段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值與數線、指數與算幾不等式、常用對數）

屏東高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單一選擇題 6 題（30 分）、多重選擇題 4 題（20 分）、選填題 10 格（50 分，依答對格數給分）

一、單一選擇題（一題 5 分，共 30 分）

已知

3 \approx 1 0^{0.4771}

，求

3^{200}

為幾位數？

(A) $47$
(B) $48$
(C) $94$
(D) $95$
(E) $96$

求值

(3.14)^{0} + \frac{3 ^{1.4}}{3 ^{- 0.6}} + 3^{23} \times 8 1^{1 - \frac{3}{2}} =

？

(A) $89$
(B) $90$
(C) $91$
(D) $92$
(E) $93$

設

a = 11 + 3

，

b = 3 + 5

，

c = 26

，則

a

、

b

、

c

的大小關係為何？

(A) $a > b > c$
(B) $b > a > c$
(C) $a > c > b$
(D) $b > c > a$
(E) $c > a > b$

關於實數的敘述，下列哪一個選項是正確的？

(A) 若 $a$ 、 $b$ 都是有理數， $x$ 、 $y$ 都是無理數，則 $ab + x y$ 為無理數
(B) 若 $a$ 、 $b$ 都是有理數， $x$ 、 $y$ 都是無理數，且 $a + x = b + y$ ，則 $a = b$ ， $x = y$
(C) 若 $a^{3}$ 與 $a^{5}$ 都是有理數，則 $a$ 是有理數
(D) 若 $a$ 、 $b$ 都是不為零的實數且 $\frac{b}{a} > 1$ ，則 $b > a$
(E) 若 $a$ 、 $b$ 都是正數，則 $a + b - 2 a \times b = a - b$

已知

a = lo g 2

，則

100 0^{a} + 1 0^{- 2 a}

之值為何？

(A) $\frac{33}{4}$
(B) $\frac{31}{4}$
(C) $\frac{25}{4}$
(D) $4$
(E) $2$

某個手機程式，每次點擊螢幕上的點

a

後，螢幕上的數會變成

a^{2}

。當一開始時螢幕上的數

b

為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的點接近

8 1^{3}

。試問實數

b

最接近下列哪一個選項？

(A) $1.7$
(B) $3$
(C) $5.2$
(D) $9$
(E) $81$

二、多重選擇題（一題 5 分，共 20 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，其餘得 0 分）（本頁第 7～10 題依序為流傳版本多選第 1～4 題）

下列哪些選項中的數為有理數？

(A) $\frac{5}{2}$
(B) $3. \overline{14}$
(C) $44$
(D) $(10)^{l o g 2}$
(E) $6 - 28 + 2$

試選出正確的選項：

(A) $(2^{10})^{0} = 1$
(B) $2^{10} \times (- 3)^{5} = (- 6)^{5}$
(C) $(2^{- 3})^{5} \times 3^{5} \times (- 8)^{5} = - 243$
(D) $(7 - 4)^{- 2} \times (7 + 4)^{- 2} = 81$
(E) $(1 + 2) \times (2 - 2)^{2} \times (1 - 2)^{3} \times (2 + 2)^{4} = - 8$

若已知

1 0^{0.3010} \approx 2

，

1 0^{0.4771} \approx 3

，試選出正確的選項：

(A) $lo g 2 \approx 0.3010$
(B) $1 0^{3.33} < 2000$
(C) 將 $1 0^{- 1.5229}$ 寫成科學記號為 $3 \times 1 0^{- 2}$
(D) 計算 $1 0^{- 5.53}$ 的近似值為 $0.0000003$
(E) 若 $1 0^{x} = 0.5$ ， $1 0^{y} = 9$ ，則 $x + y \approx 0.6532$

關於常用對數的敘述，試選出正確的選項：

(A) $lo g 0 = 1$
(B) $10 0^{l o g 6} = 36$
(C) $1 0^{- l o g 2} = \frac{1}{2}$
(D) $lo g (2 - 3) = - lo g (2 + 3)$
(E) $1 0^{2 l o g 3} > 1 0^{3 l o g 2}$

