^{t} = 0.125 = 2^{- 3}

，則

2^{- \frac{2}{3} t} = 2^{- 3}

，

- \frac{2}{3} t = - 3

，

t = \frac{9}{2}

。

第 4 題答案 (1)。

lo g (a^{2} b) = 2 lo g a + lo g b = - 2.4 + 4.7 = 2.3

，所以

a^{2} b = 1 0^{2.3}

，介於

1 0^{2}

和

1 0^{3}

之間，整數部分是

3

位數。

02多選 5～7：不等式的性質、log 的意義、乘法公式

第 5 題答案 (5)。(1) 錯：

c \leq 0

時不成立，例如

c = 0

時兩邊都是

0

。(2) 錯：算幾不等式要

a, b

都不是負數；

a = b = - 1

時左邊是

- 1

、右邊是

1

。(3) 錯：

a = 2

、

b = 1 - 2

時

a + b = 1

是有理數，但

ab = 2 - 2

是無理數。(4) 錯：

a = 1

、

b = - 5

時

∣ a ∣ > b

，但

a^{2} = 1 < 25 = b^{2}

。(5) 對：

a, b

都是正數，由算幾不等式

a + b \geq 2 ab

，而

2 ab \geq ab

。

(2) 和 (5) 差在有沒有「

a > 0

、

b > 0

」這個前提；題目只說

a, b

是實數時，要先想負數的情況。

第 6 題答案 (1)(3)(4)(5)。

lo g a

的意義就是「

10

的幾次方等於

a

」，所以

a = 1 0^{l o g a}

。(1) 對。(2) 錯：

0 < a < 1

時指數是負的，例如

0.1 = 1 0^{- 1}

；

a = 1

時指數是

0

。(3) 對：

1 0^{l o g a} = a

，兩邊取 log。(4) 對：

1 0^{- l o g a} = \frac{1}{1 0 ^{l o g a}} = \frac{1}{a}

。(5) 對：

1 0^{2 l o g a} = (1 0^{l o g a})^{2} = a^{2}

。

第 7 題答案 (2)(3)(4)。令

t = 2^{3}

，則

a = t + \frac{1}{t}

。(1) 錯：

4^{3} + 4^{- 3} = t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = (t + \frac{1}{t})^{2} - 2 = a^{2} - 2

。(2) 對：

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = (t + \frac{1}{t})^{3} - 3 (t + \frac{1}{t}) = a^{3} - 3 a

