段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式、絕對值、算幾不等式、常用對數）

麗山高中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

觀念題（是非）5 題（15 分）、單選題 5 題（25 分）、多選題 3 題（24 分）、填充題（占 36 分，每題 6 分；流傳版本收錄第 14～18 題）

一、觀念題（占 15 分）說明：第 1 題至第 5 題，每題 3 分。（正確答○，錯誤答×）

任意兩相異有理數之間，至少有一個有理數。

已知

p

，

q

為有理數，

r

，

s

為無理數，若

p + r = q + s

，則

p = q

且

r = s

。

已知

x > 0

，則

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 + x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 = 2 x

。

若

x

為正實數，則

lo g x

也是正實數。

已知

lo g a = 4.1

，則

a

的整數部分為

4

位數。

二、單選題（占 25 分）說明：第 6 題至第 10 題，每題 5 分。

設

r

，

s

為實數，且

r < s

，若

a = \frac{2 r + s}{3}

，

b = \frac{r + s}{2}

，

c = \frac{3 r + 2 s}{5}

，則

a

，

b

，

c

的大小順序為？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $c > a > b$
(4) $b > c > a$
(5) $c > b > a$

下列各數何者最大？

(1) $\frac{13}{25}$
(2) $0.525$
(3) $0.52 \overline{5}$
(4) $0.5 \overline{25}$
(5) $0. \overline{525}$

滿足絕對值不等式

∣3 x - 5∣ \leq 2 x

的整數解

x

有多少個？

(1) $4$
(2) $5$
(3) $6$
(4) $7$
(5) $8$

設

a = 22 + 3

，

b = 7 + 2

，

c = 6 + 5

，則

a

，

b

，

c

的大小順序為？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $c > a > b$
(4) $b > c > a$
(5) $c > b > a$

已知

lo g 3 \approx 0.4771

，請問

1 0^{3.4771}

最接近下列哪一個選項？

(1) $1000$
(2) $2000$
(3) $3000$
(4) $4000$
(5) $5000$

三、多選題（占 24 分）說明：第 11 題至第 13 題，每題 8 分。（8－5－2－0）

下列各絕對值方程式，請選出有實數解的選項？

(1) $∣ x + 2∣ + ∣ x - 5∣ = 8$
(2) $∣ x + 2∣ + ∣ x - 5∣ = 6$
(3) $∣ x + 2∣ - ∣ x - 5∣ = 8$
(4) $∣ x + 2∣ - ∣ x - 5∣ = 6$
(5) $∣ x + 2∣ - ∣ x - 5∣ = - 6$

假設

x = 7 - 43

，則下列選項何者正確？

(1) $x + \frac{1}{x} = 4$
(2) $x - \frac{1}{x} = - 23$
(3) $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = - 83$
(4) $x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = - 263$
(5) $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 194$

關於常用對數的敘述，下列哪些選項是正確的？

(1) $lo g 0 = 1$
(2) $10 0^{l o g 5} = 25$
(3) $1 0^{- l o g 5} = - 5$
(4) $lo g (2 - 3) = - lo g (2 + 3)$
(5) $1 0^{l o g 3} > 1 0^{l o g 2}$

四、填充題（占 36 分）說明：第 14 題至第 19 題，每題 6 分。

不等式

∣ x - 2∣ + ∣ x - 9∣ \geq 15

的解為

x \geq a

或

x \leq b

，則數對

(a, b) =

____。

設

a

，

b

，

c

為正數，若

\frac{3 a + 2 b}{2} = 6 ab

且

\frac{4 b + 5 c}{2} = 20 b c

，則

\frac{8 b + 5 c}{a}

之值為 ____。

已知

23 + 87 = a + b

，其中

a

為正整數，

0 < b < 1

，請問

\frac{3}{a + 3 b} =

____。

有一正實數

a

滿足

a + \frac{1}{a} = 3

，試求

a^{2} + \frac{1}{a ^{2}} - \frac{a}{a ^{2} + 1} =

____。

有兩個正實數

a

，

b

，已知

a b^{2} = 1 0^{5}

，

a^{2} b = 1 0^{3}

，則

lo g b =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 6 題(4)

第 7 題(3)

第 8 題(2)

第 9 題(5)

第 10 題(3)

第 11 題(1)(4)(5)