三、選填題（依配分表給分，共 50 分，答案請化成最簡分數或最簡根式，否則不予計分）（本頁第 11～20 題依序為流傳版本選填第 1～10 題；配分表：答對 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 格，依序得 8、16、24、29、34、39、44、46、48、50 分）

已知

a

、

b

是有理數，且

3 a + (2 + 3) b = 7 + 23

，則數對

(a, b) =

____。

設

4 + 12 = a + b

，其中

a

是正整數，

0 < b < 1

，求

\frac{1}{a + b} - \frac{1}{b} =

____。

已知數線上兩點

A (1)

、

B (5)

，滿足

\overline{A P} : \overline{B P} = 1 : 3

的點

P

有

2

個，這

2

個點之間的距離為 ____。

解不等式

∣ x - 5∣ < 3

，得

x

的範圍為

a < x < b

，則

a + b =

____。

解不等式

1 < ∣2 x - 3∣ \leq 3

的解用區間表示為 ____。

已知

x + \frac{1}{x} = 4

，求

x^{2} + x^{3} + x^{- 2} + x^{- 3}

的值為 ____。

已知數線上三點

A (x)

、

B (0)

、

C (- 3)

，且

\overline{A B} + \overline{A C} = 5

，則滿足條件的所有

x

的值，總和為 ____。

設某檯燈與被照明物的距離為

d

（公尺）時，被照明物的照度

E

（勒克斯）與距離

d

的關係式為

E = 300 \times d^{- 2}

，已知目前檯燈高度為

0.6

公尺，若想將照度變成原來的

4

倍，則應將檯燈調至高度為 ____ 公尺。

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

，若

n

為正整數，且

2^{30} < 1 0^{n} < 9^{20}

，則符合的正整數

n

共有 ____ 個。

數線上有

A

、

B

兩點，坐標分別為

a

、

b

，已知

a > b > 0

且

ab = 2

，若點

P

在

A

、

B

之間，且滿足

\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 1

，則當

P

點最接近原點的時候，

P

點坐標為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(C)

第 3 題(D)

第 4 題(C)

第 5 題(A)

第 6 題(C)

第 7 題(A)(B)(E)

第 8 題(A)(C)(E)

第 9 題(A)(C)(E)

第 10 題(B)(C)(D)(E)

第 11 題

(1, 2)

第 12 題

- 1

第 13 題

3

第 14 題

10

第 15 題

[0, 1) \cup (2, 3]

第 16 題

66

第 17 題

- 3

第 18 題

\frac{3}{10}

第 19 題

10

第 20 題

\frac{4}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～6：位數、指數律、根式比大小與實數的性質