。(3) 對：

(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{t}

、

(\frac{1}{2})^{- 3} = t

，和還是

a

。(4) 對：同理是

\frac{1}{t ^{2}} + t^{2} = a^{2} - 2

。(5) 錯：

(t - \frac{1}{t})^{2} = (t + \frac{1}{t})^{2} - 4 = a^{2} - 4

，所以

t - \frac{1}{t} = a^{2} - 4

，不是

a^{2} - 4

。

(5) 的

a^{2} - 4

是「差的平方」，題目問的是差本身，要再開根號（

t > 1

，差是正的）。

03填充 8～12：分點、雙重根號、循環小數、指數

第 8 題

\overline{C Q} : \overline{P Q} = 5 : 3

，所以

\overline{C P} : \overline{P Q} = 2 : 3

。

\overline{P B} ∥ \overline{Q A}

，平行線截比例線段：

\overline{C B} : \overline{B A} = \overline{C P} : \overline{P Q} = 2 : 3

。

\overline{C B} = 4 - (- 2) = 6

，所以

\overline{B A} = 9

。

B

在

A

和

C

之間、

C

在

B

的右邊，所以

A

在

B

的左邊，

x = - 2 - 9 = - 11

。

題目給的是

\overline{C Q} : \overline{P Q}

（全長比一段），要先換成

\overline{C P} : \overline{P Q}

再用。

第 9 題

14 + 65 = 14 + 245 = (9 + 5)^{2}

，所以

14 + 65 = 3 + 5

。

2 < 5 < 3

，整數部分

a = 5

，小數部分

b = (3 + 5) - 5 = 5 - 2

。

(a - b)^{2} = (5 - (5 - 2))^{2} = 2^{2} = 4

。

第 10 題分母是

13

的這些分數，循環節都是

6

位。

22 = 6 \times 3 + 4

、

32 = 6 \times 5 + 2

，所以條件是循環節的第

4

位是

3

、第

2

位是

1

。

\frac{n}{13}

的循環節只有兩種：把

076923

輪著排，或把

153846

輪著排。前一種沒有數字

1

，所以是後一種；要第

2

位是

1

，循環節是

615384

，第

4

位正好是

3

。

0. \overline{615384}

比

0.6

大一點，而

\frac{8}{13} \approx 0.615

，所以

n = 8

。

驗算：

8 \div 13 = 0.615384 \dots

，第

2

位

1

、第

4

位

3

。

第 11 題兩式相乘：

a^{4} b^{4} = 1 0^{8}

，

a, b

是正數，所以

ab = 1 0^{2}

。再用

a^{3} b = a^{2} \cdot ab

：

a^{2} = \frac{1 0 ^{3}}{1 0 ^{2}} = 10

，

a = 10

。

答案格在根號裡面，填的是根號裡的

10

。

第 12 題

4

年後剩下

\frac{25}{100} = \frac{1}{4}

，也就是每

2

年剩下一半。

n

年後的重量是

100 \times (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}}

，要小於

1

就是

2^{\frac{n}{2}} > 100

。

n = 14

時

2^{7} = 128 > 100

；

n = 13

時

2^{6.5} = 642 \approx 90.5 < 100

。最小整數

n = 14

。

n = 13

不是偶數也要檢查，不能只看

2^{6} = 64

、

2^{7} = 128

就下結論。

04填充 13～17：科學記號、黃金比例、算幾不等式、整數解、乘法公式

第 13 題這個數是

1 0^{56.66} = 1 0^{0.66} \times 1 0^{56}

，所以

b = 56

，

a

是

1 0^{0.66}

的整數部分。由參考數值，

4 = 2^{2} \approx 1 0^{0.6020}

，

5 = \frac{10}{2} \approx 1 0^{0.6990}

；

0.6020 < 0.66 < 0.6990

，所以

4 < 1 0^{0.66} < 5

，

a = 4

。

\frac{b}{a} = \frac{56}{4} = 14

。

科學記號的係數要在

1

和

10

之間，所以把

56.66

拆成整數

56

和小數

0.66

。

第 14 題

φ = \frac{1 + 5}{2}

滿足

2 φ - 1 = 5

，平方整理得

φ^{2} = φ + 1

。一次一次往上乘：

φ^{3} = φ^{2} + φ = 2 φ + 1

，

φ^{4} = 2 φ^{2} + φ = 3 φ + 2

，

φ^{5} = 3 φ^{2} + 2 φ = 5 φ + 3

，

φ^{6} = 5 φ^{2} + 3 φ = 8 φ + 5

。

φ

是無理數，有理數

a, b

只有一種取法，

(a, b) = (8, 5)

。

每乘一次

φ

就把

φ^{2}

換成

φ + 1

，次數就不會升高。

第 15 題

1 2^{2} + 1 6^{2} = 2 0^{2}

，所以

∠ B = 9 0^{\circ}

，

\overline{A C}

上的高是

\frac{12 \times 16}{20} = \frac{48}{5}

。設

\overline{E F} = x

、

\overline{D E} = y

。

\overline{E F} ∥ \overline{A C}

，

△ B E F

和

△ B A C

相似，高的比等於底的比：

\frac{x}{20} = \frac{\frac{48}{5} - y}{\frac{48}{5}}

，即

\frac{x}{20} + \frac{5 y}{48} = 1

。由算幾不等式

1 = \frac{x}{20} + \frac{5 y}{48} \geq 2 \frac{x}{20} \cdot \frac{5 y}{48} = 2 \frac{x y}{192}