第 12 題(1)(2)(3)(5)

第 13 題(2)(4)(5)

第 14 題

(13, - 2)

第 15 題

18

第 16 題

\frac{7}{7}

第 17 題

\frac{20}{3}

第 18 題

\frac{7}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01觀念題 1～5：實數的性質與 log 的意義

第 1 題1設兩個相異有理數

p < q

，它們的平均

\frac{p + q}{2}

還是有理數（有理數對加法、除法封閉），而且

p < \frac{p + q}{2} < q

。所以中間至少有一個有理數。答 ○。

第 2 題2舉反例：取

p = 0

、

r = 2

、

q = 1

、

s = 2 - 1

，則

p + r = q + s = 2

，但

p \neq = q

、

r \neq = s

。答 ×。

「

p + r 2 = q + s 2

（

p, q, r, s

都是有理數）則

p = q

、

r = s

」才是對的；這裡

r

、

s

本身是無理數，不能這樣比較。

第 3 題2

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = (x + \frac{1}{x})^{2}

，

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 = (x - \frac{1}{x})^{2}

，所以左式

= (x + \frac{1}{x}) + x - \frac{1}{x}

。當

x \geq 1

時等於

2 x

；但

0 < x < 1

時

x - \frac{1}{x} < 0

，左式等於

\frac{2}{x}

。例如

x = \frac{1}{2}

：左式

= \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = 4

，而

2 x = 1

。答 ×。

A^{2} = ∣ A ∣

，開根號後要看

A

的正負。

第 4 題2

lo g 1 = 0

不是正數；

0 < x < 1

時

lo g x

還是負的，例如

lo g 0.1 = - 1

。只有

x > 1

時

lo g x

才是正數。答 ×。

第 5 題2

a = 1 0^{4.1}

，而

1 0^{4} < 1 0^{4.1} < 1 0^{5}

，所以

a

介於

10000

和

100000

之間，整數部分是

5

位數。答 ×。

lo g a

的整數部分是

n

（

n \geq 0

）時，

a

的整數部分是

n + 1

位數。

02單選 6～10：分點、循環小數、絕對值、根式比大小、log

第 6 題答案 (4)。把三個數都寫成「從

r

往

s

走幾分之幾」：

a = r + \frac{1}{3} (s - r)

，

b = r + \frac{1}{2} (s - r)

，

c = r + \frac{2}{5} (s - r)

。因為

s - r > 0

且

\frac{1}{2} > \frac{2}{5} > \frac{1}{3}

，所以

b > c > a

。

也可以直接相減：

b - c = \frac{s - r}{10} > 0

，

c - a = \frac{s - r}{15} > 0

。

第 7 題答案 (3)。把每個數展開：(1)

\frac{13}{25} = 0.52

；(2)

0.525

；(3)

0.52 \overline{5} = 0.52555 \dots

；(4)

0.5 \overline{25} = 0.52525 \dots

；(5)

0. \overline{525} = 0.525525 \dots

。前三位除了 (1) 以外都是

0.525

，比第四位小數：(2) 是

0

、(3) 是

5

、(4) 是

2

、(5) 是

5

；(3) 和 (5) 再比第五位：

5 > 2

。所以 (3) 最大。

第 8 題答案 (2)。

∣3 x - 5∣ \leq 2 x

等同於

- 2 x \leq 3 x - 5 \leq 2 x

。左半

- 2 x \leq 3 x - 5

得

x \geq 1

；右半

3 x - 5 \leq 2 x

得

x \leq 5

。所以

1 \leq x \leq 5

，整數解有

1, 2, 3, 4, 5

共

5

個。

右邊

2 x

要

\geq 0

才可能有解；這裡解出的

1 \leq x \leq 5

已經滿足。

第 9 題答案 (5)。先把三個數都寫成兩個根號相加：

a = 8 + 3

，

b = 7 + 4

，

c = 6 + 5

。三個都是正數，比平方就好：

a^{2} = 11 + 224

，

b^{2} = 11 + 228

，

c^{2} = 11 + 230

。因為

30 > 28 > 24

，所以

c > b > a

。

根號裡的兩數和都是

11

，和固定時，兩數越接近，乘積越大。

第 10 題答案 (3)。

1 0^{3.4771} = 1 0^{3} \times 1 0^{0.4771}

。由

lo g 3 \approx 0.4771

知

1 0^{0.4771} \approx 3

，所以

1 0^{3.4771} \approx 1000 \times 3 = 3000

。

03多選 11～13：絕對值的範圍、乘法公式、常用對數

第 11 題答案 (1)(4)(5)。

∣ x + 2∣

是

x

到

- 2

的距離，

∣ x - 5∣

是

x

到

5

的距離，兩點相距

7

。距離和

∣ x + 2∣ + ∣ x - 5∣ \geq 7

（

x

在

- 2

和

5

之間時剛好是

7

，往外走可以任意大），所以 (1)