第 1 題答案 (E)。

3^{200} \approx (1 0^{0.4771})^{200} = 1 0^{95.42}

，所以

1 0^{95} < 3^{200} < 1 0^{96}

，是

96

位數。

1 0^{95}

本身是

96

位數（

1

後面

95

個

0

），所以位數是指數的整數部分再加

1

。

第 2 題答案 (C)。

(3.14)^{0} = 1

。

\frac{3 ^{1.4}}{3 ^{- 0.6}} = 3^{1.4 - (- 0.6)} = 3^{2} = 9

。

8 1^{1 - \frac{3}{2}} = (3^{4})^{1 - \frac{3}{2}} = 3^{4 - 23}

，所以

3^{23} \times 3^{4 - 23} = 3^{4} = 81

。合計

1 + 9 + 81 = 91

。

把

81

化成

3^{4}

之後，指數裡的

23

剛好消掉。

第 3 題答案 (D)。三個數都是正數，比平方：

a^{2} = 14 + 233

，

b^{2} = 14 + 65 = 14 + 245

，

c^{2} = 26 = 14 + 12 = 14 + 236

。因為

45 > 36 > 33

，所以

b^{2} > c^{2} > a^{2}

，即

b > c > a

。

平方後三個數都有

14

，剩下的部分都寫成

20

的形式就能直接比。

第 4 題答案 (C)。(A) 錯：取

a = b = 1

、

x = y = 2

，

ab + x y = 1 + 2 = 3

是有理數。(B) 錯：取

a = 0

、

x = 1 + 2

、

b = 1

、

y = 2

，則

a + x = b + y

，但

a \neq = b

。(C) 對：若

a = 0

，

a

是有理數；若

a \neq = 0

，

a^{6} = (a^{3})^{2}

是有理數，

a = \frac{a ^{6}}{a ^{5}}

是兩個有理數相除（除數不為

0

），也是有理數。(D) 錯：取

a = - 1

、

b = - 2

，

\frac{b}{a} = 2 > 1

，但

b < a

。(E) 錯：

a + b - 2 a b = (a - b)^{2} = a - b

，當

a < b

時等於

b - a

；例如

a = 1

、

b = 4

時左邊是

1

，右邊是

- 1

。

(B) 的

x

、

y

是任意無理數，不是同一個根號的倍數，所以不能比較係數；(D) 要注意

a

可能是負數，兩邊同乘負數時不等號會反向。

第 5 題答案 (A)。

a = lo g 2

表示

1 0^{a} = 2

。

100 0^{a} = (1 0^{3})^{a} = (1 0^{a})^{3} = 2^{3} = 8

，

1 0^{- 2 a} = (1 0^{a})^{- 2} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

。相加得

8 + \frac{1}{4} = \frac{33}{4}

。

第 6 題答案 (C)。點擊三次後依序是

b^{2}

、

(b^{2})^{2} = b^{4}

、

(b^{4})^{2} = b^{8}

，所以

b^{8} \approx 8 1^{3} = (3^{4})^{3} = 3^{12}

。

b

是正數，

b \approx (3^{12})^{\frac{1}{8}} = 3^{\frac{3}{2}} = 33 \approx 3 \times 1.732 = 5.196

，最接近

5.2

。

流傳版本題幹的「點擊螢幕上的點

a

」與「螢幕上的點接近

8 1^{3}

」，兩處的「點」依文意是指螢幕上的數。每點擊一次是指數乘以

2

，三次後是

b^{8}

，不是

b^{6}

。

指數的題目先把底數化成同一個（

81 = 3^{4}

、

1000 = 1 0^{3}

），再用指數律合併。

02多選 7～10（流傳版本多選 1～4）：有理數的判斷、指數律與常用對數

第 7 題答案 (A)(B)(E)。(A) 是分數，為有理數。(B) 是循環小數，

3. \overline{14} = 3 + \frac{14}{99} = \frac{311}{99}

，為有理數。(C)

44 = (2^{2})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = 2

，是無理數。(D)

(10)^{l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} = 2

，是無理數。(E)

6 - 28

找兩數和

6

、積

8

：

4

和

2

，所以

6 - 28 = 4 - 2 = 2 - 2

，再加

2

得

2

，為有理數。

(C)、(D) 外表不同，化簡後都是

2

；(E) 要化簡到最後才看得出是整數。

第 8 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：不為

0

的數的

0

次方是

1

。(B) 錯：

(- 6)^{5} = 2^{5} \times (- 3)^{5}

，而左邊是

2^{10} \times (- 3)^{5}

，兩者差

2^{5}

倍。(C) 對：

(2^{- 3})^{5} = 2^{- 15}

，

(- 8)^{5} = - 2^{15}

，所以原式

= 2^{- 15} \times 3^{5} \times (- 2^{15}) = - 3^{5} = - 243

。(D) 錯：

(7 - 4) (7 + 4) = 7 - 16 = - 9

，原式

= (- 9)^{- 2} = \frac{1}{81}

。(E) 對：

(1 + 2) (1 - 2) = - 1

，所以

(1 + 2) (1 - 2)^{3} = - (1 - 2)^{2} = - (3 - 22)

；

(2 - 2) (2 + 2) = 2

，所以

(2 - 2)^{2} (2 + 2)^{4} = 2^{2} \times (2 + 2)^{2} = 4 (6 + 42) = 8 (3 + 22)