，所以

x y \leq \frac{192}{4} = 48

。等號在

\frac{x}{20} = \frac{5 y}{48} = \frac{1}{2}

，即

x = 10

、

y = \frac{24}{5}

時成立，最大面積是

48

。

最大面積正好是

△ A B C

面積

96

的一半，這時

E

、

F

是兩邊的中點。

第 16 題

∣ x - 6∣ \leq a

是

6 - a \leq x \leq 6 + a

，共

2 a + 1

個整數；

∣ x + 2∣ > 3

是

x > 1

或

x < - 5

，也就是要扣掉

- 5 \leq x \leq 1

這

7

個整數裡落在範圍內的。若

6 - a > 1

，一個都不用扣，

2 a + 1 = 16

沒有整數解。若

- 5 \leq 6 - a \leq 1

（即

5 \leq a \leq 11

），要扣掉

6 - a

到

1

共

a - 4

個，剩下

(2 a + 1) - (a - 4) = a + 5 = 16

，

a = 11

，在範圍內。若

a > 11

，扣掉

7

個，

2 a - 6 = 16

得

a = 11

，不合。所以

a = 11

。

驗算：

a = 11

時

- 5 \leq x \leq 17

有

23

個整數，扣掉

- 5

到

1

的

7

個，剩

16

個。

第 17 題在

c^{3} - d^{3} = (c - d) (c^{2} + c d + d^{2})

取

c = 35

、

d = 1

：

5 - 1 = (35 - 1) (325 + 35 + 1) = (35 - 1) k

，所以

\frac{4}{k} = 35 - 1

。再用第一個公式（把

\frac{b}{a}

換成

\frac{4}{k}

）：

1 + \frac{12}{k} + \frac{48}{k ^{2}} + \frac{64}{k ^{3}} = (1 + \frac{4}{k})^{3} = (35)^{3} = 5

。所求

= 5 - 1 = 4

。

12 = 3 \times 4

、

48 = 3 \times 4^{2}

、

64 = 4^{3}

，三項正好是

(1 + \frac{4}{k})^{3}

展開後去掉

1

。

看到題目給的公式，先把要算的式子對到公式的形狀，再決定要代什麼。

05混合題 18～19：分貝

第 18 題答案 (4)。兩人正常交談的聲壓是

20000 μ P a

，基本聲壓是

20 μ P a

：

20 lo g \frac{20000}{20} = 20 lo g 1 0^{3} = 20 \times 3 = 60

分貝。

第 19 題設一組悄悄話的聲壓是

p μ P a

：

20 lo g \frac{p}{20} = 40

，

lo g \frac{p}{20} = 2

，

\frac{p}{20} = 1 0^{2}

，

p = 2000

。依題意，

10

組同時講，聲壓是一組的

10

倍，即

20000 μ P a

，分貝數是

20 lo g \frac{20000}{20} = 20 lo g 1 0^{3} = 60

分貝。

也可以不求

p

：聲壓變成

10

倍，

lo g

的值多

1

，分貝數多

20 \times 1 = 20

，

40 + 20 = 60

。相加的是聲壓，不是分貝數，答案不是

400

。

分貝是取過 log 的量：聲壓乘上幾倍，分貝是「加」上一個固定的數，不是跟著乘。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

師大附中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

師大附中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 5 題算幾不等式要先確認兩數都不是負數、第 10 題要先把第幾位換成循環節裡的第幾位、第 16 題兩個絕對值不等式聯立後數整數解要分情況扣除，以及第 17 題要看出三項正好是立方展開式去掉 1。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自師大附中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數、絕對值、指數、常用對數）

師大附中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 3 題（21 分）、填充題 10 題（50 分）、混合題 1 題組 2 小題（9 分）