= 8

有解（例如

x = 5.5

），(2)

= 6

無解。距離差

∣ x + 2∣ - ∣ x - 5∣

的範圍是

- 7

到

7

（

x \geq 5

時是

7

，

x \leq - 2

時是

- 7

，中間是

2 x - 3

），所以 (3)

= 8

無解，(4)

= 6

有解（

2 x - 3 = 6

，

x = 4.5

），(5)

= - 6

有解（

2 x - 3 = - 6

，

x = - 1.5

）。

第 12 題答案 (1)(2)(3)(5)。

7 - 43 = 7 - 212 = (2 - 3)^{2}

，所以

x = 2 - 3

，

\frac{1}{x} = 2 + 3

。(1) 對：

x + \frac{1}{x} = 4

。(2) 對：

x - \frac{1}{x} = - 23

。(3) 對：

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}) = 4 \times (- 23) = - 83

。(4) 錯：

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 4^{2} - 2 = 14

，

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}) = - 23 \times 15 = - 303

。(5) 對：

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 1 4^{2} - 2 = 194

。

立方差是

A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})

，中間那項

A B = x \cdot \frac{1}{x} = 1

是加的；寫成

14 - 1 = 13

就會得到

- 263

。

第 13 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：

10

的任何次方都是正數，

lo g 0

沒有意義（

lo g 1 = 0

才對）。(2) 對：

10 0^{l o g 5} = (1 0^{2})^{l o g 5} = (1 0^{l o g 5})^{2} = 5^{2} = 25

。(3) 錯：

1 0^{- l o g 5} = \frac{1}{1 0 ^{l o g 5}} = \frac{1}{5}

，而且

10

的次方不會是負數。(4) 對：

(2 - 3) (2 + 3) = 1

，所以

2 - 3 = \frac{1}{2 + 3} = \frac{1}{1 0 ^{l o g (2 + 3)}} = 1 0^{- l o g (2 + 3)}

，即

lo g (2 - 3) = - lo g (2 + 3)

。(5) 對：

1 0^{l o g 3} = 3 > 2 = 1 0^{l o g 2}

。

流傳版本題幹選項 (4) 印作

lo g (2 - 3) = - (2 + 3)

，照這個式子左邊約

- 0.57

、右邊約

- 3.73

，並不相等；依答案應為

lo g (2 - 3) = - lo g (2 + 3)

，本頁題幹已照此修正。

04填充 14～18

第 14 題

∣ x - 2∣ + ∣ x - 9∣

是

x

到

2

和到

9

的距離和。

x

在

2

和

9

之間時距離和是

7

，不到

15

，所以解在兩側。

x \geq 9

時：

(x - 2) + (x - 9) = 2 x - 11 \geq 15

，得

x \geq 13

。

x \leq 2

時：

(2 - x) + (9 - x) = 11 - 2 x \geq 15

，得

x \leq - 2

。所以

(a, b) = (13, - 2)