。相乘：

- 8 (3 - 22) (3 + 22) = - 8 \times (9 - 8) = - 8

。

(D)、(E) 都是先把共軛的兩個括號配成一對相乘，再處理剩下的次方。

第 9 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：

1 0^{0.3010} \approx 2

就是

lo g 2 \approx 0.3010

。(B) 錯：

2000 = 2 \times 1 0^{3} \approx 1 0^{3.3010}

，而

3.33 > 3.3010

，所以

1 0^{3.33} > 2000

。(C) 對：

- 1.5229 = - 2 + 0.4771

，

1 0^{- 1.5229} = 1 0^{0.4771} \times 1 0^{- 2} \approx 3 \times 1 0^{- 2}

。(D) 錯：

- 5.53 = - 6 + 0.47

，

1 0^{- 5.53} = 1 0^{0.47} \times 1 0^{- 6} \approx 3 \times 1 0^{- 6} = 0.000003

，選項寫的

0.0000003

是

3 \times 1 0^{- 7}

。(E) 對：

1 0^{x} = 0.5 = \frac{1}{2}

，

x \approx - 0.3010

；

1 0^{y} = 9 = 3^{2}

，

y \approx 2 \times 0.4771 = 0.9542

；

x + y \approx 0.6532

。

負的指數要拆成「負整數＋介於

0

和

1

之間的小數」，例如

- 5.53 = - 6 + 0.47

，不是

- 5 - 0.53

。(D) 要數清楚小數點後有幾個

0

。

第 10 題答案 (B)(C)(D)(E)。(A) 錯：

10

的任何次方都是正數，沒有

x

使

1 0^{x} = 0

，所以

lo g 0

沒有意義（

lo g 1 = 0

才對）。(B) 對：

10 0^{l o g 6} = (1 0^{l o g 6})^{2} = 6^{2} = 36

。(C) 對：

1 0^{- l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{- 1} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

。(D) 對：設

lo g (2 + 3) = t

，即

1 0^{t} = 2 + 3

；因為

(2 - 3) (2 + 3) = 1

，所以

2 - 3 = \frac{1}{2 + 3} = 1 0^{- t}

，即

lo g (2 - 3) = - t

。(E) 對：

1 0^{2 l o g 3} = (1 0^{l o g 3})^{2} = 9

，

1 0^{3 l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{3} = 8

，

9 > 8

。

這幾個選項都只用到「

1 0^{l o g a} = a

」和指數律。

lo g a

就是「

10

的幾次方等於

a

」；看到

1 0^{l o g a}

直接換成

a

，其餘交給指數律。

03選填 11～15（流傳版本選填 1～5）：比較係數、雙重根號、分點與絕對值不等式

第 11 題左邊整理成

(3 a + 2 b) + b 3

。

a

、

b

是有理數，

3

是無理數，所以有理數部分與

3

的係數分別相等：

b = 2

，

3 a + 2 b = 7

，得

a = 1

。數對

(a, b) = (1, 2)

。

第 12 題

4 + 12 = 4 + 23

，找兩數和

4

、積

3

：

3

和

1

，所以等於

3 + 1 \approx 2.732

。整數部分

a = 2

，小數部分

b = 3 + 1 - 2 = 3 - 1

。

\frac{1}{a + b} = \frac{1}{3 + 1} = \frac{3 - 1}{2}

，

\frac{1}{b} = \frac{1}{3 - 1} = \frac{3 + 1}{2}

，相減得

\frac{3 - 1}{2} - \frac{3 + 1}{2} = - 1

。

12

要先寫成

23

，才能套雙重根號的化簡。

第 13 題設

P

的坐標為

x

，條件是

3∣ x - 1∣ = ∣ x - 5∣

。

3 (x - 1) = x - 5

得

x = - 1

；

3 (x - 1) = - (x - 5)

得

x = 2

。檢查：

x = 2

時

\overline{A P} = 1

、

\overline{B P} = 3

（在

A

、

B

之間）；

x = - 1

時

\overline{A P} = 2

、

\overline{B P} = 6

（在

A

的左邊）。兩點的距離是

2 - (- 1) = 3

。

題目沒有說

P

在

A

、

B

之間，內分與外分各有一個點。

第 14 題

∣ x - 5∣ < 3

即

- 3 < x - 5 < 3

，

2 < x < 8

。

a = 2

、

b = 8

，

a + b = 10

。

∣ x - 5∣ < 3

是「到

5

的距離小於

3

」，兩端點以

5

為中點，所以

a + b = 2 \times 5 = 10

。

第 15 題

1 < ∣2 x - 3∣ \leq 3

分成

1 < 2 x - 3 \leq 3

或

- 3 \leq 2 x - 3 < - 1

。前者得

4 < 2 x \leq 6

，

2 < x \leq 3

；後者得

0 \leq 2 x < 2

，

0 \leq x < 1

。用區間表示為

[0, 1) \cup (2, 3]