第壹部分：選擇（填）題（占 91 分）　一、單選題（占 20 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題 5 分。

已知

a = 29

，

b = 7 + 8

，

c = 2 + 13

，關於三數

a, b, c

的大小關係為何？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $c > a > b$

絕對值不等式

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ > 7

的解區間為何？

(1) $(- \infty, - 3)$
(2) $(- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$
(3) $(- \infty, - 4] \cup [3, \infty)$
(4) $(- \infty, - 3) \cup (4, \infty)$
(5) $(- \infty, - 3] \cup [4, \infty)$

若

a^{- 3} = 4

，則

a

的多少次方為

0.125

？

(1) $- \frac{9}{2}$
(2) $- \frac{3}{2}$
(3) $\frac{1}{2}$
(4) $\frac{3}{2}$
(5) $\frac{9}{2}$

若

a, b

為正數，已知

lo g a = - 1.2

，

lo g b = 4.7

，則

a^{2} b

的整數部分為幾位數？

(1) $3$
(2) $4$
(3) $5$
(4) $6$
(5) $7$

二、多選題（占 21 分）說明：第 5 題至第 7 題，每題 7 分。（7－4－1－0）

設

a, b, c

都是實數，請選出正確的選項。

(1) 若 $a > b$ ，則 $a c > b c$
(2) $\frac{a + b}{2} \geq ab$
(3) 若 $a + b$ 為有理數，則 $ab$ 有理數
(4) 若 $∣ a ∣ > b$ ，則 $a^{2} > b^{2}$
(5) 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，則 $a + b \geq ab$

已知

a > 0

，請選出正確的選項。

(1) 每一個數 $a$ 都可以寫成 $10$ 的 $lo g a$ 次方
(2) 將 $a$ 寫成 $10$ 的次方時，其指數必為正數
(3) $lo g 1 0^{l o g a} = lo g a$
(4) $1 0^{- l o g a} = \frac{1}{a}$
(5) $1 0^{2 l o g a} = a^{2}$

已知

a = 2^{3} + 2^{- 3}

，請選出正確的選項。

(1) $4^{3} + 4^{- 3} = a^{2} + 2$
(2) $8^{3} + 8^{- 3} = a^{3} - 3 a$
(3) $(\frac{1}{2})^{3} + (\frac{1}{2})^{- 3} = a$
(4) $(\frac{1}{4})^{3} + (\frac{1}{4})^{- 3} = a^{2} - 2$
(5) $2^{3} - 2^{- 3} = a^{2} - 4$

三、填充題（占 50 分）說明：第 8 題至第 17 題，每題 5 分。

如圖，

△ A C Q

中，

\overline{P B} ∥ \overline{Q A}

，且

\overline{C Q} : \overline{P Q} = 5 : 3

。已知

A (x)

，

B (- 2)

，

C (4)

落在數線上三點，則

x =

____。

載入中...

實數

14 + 65

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，則

(a - b)^{2} =

____。

已知

\frac{1}{13} = 0. \overline{076923}

，

\frac{2}{13} = 0. \overline{153846}

。若

n

為一個介於

1

至

10

的整數，

\frac{n}{13}

之值的小數點後第

22

位數字為

3

，且第

32

位數字為

1

，則

n

之值為 ____。

已知

a, b

均為正實數，且

a b^{3} = 1 0^{5}

，

a^{3} b = 1 0^{3}

，則

a =

。

某放射性物質的重量為

100

克，已知

4

年後剩下

25

克，則此放射性物質從一開始起經過

n

年後的重量會小於

1

克，最小整數

n =

____。

已知某數的常用對數值是

56.66

，將此數表示為科學記號且係數部分取三位有效數字時為

a .57 \times 1 0^{b}

，則

\frac{b}{a} =

____。（參考數值：

1 0^{0.3010} \approx 2

，

1 0^{0.4771} \approx 3

）

已知黃金比例

φ = \frac{1 + 5}{2}

，且有理數

a, b

滿足

φ^{6} = a φ + b

，則數對

(a, b) =

____。

小林想在三角形

A B C

的土地上圍出一塊矩形區域來，如圖。已知

△ A B C

中，

\overline{A B} = 12

，

\overline{B C} = 16

，

\overline{A C} = 20

，矩形

D E F G

區域的四個頂點中，

D

、

G

在

\overline{A C}

上，

E

、

F

分別在

\overline{A B}

、

\overline{B C}

上，則所圍出的矩形

D E F G

區域的最大面積為 ____。

載入中...

