段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

潮州高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 26 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 26 題，照原卷順序

是非題 10 題（每題 2 分，共 20 分）、填充題 16 題（共 80 分，依配分表以答對格數給分）

一、是非題（一題 2 分，共 20 分，正確請畫○，錯誤請畫×）

若

2^{a} + 2^{- a} = 3

，則

(2)^{a} + (2)^{- a} = 5

。

已知

lo g a = 1.2

，

lo g b = 3.2

，則

a

是

b

的

100

倍。

若

a \neq = 0

，則

a^{0} = 0

。

3.2100

的有效位數是

3

。

1 0^{19.1}

的整數部分為

19

位數。

(3 - 5)^{2} = 3 - 5

。

\frac{21}{13}

與

\frac{35}{21}

之間沒有有理數。

7 = 1 0^{l o g 7}

。

2^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2 ^{3}}

。

若

a

、

b

、

c

、

d

為實數，且

a + b 2 = c + d 2

，則

a = c

且

b = d

。

二、填充題（依配分表給分，共 80 分）（本頁第 11～26 題依序為原卷填充題第 1～16 題；配分表：答對 1～16 格依序得 6、12、18、24、30、36、40、44、48、52、56、60、65、70、75、80 分）

在圓周率

π

、

0. \overline{3}

、

\frac{169}{36}

、

2

、

0. \overline{123}

、

\frac{81}{16}

、

\frac{1}{2}

、

1 - 23

、

\frac{4 - 2 3}{2 + 3}

之中，有理數有 ____ 個。

數線上

A

、

B

兩點的坐標分別是

- 5

、

15

，點

C

在直線

\overline{A B}

上，且

\overline{A C} : \overline{B C} = 3 : 4

，則

C

點坐標為 ____。

世界衛生組織計算男性標準體重之方法如下：（身高（cm）

- 80

）

\times 70% =

標準體重（kg），且定義標準體重正負

10%

為正常體重。設身高

180

公分的男性正常體重為

x

公斤，

x

的範圍表示成

∣ x - a ∣ \leq b

，則數對

(a, b) =

____。

化簡

(3 + 10)^{4} (3 - 10)^{3} =

____。

試求

3 + 22 + 18 - 82 =

____。

已知當正實數

x

、

y

滿足

x y = 96

，則當

(x, y) = (a, b)

時，

6 x + y

有最小值

m

，則序組

(a, b, m) =

____。

已知

x + \frac{1}{x} = 2 + 5

，求

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} =

____。

如附圖，有一半圓形拱橋，橋面位置恰為直徑

\overline{A B}

。計畫將橋面

\overline{A B}

十等分後（也就是

\overline{A A_{1}} = \overline{A_{1} A_{2}} = \dots = \overline{A_{8} A_{9}} = \overline{A_{9} B}

），在每個等分點豎立一根鋼柱（

\overline{A_{1} B_{1}}

、

\overline{A_{2} B_{2}}

、…、

\overline{A_{9} B_{9}}

）。已知

\overline{A B} = 10

公尺，試求

\overline{A_{4} B_{4}} =

____ 公尺。

載入中...

求

(\frac{81}{25})^{0.5} \times (\frac{3}{5})^{- 2} \times 0.0 9^{- 0.5} =

____。

若

3^{2} + 3^{- 2} = k

，請以

k

表示

2 7^{2} + 2 7^{- 2} =

____。

請比較下列實數大小，並由大到小排列：

a = 5 + 7

，

b = 9 + 3

，

c = 10 + 2

。 ____

設

x

為實數，且滿足不等式

∣2 x - 3∣ \leq ∣2 x + 1∣

，則

x

的範圍為 ____。

滿足不等式

1 < ∣2 x - 3∣ < 7

的

x

的範圍為 ____。

若不等式

∣ a x + 10∣ \geq b

的解為

x \leq 2

或

x \geq 8

，則數對

(a, b) =

____。

JOHN 想利用

21

公尺長的鐵絲網在屋後的空地上圍出一塊矩形的菜圃，將菜圃靠在屋後，則只須圍三邊，且為方便進出三邊都留下

1

公尺的出入口，若 JOHN 想圍成面積最大的菜圃，則最大面積為

M

平方公尺，且此時長邊為

a

公尺，則數對

(M, a) =

____。

放射性物質的質量變成原來的一半所需的時間稱為半衰期。現在某一放射性物質質量為

M

克，經過

2

年後質量剩下

16

克，再經過

4

年後質量只剩下

1

克，則

M

值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

102

第 11 題

4

第 12 題

\frac{25}{7}

或

- 65

第 13 題

(70, 7)

第 14 題

- 3 - 10

第 15 題

5

第 16 題

(4, 24, 48)