。

左邊是

<

、右邊是

\leq

，端點

0

和

3

要含、

1

和

2

不含。

絕對值不等式先去掉絕對值寫成連續不等式，再注意每個端點含或不含。

04選填 16～20（流傳版本選填 6～10）：乘法公式、指數的應用與算幾不等式

第 16 題

x^{2} + x^{- 2} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 16 - 2 = 14

。

x^{3} + x^{- 3} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 64 - 12 = 52

。相加得

14 + 52 = 66

。

第 17 題

\overline{A B} = ∣ x ∣

，

\overline{A C} = ∣ x + 3∣

，條件是

∣ x ∣ + ∣ x + 3∣ = 5

。

B

、

C

相距

3

，

A

在

B

、

C

之間時距離和恰為

3

，不合，所以

A

在外側。

x > 0

時：

x + (x + 3) = 5

，

x = 1

。

x < - 3

時：

- x - (x + 3) = 5

，

x = - 4

。總和為

1 + (- 4) = - 3

。

距離和

5

比

\overline{B C} = 3

多

2

，所以

A

在兩端各往外

1

的位置：

0 + 1 = 1

與

- 3 - 1 = - 4

。

第 18 題檯燈高度就是檯燈與被照明物的距離

d

。原來的照度是

300 \times 0. 6^{- 2}

，設新的高度為

d

，則

300 \times d^{- 2} = 4 \times 300 \times 0. 6^{- 2}

，即

\frac{1}{d ^{2}} = \frac{4}{0. 6 ^{2}}

，

d^{2} = \frac{0. 6 ^{2}}{4} = 0.09

。

d > 0

，所以

d = 0.3 = \frac{3}{10}

（公尺）。

照度與距離的平方成反比，照度變

4

倍，距離變成原來的

\frac{1}{2}

。

第 19 題

2^{30} \approx 1 0^{30 \times 0.3010} = 1 0^{9.03}

；

9^{20} = 3^{40} \approx 1 0^{40 \times 0.4771} = 1 0^{19.084}

。所以

1 0^{9.03} < 1 0^{n} < 1 0^{19.084}

，即

9.03 < n < 19.084

，正整數

n = 10, 11, \dots, 19

，共

10

個。

9^{20}

要先寫成

3^{40}

才能用

lo g 3

。

第 20 題

P

在

A

、

B

之間且

\overline{A P} : \overline{B P} = 2 : 1

，由分點公式

P

的坐標為

\frac{1 \times a + 2 \times b}{2 + 1} = \frac{a + 2 b}{3}

。

a

、

b

都是正數，

P

的坐標為正，離原點最近就是

a + 2 b

最小。由算幾不等式

\frac{a + 2 b}{2} \geq a \cdot 2 b = 2 ab = 4 = 2

，所以

a + 2 b \geq 4

。等號在

a = 2 b

時成立，配合

ab = 2

得

b = 1

、

a = 2

，符合

a > b > 0

。此時

P

的坐標為

\frac{4}{3}

。

\overline{A P}

比較長，

P

靠近

B

，所以

b

的係數是

2

。用算幾不等式後要確認等號成立的

a

、

b

符合題目的條件。

兩正數的乘積固定、要求和的最小值時用算幾不等式，並確認等號成立的條件。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

屏東高中 114 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

屏東高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 4 題要逐一舉反例，其中三次方與五次方都是有理數的那個選項要另外處理零；多選第 8 題最後一個選項要先把共軛的括號配對再算；多選第 9 題的負指數要拆成負整數加上零到一之間的小數；選填最後一題要先用分點公式寫出坐標再用算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自屏東高中 114 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

屏東高中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～6：位數、指數律、根式比大小與實數的性質

02多選 7～10（流傳版本多選 1～4）：有理數的判斷、指數律與常用對數

03選填 11～15（流傳版本選填 1～5）：比較係數、雙重根號、分點與絕對值不等式

04選填 16～20（流傳版本選填 6～10）：乘法公式、指數的應用與算幾不等式

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常見問題

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屏東高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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