設

a

為整數，且滿足絕對值不等式

{∣ x - 6∣ \leq a ∣ x + 2∣ > 3

的整數

x

16

個，則

a =

____。

已知

a, b, c, d

為實數，利用乘法公式

(1 + \frac{b}{a})^{3} = 1 + \frac{3 b}{a} + \frac{3 b ^{2}}{a ^{2}} + \frac{b ^{3}}{a ^{3}}

與

c^{3} - d^{3} = (c - d) (c^{2} + c d + d^{2})

的結果，進行式子求值運算。若

k = 325 + 35 + 1

，則

\frac{12}{k} + \frac{48}{k ^{2}} + \frac{64}{k ^{3}} =

____。

P a

）。音強有較大聲壓，音弱則較小聲壓。人類耳朵可以聽見聲壓範圍很廣，以微巴斯卡（

μ P a

）為單位，

1 μ P a = 1 0^{- 6} P a

，以下是不同聲響的強度：發射時的太空梭引擎

2000000000 μ P a

；兩人正常交談

20000 μ P a

；人類耳朵能聽到最微弱的聲音

20 μ P a

。我們利用常用對數引進分貝（

d B

），規定基本聲壓為

20 μ P a

時，以

0

分貝表示，其他聲音的分貝的計算公式為

20 lo g (\frac{量到的聲壓}{基本聲壓})

。

「兩人正常交談」發出的聲音是多少分貝？（單選題，3 分）

(1) $30$
(2) $40$
(3) $50$
(4) $60$
(5) $70$

已知在圖書館裡，「兩人講悄悄話」可以發出

40

分貝的聲音，則同時有

10

組「兩人講悄悄話」可以發出多少分貝的聲音？（非選擇題，6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(4)

第 3 題(5)

第 4 題(1)

第 5 題(5)

第 6 題(1)(3)(4)(5)

第 7 題(2)(3)(4)

第 8 題

- 11

第 9 題

4

第 10 題

8

第 11 題

10

第 12 題

14

第 13 題

14

第 14 題

(8, 5)

第 15 題

48

第 16 題

11

第 17 題

4

第 18 題(4)

第 19 題

60

分貝

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：根式比大小、絕對值、指數律、位數

第 1 題答案 (3)。三個數都是正的，比平方就好：

a^{2} = 29

；

b^{2} = 15 + 256

，而

7 < 56 < 8

，所以

29 < b^{2} < 31

；

c^{2} = 15 + 226

，而

5 < 26 < 6

，所以

25 < c^{2} < 27

。得

b^{2} > a^{2} > c^{2}

，即

b > a > c

。

b

和

c

平方後的整數部分都是

15

，差別只在

256

和

226

，和

29 - 15 = 14

比就知道誰在

a

的哪一邊。

第 2 題答案 (4)。

∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣

是數線上

x

到

- 2

和到

3

的距離和。

x

在

- 2

和

3

之間時距離和是

5

，不合；

x > 3

時距離和是

2 x - 1 > 7

，得

x > 4

；

x < - 2

時距離和是

- 2 x + 1 > 7

，得

x < - 3

。解為

(- \infty, - 3) \cup (4, \infty)