第 17 題

5

第 18 題

26

第 19 題

\frac{50}{3}

第 20 題

k^{3} - 3 k

第 21 題

a > b > c

第 22 題

x \geq \frac{1}{2}

第 23 題

- 2 < x < 1

或

2 < x < 5

第 24 題

(- 2, 6)

第 25 題

(72, 12)

第 26 題

64

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非 1～5：指數對稱式、log 的意義、有效位數與位數

第 1 題1

(2)^{a} = 2^{\frac{a}{2}}

。把所求平方：

(2^{\frac{a}{2}} + 2^{- \frac{a}{2}})^{2} = 2^{a} + 2 + 2^{- a} = 3 + 2 = 5

。

2^{\frac{a}{2}}

和

2^{- \frac{a}{2}}

都是正數，和也是正數，所以等於

5

。

平方後開根號有正負兩個可能，這裡因為兩項都是正的，只取正。

第 2 題2

a = 1 0^{1.2}

，

b = 1 0^{3.2}

，

\frac{a}{b} = 1 0^{1.2 - 3.2} = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}

。是

b

為

a

的

100

倍，不是

a

為

b

的

100

倍。

log 值差

2

表示相差

1 0^{2}

倍；log 值大的那個數比較大。

第 3 題2

a \neq = 0

時規定

a^{0} = 1

，不是

0

。例如

a^{2} \div a^{2} = a^{2 - 2} = a^{0}

，而同一個數相除是

1

。

第 4 題2小數點後面結尾的

0

也算有效數字。

3.2100

的有效數字是

3

、

2

、

1

、

0

、

0

，有效位數是

5

。

第 5 題2

1 0^{19.1} = 1 0^{0.1} \times 1 0^{19}

，而

1 < 1 0^{0.1} < 10

，所以

1 0^{19} < 1 0^{19.1} < 1 0^{20}

。

1 0^{19}

是

1

後面

19

個

0

，共

20

位，所以

1 0^{19.1}

的整數部分是

20

位數。

1 0^{n} \leq N < 1 0^{n + 1}

時，

N

的整數部分是

n + 1

位數，位數是指數的整數部分再加

1

。

02是非 6～10：根號取正、稠密性、分數指數與比較係數

第 6 題2

x^{2} = ∣ x ∣

。

3 < 5

，所以

3 - 5 < 0

，

(3 - 5)^{2} = ∣ 3 - 5 ∣ = 5 - 3

。根號開出來不會是負數。

第 7 題2

\frac{35}{21} = \frac{5}{3}

，和

\frac{21}{13}

是兩個不相等的有理數（

\frac{21}{13} = \frac{63}{39}

，

\frac{5}{3} = \frac{65}{39}

）。任意兩個不相等的有理數之間都還有有理數，例如兩數的平均

\frac{64}{39}

。

兩個有理數相加再除以

2

還是有理數，而且落在兩數之間。

第 8 題1

lo g 7

的意義就是「

10

的幾次方等於

7

」的那個次方，所以

1 0^{l o g 7} = 7

。

第 9 題2

2^{\frac{1}{3}} = 32 \approx 1.26

，而

\frac{1}{2 ^{3}} = 2^{- 3} = \frac{1}{8}

，兩者不相等。

分數指數是開方（

2^{\frac{1}{3}} = 32

），負指數才是倒數（

2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}}

）。

第 10 題2題目只說

a

、

b

、

c

、

d

是實數。反例：

a = 2

、

b = 0

、

c = 0

、

d = 2

，這時

a + b 2 = 2

，

c + d 2 = 2 \times 2 = 2

，兩邊相等，但

a \neq = c

、

b \neq = d

。

要

a

、

b

、

c

、

d

都是有理數，才能由

a + b 2 = c + d 2

推得

a = c

且

b = d

。

是非題看到「則…」先檢查條件夠不夠：

x^{2}

要取絕對值、比較係數要有理數、位數是指數的整數部分加

1

。

03填充 1～8（第 11～18 題）：有理數判斷、分點、根式化簡與算幾不等式

第 11 題逐一判斷。

π

是無理數。

0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

是有理數。

\frac{169}{36} = \frac{13}{6}

是有理數。

2

是無理數。

0. \overline{123} = \frac{123}{999}

是有理數。

\frac{81}{16} = \frac{9}{4}

是有理數。

\frac{1}{2} = \frac{2}{2}

是無理數。

1 - 23

是無理數。

\frac{4 - 2 3}{2 + 3} = \frac{( 4 - 2 3 ) ( 2 - 3 )}{( 2 + 3 ) ( 2 - 3 )} = \frac{14 - 8 3}{1} = 14 - 83