。

用距離看：要比

7

多出

8

，往左右兩側各多走

4

，就是

9 + 4 = 13

和

2 - 4 = - 2

。

第 15 題由算幾不等式，

\frac{3 a + 2 b}{2} \geq 3 a \cdot 2 b = 6 ab

，等號只在

3 a = 2 b

時成立；題目給的正是等號，所以

3 a = 2 b

。同理

\frac{4 b + 5 c}{2} \geq 4 b \cdot 5 c = 20 b c

，等號成立表示

4 b = 5 c

。於是

8 b = 4 \cdot 2 b = 12 a

，

5 c = 4 b = 2 \cdot 2 b = 6 a

，

\frac{8 b + 5 c}{a} = \frac{12 a + 6 a}{a} = 18

。

看到「算術平均＝幾何平均」，就是在說那兩個數相等。

第 16 題

23 + 87 = 23 + 2112

，找兩數相加

23

、相乘

112

：

16

和

7

。所以

23 + 87 = 16 + 7 = 4 + 7

。因為

2 < 7 < 3

，

4 + 7

介於

6

和

7

之間，

a = 6

，

b = 4 + 7 - 6 = 7 - 2

。

a + 3 b = 6 + 37 - 6 = 37

，所以

\frac{3}{a + 3 b} = \frac{3}{3 7} = \frac{1}{7} = \frac{7}{7}

。

第 17 題

a^{2} + \frac{1}{a ^{2}} = (a + \frac{1}{a})^{2} - 2 = 9 - 2 = 7

。第三項分子分母同除以

a

：

\frac{a}{a ^{2} + 1} = \frac{1}{a + \frac{1}{a}} = \frac{1}{3}

。所以所求

= 7 - \frac{1}{3} = \frac{20}{3}

。

不用解出

a

；看到

\frac{a}{a ^{2} + 1}

就同除以

a

換成

a + \frac{1}{a}

。

第 18 題消去

a

：

\frac{( a b ^{2} ) ^{2}}{a ^{2} b} = \frac{a ^{2} b ^{4}}{a ^{2} b} = b^{3}

，而右邊是

\frac{( 1 0 ^{5} ) ^{2}}{1 0 ^{3}} = 1 0^{7}

。所以

b^{3} = 1 0^{7}

，

b = 1 0^{\frac{7}{3}}

，

lo g b = \frac{7}{3}

。

驗算：

a = \frac{1 0 ^{5}}{b ^{2}} = 1 0^{5 - \frac{14}{3}} = 1 0^{\frac{1}{3}}

，代回

a^{2} b = 1 0^{\frac{2}{3} + \frac{7}{3}} = 1 0^{3}

，符合。

雙重根號先配成

()^{2}

、

x \pm \frac{1}{x}

型用乘法公式一路推、算術平均等於幾何平均就是兩數相等，這三件事在這份卷子反覆出現。

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麗山高中 114 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題開根號後要看正負、第 11 題要分清楚距離和與距離差各自的範圍、第 12 題選項 (4) 立方差公式中間那一項的正負號，以及第 15 題要看出題目給的是算幾不等式的等號成立條件。詳解逐題寫在本頁。

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御藍教育／段考卷／高一

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01 · 試題

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一、觀念題（占 15 分）說明：第 1 題至第 5 題，每題 3 分。（正確答○，錯誤答×）

任意兩相異有理數之間，至少有一個有理數。

已知

p

，

q

為有理數，

r

，

s

為無理數，若

p + r = q + s

，則

p = q

且

r = s

。

已知

x > 0

，則

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 + x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 = 2 x

。

若

x

為正實數，則

lo g x

也是正實數。

已知

lo g a = 4.1

，則

a

的整數部分為

4

位數。

二、單選題（占 25 分）說明：第 6 題至第 10 題，每題 5 分。

設

r

，

s

為實數，且

r < s

，若

a = \frac{2 r + s}{3}

，

b = \frac{r + s}{2}

，

c = \frac{3 r + 2 s}{5}

，則

a

，

b

，

c

的大小順序為？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $c > a > b$
(4) $b > c > a$
(5) $c > b > a$

下列各數何者最大？

(1) $\frac{13}{25}$
(2) $0.525$
(3) $0.52 \overline{5}$
(4) $0.5 \overline{25}$
(5) $0. \overline{525}$

滿足絕對值不等式

∣3 x - 5∣ \leq 2 x

的整數解

x

有多少個？

(1) $4$
(2) $5$
(3) $6$
(4) $7$
(5) $8$

設

a = 22 + 3

，

b = 7 + 2

，

c = 6 + 5

，則

a

，

b

，

c

的大小順序為？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $c > a > b$
(4) $b > c > a$
(5) $c > b > a$