。

也可以這樣想：距離和要從

5

多出

2

，就是從兩端各往外走

1

；不等式是「大於」，端點不含。

第 3 題答案 (5)。

a^{- 3} = 4 = 2^{2}

，所以

a = 2^{- \frac{2}{3}}

。設

a^{t} = 0.125 = 2^{- 3}

，則

2^{- \frac{2}{3} t} = 2^{- 3}

，

- \frac{2}{3} t = - 3

，

t = \frac{9}{2}

。

第 4 題答案 (1)。

lo g (a^{2} b) = 2 lo g a + lo g b = - 2.4 + 4.7 = 2.3

，所以

a^{2} b = 1 0^{2.3}

，介於

1 0^{2}

和

1 0^{3}

之間，整數部分是

3

位數。

02多選 5～7：不等式的性質、log 的意義、乘法公式

第 5 題答案 (5)。(1) 錯：

c \leq 0

時不成立，例如

c = 0

時兩邊都是

0

。(2) 錯：算幾不等式要

a, b

都不是負數；

a = b = - 1

時左邊是

- 1

、右邊是

1

。(3) 錯：

a = 2

、

b = 1 - 2

時

a + b = 1

是有理數，但

ab = 2 - 2

是無理數。(4) 錯：

a = 1

、

b = - 5

時

∣ a ∣ > b

，但

a^{2} = 1 < 25 = b^{2}

。(5) 對：

a, b

都是正數，由算幾不等式

a + b \geq 2 ab

，而

2 ab \geq ab

。

(2) 和 (5) 差在有沒有「

a > 0

、

b > 0

」這個前提；題目只說

a, b

是實數時，要先想負數的情況。

第 6 題答案 (1)(3)(4)(5)。

lo g a

的意義就是「

10

的幾次方等於

a

」，所以

a = 1 0^{l o g a}

。(1) 對。(2) 錯：

0 < a < 1

時指數是負的，例如

0.1 = 1 0^{- 1}

；

a = 1

時指數是

0

。(3) 對：

1 0^{l o g a} = a

，兩邊取 log。(4) 對：

1 0^{- l o g a} = \frac{1}{1 0 ^{l o g a}} = \frac{1}{a}

。(5) 對：

1 0^{2 l o g a} = (1 0^{l o g a})^{2} = a^{2}

。

第 7 題答案 (2)(3)(4)。令

t = 2^{3}

，則

a = t + \frac{1}{t}

。(1) 錯：

4^{3} + 4^{- 3} = t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = (t + \frac{1}{t})^{2} - 2 = a^{2} - 2

。(2) 對：

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = (t + \frac{1}{t})^{3} - 3 (t + \frac{1}{t}) = a^{3} - 3 a