是無理數。有理數共

4

個。

最後一個數要先有理化分母才看得出來：分子乘開是

8 - 43 - 43 + 6 = 14 - 83

。

第 12 題設

C

的坐標是

x

，條件是

\overline{A C} : \overline{B C} = ∣ x + 5∣ : ∣ x - 15∣ = 3 : 4

，即

4∣ x + 5∣ = 3∣ x - 15∣

。

4 (x + 5) = 3 (x - 15)

得

x = - 65

；

4 (x + 5) = - 3 (x - 15)

得

7 x = 25

，

x = \frac{25}{7}

。檢查：

x = \frac{25}{7}

時

\overline{A C} = \frac{60}{7}

、

\overline{B C} = \frac{80}{7}

；

x = - 65

時

\overline{A C} = 60

、

\overline{B C} = 80

，比都是

3 : 4

。

C

在「直線」上，不一定在

A

、

B

之間：

\frac{25}{7}

是內分點，

- 65

是外分點（在

A

的左邊，因為

\overline{A C}

比較短），兩個都要寫。流傳版本此處的記號印成線段的上橫線，依文字「直線」與參考答案，以直線解讀。

第 13 題標準體重是

(180 - 80) \times 70% = 70

公斤。正負

10%

是

70 \times 10% = 7

公斤，所以正常體重是

63 \leq x \leq 77

。區間的中點是

70

、中點到端點的距離是

7

，寫成

∣ x - 70∣ \leq 7

，

(a, b) = (70, 7)

。

第 14 題先湊出

(3 + 10) (3 - 10) = 9 - 10 = - 1

。原式

= (3 + 10) \times [(3 + 10) (3 - 10)]^{3} = (3 + 10) \times (- 1)^{3} = - 3 - 10

。

次方不一樣時，把多出來的那一個先拿出來，其餘的配成同次方再相乘。

第 15 題

3 + 22

：找兩數和

3

、積

2

，是

2

和

1

，所以

3 + 22 = 2 + 1

。

18 - 82 = 18 - 232

：找兩數和

18

、積

32

，是

16

和

2

，所以

18 - 82 = 16 - 2 = 4 - 2

。相加：

(2 + 1) + (4 - 2) = 5

。

裡面的根號前面要先化成係數

2

：

82 = 2 \times 42 = 232

。相減的那一個要寫成大減小。

第 16 題

6 x

和

y

都是正數，由算幾不等式

\frac{6 x + y}{2} \geq 6 x \cdot y = 6 \times 96 = 576 = 24

，所以

6 x + y \geq 48

。等號在

6 x = y

時成立，這時

6 x = y = 24

，

x = 4

、

y = 24

（檢查

x y = 96

）。所以

(a, b, m) = (4, 24, 48)

。

算幾不等式要用在

6 x

和

y

這兩個數上，等號成立的條件是

6 x = y

，不是

x = y

。

第 17 題兩邊平方：

(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}} = 2 + 5

，所以

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 5

。

第 18 題

\overline{A B} = 10

，十等分後每段長

1

公尺，半圓的半徑是

5

。設圓心（

\overline{A B}

的中點）為

O

，

O

就是

A_{5}

。

\overline{A A_{4}} = 4

，所以

\overline{O A_{4}} = 5 - 4 = 1

。

B_{4}

在半圓上，

\overline{O B_{4}} = 5

。鋼柱與橋面垂直，直角三角形

O A_{4} B_{4}

中

\overline{A_{4} B_{4}} = 5^{2} - 1^{2} = 24 = 26

公尺。

把弧上的點和圓心連起來，連線就是半徑，再用畢氏定理。

雙重根號

p \pm 2 q

：找兩個正數和為

p

、積為

q

，答案是兩數的根號相加或大減小。

04填充 9～16（第 19～26 題）：指數律、根式比大小、絕對值不等式與應用題

第 19 題

(\frac{81}{25})^{0.5} = \frac{81}{25} = \frac{9}{5}

；

(\frac{3}{5})^{- 2} = (\frac{5}{3})^{2} = \frac{25}{9}

；

0.0 9^{- 0.5} = (\frac{9}{100})^{- \frac{1}{2}} = (\frac{100}{9})^{\frac{1}{2}} = \frac{10}{3}

。相乘：

\frac{9}{5} \times \frac{25}{9} \times \frac{10}{3} = \frac{50}{3}

。

第 20 題令

t = 3^{2}

，則

3^{- 2} = \frac{1}{t}

，

2 7^{2} = (3^{2})^{3} = t^{3}

，

2 7^{- 2} = \frac{1}{t ^{3}}

。已知

t + \frac{1}{t} = k

。把它三次方：

(t + \frac{1}{t})^{3} = t^{3} + 3 t + \frac{3}{t} + \frac{1}{t ^{3}} = t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} + 3 (t + \frac{1}{t})