已知

lo g 3 \approx 0.4771

，請問

1 0^{3.4771}

最接近下列哪一個選項？

(1) $1000$
(2) $2000$
(3) $3000$
(4) $4000$
(5) $5000$

三、多選題（占 24 分）說明：第 11 題至第 13 題，每題 8 分。（8－5－2－0）

下列各絕對值方程式，請選出有實數解的選項？

(1) $∣ x + 2∣ + ∣ x - 5∣ = 8$
(2) $∣ x + 2∣ + ∣ x - 5∣ = 6$
(3) $∣ x + 2∣ - ∣ x - 5∣ = 8$
(4) $∣ x + 2∣ - ∣ x - 5∣ = 6$
(5) $∣ x + 2∣ - ∣ x - 5∣ = - 6$

假設

x = 7 - 43

，則下列選項何者正確？

(1) $x + \frac{1}{x} = 4$
(2) $x - \frac{1}{x} = - 23$
(3) $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = - 83$
(4) $x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = - 263$
(5) $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 194$

關於常用對數的敘述，下列哪些選項是正確的？

(1) $lo g 0 = 1$
(2) $10 0^{l o g 5} = 25$
(3) $1 0^{- l o g 5} = - 5$
(4) $lo g (2 - 3) = - lo g (2 + 3)$
(5) $1 0^{l o g 3} > 1 0^{l o g 2}$

四、填充題（占 36 分）說明：第 14 題至第 19 題，每題 6 分。

不等式

∣ x - 2∣ + ∣ x - 9∣ \geq 15

的解為

x \geq a

或

x \leq b

，則數對

(a, b) =

____。

設

a

，

b

，

c

為正數，若

\frac{3 a + 2 b}{2} = 6 ab

且

\frac{4 b + 5 c}{2} = 20 b c

，則

\frac{8 b + 5 c}{a}

之值為 ____。

已知

23 + 87 = a + b

，其中

a

為正整數，

0 < b < 1

，請問

\frac{3}{a + 3 b} =

____。

有一正實數

a

滿足

a + \frac{1}{a} = 3

，試求

a^{2} + \frac{1}{a ^{2}} - \frac{a}{a ^{2} + 1} =

____。

有兩個正實數

a

，

b

，已知

a b^{2} = 1 0^{5}

，

a^{2} b = 1 0^{3}

，則

lo g b =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：1＝正確、2＝錯誤（照原卷作答規定）

第 6 題(4)

第 7 題(3)

第 8 題(2)

第 9 題(5)

第 10 題(3)

第 11 題(1)(4)(5)

第 12 題(1)(2)(3)(5)

第 13 題(2)(4)(5)

第 14 題

(13, - 2)

第 15 題

18

第 16 題

\frac{7}{7}

第 17 題

\frac{20}{3}

第 18 題

\frac{7}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01觀念題 1～5：實數的性質與 log 的意義

第 1 題1設兩個相異有理數

p < q

，它們的平均

\frac{p + q}{2}

還是有理數（有理數對加法、除法封閉），而且

p < \frac{p + q}{2} < q

。所以中間至少有一個有理數。答 ○。

第 2 題2舉反例：取

p = 0

、

r = 2

、

q = 1

、

s = 2 - 1

，則

p + r = q + s = 2

，但

p \neq = q

、

r \neq = s

。答 ×。

「

p + r 2 = q + s 2

（

p, q, r, s

都是有理數）則

p = q

、

r = s

」才是對的；這裡

r

、

s

本身是無理數，不能這樣比較。

第 3 題2

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = (x + \frac{1}{x})^{2}

，

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 = (x - \frac{1}{x})^{2}

，所以左式

= (x + \frac{1}{x}) + x - \frac{1}{x}

。當

x \geq 1

時等於

2 x

；但

0 < x < 1

時

x - \frac{1}{x} < 0

，左式等於

\frac{2}{x}

。例如

x = \frac{1}{2}

：左式

= \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = 4

，而

2 x = 1

。答 ×。

A^{2} = ∣ A ∣

，開根號後要看

A

的正負。

第 4 題2

lo g 1 = 0

不是正數；

0 < x < 1

時

lo g x

還是負的，例如

lo g 0.1 = - 1

。只有

x > 1

時

lo g x

才是正數。答 ×。

第 5 題2

a = 1 0^{4.1}

，而

1 0^{4} < 1 0^{4.1} < 1 0^{5}

，所以

a

介於

10000

和

100000

之間，整數部分是

5

位數。答 ×。

lo g a

的整數部分是

n

（

n \geq 0

）時，

a

的整數部分是

n + 1

位數。

02單選 6～10：分點、循環小數、絕對值、根式比大小、log

第 6 題答案 (4)。把三個數都寫成「從

r

往

s

走幾分之幾」：

a = r + \frac{1}{3} (s - r)