。(3) 對：

(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{t}

、

(\frac{1}{2})^{- 3} = t

，和還是

a

。(4) 對：同理是

\frac{1}{t ^{2}} + t^{2} = a^{2} - 2

。(5) 錯：

(t - \frac{1}{t})^{2} = (t + \frac{1}{t})^{2} - 4 = a^{2} - 4

，所以

t - \frac{1}{t} = a^{2} - 4

，不是

a^{2} - 4

。

(5) 的

a^{2} - 4

是「差的平方」，題目問的是差本身，要再開根號（

t > 1

，差是正的）。

03填充 8～12：分點、雙重根號、循環小數、指數

第 8 題

\overline{C Q} : \overline{P Q} = 5 : 3

，所以

\overline{C P} : \overline{P Q} = 2 : 3

。

\overline{P B} ∥ \overline{Q A}

，平行線截比例線段：

\overline{C B} : \overline{B A} = \overline{C P} : \overline{P Q} = 2 : 3

。

\overline{C B} = 4 - (- 2) = 6

，所以

\overline{B A} = 9

。

B

在

A

和

C

之間、

C

在

B

的右邊，所以

A

在

B

的左邊，

x = - 2 - 9 = - 11

。

題目給的是

\overline{C Q} : \overline{P Q}

（全長比一段），要先換成

\overline{C P} : \overline{P Q}

再用。

第 9 題

14 + 65 = 14 + 245 = (9 + 5)^{2}

，所以

14 + 65 = 3 + 5

。

2 < 5 < 3

，整數部分

a = 5

，小數部分

b = (3 + 5) - 5 = 5 - 2

。

(a - b)^{2} = (5 - (5 - 2))^{2} = 2^{2} = 4

。

第 10 題分母是

13

的這些分數，循環節都是

6

位。

22 = 6 \times 3 + 4

、

32 = 6 \times 5 + 2

，所以條件是循環節的第

4

位是

3

、第

2

位是

1

。

\frac{n}{13}

的循環節只有兩種：把

076923

輪著排，或把

153846

輪著排。前一種沒有數字

1

，所以是後一種；要第

2

位是

1

，循環節是

615384

，第

4

位正好是

3

。

0. \overline{615384}

比

0.6

大一點，而

\frac{8}{13} \approx 0.615

，所以

n = 8

。

驗算：

8 \div 13 = 0.615384 \dots

，第

2

位

1

、第

4

位

3

。

第 11 題兩式相乘：

a^{4} b^{4} = 1 0^{8}

，

a, b

是正數，所以

ab = 1 0^{2}

。再用

a^{3} b = a^{2} \cdot ab

：

a^{2} = \frac{1 0 ^{3}}{1 0 ^{2}} = 10

，

a = 10

。

答案格在根號裡面，填的是根號裡的

10

。

第 12 題

4

年後剩下

\frac{25}{100} = \frac{1}{4}

，也就是每

2

年剩下一半。

n

年後的重量是

100 \times (\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}}

，要小於

1

就是

2^{\frac{n}{2}} > 100

。

n = 14

時

2^{7} = 128 > 100

；

n = 13

時

2^{6.5} = 642 \approx 90.5 < 100

。最小整數

n = 14

。

n = 13

不是偶數也要檢查，不能只看

2^{6} = 64

、

2^{7} = 128

就下結論。

04填充 13～17：科學記號、黃金比例、算幾不等式、整數解、乘法公式

第 13 題這個數是

1 0^{56.66} = 1 0^{0.66} \times 1 0^{56}

，所以

b = 56

，

a

是

1 0^{0.66}

的整數部分。由參考數值，

4 = 2^{2} \approx 1 0^{0.6020}

，

5 = \frac{10}{2} \approx 1 0^{0.6990}

；

0.6020 < 0.66 < 0.6990

，所以

4 < 1 0^{0.66} < 5

，

a = 4

。

\frac{b}{a} = \frac{56}{4} = 14

。

科學記號的係數要在

1

和

10

之間，所以把

56.66

拆成整數

56

和小數

0.66

。

第 14 題

φ = \frac{1 + 5}{2}

滿足

2 φ - 1 = 5

，平方整理得

φ^{2} = φ + 1

。一次一次往上乘：

φ^{3} = φ^{2} + φ = 2 φ + 1

，

φ^{4} = 2 φ^{2} + φ = 3 φ + 2

，

φ^{5} = 3 φ^{2} + 2 φ = 5 φ + 3

，

φ^{6} = 5 φ^{2} + 3 φ = 8 φ + 5

。

φ

是無理數，有理數

a, b

只有一種取法，

(a, b) = (8, 5)

。

每乘一次

φ

就把

φ^{2}

換成

φ + 1

，次數就不會升高。

第 15 題

1 2^{2} + 1 6^{2} = 2 0^{2}

，所以

∠ B = 9 0^{\circ}

，

\overline{A C}

上的高是

\frac{12 \times 16}{20} = \frac{48}{5}

。設

\overline{E F} = x

、

\overline{D E} = y

。

\overline{E F} ∥ \overline{A C}

，

△ B E F

和

△ B A C

相似，高的比等於底的比：

\frac{x}{20} = \frac{\frac{48}{5} - y}{\frac{48}{5}}

，即

\frac{x}{20} + \frac{5 y}{48} = 1

。由算幾不等式

1 = \frac{x}{20} + \frac{5 y}{48} \geq 2 \frac{x}{20} \cdot \frac{5 y}{48} = 2 \frac{x y}{192}