，所以

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = k^{3} - 3 k

。

27 = 3^{3}

，所以

2 7^{2} = (3^{2})^{3}

；指數是無理數時指數律照樣成立。

第 21 題三個數都是正數，比平方就可以。

a^{2} = 12 + 235

，

b^{2} = 12 + 227

，

c^{2} = 12 + 220

。

35 > 27 > 20

，所以

a^{2} > b^{2} > c^{2}

，

a > b > c

。

三組根號裡的數相加都是

12

，平方後只差在乘積：

5 \times 7 = 35

、

9 \times 3 = 27

、

10 \times 2 = 20

。

第 22 題兩邊同除以

2

：

x - \frac{3}{2} \leq x + \frac{1}{2}

，意思是

x

到

\frac{3}{2}

的距離不超過

x

到

- \frac{1}{2}

的距離。

\frac{3}{2}

和

- \frac{1}{2}

的中點是

\frac{1}{2}

，在中點上兩個距離相等，在中點右邊離

\frac{3}{2}

比較近，所以

x \geq \frac{1}{2}

。另一個做法：兩邊都不是負數，可以平方，

4 x^{2} - 12 x + 9 \leq 4 x^{2} + 4 x + 1

，

8 \leq 16 x

，

x \geq \frac{1}{2}

。

第 23 題

1 < ∣2 x - 3∣ < 7

分成兩種：

1 < 2 x - 3 < 7

得

4 < 2 x < 10

，

2 < x < 5

；或

- 7 < 2 x - 3 < - 1

得

- 4 < 2 x < 2

，

- 2 < x < 1

。所以

- 2 < x < 1

或

2 < x < 5

。

兩邊都夾住的絕對值不等式，解是左右對稱（對稱中心

\frac{3}{2}

）的兩段區間。

第 24 題解是「

x \leq 2

或

x \geq 8

」，兩個端點的中點是

5

，到中點的距離是

3

，所以解等於

∣ x - 5∣ \geq 3

。和

∣ a x + 10∣ \geq b

對照，常數項要變成

+ 10

：兩邊乘以

2

得

∣2 x - 10∣ \geq 6

，也就是

∣ - 2 x + 10∣ \geq 6

。所以

a = - 2

、

b = 6

。

∣2 x - 10∣

和

∣ - 2 x + 10∣

相等，要配合題目的「

+ 10

」選後者，所以

a

是負的。

第 25 題三邊各留

1

公尺出入口不用鐵絲網，所以三邊的總長是

21 + 3 = 24

公尺。設垂直房屋的兩邊各長

x

公尺、平行房屋的一邊長

y

公尺，則

2 x + y = 24

，面積是

x y

。由算幾不等式

\frac{2 x + y}{2} \geq 2 x \cdot y

，即

12 \geq 2 x y

，平方得

144 \geq 2 x y

，

x y \leq 72

。等號在

2 x = y = 12

，也就是

x = 6

、

y = 12

時成立。最大面積

M = 72

，這時長邊是

12

公尺，

(M, a) = (72, 12)

。

鐵絲網長

21

公尺，加上三個

1

公尺的出入口，三邊的總長才是

24

公尺。

第 26 題從剩

16

克到剩

1

克，質量變成

\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{4}

，也就是過了

4

個半衰期，花了

4

年，所以半衰期是

1

年。前面的

2

年是

2

個半衰期：

M \times (\frac{1}{2})^{2} = 16

，

M = 64

。

檢查：

64 \to 32 \to 16

（

2

年），再

16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1

（

4

年）。

由解回推絕對值不等式：先用兩個端點的中點和半徑寫成

∣ x - 中點 ∣ \geq 半徑

，再同乘一個數去配合題目給的常數項。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

潮州高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 26 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。

潮州高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 2 題的點在直線上，內分點和外分點兩個答案都要寫；填充第 14 題要配合題目的常數項，係數是負的；填充第 15 題鐵絲網長度要先加回三個出入口，三邊總長是 24 公尺；是非第 10 題的條件只有實數，不能比較係數。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自潮州高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

潮州高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 26 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01是非 1～5：指數對稱式、log 的意義、有效位數與位數

02是非 6～10：根號取正、稠密性、分數指數與比較係數

03填充 1～8（第 11～18 題）：有理數判斷、分點、根式化簡與算幾不等式

04填充 9～16（第 19～26 題）：指數律、根式比大小、絕對值不等式與應用題

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

潮州高中 114 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

潮州高中 114 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

潮州高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

潮州高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

潮州高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？