，

b = r + \frac{1}{2} (s - r)

，

c = r + \frac{2}{5} (s - r)

。因為

s - r > 0

且

\frac{1}{2} > \frac{2}{5} > \frac{1}{3}

，所以

b > c > a

。

也可以直接相減：

b - c = \frac{s - r}{10} > 0

，

c - a = \frac{s - r}{15} > 0

。

第 7 題答案 (3)。把每個數展開：(1)

\frac{13}{25} = 0.52

；(2)

0.525

；(3)

0.52 \overline{5} = 0.52555 \dots

；(4)

0.5 \overline{25} = 0.52525 \dots

；(5)

0. \overline{525} = 0.525525 \dots

。前三位除了 (1) 以外都是

0.525

，比第四位小數：(2) 是

0

、(3) 是

5

、(4) 是

2

、(5) 是

5

；(3) 和 (5) 再比第五位：

5 > 2

。所以 (3) 最大。

第 8 題答案 (2)。

∣3 x - 5∣ \leq 2 x

等同於

- 2 x \leq 3 x - 5 \leq 2 x

。左半

- 2 x \leq 3 x - 5

得

x \geq 1

；右半

3 x - 5 \leq 2 x

得

x \leq 5

。所以

1 \leq x \leq 5

，整數解有

1, 2, 3, 4, 5

共

5

個。

右邊

2 x

要

\geq 0

才可能有解；這裡解出的

1 \leq x \leq 5

已經滿足。

第 9 題答案 (5)。先把三個數都寫成兩個根號相加：

a = 8 + 3

，

b = 7 + 4

，

c = 6 + 5

。三個都是正數，比平方就好：

a^{2} = 11 + 224

，

b^{2} = 11 + 228

，

c^{2} = 11 + 230

。因為

30 > 28 > 24

，所以

c > b > a

。

根號裡的兩數和都是

11

，和固定時，兩數越接近，乘積越大。

第 10 題答案 (3)。

1 0^{3.4771} = 1 0^{3} \times 1 0^{0.4771}

。由

lo g 3 \approx 0.4771

知

1 0^{0.4771} \approx 3

，所以

1 0^{3.4771} \approx 1000 \times 3 = 3000

。

03多選 11～13：絕對值的範圍、乘法公式、常用對數

第 11 題答案 (1)(4)(5)。

∣ x + 2∣

是

x

到

- 2

的距離，

∣ x - 5∣

是

x

到

5

的距離，兩點相距

7

。距離和

∣ x + 2∣ + ∣ x - 5∣ \geq 7

（

x

在

- 2

和

5

之間時剛好是

7

，往外走可以任意大），所以 (1)

= 8

有解（例如

x = 5.5

），(2)

= 6

無解。距離差

∣ x + 2∣ - ∣ x - 5∣

的範圍是

- 7

到

7

（

x \geq 5

時是

7

，

x \leq - 2

時是

- 7

，中間是

2 x - 3

），所以 (3)

= 8

無解，(4)

= 6

有解（

2 x - 3 = 6

，

x = 4.5

），(5)

= - 6

有解（

2 x - 3 = - 6

，

x = - 1.5

）。

第 12 題答案 (1)(2)(3)(5)。

7 - 43 = 7 - 212 = (2 - 3)^{2}

，所以

x = 2 - 3

，

\frac{1}{x} = 2 + 3

。(1) 對：

x + \frac{1}{x} = 4

。(2) 對：

x - \frac{1}{x} = - 23

。(3) 對：

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}) = 4 \times (- 23) = - 83

。(4) 錯：

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 4^{2} - 2 = 14

，

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}) = - 23 \times 15 = - 303

。(5) 對：

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 1 4^{2} - 2 = 194

。

立方差是

A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})