，所以

x y \leq \frac{192}{4} = 48

。等號在

\frac{x}{20} = \frac{5 y}{48} = \frac{1}{2}

，即

x = 10

、

y = \frac{24}{5}

時成立，最大面積是

48

。

最大面積正好是

△ A B C

面積

96

的一半，這時

E

、

F

是兩邊的中點。

第 16 題

∣ x - 6∣ \leq a

是

6 - a \leq x \leq 6 + a

，共

2 a + 1

個整數；

∣ x + 2∣ > 3

是

x > 1

或

x < - 5

，也就是要扣掉

- 5 \leq x \leq 1

這

7

個整數裡落在範圍內的。若

6 - a > 1

，一個都不用扣，

2 a + 1 = 16

沒有整數解。若

- 5 \leq 6 - a \leq 1

（即

5 \leq a \leq 11

），要扣掉

6 - a

到

1

共

a - 4

個，剩下

(2 a + 1) - (a - 4) = a + 5 = 16

，

a = 11

，在範圍內。若

a > 11

，扣掉

7

個，

2 a - 6 = 16

得

a = 11

，不合。所以

a = 11

。

驗算：

a = 11

時

- 5 \leq x \leq 17

有

23

個整數，扣掉

- 5

到

1

的

7

個，剩

16

個。

第 17 題在

c^{3} - d^{3} = (c - d) (c^{2} + c d + d^{2})

取

c = 35

、

d = 1

：

5 - 1 = (35 - 1) (325 + 35 + 1) = (35 - 1) k

，所以

\frac{4}{k} = 35 - 1

。再用第一個公式（把

\frac{b}{a}

換成

\frac{4}{k}

）：

1 + \frac{12}{k} + \frac{48}{k ^{2}} + \frac{64}{k ^{3}} = (1 + \frac{4}{k})^{3} = (35)^{3} = 5

。所求

= 5 - 1 = 4

。

12 = 3 \times 4

、

48 = 3 \times 4^{2}

、

64 = 4^{3}

，三項正好是

(1 + \frac{4}{k})^{3}

展開後去掉

1

。

看到題目給的公式，先把要算的式子對到公式的形狀，再決定要代什麼。

05混合題 18～19：分貝

第 18 題答案 (4)。兩人正常交談的聲壓是

20000 μ P a

，基本聲壓是

20 μ P a

：

20 lo g \frac{20000}{20} = 20 lo g 1 0^{3} = 20 \times 3 = 60

分貝。

第 19 題設一組悄悄話的聲壓是

p μ P a

：

20 lo g \frac{p}{20} = 40

，

lo g \frac{p}{20} = 2

，

\frac{p}{20} = 1 0^{2}

，

p = 2000

。依題意，

10

組同時講，聲壓是一組的

10

倍，即

20000 μ P a

，分貝數是

20 lo g \frac{20000}{20} = 20 lo g 1 0^{3} = 60

分貝。

也可以不求

p

：聲壓變成

10

倍，

lo g

的值多

1

，分貝數多

20 \times 1 = 20

，

40 + 20 = 60

。相加的是聲壓，不是分貝數，答案不是

400

。

分貝是取過 log 的量：聲壓乘上幾倍，分貝是「加」上一個固定的數，不是跟著乘。

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師大附中 114 上
高一第一次段考
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01單選 1～4：根式比大小、絕對值、指數律、位數

02多選 5～7：不等式的性質、log 的意義、乘法公式

03填充 8～12：分點、雙重根號、循環小數、指數

04填充 13～17：科學記號、黃金比例、算幾不等式、整數解、乘法公式

05混合題 18～19：分貝

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