，中間那項

A B = x \cdot \frac{1}{x} = 1

是加的；寫成

14 - 1 = 13

就會得到

- 263

。

第 13 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯：

10

的任何次方都是正數，

lo g 0

沒有意義（

lo g 1 = 0

才對）。(2) 對：

10 0^{l o g 5} = (1 0^{2})^{l o g 5} = (1 0^{l o g 5})^{2} = 5^{2} = 25

。(3) 錯：

1 0^{- l o g 5} = \frac{1}{1 0 ^{l o g 5}} = \frac{1}{5}

，而且

10

的次方不會是負數。(4) 對：

(2 - 3) (2 + 3) = 1

，所以

2 - 3 = \frac{1}{2 + 3} = \frac{1}{1 0 ^{l o g (2 + 3)}} = 1 0^{- l o g (2 + 3)}

，即

lo g (2 - 3) = - lo g (2 + 3)

。(5) 對：

1 0^{l o g 3} = 3 > 2 = 1 0^{l o g 2}

。

流傳版本題幹選項 (4) 印作

lo g (2 - 3) = - (2 + 3)

，照這個式子左邊約

- 0.57

、右邊約

- 3.73

，並不相等；依答案應為

lo g (2 - 3) = - lo g (2 + 3)

，本頁題幹已照此修正。

04填充 14～18

第 14 題

∣ x - 2∣ + ∣ x - 9∣

是

x

到

2

和到

9

的距離和。

x

在

2

和

9

之間時距離和是

7

，不到

15

，所以解在兩側。

x \geq 9

時：

(x - 2) + (x - 9) = 2 x - 11 \geq 15

，得

x \geq 13

。

x \leq 2

時：

(2 - x) + (9 - x) = 11 - 2 x \geq 15

，得

x \leq - 2

。所以

(a, b) = (13, - 2)

。

用距離看：要比

7

多出

8

，往左右兩側各多走

4

，就是

9 + 4 = 13

和

2 - 4 = - 2

。

第 15 題由算幾不等式，

\frac{3 a + 2 b}{2} \geq 3 a \cdot 2 b = 6 ab

，等號只在

3 a = 2 b

時成立；題目給的正是等號，所以

3 a = 2 b

。同理

\frac{4 b + 5 c}{2} \geq 4 b \cdot 5 c = 20 b c

，等號成立表示

4 b = 5 c

。於是

8 b = 4 \cdot 2 b = 12 a

，

5 c = 4 b = 2 \cdot 2 b = 6 a

，

\frac{8 b + 5 c}{a} = \frac{12 a + 6 a}{a} = 18

。

看到「算術平均＝幾何平均」，就是在說那兩個數相等。

第 16 題

23 + 87 = 23 + 2112

，找兩數相加

23

、相乘

112

：

16

和

7

。所以

23 + 87 = 16 + 7 = 4 + 7

。因為

2 < 7 < 3

，

4 + 7

介於

6

和

7

之間，

a = 6

，

b = 4 + 7 - 6 = 7 - 2

。

a + 3 b = 6 + 37 - 6 = 37

，所以

\frac{3}{a + 3 b} = \frac{3}{3 7} = \frac{1}{7} = \frac{7}{7}

。

第 17 題

a^{2} + \frac{1}{a ^{2}} = (a + \frac{1}{a})^{2} - 2 = 9 - 2 = 7

。第三項分子分母同除以

a

：

\frac{a}{a ^{2} + 1} = \frac{1}{a + \frac{1}{a}} = \frac{1}{3}

。所以所求

= 7 - \frac{1}{3} = \frac{20}{3}

。

不用解出

a

；看到

\frac{a}{a ^{2} + 1}

就同除以

a

換成

a + \frac{1}{a}

。

第 18 題消去

a

：

\frac{( a b ^{2} ) ^{2}}{a ^{2} b} = \frac{a ^{2} b ^{4}}{a ^{2} b} = b^{3}

，而右邊是

\frac{( 1 0 ^{5} ) ^{2}}{1 0 ^{3}} = 1 0^{7}

。所以

b^{3} = 1 0^{7}

，

b = 1 0^{\frac{7}{3}}

，

lo g b = \frac{7}{3}

。

驗算：

a = \frac{1 0 ^{5}}{b ^{2}} = 1 0^{5 - \frac{14}{3}} = 1 0^{\frac{1}{3}}

，代回

a^{2} b = 1 0^{\frac{2}{3} + \frac{7}{3}} = 1 0^{3}

，符合。

雙重根號先配成

()^{2}

、

x \pm \frac{1}{x}

型用乘法公式一路推、算術平均等於幾何平均就是兩數相等，這三件事在這份卷子反覆出現。

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